精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若方程表示圆，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方变形为圆的标准方程后可得． 【详解】方程配方后得，它表示圆，则，． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件． 2. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合圆心距与两圆的半径和与差的关系进行求解即可. 【详解】圆，所以，半径为， 圆的圆心，半径为， 到直线的距离为， 由圆的弦长公式可得： ， 即，半径为， 因为，两圆半径和为， 所以两个圆外切， 故选：C 3. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】每段弧所对的圆心角都为，故圆心到直线和的距离都等于，结合圆心到直线的距离求得，从而求得正确答案. 【详解】， 依题意可知，且两条直线的斜率都为，两直线平行. 由于和将单位圆分成长度相等的四段弧， 所以每段弧所对的圆心角都为， 所以圆心到直线和的距离都等于， 即，， 所以. 故选：D. 4. 已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的右焦点为求得的值，得出椭圆方程，设，点到直线的距离为求得，代入椭圆方程求出，利用两点间距离可求得答案. 【详解】已知椭圆的右焦点为，则，故椭圆， 设，点到直线的距离为，则，解得或， 当时，，由题意得，即，此方程无解； 当时，，由题意得，即，则， 综上，. 故选：B. 5. 若圆与圆外切，则（ ） A. 9 B. 11 C. 19 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由圆，即， 则圆心，，， 所以， 因为两圆外切，则， 即，解得. 故选：A. 6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先得出的几何意义，再画出图形通过数学结合、三角形三边关系即可求解的最大值. 【详解】设点在圆上，由题意， 若，则，而， 所以，即的几何意义为圆上的点到坐标原点的距离， 如图所示： 设为圆圆心，其半径为2，点为圆上的点，为坐标原点，三点共线， 由三角形三边关系可知，等号成立当且仅当重合， 所以的最大值为. 故选：C. 7. 若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可. 【详解】设双曲线的方程为, 根据已知条件得:, 解得:, 双曲线的方程为, 则, . 故选:C. 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ） A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若，，则 D. 若所直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断. 【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 10. 下列说法不正确的是（　　） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为（1，1） C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项A，根据倾斜角和斜率概念即可判断A正确，对选项B，，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断B错误，对选项C，分别求出直线与两坐标轴的交点，即可判断C错误，对选项D，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断D错误. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称点为， 则，即关于直线对称的点为，故B错误. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则， B. 方程（）表示的直线都经过点 C. ，直线不可能与轴垂直 D. 直线的横、纵截距相等 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D. 【详解】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确． 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由解出即可 【详解】抛物线的准线方程为： 所以，解得 所以抛物线的方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简单. 13. 已知直线与平行，则实数________． 【答案】0或. 【解析】 【分析】由两直线平行条件，分和两种情况讨论，即可得到的值. 【详解】当时，两直线化为和，显然，两直线平行，满足题意； 当时，因为两直线平行，所以即：， 解之得：. 故答案为：0或. 14. 已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征可直接构造不等式求得结果. 【详解】由双曲线的标准方程可得：，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆是圆O内一点，是圆O外一点. （1）是圆O中过点M最长的弦，是圆O中过点M最短的弦，求四边形的面积； （2）过点P作直线l交圆于E、F两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）面积的最大值为，直线l的方程为. 【解析】 【分析】（1）圆内弦最长的即是圆的直径即为直径，而是过且与垂直的弦，从而得到四边形的面积； （2）利用正弦表示三角形面积，可知当时，面积最大，从而得到直线的倾斜角，进而得到直线方程. 【小问1详解】 在圆内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即为直径， 而是过且与垂直的弦 此时，圆心到直线的距离， 从而可得，， ； 【小问2详解】 ，， 当时，面积的最大值为， 此时，到直线l的距离为，， ∴ 直线l的倾斜角为或， 则直线l的斜率为， ∴直线l的方程为. 16. 已知点，直线，且点均在直线上，， （1）求点的坐标： （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得. （2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程. 【小问1详解】 设，由题意可得：，解得：， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 17. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． （1）求E的方程； （2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线MN过定点． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可; （2）设出直线AP的方程为，与直线,椭圆联立，分别表示出M，P，N的坐标，进而表示出直线，求得定点. 【小问1详解】 由题意知 解得，，， 所以E的方程为． 【小问2详解】 显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为， 又直线BC的方程为，由，解得，， 即． 由得，解得或， 当时，，即， 所以直线CP的斜率， 所以直线CP的方程为，令，得，即． 所以直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即，所以直线MN过定点． 18. 已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，设，，， （1）以为空间基底表示向量． （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）取DC中点H，连接HM，HN，利用线面平行证面面平行，由面面平行可得线面平行. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 取DC中点H，连接HM，HN， 因为H是DC中点，N是PC中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理，得，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 故平面平面， 因为平面， 所以平面. 19. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，． （1）证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点，所以． 在正三棱柱中， 所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则 易知是平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若方程表示圆，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 3. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 5 若圆与圆外切，则（ ） A. 9 B. 11 C. 19 D. 21 6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ） A. 对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 若，，则 D. 若所在直线两两共面，则共面 10. 下列说法不正确的是（　　） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为（1，1） C. 直线与两坐标轴围成三角形的面积是2 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则， B. 方程（）表示的直线都经过点 C ，直线不可能与轴垂直 D. 直线的横、纵截距相等 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________． 13. 已知直线与平行，则实数________． 14. 已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆是圆O内一点，是圆O外一点. （1）是圆O中过点M最长的弦，是圆O中过点M最短的弦，求四边形的面积； （2）过点P作直线l交圆于E、F两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 16. 已知点，直线，且点均在直线上，， （1）求点的坐标： （2）若，求直线的方程. 17. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． （1）求E方程； （2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 18. 已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，设，，， （1）以为空间基底表示向量． （2）求证：平面． 19. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，． （1）证明：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $