精品解析：天津市第十四中学2025-2026学年高二上学期第一次月阶段检测数学试卷

天津市第十四中学2025—2026学年度高二年级第一学期第一次月阶段检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 2. 已知直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量，所以直线l的斜率为， 故其倾斜角为， 故选：B. 3. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 4. 已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：A. 5. 已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为的中点，则，所以，则， 因为，所以，因此. 故选：C 6. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 7. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量的坐标，根据向量坐标运算公式求结论；方法二：利用向量表示，结合数量积定义及运算律求结论. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，， ，， ． 方法二：由题意可知， ， ． 堑堵为直三棱柱，且， ， ． 故选：B. 8. 若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 9. 下列三个命题中，错误命题的个数是（ ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据直线方向向量的定义分析判断；对于②，由共面向量定理判断；对于③，由平行平面的充要条件可判断. 【详解】对于①，若两条不同直线的方向向量分别是，则， 由方向向量的定义知①正确； 对于②，若是空间的一个基底，且， 则，即， 由空间向量共面定理知四点共面，故②正确； 对于③，若两个不同平面的法向量分别是，且， 易得不成立，所以不成立，故③错误. 故错误命题的个数是1. 故选：B. 10. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 11. 如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出点和点的坐标，从而得到的坐标. 【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 12. 已知，，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的数乘和加减法运算求出和的坐标，再利用向量垂直的性质，列出方程，求解即可. 【详解】因为，， 则， ， 又，所以， 即，化简得，解得. 故答案为： 13. 已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解“点到面的距离”. 【详解】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. 由题可得，，，，，， 则，，. 设平面的法向量，则， 令，则得. 由点到面的距离公式得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量坐标计算公式可得答案. 【详解】由题，在上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 15. 如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用图形关系和向量的线性运算得到，再由模长和数量积的运算律计算可得. 【详解】由图可得， 所以 . 故答案为：. 16. 如图，正方体的棱长为，点满足，若平面经过直线，且与平面的法向量平行，则平面截此正方体所得的截面的周长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用已知条件结合正方体的性质，运用向量平行和垂直的数量积运算求出相关点坐标，进而求出相关向量，再利用向量模的计算公式计算求解． 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 正方体的棱长为，点满足， ， ， ， 平面经过直线，且与平面的法向量平行， 即为平面的一条法向量， 取中点，作，过点作平行于交于，则为中点， 四边形即为平面与正方体相交的截面，设，则， ， ，，故，， ， ，解得， ， ，， 平面截此正方体所得的截面的周长为 ． 故答案为：． 三､解答题：本大题共2个小题，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱柱中，面，，，，，，， （1）求直线和所成角的余弦值； （2）若为的中点，求证：平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） ， 因为为的中点，所以， 所以. 又, 设平面的法向量为， 则， 令，得，所以. 因为，所以. 因为不在平面内， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和所成角的余弦值； （2）求出平面的一个法向量为，证明即可； （3）求出平面的一个法向量为，根据向量法求解二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为面，平面， 所以,. 因为， 所以两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，，， 所以, 所以, 所以， 所以直线和所成角的余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面所成角为， 所以， 故平面和平面夹角的余弦值为. 18. 如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. （1）请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 由题意得：三条直线两两垂直； 以为坐标原点，的方向，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， ，，，； 所以，，， 因为，所以直线与平面不垂直. （2）直线与平面所成角的正弦值为； （3） 由（1）得：，，，， ，，； 设线段上是否存在一点，且，，则； 设平面的一个法向量为：，则，令，得； ，所以点到平面的距离为： ； 所以在线段上不存在一点，使得点到平面的距离是. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直，数量积为零，即可判断直线与平面的位置关系； （2）利用空间向量法求线面角即可； （3）设线段上是否存在一点，且，，利用空间向量法求点到平面的距离，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的：，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，； 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第十四中学2025—2026学年度高二年级第一学期第一次月阶段检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 2. 已知直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 下列三个命题中，错误命题的个数是（ ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 11. 如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________. 12. 已知，，若，则的值为__________. 13. 已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为__________. 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 15. 如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为__________. 16. 如图，正方体的棱长为，点满足，若平面经过直线，且与平面的法向量平行，则平面截此正方体所得的截面的周长为__________． 三､解答题：本大题共2个小题，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱柱中，面，，，，，，， （1）求直线和所成角的余弦值； （2）若为的中点，求证：平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. （1）请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $