江苏省南京市玄武区2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.一个扇形的半径为，弧长为，其圆心角度数是(    ) A. B. C. D. 3.某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为，，，，，，，，，则这组数据众数数为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知，分别切于点、，，，那么弦的长是(    ) A. B. C. D. 第6题 第5题 6.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；方程有两个相等的实数根；方程的两根是，，其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共20分。 7.某公司一月份的产值为万元，二，三月份的产值总和为万元，设公司每月产值的平均增长率为，则可列方程为        ． 8.半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是        ． 9.在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期末成绩分别为分，分，则小颖本学期的学业成绩为        ． 10.抛物线对称轴是          ． 11.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为          ． 12.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是          ． 13.如图，、、是上的三点，且四边形是菱形．若点是圆上异于、、的另一点，则的度数是          ． 14.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是______． 15.如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点，，与边交于点，连接交于点，则的度数为          ． 16.如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为          ． 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； 用配方法解； 公式法； ． 18.本小题分 已知关于的方程有一个实数根是， 求的值； 求该方程的另一个根． 19.本小题分 已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数图象与轴没有公共点； 把该函数的图象沿轴向下平移______个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 20.本小题分 无锡一初中九年级有名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题： 本次抽取到的学生人数为______，图中的值为______； 本次调查获取的样本数据的众数为______分、中位数为______分； 根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于分的学生约有多少人？ 21.本小题分 请用直尺与圆规按要求完成下列作图． 如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． 请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和． 请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍 22.本小题分 如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为． 试判断直线与的位置关系，并说明理由； 若的半径为，，求线段的长． 23.本小题分 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为元件，每天销售件与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示． 求与之间的函数关系式； 如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 24.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：该二次函数的图像与轴总有两个公共点； 设该函数图像的顶点为，与轴交于、两点，与轴交于点，当的面积与的面积相等时，求的值． 25.本小题分 阅读下面的问题及解决途径． 结合阅读内容，完成下面的问题． 填写下面的表格． 将函数的图像沿轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为          ． 将函数是常数，的图像先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图像对应的函数表达式． 26.本小题分 已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．    知识回顾 如图，中，、位于直线异侧，． 求的度数； 若的半径为，，求的长； 逆向思考如图，为圆内一点，且，，求证：为该圆的圆心； 拓展应用如图，在的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【解答】 解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了弧长公式的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键． 设扇形对应的圆心角的度数为，根据弧长公式得出，求出即可． 【解答】 解：设扇形对应的圆心角的度数为， 则根据弧长公式得：， 解得：， 即圆心角的度数是， 故选C． 3.【答案】  【解析】本题主要考查了众数的定义，利用众数的定义找到出现次数最多的数可求得结果． 【详解】解：将数据由小到大进行排列为：，，，，，，，，， 最多，因此，这组数据的众数为． 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ，，， ， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：，分别切于点、， ， 又， 是等边三角形， ． 故选：． 根据切线长定理和等边三角形的判定方法，发现等边三角形即可求解． 此题综合考查了切线长定理以及等边三角形的判定和性质． 6.【答案】  【解析】解：由抛物线的对称性可知：与轴交于另一点为， ； 故正确； 由图象可知， ， ， 故正确； 抛物线的顶点， 方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根； 故正确； 由题意得：方程的两根为：，， 方程的两根是：或， ，， 故正确； 综上得：正确结论为：个． 故选：． 利用抛物线的对称性即可判断；利用对称轴公式即可判断；由顶点坐标即可判断；将替换，由方程的两根，，即可判断． 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值． 7.【答案】  【解析】解：由题意得：； 故答案为：． 根据该公司月平均增长率为结合一月份的产值是万元，第二个月的产值是元，第三个月的产值是元，二，三月份的产值总和为万元，即可得出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】或  【解析】解：设，， 有两种情况：如图，当和在的两旁时， 过作于，交于，连接，， ， ， 由垂径定理得：，， ， 由勾股定理得：， 同理， ， 当和在的同旁时， 由可得． 所以两条平行弦之间距离是或． 故答案为：或． 分两种情况进行讨论：弦和在圆心同侧；弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 9.【答案】分  【解析】解：她本学期的学业成绩为小颖本学期的学业成绩为： 分． 故答案为：分． 根据加权平均数的计算方法计算即可． 本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键． 10.【答案】直线  【解析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．利用对称轴公式，进行计算即可解答． 【详解】解：由对称轴公式可得： 对称轴是：直线， 故答案为：直线． 11.【答案】  【解析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案． 【详解】解：等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中， 平行四边形，圆是中心对称图形， 从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 13.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，则故可得出是等边三角形，所以，，据此可得出结论． 【解答】 解：连接， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ，． 故答案为或． 14.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大， ． 故答案为：． 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解． 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 连接、、，根据切线的性质求出，再求出，再在圆内接四边形中，求出，再根据内角和定理解答即可． 【详解】解：连接、、，如图，    与边分别相切于点， ， ， 正六边形的内角和为，每个内角为， ， 五边形的内角和为， ， ， 在圆内接四边形中， ， ， ， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】此题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等，把式子进行变形是解题的关键．过点作，连接，根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径． 【详解】解：设的半径为，过点作，连接， ，   是等腰直角三角形， ，   ， 在中，由勾股定理得， ， 解得或舍去， 的半径为． 故答案为：． 17.【答案】解：两边除以，得 ， 或， 解得：，； 移项，得 ， ， ， 或， 解得：，； ，，， ， ， ，； 移项，得 ， ， ， 或， 解得：，．  【解析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； 把方程化为，可得，再利用直接开平方法解方程即可； 先计算，再利用公式法解方程即可； 先移项再分解因式把方程化为，再解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 18.【答案】解：当时，原方程为， 解得：， 设方程的另一个实数根为， ， ． 方程的另一个根为，的值为．  【解析】代入可求出的值，再利用两根之和等于，即可求出方程的另一个根． 本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：，是方程的两根时，，，代入求出的值． 19.【答案】证明见解答；   ．  【解析】证明：， 方程没有实数解， 不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 解：， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是， 因此，这个函数的图象与轴只有一个公共点， 故答案为：． 求出根的判别式，即可得出答案； 先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． 本题考查了二次函数和轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．题目比较好．有一定的难度． 20.【答案】，；   ，；   我校九年级模拟体测中不低于分的学生约有人．  【解析】解：本次抽取到的学生人数为， ， 故答案为：，； 众数是分，中位数是分， 故答案为：，； 人， 答：我校九年级模拟体测中不低于分的学生约有人． 根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出的值； 根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的众数和中位数； 根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于分的学生约有多少人． 本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21.【答案】解：方法一：由尺规作图如下：线段即为所求作的直径； 如图所示，即为所求；   如图所示，即为所求．   【解析】画圆的一条弦，作弦的垂直平分线，与圆的交点构成的线段即为圆的直径； 分别作出两个圆的圆心、，确定出两个圆的半径、，再以、为直角边作直角三角形，最后以斜边为半径画，可知的面积为，即等于已知两个圆面积的和； 以为边长作等边，再作直角，与的延长线相交于点，最后以半径，点为圆心画，由三角形函数可知，可得的周长为，即的周长等于已知两个圆周长和的倍． 本题考查了作图复制作图，作圆及圆的直径，掌握圆的性质是解题的关键． 22.【答案】解：直线与相切，理由如下： 连结， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是的切线； 过作于， ， ，， ， ， ， 由知，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，， ， ．  【解析】本题考查切线的判定，垂径定理，勾股定理，以及菱形的判定与性质． 连结，根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义推出，进而可得出结论； 过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出四边形是菱形，得到，，进而可得出答案． 23.【答案】解：设， 将、代入，得：， 解得：， 则； 设每天获取的利润为， 则 ， 又， ， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．  【解析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质． 利用待定系数法求解可得； 根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解可得． 24.【答案】【小题】 证明：令，则， ， 该二次函数的图像与轴总有两个公共点； 【小题】 解：令，则，即， ， ， 的面积与的面积相等， ，即或， 解得或， 或．   【解析】  本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． 令，则，根据，作答即可；   令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 25.【答案】【小题】 解：设平移后新的函数图像上任意点的坐标为， 将点向右平移个单位长度得点 平移后的图像对应的函数表达式为：， 故答案为：，，； 【小题】 【小题】 解：将是常数，的图像先向左平移个单位长度， 得， 再沿轴翻折， 得， 即， 最后绕原点旋转， 得， 整理得：， 故答案为：． 答：所得到的图像对应的函数表达式．   【解析】  阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；   根据二次函数图像与几何变换，将换成，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论； 解：将二次函数的图像沿着轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是，即， 故答案为：；   利用图像向左平移、关于轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答． 26.【答案】【小题】 解：，， ， ． 连接，过作，垂足为，   ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ． 【小题】 证明：延长交圆于点，则，   ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 【小题】 证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 必有一个点的位置始终不变，点即为所求．   【解析】  根据，结合圆周角定理求的度数；构造直角三角形；   只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；   根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $