江苏省苏州市西安交通大学苏州附属初级中学2025-2026学年上学期九年级数学第15周周测练习

西附初中初三数学第15周周测练习 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1．在中，，若，则的值是　　 A． B． C． D． 2．如图为固定电线杆，在离地面高度为7米的处引拉线，使拉线与地面的夹角为，则拉线的长为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 3．若，则锐角的范围是　　 A． B． C． D． 4．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从出发，走了13米到达处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是　　 A． B． C． D． 5．如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，则的值是　　 A． B． C． D． 6．如图，点、、均在的正方形网格的格点上，则　　 A． B． C． D． 7．如图，在△中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形中，点为边的中点，将正方形折叠，使点与点重合，为折痕，则的值是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，每小题3分） 9．在中，，则的度数为　 　． 10．比较大小（用连接），，， 　　． 11．如图，为坐标原点，点的坐标为，点在⊙A上，是的一条弦，若，则⊙A的直径的长为 　　． 第11题图 第12题图 12．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 　　 ． 13．如图，在中，，，，则的值是 　　． 第13题图 第14题图 第16题图 14．某片绿地形状如图所示，其中，，，，，则的长　 　． 15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则　　． 16．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 三、解答题（共8小题，每小题3分） 17．计算 （1） （2） 18．已知在△中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求和； （2）已知4，0.6，求AC与BC的长． 19．如图，在中，，，，求的长． 20．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 21．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，．机械臂端点到工作台的距离． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到，参考数据：，，， 22．多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在平行四边形中，，，．求平行四边形的面积； 【灵活运用】在中，，，．求的面积； 【迁移提升】如图，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，请直接写出的值． 23．如图，△中，，为中点，，是△的外接圆，是的直径，且． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）求的半径． 24．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接垂直于，垂足为，在，处与篮板连接所在直线垂直于，是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：， 5．如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】只要证明，求出即可． 【解答】解：连接，如图， 由条件可知， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设，则，， ， ． 故选：． 6．如图，点、、均在的正方形网格的格点上，则　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，垂足为．根据格点和勾股定理先求出、，利用三角形的面积求出、，最后求出的正切． 【解答】解：如图，过点作，垂足为． 由格点三角形可知：， ． ， ． ， ． ． ． 故选：． 7．如图，在△中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【分析】延长交于点，先证明△△，从而求出的长，再利用等腰三角形的判定求出，利用线段的和差关系求出，利用勾股定理求出，最后求出的正切． 【解答】解：如图，延长交于点． 平分，于点， ，． 在△和△中， ， △△． ， 故选：． 9．在中，，则的度数为　　． 【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：由题意得 ，． ，． ， 故答案为： 10．比较大小（用连接），，， 　　． 【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可． 【解答】解：，，， 则， 故答案为：． 11．如图，为坐标原点，点的坐标为，点在上，是的一条弦，若，则的直径的长为 　　． 【分析】由圆周角定理及推论得出为的直径，，结合，得出，进而得出的长度，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接， 点的坐标为， ， ， 为的直径， ，， ， 【分析】延长，过点作，垂足为，如图，由，可算出的度数，在中，可算出，，根据所对直角边是斜边的一半可得的长度，根据勾股定理可得的长度，在中，可计算的长度，根据勾股定理即可算出的长度，根据三角函数的定义，即可算出答案． 【解答】解：延长，过点作，垂足为，如图， ， ， 在中， ，， ， ， 在中， ， ， ． 14．某片绿地形状如图所示，其中，，，，，则的长　　． 【分析】延长，交的延长线于点，则在直角与直角中，根据三角函数就可求得，与的长，就可求得的长． 【解答】解：如图，延长，交的延长线于点， 在中， ，， ，． 在中， ，， ， ． 故答案为：． 15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在中，，，若是“好玩三角形”，则　　． 【分析】分两种情形：分别是上的中线，上的中线，分别画出图形，利用勾股定理解决问题即可． 【解答】解：如图，当上的中线时， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，； 当上的中线时，设，则， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故不符合题意， 故答案为：或． 16．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 【分析】由题易得四边形是平行四边形，从而得到是定长，又由，得出直角对直角的隐圆模型，再根据最大张角问题（相切时）求解即可． 【解答】解：， 四边形是平行四边形， ， 为定点，且， 为定值， ， ， 点在以为直径的圆上运动（如图，为圆心）， 此时， 当与相切时最大， ． 故答案为：． 17．（1） （2） 18．已知在△中，，、、分别为、、所对的边，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求和； （2）已知4，0.6，求AC与BC的长． 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再结合的正切即可解决问题． 【解答】解：（1）在△中， ，， ， ， ． 【分析】（1）过点作于，根据坡度的概念得到，再根据勾股定理求出； （2）延长交于，设米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点作于， 斜坡的坡度为， ， ， 在△中，，即， 解得：， 答：平台的高度为10米； （2）如图，延长交于， 则， 四边形为矩形， 米，， 设米，则米， 在△中，， ， ， 米， 在△中，， 则米， 由（1）可知：米， ， 解得：， 答：建筑物的高度为米． 21．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，．机械臂端点到工作台的距离． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到，参考数据：，，， 【分析】（1）过点作，垂足为，在△中，由，，可求和，即可得出的长； （2）过点作，垂足为，在△中，由勾股定理可求出，即的长． 【解答】 解：（1）如图，过点作，垂足为， 在△中，，， ，， ，， ，， ， 在△中，由勾股定理． （2）过点作，垂足为， ， ， 在△中，由勾股定理． ． 22．多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在平行四边形中，，，．求平行四边形的面积； 【灵活运用】在中，，，．求的面积； 【迁移提升】如图，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，请直接写出的值． 【分析】（1）过点作于点，然后求得，进而根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）过点作于点，根据正弦的定义求得，勾股定理求得，，继而根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据网格的特点求得的面积，根据，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， 过点作于点， ，， ， ． 平行四边形的面积为； （2）当点在的右侧时，如图所示，过点作于点， ， ，， ， 的面积为； 当点在的左侧时，如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， 的面积为； 的面积为150或42； （3），，， 又， ． 23．如图，△中，，为中点，，是△的外接圆，是的直径，且． （1）求证：是的切线； （2）求的长； （3）求的半径． 【分析】（1）证明，即可得是的切线； （2）先证明△△，得到，即可解答； （2）过点作于点，设，则，，根据勾股定理构造方程，求得，根据正弦的定义即可求解． 【解答】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线； （2）解：，， △△， ， ，为中点， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 在△中，，， ， ， △△， ， 设，则， ， 在△中，， ， 整理得：， 解得，（舍去）， ，， 与都是所对的圆周角， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径为． 24．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接垂直于，垂足为，在，处与篮板连接所在直线垂直于，是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：， 【分析】当时，过点作，交的延长线于点，根据已知易得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再根据已知可得，最后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长；当，过点作，交的延长线于点，在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：点离地面的高度升高了， 理由：如图，当时，过点作，交的延长线于点， 学科网（北京）股份有限公司 $