精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周测练习(十二)（12.7）

重庆南开中学高2027级高二（上）数学练习（十二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式来求解即可. 【详解】由设等差数列的公差为，则， 故， 故选：C. 2. 已知，数列，，，…，的项数为（ ） A. B. C. m D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数. 【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. 3. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 27 B. 24 C. 21 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质即可求解； 【详解】在等比数列中，其公比，所以， 所以. 故选：C． 4. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 5. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中， 要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时， M到直线AG的距离最大， 此时，即， 又 ， 所以半椭圆的方程为 故选：D. 6. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 7. 已知某数列的通项，则（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可. 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 8. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的值可以为3 D. 若的面积为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，根据方程求出即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可得出结论；C项，利用几何知识即可知道的取值范围，进而得出结论；D项，求出点的位置，分别得出，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，， A项，离心率，故A正确； B项，如图所示， 由对称性知，， ，故B错误； C项，由几何知识得， ,即， 因为，故C错误； D项，设， ∴， 当的面积为时，， 由几何知识得，，解得： 当，即时，此时，， ∴， ∴， 当，即时，同理可得，， 故D正确； 故选：AD. 10. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D. 【详解】对于A，B，， 所以当时，， 又，则， 所以，故A错，B对； 对于C，， ， ，故C对； 对于D，， ， 当时，， ， ，故D对； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 12. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求得直线的斜率，进而得直线方程. 【详解】设，由题意得， 两式相减，得，又是中点，所以， 代入得，则直线的斜率， 所以直线的方程为，化简得， 又点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故答案为： 13. 等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，根据等比数列的性质有，结合重要不等式即可求解. 【详解】等比数列中，，有， ，满足：（P点在直线上），则有， 所以，当且仅当时等号成立， 又，有，所以的最大值为. 故答案为：. 14. 设表示自然数n的所有正因数中较大的那个奇数，例如：9的正因数有1，3，9，则；12的正因数有1，2，3，4，6，12，则.数列的前项的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列求和的分组求和法，先根据的定义找出数列的规律，再利用分组求和法计算前项的和. 【详解】根据的定义，对于任意自然数n，将其分解为（，m为奇数），则. 将数列的项按n的值进行分组： 第一组：，； 第二组：，3，，； 第三组：，5，6，7，，，，； … 第k组：，，…，，这一组共有项. 对于第k组，其和为： 这是一个首项为1，公差为2，项数为的等差数列的和. 根据等差数列求和公式，可得：. 前项包含了从第1组到第2025组， 所以，前项的和S为：， 这是一个首项为1，公比为4，项数为2025的等比数列的和. 根据等比数列求和公式，可得：， 因此，数列的前项的和为. 故答案为：. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式； （2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，令得， 因为， 所以， 两式相减得， 即． 所以， 所以， 即， 所以当时，， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 设数列的前项和为，已知 （1）设证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1）证明：由，及，有故， 所以 因为①， 故当时，有②， ①—②，得， 所以， 又因为所以， 所以是首项为3，公比为2的等比数列； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，求出的值，而后再求出的值，再利用，通过运算可以得到，这样就可以证明出数列是等比数列； （2）由（1）可得：可以变形为，由可以判断出数列是首项为，公差为的等差数列，这样利用等差数列的通项公式，就可以求出数列的通项公式； （3）由 （1）知，当时，，代入即可求出的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得： 所以， 因此 数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故； 【小问3详解】 解：由 （1）知，当时，， 故，， 又， 故，. 【点睛】本题考查了利用递推公式证明数列是等比数列，考查了等差数列的通项公式，考查了数学运算能力. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足 （1）若，证明：平面 （2）若，且平面与平面的夹角为，求 【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，设， ，，设平面的一个法向量， 则即 取 又，，，所以，平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量再证明，即可得到结果. （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用面面所成角的向量求法即可求出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，设，,所以，故,所以，， 设平面AEF的一个法向量，则即 取又平面的一个法向量， ，求得（负值舍去），所以 18. 已知正项数列的前项和为，满足． （1）求出数列的前三项； （2）根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1）；；． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 【解析】 【分析】（1）分别将代入求解即可； （2）先猜想通项公式，再应用数学归纳法及证明即可. 【小问1详解】 当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或：；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性质可得到，继而得到抛物线方程； （2）设：，，，联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理， （ⅰ）结合题干角的余弦值即可得到直线方程； （ⅱ）结合对称性以及三点共线即可得. 【小问1详解】 当与轴垂直时，， 则，解得：，即：. 【小问2详解】 （ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0， 可设：，，， 联立方程组：，得到：， 由韦达定理：，， 则，， 因为 ， 代入可知：，解得：， 即：或：； （ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：， 因为，设，所以：， 联立解得：，同理有：， 所以 ， 由（2）得：，，代入可知：， 故：， 由于，故， 则， 即：，因为， 所以：，联立解得：， 因为，，三点共线，所以在直线上， 代入得：， 解得：，故的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027级高二（上）数学练习（十二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 2. 已知，数列，，，…，的项数为（ ） A. B. C. m D. 3. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 27 B. 24 C. 21 D. 18 4. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 5. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知某数列的通项，则（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 8. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的值可以为3 D. 若的面积为，则 10. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 12. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 13. 等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为______． 14. 设表示自然数n的所有正因数中较大的那个奇数，例如：9的正因数有1，3，9，则；12的正因数有1，2，3，4，6，12，则.数列的前项的和为______. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16. 设数列的前项和为，已知 （1）设证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求的前项和. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足 （1）若，证明：平面 （2）若，且平面与平面的夹角为，求 18. 已知正项数列的前项和为，满足． （1）求出数列的前三项； （2）根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 19. 已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $