期末测试卷（三）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{y|y＝2x+1}，则A∪B＝（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，3） D．[1，3） 2.（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4），则sinα＝（　　） A． B． C． D． 3.（5分）函数f（x）＝log3x+x﹣2的零点所在区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 4.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则（　　） A．f（a）＜f（c）＜f（b） B．f（b）＜f（a）＜f（c） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（c）＜f（b）＜f（a） 5.（5分）若关于x的不等式x2﹣（m+1）x+9≤0 在[1，4]上有解，则实数m的最小值为（　　） A．9 B．5 C．6 D． 6.（5分）已知锐角φ满足sinφ﹣cosφ＝1．若要得到函数f（x）（x+φ）的图象，则可以将函数ysin2x的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7.（5分）浏阳市在全国先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，若全市年平均增长率以8%来计算，全市生产总值翻一番需要经过（　　）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） A．7年 B．8年 C．9年 D．10年 8.（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0， +∞），x1≠x2，满足：，且f（2）＝4，则不等式的解集为 （　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（5分）下列判断正确的是（　　） A．∀x∈R，x+|x|≥0 B．命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“” C．若c＞a＞b＞0，则 D．“sinθ•tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的充要条件 （多选）10．（5分）下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（　　） A．y＝|cosx| B．y＝sin2x C． D． （多选）11．（6分）若实数a，b满足a2+b2﹣nab＝9，n∈R，则下列说法正确的为（　　） A．当n＝1时，a2+b2的最大值为18 B．当n＝1时，a+b的最小值为﹣6 C．当n＝3时，ab的最小值为﹣9 D．当n＝3时，a2+b2的最小值为 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）的值为　 　． 13．（5分）若不等式﹣x2+ax+4a≤0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 ． 14.（5分）函数（ω＞0）的图象和函数（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若，则ω的取值范围为　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）计算下列各式的值： （1）； （2）． 16．（15分）已知集合A＝{x|a2﹣1≤x≤2a+6}，B＝{x|0≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝1时，求A∩（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围． 17．（15分）设函数． （1）当a＝0时，求方程的实数解； （2）当a＝﹣1时， （ⅰ）存在t∈[1，2]，使不等式f（t2﹣2t）﹣f（2t2﹣k）＞0成立，求k的范围； （ⅱ）设函数g（x）＝2x+b，若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围． 18．（17分）已知函数f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1，x∈R． （1）求曲线C：y＝f（x）的对称中心； （2）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且．若b+c≤ka恒成立，求实数k的最小值． 19．（17分）已知是定义在R上的奇函数，其中a，b∈R，且f（2）＝1． （1）求a，b的值； （2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性（判断即可，不必证明）； （3）设g（x）＝mx2﹣2x+2﹣m，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求非负实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修一 高一上学期必修一期末测试试卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{y|y＝2x+1}，则A∪B＝（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，3） D．[1，3） 解：解不等式x2﹣4x+3≤0，得1≤x≤3，即A＝[1，3]，而y＝2x+1＞1，则B＝（1，+∞），所以A∪B＝[1，+∞）．故选：B． 2.（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4），则sinα＝（　　） A． B． C． D． 解：∵角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4），∴sinα．故选：A． 3.（5分）函数f（x）＝log3x+x﹣2的零点所在区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 解：∵f（x）＝log3x+x﹣2，∴f（1）＝log31+1﹣2＝﹣1＜0， f（2）＝log32+2﹣2＝log32＞0，f（3）＝log33+3﹣2＝2，f（4）＝log34+4﹣2＞0， ∴函数f（x）＝log3x+x﹣2零点所在大致区间是（1，2）．故选：B． 4.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则（　　） A．f（a）＜f（c）＜f（b） B．f（b）＜f（a）＜f（c） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（c）＜f（b）＜f（a） 解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减， 则f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，故f（x）在R上单调递减， 0＜a＜1，b＝log20.3＜log21＝0，c＝20.3＞20＝1， 故c＞a＞b，所以f（c）＜f（a）＜f（b）． 故选：C． 5.（5分）若关于x的不等式x2﹣（m+1）x+9≤0 在[1，4]上有解，则实数m的最小值为（　　） A．9 B．5 C．6 D． 解：由题意得（m+1）x≥x2+9 有解，即m+1≥x有解， 即m+1≥（x）min，因为1≤x≤4时，x6，当且仅当x＝3时取等号， 故m≥5．故选：B． 6.（5分）已知锐角φ满足sinφ﹣cosφ＝1．若要得到函数f（x）（x+φ）的图象，则可以将函数ysin2x的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解：∵已知锐角φ满足sinφ﹣cosφ＝2sin（φ）＝1，则sin（φ），∴锐角φ． ∵函数f（x）（x+φ）cos（2x） sin（2x）sin（2x）的图象， 则可以将函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，故选：A． 7.（5分）浏阳市在全国先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，若全市年平均增长率以8%来计算，全市生产总值翻一番需要经过（　　）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） A．7年 B．8年 C．9年 D．10年 解：设经过n年可实现全市生产总值翻一番，全市生产总值原来为a， 由题意可得，a（1+8%）n＝2a， 即1.08n＝2，两边同时取对数得：nlg1.08＝lg2， 所以n 9.039，又因为n∈N*，所以n＝10， 即全市生产总值翻一番需要经过10年． 故选：D． 8.（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0， +∞），x1≠x2，满足：，且f（2）＝4，则不等式的解集为 （　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 解：∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有 ， 令F（x）＝xf（x），∴F（x）＝xf（x）在（0，+∞）上是增函数， ∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， ∴F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝F（x）， ∴F（x）为偶函数且F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又F（2）＝2f（2）＝8， ∴， 当x＞0时，F（x）﹣F（2）＞0，即|x|＞2，解得：x＞2， 当x＜0时，F（x）﹣F（2）＜0，即|x|＜2，解得：﹣2＜x＜0， 综上，不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（5分）下列判断正确的是（　　） A．∀x∈R，x+|x|≥0 B．命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“” C．若c＞a＞b＞0，则 D．“sinθ•tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的充要条件 解：选项A，当x≥0时，x+|x|＝2x≥0，当x＜0时，x+|x|＝x﹣x＝0， 故∀x∈R，x+|x|≥0，所以选项A正确； 对于B：命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“， 故B错误； 选项C，由， 因为c＞a＞b＞0，所以a﹣b＞0，b+c＞0， 所以，故选项C正确， 对于D：由sinθ•tanθ＞0， 则θ在第一象限角或第四象限角， 故充分性不成立， 反之θ是第一象限角， 则sinθ•tanθ＞0， 故必要性成立， 故“sinθ•tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的必要不充分条件， 故选项D错误． 故选：AC． （多选）10．（5分）下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（　　） A．y＝|cosx| B．y＝sin2x C． D． 解：对于A，定义域为R，因为f（﹣x）＝|cos（﹣x）|＝|cosx|＝f（x）， 所以函数为偶函数，因为y＝|cosx|的图像是由y＝cosx的图像在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图像共同组成， 所以y＝|cosx|的最小正周期为π，所以A正确， 对于B，定义域为R，因为f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x＝﹣f（x）， 所以函数为奇函数，所以B错误， 对于C，定义域为，最小正周期为π， 因为f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），所以函数为偶函数，所以C正确， 对于D，定义域为R，最小正周期为，所以D错误， 故选：AC． （多选）11．（6分）若实数a，b满足a2+b2﹣nab＝9，n∈R，则下列说法正确的为（　　） A．当n＝1时，a2+b2的最大值为18 B．当n＝1时，a+b的最小值为﹣6 C．当n＝3时，ab的最小值为﹣9 D．当n＝3时，a2+b2的最小值为 解：对于A，当n＝1时，a2+b2﹣ab＝9，a2+b2， 所以a2+b2≤18，当且仅当a＝b＝3时等号成立， 所以a2+b2有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当n＝1时，a2+b2﹣ab＝9， 则（a+b）2，所以（a+b）2≤36， 即﹣6≤a+b≤6，当且仅当a＝b＝﹣3时，a+b＝﹣6， 所以a+b有最小值，最小值为﹣6，选项B正确； 对于C，当n＝3时，a2+b2﹣3ab＝9， 则3ab+9＝a2+b2≥±2ab， 当3ab+9＝a2+b2≥2ab时， ab≥﹣9，当且仅当a＝b时等号成立， 此时，无解； 当3ab+9＝a2+b2≥﹣2ab时， ，当且仅当a＝﹣b时等号成立， 此时， 解得a＝﹣b或a＝﹣b， 故ab有最小值为，选项C错误； 对于D，当n＝3时，a2+b2﹣3ab＝9， ，则， 当且仅当或时等号成立， 所以a2+b2有最小值，最小值为，选项D正确．故选：ABD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（5分）的值为　﹣2　． 解：根据对数的运算性质可得，原式＝log2（sincos）＝log2（sin）＝log22． 13．（5分）若不等式﹣x2+ax+4a≤0在R上恒成立，则实数a的取值范围是{a|﹣16≤a≤0}　． 解：根据条件﹣x2+ax+4a≤0可以转化为x2﹣ax﹣4a≥0， 不等式﹣x2+ax+4≤0在R上恒成立，等价于x2﹣ax﹣4a≥0在R上恒成立， 只需满足，Δ＝a2﹣4×（﹣4a）≤0，解得﹣16≤a≤0， 综上可得，a的取值范围为{a|﹣16≤a≤0}． 故答案为：{a|﹣16≤a≤0}． 14.（5分）函数（ω＞0）的图象和函数（ω＞0）的图象的连续两个交点为A，B，若，则ω的取值范围为 　．　 ． 解：作出两个函数的图象如图， 则根据对称性知AB＝BC，即△ABC为等腰三角形．三角函数的周期， 且AC＝T，取AC的中点M，连接BM，则BM⊥AC，， 由， 得， 得， 得， 得． 则ysin（）sin（）sin， 即A点纵坐标为1，则BM＝2， ，解得3＜T≤4，即． 得， 即ω的取值范围为．故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）计算下列各式的值： （1）； （2）． 解：（1）原式＝﹣4﹣1（）＝﹣5； （2）原式． 16．（15分）已知集合A＝{x|a2﹣1≤x≤2a+6}，B＝{x|0≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝1时，求A∩（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围． 解：（1）集合A＝{x|a2﹣1≤x≤2a+6}＝{x|0≤x≤8}， B＝{x|0≤x≤4}，全集U＝R， ∴∁UB＝{x|x＜0或x＞4}， ∴A∩（∁UB）＝{x|4＜x≤8}； （2）∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，∴B⫋A， ∴B⊆A且B≠A， 当B⊆A时，，解得﹣1≤a≤1， 当B＝A时，，解得a＝﹣1， 由B≠A，得a≠1． 综上，实数a的取值范围是（﹣1，1]． 17．（15分）设函数． （1）当a＝0时，求方程的实数解； （2）当a＝﹣1时， （ⅰ）存在t∈[1，2]，使不等式f（t2﹣2t）﹣f（2t2﹣k）＞0成立，求k的范围； （ⅱ）设函数g（x）＝2x+b，若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围． 解：， （1）当a＝0时，f（x）＝2x﹣1， 由题意得，所以或，解得x＝﹣1或； （2）当a＝﹣1时，在R上单调递增， （ⅰ）存在t∈[1，2]，使不等式f（t2﹣2t）﹣f（2t2﹣k）＞0成立， 即f（t2﹣2t）＞f（2t2﹣k）成立，即t2﹣2t＞2t2﹣k成立，从而k＞（t2+2t）min， 又t∈[1，2]时，根据二次函数的性质可知，当t＝1时，（t2+2t）min＝3，所以k＞3， 所以k的范围为{k|k＞3}； （ⅱ）当x∈[0，1]时，g（x）＝2x+b的值域为[b，2+b]， 当x∈[0，1]时，的值域为， 根据题意，得，从而，解得． 故实数b的取值范围为． 18．（17分）已知函数f（x）＝2sinx（cosx﹣sinx）+1，x∈R． （1）求曲线C：y＝f（x）的对称中心； （2）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且．若b+c≤ka恒成立，求实数k的最小值． 解：（1）由题意，得． 令，k∈Z，得，k∈Z， ∴曲线y＝f（x）的对称中心为，k∈Z． （2），即． ∵A是锐角三角形ABC的内角，∴，∴． 由正弦定理得． 在锐角三角形ABC中，，解得， ∴，∴． 即2，∴k≥2，即实数k的最小值为2． 19．（17分）已知是定义在R上的奇函数，其中a，b∈R，且f（2）＝1． （1）求a，b的值； （2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性（判断即可，不必证明）； （3）设g（x）＝mx2﹣2x+2﹣m，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求非负实数m的取值范围． 解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝﹣a＝0，解得a＝0， 又因为f（2）＝1，所以，解得b＝4， 所以，，则f（x）为奇函数， 所以a＝0，b＝4． （2）f（x）在[2，+∞）上单调递减． 证明如下：设2≤x1＜x2，则， 因为2≤x1＜x2，则x1﹣x2＜0，16﹣4x1x2＜0，所以f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在[2，+∞）上单调递减． （3）由（2）可知f（x）在[2，4]上单调递减，所以， 记f（x）在区间[2，4]内的值域为． 当m＝0时，g（x）＝﹣2x+2在[0，1]上单调递减， 则g（x）max＝g（0）＝2，g（x）min＝g（1）＝0，得g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，1]． 因为A⊆B，所以对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立． 当0＜m≤1时，在[0，1]上单调递减， 则g（x）max＝g（0）＝2﹣m，g（x）min＝g（1）＝0，得g（x）在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2﹣m]， 因为A⊆B，所以对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立． 当1＜m≤2时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得g（x）在区间[0，1]内的值域为， 所以无解， 当m＞2时，在上单调递减，在上单调递增， 则，得g（x）在区间[0，1]内的值域为，不符合题意． 综上，非负实数m的取值范围为[0，1]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $