第22章《二次函数》复习题--二次函数综合应用 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

第22章《二次函数》复习题--二次函数综合应用 题型一：动点问题 1.如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．  D．   2.如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型二：线段问题 1.已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．已知点． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 3.已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 题型三：周长问题 1.已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 2.已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求的面积； (3)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 3.已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 题型四：面积问题 1.如图，已知二次函数的图象过点和． (1)求该二次函数的解析式； (2)C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，直线经过A，C两点，在抛物线上找一点P（异于点B），使得，求点P的坐标． 2.已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值； 3.如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积． 题型五：角度问题 1.如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 2.如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 3.如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型六：特殊三角形问题 1.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 2.如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 3.如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 题型七：特殊四边形问题 1.如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． (3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 1.如图，已知经过点和的抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． (1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标； (2)设直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接，，，求m的值； (3)若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，且，①求d关于t的函数解析式；②当时，直接写出t的取值范围． 2.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 3.在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围． (3)当点、到直线距离相等时，求的值． (4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 4.如图，在∆ABC中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 5.如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴． 7.已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 8.如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9.如图，抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当和时，y的值相等，直线与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M． (1)求顶点M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式． (2)P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，连接，设，四边形的面积为S， ①求S与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围． ②当t为何值时，四边形的面积最大，求出这个最大值． 10.已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 11.如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 12.已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； 13.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)求四边形面积的最大值； (3)设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 14.如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． (1)①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； (2)若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； (3)若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 15.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 16.抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得三角形的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 B， C 重合），过点 P 作 轴于点 D，交 于点 E．设点 P 的横坐标为 m，求线段 的最大值及此时点 P 的坐标． 参考答案 题型一：动点问题 1.A 【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为． 综上，选项A的图象符合题意， 故选：A． 2.C 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 3.B 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 题型二：线段问题 1.（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 2.（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为． 3.（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 题型三：周长问题 1.（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 2.（1）解：将、、代入抛物线中，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式：； （2）解：∵抛物线的解析式：； ∴：， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、)代入上式，得： ， 解得：， ∴直线的函数关系式， 设直线交抛物线对称轴于点N， ∴当时，， ∴． ∴，， ∴； （3）解：连接，直线与直线的交点为P； ∵点A、B关于直线l对称， ∴， ∴， 的周长为，当、、三点共线时，最小，即的周长最小。 ∵直线的函数关系式， 当时，，即P的坐标； 3.（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 题型四：面积问题 1.（1）解：二次函数的图象过点和， ， ， ； （2）由题可得，抛物线对称轴为， C为点B关于抛物线的对称轴的对称点，， ， 直线过点，两点， ， 解得：， ， 在抛物线上， 设点， 由已知条件可得：， 当点在上方时，即，过点作轴，交直线于点， ， ， ， ， ， ，， 与不重合， 舍去， ，， ； 当点在直线下方，即或时， 当时，，，共线，不符合题意； 当时， ， ， ， , 或， ， ， ， ； 综上所述：或． 2.（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为． 3.（1）解：∵抛物线与轴交，， ∴抛物线的解析式为； 当时，； ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 由题意得：，， ∴； ∵， ∴当时，； 此时，，即； （3）解： ． 题型五：角度问题 1.（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， ，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 2.（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 3.（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 题型六：特殊三角形问题 1.（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2.（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 3.（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 题型七：特殊四边形问题 1.（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 2.（1）解：对于，令，则， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， ∴直线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴当的面积最大时，点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 由（）知，由（）知点的横坐标为， 设点的坐标为， 分三种情况： 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 3.（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在令，得或， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，且 ∴， 在线段上取点，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，的最小值为． （3）解：∵直线都经过，两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意可知，， 若点，，，是平行四边形的四个顶点，则， 设，则， 若点在点的上方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， 若点在点的下方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 题型八：二次函数与其他知识交汇综合 1.（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为直线， ∴点的坐标为． （2）解：设与对称轴交于点，则，， ∵点与点关于抛物线对称轴对称，，轴 ∴∆CDF是等腰直角三角形，， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：①∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴，，抛物线对称轴方程为，直线的方程为， ∴， ∵点在轴右侧的抛物线上运动，， ∴当时，； 当时，； 当时，， ∴与之间的函数关系式为； ②如图： 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， 当时，，解得：或（舍去）， ∴当时，的取值范围为或或． 2.（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 3.（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴Q不在对称轴直线左侧，即，解得：， ∴此时m范围是； ②当，即时，Q在P左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴，解得：， ∴此时m范围是． 综上，m的范围是或． （3）解：在中，令得， ∴， 在中，令，得：， ∴， ∵点P、Q到直线距离相等， ∴， ∴或，解得：或（此时P，Q重合，舍去）或． ∴m的值为4或． （4）解：在中，令得：，解得或， ∴抛物线与直线交点为， ①当，即时，A在B左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：； ②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在； ③当，即时，B在A左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：． 综上所述，m的范围是或． 4.（1）解：根据题意得：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：的面积 ， 解得：或4， 即当秒或4秒时，的面积是； （3）解：， ∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是． 5.（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 6.（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，则， 故点C的坐标为； （2）解：过点P作y轴的平行线交于点H， 设直线的表达式为， 把，代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点H的坐标为， 则， 解得， 故点P的横坐标为或； （3）解：， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 故设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位， 则平移后的抛物线为， 原抛物线在时，取得最大值， ∴当时，平移后的抛物线必定也在时取得最大值， 即， 解得（舍去负值）， 故抛物线L的对称轴为直线． 7.（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 8.（1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 9.（1）解：∵当和时，y的值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点M的横坐标为1， 又∵顶点M在直线上， ∴将代入得 ∴， 把代入得， ∴设抛物线对应的函数解析式为， 将点的坐标代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为，即； （2）①∵， ∴将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得或， ∴，， ∴设直线对应的函数解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵P为线段上一点（P不与点重合），作轴于点Q，， ∴， ∴， ∵P为线段上一点（P不与点重合）， ∴， ∴S与t的函数解析式为； ②∵， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为． 10.（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴C点的坐标为． 将点B、C的坐标分别代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．    ∵，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点E的坐标是； （3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为． ∵，， ∴， 即．m的取值范围是． 将化成顶点式为． ∴当时，S有最大值，． 11.（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 12.（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； 13.（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 令， 解得， ∴点B的坐标， 设直线的解析式为， 把，B的坐标代入，得， 解得 所以直线的解析式为． （2）解：∵轴，点P的横坐标为m． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形面积， ， ∵， ∴有最大值， ∴当时，最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴，，； 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， 解得， ∴； ③当时，， ∴， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、或． 14.（1）解：①把分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 故答案为： ②∵， ∴顶点D的坐标为； 故答案为： ③设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 对于，当时，， ∴点C的坐标为， 即， ∴四边形面积， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵点C的坐标为， ∴点M的纵坐标为3， 对于，当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为． 15.（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 16.（1）解：将，代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为：． （2）解：存在点M，使的周长最小，理由如下： 连接交抛物线对称轴于M，连接，如图： ∵得抛物线对称轴是， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当B、M、C共线时，最小，此时也最小， 故此时的周长最小 设直线为，将，代入得： ， 解得：， 直线解析式为：， 令时，得， ． （3）解：如图， 设 ，则 ， ． ∵， 当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $