山东省泰安市南关中学2025-2026学年上学期12月份阶段性检测九年级数学试题

泰安市南关中学2025-2026学年12月份阶段性检测九年级上 一、单选题 1．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 5．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为（    ） A．-5 B．-6 C． D． 8．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 10．若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 11．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 12．在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 13．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 16．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 二、填空题 17．已知：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，则该二次函数的表达式为 ． 18．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为 件（用含x的代数式表示）． 19．如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 20．若函数与的图象交于点，则的值为 ． 21．如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是 ．（填写序号） 22．如图，在平面直角坐标系中，等腰，，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数的图象与交于点C，连接，若，面积为8，则k的值为 ． 三、解答题 23．计算： (1)； (2)． 24．一辆车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，端点为和． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度为，则汽车通过该路段需多少时间？ 25．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． (1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ (2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 26．小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 28．如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）： ①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由； ②求出面积的最大值及此时的点的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：俯视图为： 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行整理即可． 【详解】解：向右平移2个单位，得： ， 再向上平移3个单位，得： 所得的抛物线的函数关系式为 ， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解一元二次方程，通过求解二次方程得到抛物线与x轴的交点横坐标，然后代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A和B， ∴令，得， 解得或，即或， ∴或， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选：B 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 7．B 【分析】作AE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，证明△BOF∽△OAE，根据相似比求出BF的长度，即可求得B点的坐标，再把B点代入，即可得到k的值. 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴. 过点作轴于点，过点作轴于点. ∵点在反比例函数的图象上， ∴可设点的坐标为， ∴，. 易知， ∴，即， ∴. 同理，， ∴点的坐标为. 把的坐标代入，得. 故选择：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及反比例函数的定义，解题的关键是由相似三角形性质得到边的关系． 8．B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 9．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的范围，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数中，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：A． 11．B 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 13．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故①错； ， ，故②对； 图象与轴两个交点， △，即，故③对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤错；共三个对， 故选：C． 14．B 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 15．A 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 16．D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 17． 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用二次函数的对称轴公式求出参数，再代入已知点坐标求出参数． 【详解】解：由二次函数的对称轴公式，其中，对称轴为， 得：， 解得：， 将和点代入函数解析式， 得：， 解得：， 故函数解析式为， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的实际应用等知识点．掌握借助二次函数解决实际问题的方法是解题的关键． 先求出销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系式，设销售量为a，则，然后代入求解即可． 【详解】解：由函数的图象可知点和点满足解析式， ∴，解得：， ∴， 设销售量为a，则， 即，解得：， 即这种工艺品的销售量为件． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求代数式的值，由交点坐标满足两个函数解析式，可得和，进而代入表达式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21．①④ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，理解题意根据题意列式是解题的关键； 根据顶点式的特点可知，排球运行的最大高度为，由此即可判断①；求出当时，的值，再与进行比较，即可判断②；求出当时，的值，再与比较，即可判断③、④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故①正确； ∵在中，当时，， ∴球会过球网，故②错误； ∵在中，当时，， ∴球会过球网且会出界，故③错误；④正确； 故答案为：①④． 22． 【分析】本题主要考查待定系数法求解反比例函数关系式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数关系式等知识的综合运用，求解点坐标是解题的关键．分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E，证明，可得，利用等腰直角三角形的性质设，则，结合三角形的面积可求得a值，即可求得的长及A，B两点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式，即可求出点C坐标，再将点C代入反比例函数关系式可求得k值． 【详解】解：分别过B，C两点作轴，轴，垂足分别为D，E， ． ， ． ． ， ． ． ． 在等腰，， ． 轴， ． 设，则， ，， ． 解得，（舍去） ，． ． ，． 设直线的解析式为， 则， 解得． ． 当时，． 解得，即． ． 将代入中， ． 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）将点代入，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值； （2）求出时的t值即可． 【详解】（1）解：由题意得，函数经过点， ，得， ∴函数关系式为： 把代入，得； （2）解：当时，． 答：汽车通过该路段需． 25．(1)当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 (2)每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． （2）解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 27．(1) (2)，或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键． （1）把点代入求得，把代入得到的值即可； （2）解方程组得到，于是根据函数图象可得到不等式的解集； （3）设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， ， ∴， 把代入得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得 解得或， ∴， ∴由函数图象可知不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，， ， ， 解得， ∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C． ∴， ∴． 28．(1) (2)①为直角三角形，理由见解析；②面积的最大值，此时 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求二次函数解析式，二次函数与直角三角形，二次函数与面积综合； （1）把代入计算即可； （2）①设直线下方的抛物线上有一点动点，过作轴于，先求出，当点M是抛物线的顶点，，此时，得到，再结合，得到，即可得到为直角三角形； ②由结合得到，当时，最大，此时． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：令，解得， ∴，， ∴， 设直线下方的抛物线上有一点动点， 过作轴于， ①为直角三角形，理由如下： ∵的顶点，点M是抛物线的顶点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； ②∵在直线下方， ∴，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $