第四章指数函数与对数函数单元练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数单元练习题 一、单选题 1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．设函数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 6．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   7．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题，其中正确的命题是（    ） A．函数的最大值为 B．若，则的值为 C．函数的减区间是 D．已知，，，则的最小值为 10．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 11．已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题 12．已知，，用，表示代数式 ． 13．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且．则不等式的解集为 ． 四、解答题 15．计算下列各式： (1)； (2)已知，求的值. 16．城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 17．根据已知条件，求解下列各值 (1)已知，，且，求实数的值． (2)求值． 18．函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 19．已知函数． (1)求的值域； (2)求不等式的解集； (3)若的解集为R，求的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可. 【详解】令，由且可得且， 所以单调递减， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：B 2．D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 3．C 【分析】根据函数的性质判断函数在上单调递增，由零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， ，， 所以由零点存在性定理可知零点所在区间为. 故选：C. 4．A 【分析】根据分段函数解析式，结合对数与指数运算即可得答案. 【详解】因为 所以， 则. 故选：A. 5．A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 6．B 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 7．A 【分析】令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 8．A 【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 若二次函数在区间上单调递增，有，可得. 若函数单调递增，有. 若函数在上单调递增， 有，可得. 故选：A. 9．ABD 【分析】对于A选项，利用指数函数的单调性进行求解即可； 对于B选项，首先运用指对互化公式，再结合换底公式及对数的运算性质进行求解即可； 对于C选项，利用复合函数的单调性进行判断即可； 对于D选项，利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】对于A，因， 因为函数为减函数，故得，即A正确； 对于B，由，可得 则，故B正确； 对于C，由，可得，解得， 即函数的定义域为， 设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上为增函数， 故函数的减区间为，即C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，即D正确. 故选：ABD . 10．BD 【分析】根据对数型函数的定义域、复合函数的单调性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 11．AC 【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 12． 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13． 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数在指定区间上的最大值即可. 【详解】不等式在上恒成立， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 因此函数在R上单调递增，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果. 【详解】已知函数是定义在上的偶函数， 又，则不等式等价于， 函数在区间上单调递增，则， 所以，或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用根式的运算性质、指数的运算性质化简可得所求代数式的值； （2）利用平方关系可求出的值. 【详解】（1）原式. （2）因为，故，所以， 因为，故. 16．(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【详解】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 17．(1)； (2). 【分析】（1）由指对数关系及对数的运算性质有，结合已知求参数值； （2）由对数的运算性质化简求值. 【详解】（1）由，则，故，故； （2）. 18．(1) (2) 【分析】（1）化简函数为，令，得到，转化为，结合二次函数的性质，即可求解； （2）令，把不等式转化为对任意恒成立，分和，结合不等式的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由函数， 令，可得， 则函数即为函数， 可得函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. （2）令，可得， 则不等式对任意恒成立， 即为对于任意恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，即为恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 综上可得，实数的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，利用推导分式范围，得值域 （2）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，化简求解再还原 （3）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，分类讨论保证区间恒成立求参数范围. 【详解】（1）已知函数 ，即， 因为，所以，则, 因此，即的值域为 . （2），设 ()，不等式变为： ，化简得；， 展开右边并移项； 解得： 结合，得，即，因此. （3）令 ，，不等式变为，因式分解得， 所以，当时，不等式恒成立， 若，不等式解为，需， 若，不等式解为，需，即 ， 若，不等式为，不成立. 综上， a的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $