题型08 磁场 带电粒子在磁场中的运动（题型专练）（山东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

题型08 磁场 带电粒子在磁场中的运动目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 磁场的叠加 安培力作用下的平衡 考向02 带电粒子在有界磁场中的运动 考向03 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向04 带电粒子在叠加场中的运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 磁场和带电粒子在磁场中的运动是高中物理电磁学的核心内容之一，也是高考中考查频次较高、综合性较强的重点题型。该部分知识将力学与电磁学深度融合，要求学生具备较强的空间想象、数学建模与综合分析能力，是区分学生物理素养与逻辑思维的关键考点之一。 该部分涵盖四大考向：磁场的叠加与安培力平衡、带电粒子在有界磁场中的运动、在组合场与叠加场中的运动。在高考中，常以选择题、计算题或压轴综合题的形式出现，综合考查学生对洛伦兹力、圆周运动、几何关系及能量守恒等知识的掌握程度。解题方法上，突出“定圆心、找半径、画轨迹”的几何分析法，并结合运动合成与分解、函数极值等方法。 学生在本部分常见失误包括：洛伦兹力方向判断错误、轨迹圆心与半径确定不准、几何关系建立不当、组合场中运动过程分析混乱、叠加场中受力与运动状态对应不清等。建议复习时强化空间构图训练，重视典型模型（如圆形、直线边界磁场）的归纳，提升多过程问题的分段分析能力。 考向01 磁场的叠加 安培力作用下的平衡 【例1-1】（2025·福建·高考真题）如图，两根长直细导线L1、L2平行放置，其所在平面上有M、O、N三点，为线段MN的中点，L1、L2分别处于线段OM、ON的中垂线上。当、通有大小相等、方向相反的电流时，、点的磁感应强度大小分别为、。现保持L1的电流不变，撤去L2的电流，此时N点的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·广东·高考真题）（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（    ） A．线圈电阻为 B．I越大，表明m越大 C．v越大，则E越小 D． 1.磁感应强度的叠加 (1)根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向。 (2)磁场中某点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。 (3)磁感应强度是矢量,多个通电导体产生的磁场叠加时,合磁场的磁感应强度等于场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。 2.安培力的作用 (1)安培力公式：F＝ILBsin θ。 (2)弯曲通电导线的有效长度 ①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。 ②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。 (3)安培力方向的判断 ①判断方法：左手定则。 ②方向特点：既垂直于B，也垂直于I，所以安培力一定垂直于B与I决定的平面。 (4)通电导线在磁场中的平衡和加速问题的分析思路 ①选定研究对象。 ②变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意 F安⊥B、F安⊥I；如图所示。 ③列平衡方程。 【变式1-1】（2025·河南许昌·模拟预测）如图所示，两根长直的通电导线M、N，分别通有竖直向上的电流和水平向右的电流，且，直线电流在周围空间产生的磁场与距离的关系为，I为电流，r为周围空间的点到长直导线的距离，k为比例系数。在空间施加一垂直于纸面向里的匀强磁场，当磁感应强度大小为时a点的磁感应强度为0。已知a点到通电导线M、N的距离分别为2r、r，b点到通电导线M、N的距离分别为r、2r。则下列说法正确的是（   ） A．通电导线M在a点的磁感应强度大小为 B．通电导线N在a点的磁感应强度大小为 C．b点的磁感应强度大小为 D．通电导线M、N在b点的磁感应强度大小为 【变式1-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，由两长均为12L、阻值均为R的相同硬质导线制成的正三角形线框M和正方形线框N，水平桌面上有一质量为m的物块，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，细线一端系在框M、N一边的中点，另一端跨过光滑定滑轮系在物块左右两侧，桌面上方细线水平。矩形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度随时间均匀增加的均匀磁场，磁感应强度随时间的变化规律为，k为常量。磁场区域下边界经过框M、N两边的中点。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。时系统静止且细线伸直，经过多长时间物块开始滑动（　　） A． B． C． D． 考向02 带电粒子在有界磁场中的运动 【例2-1】（2025·甘肃·高考真题）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【例2-2】（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 1.基本公式: ①向心力公式:qvB=m。②轨道半径公式:r=。③周期公式:T=。④运动时间公式:t=T。 2.确定圆心和半径： 圆心确定：①与速度方向垂直的直线过圆心；②弦的垂直平分线过圆心；③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 半径确定：利用平面几何知识求半径。 3.带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中,若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长) 【变式2-1】（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·福建·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和α粒子（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为。质子和α粒子的动能之比为（　　） A． B． C． D． 考向03 带电粒子在组合场中的运动 【例3-1】（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【例3-2】（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.常见的两类组合场问题 （1）先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 （2）先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变化规律如图（b）所示，电场方向由指向时为正方向。在上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ，下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为且磁场区域足够大。在的中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为、电荷量为、速度方向与垂直、大小为的电子。上有一电子吸收板。已知，，，，，，且电子重力不计。 (1)若时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过的中点，求的大小； (2)若所有从电子源发出的电子都不会从和边界进入磁场，请求出满足该情况的的取值范围； (3)若，求时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置； (4)现保持电场强度不变，方向向上，从中点射出的电子恰好经过的中点，电子源从的中点匀速缓慢向靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。 【变式3-2】（2025·山东济南·模拟预测）如图所示，在坐标系的空间内充满匀强电场，电场强度大小为，方向平行于平面，与轴正方向夹角为斜向下；在的空间内充满匀强磁场，方向垂直于平面向外。一质量为，电荷量为的粒子从坐标原点，沿轴正方向以速率射入电场，然后经过轴上A点进入磁场，当再次返回电场时，恰好经过坐标原点。不计粒子重力，求 (1)粒子通过轴上A点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第次从磁场进入电场时的横坐标。 考向04 带电粒子在叠加场中的运动 【例4-1】（2025·海南·高考真题）（多选）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【例4-2】（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 1.带电粒子在叠加场中运动的解题思路 2.配速法几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 【变式4-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图所示，在x轴的左侧的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域内存在半径为d的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，圆与y轴相切于原点O。在x轴的右侧有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，足够长的荧光屏MN平行于x轴，与x轴的距离为d。质量为m、电荷量为的粒子在直线的某处由静止释放，经P点（直线与磁场边界相切于P点）进入磁场，从原点O进入第一象限，粒子恰好能到达荧光屏上。不计粒子重力。 (1)求y轴左侧匀强电场的电场强度大小E。 (2)求y轴右侧匀强电场的电场强度大小。 (3)若y轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小随时间的变化关系如图乙所示，且撤去荧光屏求粒子第二次通过x轴的位置与O点的距离（O点记为第零次）。 【变式4-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强电场，电场强度大小为（未知）。在第一象限内方程为的虚线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。区域II存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向进入电场，由点以大小为的速度垂直于轴进入区域，后经虚线上的点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)两点间的电势差和匀强电场电场强度的大小； (2)粒子由点到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 1．（2025·河南·模拟预测）如图所示的正六边形abcdef，O点为正六边形的中心，g为aO的中点。现在a、O两点垂直纸面固定两长直导线甲、乙，两导线中通有恒定电流，g点的磁感应强度方向垂直aO向下、磁感应强度大小为，d点的磁感应强度大小为0。已知长直通电导线在周围空间产生的磁感应强度为，I为导线中的电流大小，r为空间某点到直导线的距离。下列说法正确的是（　　） A．导线甲、乙中的电流均垂直纸面向外 B．导线甲、乙中的电流之比为2：1 C．c、e两点的磁感应强度相同 D．b点的磁感应强度大小为 2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图所示为硬通电直导线a、b的截面图，二者平行且长度相同，a导线固定在O点正下方的地面上，b导线通过绝缘细线悬挂于O点，已知Oa=Ob，a导线通以垂直纸面向里的恒定电流，b导线通过细软导线与电源相连（忽略b与细软导线之间的相互作用力）。开始时，b导线静止于实线位置，Ob与竖直方向夹角为θ，将b中的电流缓慢增加，b缓慢移动到虚线位置再次静止，虚线与Ob夹角为θ（2θ<90°）。通电直导线的粗细可忽略不计，b导线移动过程中两导线始终保持平行。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小的计算公式为，式中I为导线上的电流大小，r为某点距导线的距离，k是常数。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．b缓慢移动的过程中，细线对b的拉力逐渐变小 B．b缓慢移动的过程中，细线对b的拉力逐渐变大 C．b静止在实线位置时和在虚线位置时，其电流强度之比大于1:4 D．b静止在实线位置时和在虚线位置时，其电流强度之比等于1:4 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）（多选）如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 4．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）如图，以f为圆心、半径为m的四分之三圆弧区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度T。一群不计重力、质量kg、电荷量C的带电粒子垂直于Oa边以m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（　　） A．若粒子带正电，所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．若粒子带正电，所有粒子出射点都在b点 C．若粒子带负电，所有粒子出射点都在e点 D．所有粒子在磁场中运动的最长时间为s 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平桌面上有边长为的正方形区域，区域内存在竖直向下的匀强磁场，在边的中点有一粒子发射源，可以沿与成角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为，磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 B．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小满足 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图所示，边长为L的正三角形ACD区域内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在AC边上的O点有一粒子源，沿平行CD方向向磁场内连续射入各种速率、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，O点到A点距离为，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．粒子不可能通过D点 B．粒子速度为时，粒子从CD边射出磁场 C．CD边有粒子射出磁场部分的长度为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆柱区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度。现有一簇粒子以速度，方向竖直向上垂直磁场进入柱形区域（粒子的射入范围等于柱形区域的直径且分布均匀，但是粒子进入矩形磁场时分布不均匀），粒子的比荷，不考虑粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．射入柱形区域的粒子均由点射入矩形区域 B．进入矩形区域的粒子在边射出的长度为 C．进入矩形区域的粒子运动的最长时间为 D．由边射出的粒子数与进入矩形区域的粒子数之比为 9．（2025·湖北·二模）（多选）匀强磁场B水平向左，一带正电的粒子以速度进入磁场，初速度方向与磁场反方向夹角为，已知粒子质量为m，电荷量为q，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正确的是（　　） A．螺旋的半径为 B．相邻两螺旋间距为 C．带电粒子在运动时加速度大小不变 D．若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值 10．（2025·山西·二模）（多选）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为 B．若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为 C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为 D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于的粒子占总粒子数的 11．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 12．（2025·广东·模拟预测）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 13．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空室中y轴右侧存在n个连续排列的圆形边界匀强磁场，圆心均位于x轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度大小均为B。其中第1、3、5…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，第2、4、6…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向外。第1个磁场左侧与y轴相切，第n个磁场右侧与一接收屏相切，接收屏与x轴垂直，第n个磁场方向图中未画出。在磁场上方存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为E、沿y轴负方向，磁场下方亦存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为2E、沿y轴正方向，两电场边界均与磁场圆形边界相切。某种带正电的粒子比荷为，以下列所述情况在电、磁场中运动，不计粒子重力，不考虑粒子间相互作用。 (1)若将粒子从上方电场某处由静止释放，恰好在处进入磁场并从处射出，求粒子在电场中释放位置的坐标； (2)若在坐标原点O处放置一粒子源，能向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y轴方向发射的粒子）上述粒子，射出的速度大小均为，求粒子通过第一个磁场空间的最大偏转角； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为，其余条件不变，求在所有粒子中，粒子从被发射至到达接收屏所用的最短时间。 14．（2025·陕西渭南·模拟预测）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。 (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)在（2）条件下，电子以速度沿方向进入磁场，经过第个区域磁场用时多少。 15．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，竖直虚线左方区域有水平向右的匀强电场，虚线右方区域有垂直于纸面向里的匀强磁场。距离虚线左侧d处有A、B两点，一质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从A点以初速度竖直向上飞出，进出磁场后，又竖直向上通过B点，该过程中的竖直速度，和水平速度的变化关系如图2所示，该图像包括一条直线和一段圆心在O点的圆弧，图像与y轴的交点为和，已知A、B两点间距为h＝5d。不计空气阻力及粒子重力。 (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)若该粒子从A点以速度竖直向下飞出，长时间来看，粒子将向下或向上漂移，求漂移速度大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）。 16．（2025·浙江湖州·一模）为探究带电粒子对探测板的作用力，探究小组设计的一实验装置如图所示，粒子源S、加速器出口、速度选择器中线CD、x轴位于同一水平线上。坐标系的第Ⅰ象限全部和第Ⅳ象限部分区域内存在有界磁场，边界OM满足。探测板PQ与x轴平行，P点在y轴上，位置可调，PQ长度为l。粒子源S正对加速器出口，单位时间释放N0个粒子，粒子初速度大小连续分布在0和之间，经加速后从C点射入速度选择器，从D点射出后均从O点沿x轴正方向射入磁场，在磁场中偏转后射出边界OM，打到探测板PQ上的粒子均匀分布在探测板上并被探测板吸收。其中，初速度为0的粒子恰好沿中线CD射出速度选择器。已知粒子的质量为m，电荷量为−q（q>0），加速电压为，速度选择器内的磁场和有界磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2，方向垂直纸面向里，。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，粒子不会与速度选择器的极板碰撞。 (1)求速度选择器电场强度的大小E； (2)求速度选择器间的极板长度L的可能值； (3)调节探测板位置，稳定后，求粒子对探测板的平均作用力竖直分量的最大值Fm及对应的探测板位置y轴坐标。（该问结果用字母N0、q、B2和l表示） 17．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在竖直平面内存在直角坐标系，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度为，第一象限有水平向右的匀强电场，电场强度为。在第一象限内，处有水平绝缘平台，右端与半径为的光滑绝缘竖直半圆弧轨道平滑连接，相切于点，为其最高点。质量为、带正电的可视为质点的小球从轴上某点以与轴负半轴成、大小的速度射入第二象限，恰好做匀速直线运动。现在第二象限内小球运动的某段路径上加上垂直于纸面向外的圆形边界的匀强磁场，磁感应强度，小球经过磁场区域后恰好水平向右运动，垂直于轴从点无碰撞进入第一象限并沿平台方向运动，已知小球与平台的动摩擦因数，平台的长度，重力加速度，不计空气阻力，结果可用根号表示。求： (1)电场强度的大小； (2)小球第一次从点落到平台上的位置与点的距离； (3)所加圆形磁场区域的最小面积。 18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图（a），在第Ⅲ象限加速区内有沿轴负方向的匀强电场，场强大小可在范围内调节。在第Ⅱ象限偏转区内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度随的变化而变化。在第Ⅰ象限检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为的检测板。在处有一离子源，可连续释放质量为、电荷量为的静止离子。离子经坐标为的小孔进入检测区，打在检测板上。不计离子的重力及离子间的相互作用。 (1)离子从孔进入检测区，求磁感应强度随场强变化的关系式。 (2)检测区内有沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。将检测板左端放在孔上沿，调整板面与轴正方向的夹角使板上收集到离子的记录线最长。求此记录线的长度及该夹角的正弦值。 (3)如图（b）所示，若轴右侧有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小的变化规律为（为大于零的常量），检测板与轴平行，并可沿轴平移。求检测板能收集到离子时的最大坐标。 19．（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 20．（2025·山东烟台·三模）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场的上边界是以为圆心、半径为R的圆弧，下边界是以为圆心、半径为的圆弧；第四象限内存在沿着x轴正方向、大小的匀强电场，第三象限内同时存在沿着y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，其中电场强度大小为，磁感应强度的大小也为。一个质量为m、电荷量为的粒子以大小为的速度从y轴上的点正对圆心方向射入第一象限的磁场中，离开磁场后进入第四象限的电场之中，然后从y轴上的Q点离开电场进入第三象限的电磁场中，不计粒子的重力，忽略粒子对电磁场的影响，求： (1)粒子进入第四象限时的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)Q点的纵坐标； (3)粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间； (4)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型08 磁场 带电粒子在磁场中的运动目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 磁场的叠加 安培力作用下的平衡 考向02 带电粒子在有界磁场中的运动 考向03 带电粒子在组合场中的运动【重难】 考向04 带电粒子在叠加场中的运动【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 磁场和带电粒子在磁场中的运动是高中物理电磁学的核心内容之一，也是高考中考查频次较高、综合性较强的重点题型。该部分知识将力学与电磁学深度融合，要求学生具备较强的空间想象、数学建模与综合分析能力，是区分学生物理素养与逻辑思维的关键考点之一。 该部分涵盖四大考向：磁场的叠加与安培力平衡、带电粒子在有界磁场中的运动、在组合场与叠加场中的运动。在高考中，常以选择题、计算题或压轴综合题的形式出现，综合考查学生对洛伦兹力、圆周运动、几何关系及能量守恒等知识的掌握程度。解题方法上，突出“定圆心、找半径、画轨迹”的几何分析法，并结合运动合成与分解、函数极值等方法。 学生在本部分常见失误包括：洛伦兹力方向判断错误、轨迹圆心与半径确定不准、几何关系建立不当、组合场中运动过程分析混乱、叠加场中受力与运动状态对应不清等。建议复习时强化空间构图训练，重视典型模型（如圆形、直线边界磁场）的归纳，提升多过程问题的分段分析能力。 考向01 磁场的叠加 安培力作用下的平衡 【例1-1】（2025·福建·高考真题）如图，两根长直细导线L1、L2平行放置，其所在平面上有M、O、N三点，为线段MN的中点，L1、L2分别处于线段OM、ON的中垂线上。当、通有大小相等、方向相反的电流时，、点的磁感应强度大小分别为、。现保持L1的电流不变，撤去L2的电流，此时N点的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据安培定则，两导线在O点处产生的磁感应强度方向相同大小相等，则单个导线在O点处产生的磁感应强度大小为根据对称性，两导线在N处的磁感应强度大小应该与M点一样，为B1根据对称性，L2在N点处产生的磁感应强度为由于L2在N点处产生的磁感应强度大于L1在N点处产生的磁感应强度，且方向相反，将L2撤去，N点的磁感应强度为。故选A。 【例1-2】（2025·广东·高考真题）（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（    ） A．线圈电阻为 B．I越大，表明m越大 C．v越大，则E越小 D． 【答案】BD 【详解】A．根据题意电动势E是线圈断开时切割磁感线产生的感应电动势，I为线圈闭合时通入的电流，故不是线圈的电阻；故A错误； B．根据平衡条件有①故可知I越大，m越大；故B正确； C．根据公式有②故可知v越大，E越大；故C错误； D．联立①②可得故D正确。故选BD。 1.磁感应强度的叠加 (1)根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向。 (2)磁场中某点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。 (3)磁感应强度是矢量,多个通电导体产生的磁场叠加时,合磁场的磁感应强度等于场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。 2.安培力的作用 (1)安培力公式：F＝ILBsin θ。 (2)弯曲通电导线的有效长度 ①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。 ②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。 (3)安培力方向的判断 ①判断方法：左手定则。 ②方向特点：既垂直于B，也垂直于I，所以安培力一定垂直于B与I决定的平面。 (4)通电导线在磁场中的平衡和加速问题的分析思路 ①选定研究对象。 ②变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意 F安⊥B、F安⊥I；如图所示。 ③列平衡方程。 【变式1-1】（2025·河南许昌·模拟预测）如图所示，两根长直的通电导线M、N，分别通有竖直向上的电流和水平向右的电流，且，直线电流在周围空间产生的磁场与距离的关系为，I为电流，r为周围空间的点到长直导线的距离，k为比例系数。在空间施加一垂直于纸面向里的匀强磁场，当磁感应强度大小为时a点的磁感应强度为0。已知a点到通电导线M、N的距离分别为2r、r，b点到通电导线M、N的距离分别为r、2r。则下列说法正确的是（   ） A．通电导线M在a点的磁感应强度大小为 B．通电导线N在a点的磁感应强度大小为 C．b点的磁感应强度大小为 D．通电导线M、N在b点的磁感应强度大小为 【答案】C 【详解】A．对a点由磁场叠加可知解得可知通电导线M在a点的磁感应强度大小为，A错误； B．通电导线N在a点的磁感应强度大小为，B错误； C．b点的磁感应强度大小为，C正确； D．通电导线M、N在b点的磁感应强度大小为，D错误。故选C。 【变式1-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，由两长均为12L、阻值均为R的相同硬质导线制成的正三角形线框M和正方形线框N，水平桌面上有一质量为m的物块，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，细线一端系在框M、N一边的中点，另一端跨过光滑定滑轮系在物块左右两侧，桌面上方细线水平。矩形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度随时间均匀增加的均匀磁场，磁感应强度随时间的变化规律为，k为常量。磁场区域下边界经过框M、N两边的中点。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。时系统静止且细线伸直，经过多长时间物块开始滑动（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据法拉第电磁感应定律 对于正三角形线框M，其有效面积 则感应电动势产生的感应电流大小为 对于正方形线框N，其有效面积 则感应电动势产生的感应电流大小为 根据安培力公式可得线框M受到的安培力 线框N受到的安培力当物块开始滑动时，根据物块受力平衡有即解得故选B。 考向02 带电粒子在有界磁场中的运动 【例2-1】（2025·甘肃·高考真题）（多选）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，根据a粒子的速度大小为可得设外圆半径等于,由几何关系得则，A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间，a粒子做匀速圆周运动的周期在磁场中运动的时间匀速直线运动的时间故a粒子返回A点所用的最短时间为，B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得洛伦兹力提供向心力有联立解得，D正确。故选BD。 【例2-2】（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有可得 （2）粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到的距离，结合，根据几何关系可知；粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有解得根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 （3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间粒子在右边磁场运动的时间 根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离 所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为 粒子在MN和PQ之间运动的时间 综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为 1.基本公式: ①向心力公式:qvB=m。②轨道半径公式:r=。③周期公式:T=。④运动时间公式:t=T。 2.确定圆心和半径： 圆心确定：①与速度方向垂直的直线过圆心；②弦的垂直平分线过圆心；③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。 半径确定：利用平面几何知识求半径。 3.带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,弧长(或圆心角小于180°时的弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中,若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长) 【变式2-1】（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得粒子运动的半径为 运动的周期为 粒子进入磁场如图 粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有时间最长对应圆心角最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示， 此时，即，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故选A。 【变式2-2】（2025·福建·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，圆心为O，质子（）和α粒子（）先后从边界上P点沿半径方向飞入磁场。只考虑洛伦兹力作用，它们在磁场中运动的时间相同，α粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为。质子和α粒子的动能之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设磁感应强度垂直纸面向外，大小为B，质子的质量和带电荷量分别为m、q，则α粒子的质量和带电荷量分别为4m、2q，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期公式为 所以质子和α粒子在磁场中做圆周运动的周期之比为设质子和α粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角分别为θp和θα，轨迹半径分别为rp和rα，它们在磁场中运动的时间相等，有所以 作出两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，由题意知可求得设它们的速度分别为vp和vα，由洛伦兹力提供向心力有可得动能质子和粒子的动能之比， 故选A。 考向03 带电粒子在组合场中的运动 【例3-1】（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有解得由牛顿第二定律有解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得则粒子在电场中的运动时间为沿电场方向上，由牛顿第二定律有由运动学公式有联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为由几何关系可得则 粒子在磁场中的运动时间为则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 【例3-2】（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知可得且由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有联立得当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有当有最大值时，最大，R最大，此时，又，联立可得， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有由牛顿第二定律知又联立得 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.常见的两类组合场问题 （1）先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 （2）先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变化规律如图（b）所示，电场方向由指向时为正方向。在上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ，下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为且磁场区域足够大。在的中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为、电荷量为、速度方向与垂直、大小为的电子。上有一电子吸收板。已知，，，，，，且电子重力不计。 (1)若时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过的中点，求的大小； (2)若所有从电子源发出的电子都不会从和边界进入磁场，请求出满足该情况的的取值范围； (3)若，求时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置； (4)现保持电场强度不变，方向向上，从中点射出的电子恰好经过的中点，电子源从的中点匀速缓慢向靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）电子到达吸收板时所需时间为 到时间内，类平抛运动满足 解得 （2）若不出电场，在水平方向向右做匀速直线运动，到达吸收板时所需的时间为 所有电子中时刻发出的电子在向上或向下的方向上有最大的位移，且 解得 （3）0时刻射出的粒子，经过后，方向位移满足 说明粒子恰好从的中点射出，射出瞬间方向速度满足 速度偏转角满足 可得 故合速度及入射角为 因此由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周。 电子在磁场中做匀速圆周运动，有洛伦兹力提供向心力 又有时间满足 联立解得， 故有， 电子重新进入电场后在水平方向向右做匀速直线运动，有 所以电子在电场中运动时电场方向为正方向，且方向未发生变化。因此电子向上做匀加速直线运动，有 因此电子不会进入磁场区域Ⅰ，直接打在吸收板距点的距离为处。 （4）假设在电场中加速时间为的电子恰好打在点，在电场中运动的水平位移 进入磁场时竖直方向的速度 由第三问可得 进入磁场后 电子从进入磁场到到达点 又有 联立解得 射出的电子在电场中竖直方向运动的距离 上方电子射出，下方电子打到吸收板电子占射出总电子的百分比 【变式3-2】（2025·山东济南·模拟预测）如图所示，在坐标系的空间内充满匀强电场，电场强度大小为，方向平行于平面，与轴正方向夹角为斜向下；在的空间内充满匀强磁场，方向垂直于平面向外。一质量为，电荷量为的粒子从坐标原点，沿轴正方向以速率射入电场，然后经过轴上A点进入磁场，当再次返回电场时，恰好经过坐标原点。不计粒子重力，求 (1)粒子通过轴上A点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第次从磁场进入电场时的横坐标。 【答案】(1)(2)(3)（n=1，2，3…） 【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示 在电场中，粒子在轴方向上做匀加速直线运动，则有， 粒子在y轴方向上做匀变速直线运动，则有，， 粒子在A点速度 解得 （2）OA间距离 令A点速度与轴正方向夹角为，则有 令粒子在磁场中运动的半径为，由几何关系有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）根据圆周运动的对称性，粒子每次进入电场时的竖直速度均为，每次在电场中的运动时间均为t，粒子下一次进入电场时轴方向上的速度等于上一次离开电场时轴方向上的速度，所以，粒子在电场中的运动可看作一段连续的匀变速直线运动，则有 粒子每次进入磁场时轴方向的速度为，出磁场时轴方向的速度为，每一次在磁场中运动的时间为，沿轴方向，根据动量定理有 每一次在磁场中运动沿轴的位移为 粒子第次从磁场进入电场时的坐标 解得（n=1，2，3…） 考向04 带电粒子在叠加场中的运动 【例4-1】（2025·海南·高考真题）（多选）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【答案】BD 【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向做匀加速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x轴方向的分速度相等，均为甲粒子在轴方向的分速度根据几何关系可得。 乙粒子以最短时间到达（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为 根据洛伦兹力提供向心力联立可得在Ⅰ区域运动的时间沿着正方向，根据运动学公式解得乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量为 乙粒子进入Ⅱ区域后，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为根据洛伦兹力提供向心力解得可得，故B正确，C错误； AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据 可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时轴坐标均为零，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差联立解得，故D正确，A错误。故选BD。 【例4-2】（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向；（3）(n=0,1,2⋅⋅⋅) 【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 在匀强加速电场中由动能定理有 联立解得 （2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向，粒子带正电，则之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足 联立可得 电场方向沿轴正方向。 （3）当加速电压为时，在匀强加速电场中由动能定理有 可得 在区域由洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示 设粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向夹角为，根据几何关系可知 则粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向的夹角为，由配速法，将速度分解为沿轴正方向的和另一个待定速度 ,使得满足，则 此时，则 方向正好沿着轴正方向，则设 则粒子从射出后的运动可分解为沿轴正方向的速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做圆周运动的周期为，粒子至少运动距离轴最近，加上整周期则粒子运动，时距离轴最近，则最近位置的横坐标为 纵坐标为， 综上所述，最近的位置坐标，。 1.带电粒子在叠加场中运动的解题思路 2.配速法几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 【变式4-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图所示，在x轴的左侧的区域内存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域内存在半径为d的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，圆与y轴相切于原点O。在x轴的右侧有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，足够长的荧光屏MN平行于x轴，与x轴的距离为d。质量为m、电荷量为的粒子在直线的某处由静止释放，经P点（直线与磁场边界相切于P点）进入磁场，从原点O进入第一象限，粒子恰好能到达荧光屏上。不计粒子重力。 (1)求y轴左侧匀强电场的电场强度大小E。 (2)求y轴右侧匀强电场的电场强度大小。 (3)若y轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小随时间的变化关系如图乙所示，且撤去荧光屏求粒子第二次通过x轴的位置与O点的距离（O点记为第零次）。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为d，设粒子在磁场中运动的速度大小为，有对粒子在电场中加速的过程，有解得 （2）将粒子的速度沿x轴正方向分解为和，使得 此时粒子在混合场中的运动可视为方向沿x轴、速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，有又，解得 （3）由（2）问分析可知，即粒子在最高点的速度为零，此时 在内，粒子做匀加速运动，设加速度为a，位移为y，粒子在时刻的速度为，有，又解得，即此时粒子恰好到达x轴，速度大小为、方向与x轴垂直。 内，粒子在磁场和电场组成的混合场中运动，利用配速法将粒子的运动分解为方向沿x轴、速度为的匀速直线运动和初速度为v的匀速圆周运动，匀速圆周运动的运动轨迹如图所示。有，解得，设初速度为v的匀速圆周运动的轨迹半径为R，有 解得 内，粒子沿y轴做匀减速直线运动，沿x轴做匀速直线运动，运动的时间，设粒子沿y轴的位移为，有解得因，故此时粒子恰好第二次到达x轴。粒子在内沿x轴前进的距离 粒子在内沿x轴前进的距离 粒子在内沿x轴前进的距离 粒子第二次通过x轴的位置与O点的距离 解得 【变式4-2】（2025·安徽·模拟预测）如图，在坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强电场，电场强度大小为（未知）。在第一象限内方程为的虚线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。区域II存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向进入电场，由点以大小为的速度垂直于轴进入区域，后经虚线上的点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)两点间的电势差和匀强电场电场强度的大小； (2)粒子由点到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）从到，根据动能定理可得解得把电场沿x轴和轴分解，由题意可得水平方向竖直方向电场强度联立解得 （2）粒子在电场中运动，沿x方向做匀变速直线运动，有 由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为粒子在区域中转过的圆心角为则粒子在区域中运动的时间为，其中粒子由P点到A点的时间为联立解得 （3）在区域中，洛伦兹力提供向心力 在点，对粒子用配速法，设沿x轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与等大反向的与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动，则有， 联立解得，沿轴负方向，设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有解得 其运动轨迹如图所示 粒子从第1次到第5次经过x轴，共运动了2个周期，粒子运动时间为其中 粒子在第1次和第5次经过轴的位置之间的距离 1．（2025·河南·模拟预测）如图所示的正六边形abcdef，O点为正六边形的中心，g为aO的中点。现在a、O两点垂直纸面固定两长直导线甲、乙，两导线中通有恒定电流，g点的磁感应强度方向垂直aO向下、磁感应强度大小为，d点的磁感应强度大小为0。已知长直通电导线在周围空间产生的磁感应强度为，I为导线中的电流大小，r为空间某点到直导线的距离。下列说法正确的是（　　） A．导线甲、乙中的电流均垂直纸面向外 B．导线甲、乙中的电流之比为2：1 C．c、e两点的磁感应强度相同 D．b点的磁感应强度大小为 【答案】B 【详解】A．因d点的磁感应强度大小为0，所以导线甲、乙在d点产生的磁感应强度等大反向，根据安培定则可知，导线甲、乙中的电流方向相反，由于d点距导线甲比距导线乙远，所以导线甲中的电流比乙中的电流大，又因g点的磁感应强度方向垂直向下，所以导线甲在d点产生的磁感应强度垂直向下，导线乙在d点产生的磁感应强度垂直向上，根据安培定则可知，导线甲中的电流垂直纸面向里，导线乙中的电流垂直纸面向外，故A错误； B．设正六边形的边长为，由d点的磁感应强度大小为0，得 得 故B正确； C．因g点的磁感应强度方向垂直向下、磁感应强度大小为，则有 又 可得， 导线甲、乙在c点（或e点）产生的磁感应强度大小分别为， 如图所示 由图可知，c、e两点的磁感应强度大小相等，方向不同，所以c、e两点的磁感应强度不同，故C错误； D．导线甲、乙在b点产生的磁感应强度大小分别为， 其方向如图所示 两磁感应强度夹角为，根据余弦定理，b点的磁感应强度大小为 故D错误。 故选B。 2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图所示为硬通电直导线a、b的截面图，二者平行且长度相同，a导线固定在O点正下方的地面上，b导线通过绝缘细线悬挂于O点，已知Oa=Ob，a导线通以垂直纸面向里的恒定电流，b导线通过细软导线与电源相连（忽略b与细软导线之间的相互作用力）。开始时，b导线静止于实线位置，Ob与竖直方向夹角为θ，将b中的电流缓慢增加，b缓慢移动到虚线位置再次静止，虚线与Ob夹角为θ（2θ<90°）。通电直导线的粗细可忽略不计，b导线移动过程中两导线始终保持平行。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小的计算公式为，式中I为导线上的电流大小，r为某点距导线的距离，k是常数。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．b缓慢移动的过程中，细线对b的拉力逐渐变小 B．b缓慢移动的过程中，细线对b的拉力逐渐变大 C．b静止在实线位置时和在虚线位置时，其电流强度之比大于1:4 D．b静止在实线位置时和在虚线位置时，其电流强度之比等于1:4 【答案】C 【详解】AB．b导线受力分析如图所示 根据三角形相似可得 由于mg、Oa、Ob不变，所以拉力T不变，故AB错误； CD．ab长度变长，F安变大，但是到达虚线位置后，有 由题目可知，a导线在b′处、b处产生的磁感应强度大小之比为 又 则 整理可得 故C正确，D错误。 故选C。 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）（多选）如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 【答案】BD 【详解】A．棒受到的安培力方向垂直纸面向外，由左手定则可知，棒中电流的方向为a→b，故A错误； BC．通入大小为I的恒定电流后，棒做圆周运动，将恒定的安培力与重力的合力F作为等效重力，已知棒偏转的最大角度为=60°，则在偏转了30°时速度最大，此位置为等效最低点，可得合力F的方向与竖直方向的夹角为30°，如下图所示 则有BIl= mgtan 30° 解得     故B正确，C错误； D．将ab棒拉到=25°角时静止释放后，棒的运动可看作单摆的简谐运动，安培力与重力的合力 F作为等效重力，则有 解得等效重力加速度 根据单摆周期公式可得ab棒来回摆动的周期为 故D正确。 故选BD。 4．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）如图，以f为圆心、半径为m的四分之三圆弧区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度T。一群不计重力、质量kg、电荷量C的带电粒子垂直于Oa边以m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（　　） A．若粒子带正电，所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．若粒子带正电，所有粒子出射点都在b点 C．若粒子带负电，所有粒子出射点都在e点 D．所有粒子在磁场中运动的最长时间为s 【答案】BD 【详解】AB．若粒子带正电，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得粒子的运动半径为 所以带正点的粒子从O点射入，形成以为半径的圆弧，从b点出去，从aO边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为，如图所示 根据几何关系，可得虚线的四边形是菱形，则粒子的出射点一定是从B点射出，同理可知，从aO边射入的粒子，出射点都在b点，但射出的速度方向并不相同，A错误，B正确； C．同理，带负电的粒子，从a点入射，形成以为半径的圆弧，从e点离开，从aO间射出的粒子，顺时针偏转，轨迹如图 有的能到达e点，有的从Of边离开，故C错误； D．根据运动轨迹可知，所有粒子中最长的轨迹为半圆，故在磁场中运动的最长时间为，故D正确。 故选BD。 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平桌面上有边长为的正方形区域，区域内存在竖直向下的匀强磁场，在边的中点有一粒子发射源，可以沿与成角方向发射速度大小不同的相同带正电粒子，已知粒子的比荷为，磁感应强度大小为，下列说法正确的是（　　） A．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 B．若粒子从边射出，粒子射出的速度大小满足 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足 【答案】BC 【详解】 洛伦兹力提供向心力有 可得 由题意作出带电粒子以不同速度在磁场中的运动轨迹示意图，如图所示。 A．当粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与ad边相切时，如图曲线Ⅱ，根据几何关系有 解得 则 所以若粒子从边射出，粒子射出的速度大小 ，故A错； B．粒子从边射出，粒子的运动轨迹恰好与dc边相切时，如图曲线Ⅰ，根据几何关系有 解得 则 结合选项A的结果可得当，即时，粒子可以从边射出，故B正确； C．根据和 可得 则粒子在磁场中的运动时间为 如图曲线Ⅱ或Ⅲ，当，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．粒子的运动轨迹恰好与dc边相切，如图曲线Ⅰ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 粒子的运动轨迹恰好与bc边相切，如图曲线Ⅵ，此时粒子轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 从边射出磁场的粒子在磁场中的运动时间满足即，故D错误。 故选BC。 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图所示，边长为L的正三角形ACD区域内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在AC边上的O点有一粒子源，沿平行CD方向向磁场内连续射入各种速率、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，O点到A点距离为，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．粒子不可能通过D点 B．粒子速度为时，粒子从CD边射出磁场 C．CD边有粒子射出磁场部分的长度为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】ACD 【详解】A．假设粒子不能通过D点，则一定有粒子的轨迹与AD边（除D点）相切，设该粒子做圆周运动的半径为，则切点到A点距离， 圆心在CD边上，假设成立，因此粒子不可能通过D点，A项正确； B．该粒子经过CD边时，速度与CD垂直，粒子的速度大小 因此粒子速度为时，粒子从AD边射出磁场，B项错误； C．CD边有粒子射出磁场部分的长度等于，即为，C项正确； D．粒子从AC边射出时在磁场中运动的时间最长，最长时间为，D项正确。 故选ACD。 7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】BCD 【详解】A．a离子加速过程 解得，A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 亮线长度：离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移 亮线长度 代入 得亮线长度 B正确； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径： 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为 C正确； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得 D正确； 故选BCD。 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆柱区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度。现有一簇粒子以速度，方向竖直向上垂直磁场进入柱形区域（粒子的射入范围等于柱形区域的直径且分布均匀，但是粒子进入矩形磁场时分布不均匀），粒子的比荷，不考虑粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．射入柱形区域的粒子均由点射入矩形区域 B．进入矩形区域的粒子在边射出的长度为 C．进入矩形区域的粒子运动的最长时间为 D．由边射出的粒子数与进入矩形区域的粒子数之比为 【答案】ACD 【详解】A．由于粒子束由下方平行射入，且分布均匀，由洛伦兹力提供向心力得 可得粒子轨迹半径为 根据磁聚焦原理可知，粒子均由点射入矩形磁场，故A正确； BC．粒子由边射出矩形边界的速度方向如图所示 由于切点是边的中点，且和的长度均为，平行于，为弧的圆心，根据勾股定理可得 同理可证弧为半圆，也是在矩形磁场中运动时间最长的粒子，由几何关系可得 则进入矩形区域的粒子在边射出的长度为 进入矩形区域的粒子运动的最长时间为，故B错误，C正确； D．由边射出的粒子轨迹如图所示 由射入的粒子经过矩形磁场区域在边射出，为圆形磁场的圆心，为A点入射的粒子轨迹的圆心，，，，，，则， 由边射入的粒子占总粒子数的，故D正确。 故选ACD。 9．（2025·湖北·二模）（多选）匀强磁场B水平向左，一带正电的粒子以速度进入磁场，初速度方向与磁场反方向夹角为，已知粒子质量为m，电荷量为q，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正确的是（　　） A．螺旋的半径为 B．相邻两螺旋间距为 C．带电粒子在运动时加速度大小不变 D．若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值 【答案】CD 【详解】A．设带电粒子水平方向速度分量为，竖直方向速度分量为，由分析可知带电粒子的螺旋运动可分解为平行于磁场方向向右的匀速直线运动（其速度大小为）和垂直于磁场方向的匀速圆周运动（其速度大小为）。带电粒子速度与磁场B夹角为，故平行于磁场方向的速度分量为 垂直于磁场方向的速度分量为 带电粒子垂直磁场方向做匀速圆周运动，设其半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A错误； B．相邻螺旋间距即“螺距”，是平行方向在一个圆周运动周期内的位移。设垂直方向匀速圆周运动的周期为T，根据周期与圆周运动速度的关系有 所以一个周期内平行磁场方向匀速直线运动的位移即螺距为，故B错误； C．粒子受洛伦兹力的大小为 由于洛伦兹力不做功，粒子速度大小始终不变，故大小不变。根据牛顿第二定律有 代入数据解得 由于、、、、均为定值，所以加速度大小不变。故C正确； D．粒子一个周期内的轨迹为“螺旋线”，包围的体积可视为圆柱体体积，其底面积为圆周运动的圆面积，高为螺距。由上面分析可知圆周运动的半径为 所以圆柱的底面积为 螺距为 所以圆柱体的体积为 要使圆柱体的体积最大，需要最大，令 利用三角函数关系 得 对求导并令导数为0，可解得存在使最大，所以体积有最大值，即当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值，故D正确。 故选CD。 10．（2025·山西·二模）（多选）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。荧光屏上P点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量为m，电荷量为q的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA和PC之间，PQ垂直于荧光屏，PA与PQ的夹角为α，PC与PQ的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．若带电粒子带正电，则荧光屏P点左侧出现一条亮线，亮线长度为 B．若带电粒子带负电，则荧光屏P点右侧出现一条亮线，亮线长度为 C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为 D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P点距离大于的粒子占总粒子数的 【答案】AD 【详解】根据 粒子在磁场中的轨道半径 ABC．入射速度与的夹角为时，打在荧光屏上的位置距点的距离为 由于 所以无论是正电还是负电，沿方向入射打在屏上的点离点最近为，沿方向入射打在屏上的点离点最远为2R，因此若带正电荷，亮线在P点左侧，长度为，若带负电荷，亮线在P点右侧长度为。 故A正确，BC错误； D．关于做的对称线，可知入射方向在和之间的粒子，打在荧光屏上的位置距点距离大于，可知所占比例为，故D正确。 故选AD。 11．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【答案】(1) (2)4:1 (3) 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 12．（2025·广东·模拟预测）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度 由类平抛运动的规律得， 又有比荷 解得 （2）根据题意，由动能定理可得 解得 （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 周期 从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足 联立可得 13．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，真空室中y轴右侧存在n个连续排列的圆形边界匀强磁场，圆心均位于x轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度大小均为B。其中第1、3、5…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，第2、4、6…个磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向外。第1个磁场左侧与y轴相切，第n个磁场右侧与一接收屏相切，接收屏与x轴垂直，第n个磁场方向图中未画出。在磁场上方存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为E、沿y轴负方向，磁场下方亦存在一无限大的矩形匀强电场，电场强度大小为2E、沿y轴正方向，两电场边界均与磁场圆形边界相切。某种带正电的粒子比荷为，以下列所述情况在电、磁场中运动，不计粒子重力，不考虑粒子间相互作用。 (1)若将粒子从上方电场某处由静止释放，恰好在处进入磁场并从处射出，求粒子在电场中释放位置的坐标； (2)若在坐标原点O处放置一粒子源，能向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y轴方向发射的粒子）上述粒子，射出的速度大小均为，求粒子通过第一个磁场空间的最大偏转角； (3)若（2）问中粒子源发射粒子的速度大小均变为，其余条件不变，求在所有粒子中，粒子从被发射至到达接收屏所用的最短时间。 【答案】(1) (2)60° (3)当为偶数时，，当为奇数时， 【详解】（1）由题意知，粒子沿方向进入第一个磁场，轨迹如图甲所示，恰为圆周，则粒子做圆周运动的轨道半径，由洛伦兹力提供向心力，有 又比荷    解得 带电粒子由静止释放后，由动能定理有    解得 故该粒子释放的位置坐标为 （2）由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得轨道半径 粒子运动轨迹均为劣弧，弦越长，弧越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，故当粒子的轨迹圆弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，对应的轨迹如图乙所示，则有 解得 （3）根据磁发散和磁聚焦原理与左手定则，所有粒子都将以垂直于轴的方向离开磁场向上运动，经过真空后进入电场，在电场中做类竖直上抛运动，然后以相同速率，向下再次进入磁场，进入磁场后将会汇聚到轴与圆的另一个交点，然后进入下一个圆形边界磁场，在垂直于纸面向外的磁场中运动时，偏转方向与垂直于纸面向里的磁场相反，但依然会做类似的运动，如图丙所示为某一粒子的轨迹。 粒子在电场中做类竖直上抛运动，每经过一个磁场就会进入一次电场，每次进入上方电场时加速度 运动时间 每次进入下方电场时加速度 运动时间 粒子在每个磁场中运动时转过的圆心角之和均为180°，则每个磁场中的运动时间 由以上分析可知，当粒子沿方向进入第一个磁场时，不经过电场与磁场间的真空区域，用时最短，轨迹如图丁所示 故①当为偶数时 解得 ②当为奇数时 解得 14．（2025·陕西渭南·模拟预测）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。 (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)在（2）条件下，电子以速度沿方向进入磁场，经过第个区域磁场用时多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。以洛伦兹力为向心力做圆周运动 根据 解得 根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切 解得 （3）电子在I磁场中运动时，由于   而 电子在I磁场中偏转弧度，则    电子在I磁场中运动用时 同理在II磁场中用时 则每个磁场中用时 经过个磁场区域用时 15．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，竖直虚线左方区域有水平向右的匀强电场，虚线右方区域有垂直于纸面向里的匀强磁场。距离虚线左侧d处有A、B两点，一质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从A点以初速度竖直向上飞出，进出磁场后，又竖直向上通过B点，该过程中的竖直速度，和水平速度的变化关系如图2所示，该图像包括一条直线和一段圆心在O点的圆弧，图像与y轴的交点为和，已知A、B两点间距为h＝5d。不计空气阻力及粒子重力。 (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)若该粒子从A点以速度竖直向下飞出，长时间来看，粒子将向下或向上漂移，求漂移速度大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从A点飞出后在电场中受到水平向右的电场力，则粒子在电场中做类平抛运动。由题图2可知，粒子进入磁场后，沿x轴方向的速度逐渐减小，且粒子在磁场中沿y轴方向速度为时，沿x轴方向的速度为0，即粒子进入磁场时的速度为，沿y轴方向速度为。由勾股定理可知粒子进磁场时x轴方向速度 即 则水平方向由运动学公式知 粒子在电场中由牛顿第二定律知 解得 （2）设粒子从A点射出到进入磁场的过程竖直位移为，粒子进入磁场时其速度与竖直方向夹角为，则有 可得 设位移与竖直方向的夹角为，由平抛运动规律可知 可得 设在磁场中的运动轨迹半径为R，由对称性可知其在磁场中的竖直位移为 由几何关系知 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若该粒子以速度竖直向下飞出，由几何关系知粒子在一个周期内竖直方向的位移大小为 粒子在电磁组合场中运动的周期为 则粒子的漂移速度 16．（2025·浙江湖州·一模）为探究带电粒子对探测板的作用力，探究小组设计的一实验装置如图所示，粒子源S、加速器出口、速度选择器中线CD、x轴位于同一水平线上。坐标系的第Ⅰ象限全部和第Ⅳ象限部分区域内存在有界磁场，边界OM满足。探测板PQ与x轴平行，P点在y轴上，位置可调，PQ长度为l。粒子源S正对加速器出口，单位时间释放N0个粒子，粒子初速度大小连续分布在0和之间，经加速后从C点射入速度选择器，从D点射出后均从O点沿x轴正方向射入磁场，在磁场中偏转后射出边界OM，打到探测板PQ上的粒子均匀分布在探测板上并被探测板吸收。其中，初速度为0的粒子恰好沿中线CD射出速度选择器。已知粒子的质量为m，电荷量为−q（q>0），加速电压为，速度选择器内的磁场和有界磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2，方向垂直纸面向里，。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，粒子不会与速度选择器的极板碰撞。 (1)求速度选择器电场强度的大小E； (2)求速度选择器间的极板长度L的可能值； (3)调节探测板位置，稳定后，求粒子对探测板的平均作用力竖直分量的最大值Fm及对应的探测板位置y轴坐标。（该问结果用字母N0、q、B2和l表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）对初速度为0的粒子，由动能定理可得 解得 在速度选择器中受力平衡，则有 解得 （2）从加速器发射粒子速度大小v连续分布在v0和2v0之间。在选择器中的运动可视为以v0沿CD的匀速运动与以v−v0的匀速圆周运动的合运动。要求粒子从D点射出后均从O点沿x轴射入磁场，则有 （3）进入有界磁场速度大小v连续分布在v0和2v0之间，半径为R和2R， 其中， 即对应y轴坐标为 此时，粒子对探测板的平均作用力的竖直分量Fm最大。如图所示 此时Q点和P3点对应粒子速度分别为2v0和1.5v0，由题意可知，单位时间探测板接收到的粒子数 在探测板上距P3为x处，取Δx→0，在t时间内，根据动量定理可得 其中，，， 联立解得 积分可得 解得 17．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在竖直平面内存在直角坐标系，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度为，第一象限有水平向右的匀强电场，电场强度为。在第一象限内，处有水平绝缘平台，右端与半径为的光滑绝缘竖直半圆弧轨道平滑连接，相切于点，为其最高点。质量为、带正电的可视为质点的小球从轴上某点以与轴负半轴成、大小的速度射入第二象限，恰好做匀速直线运动。现在第二象限内小球运动的某段路径上加上垂直于纸面向外的圆形边界的匀强磁场，磁感应强度，小球经过磁场区域后恰好水平向右运动，垂直于轴从点无碰撞进入第一象限并沿平台方向运动，已知小球与平台的动摩擦因数，平台的长度，重力加速度，不计空气阻力，结果可用根号表示。求： (1)电场强度的大小； (2)小球第一次从点落到平台上的位置与点的距离； (3)所加圆形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在第二象限做匀速直线运动，由平衡条件有 可得电场强度的大小 （2）从到，由动能定理有 可得小球在的速度 小球从点水平抛出后，竖直方向做自由落体运动 水平方向做匀减速直线运动 可得落点距的距离 （3）如图所示 在圆形磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 可得磁场中运动的半径 若小球从点进入磁场，从点射出磁场，其弦长为最小磁场圆的直径，由几何知识有其圆心角 磁场圆的最小半径： 最小面积 可得 18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图（a），在第Ⅲ象限加速区内有沿轴负方向的匀强电场，场强大小可在范围内调节。在第Ⅱ象限偏转区内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度随的变化而变化。在第Ⅰ象限检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为的检测板。在处有一离子源，可连续释放质量为、电荷量为的静止离子。离子经坐标为的小孔进入检测区，打在检测板上。不计离子的重力及离子间的相互作用。 (1)离子从孔进入检测区，求磁感应强度随场强变化的关系式。 (2)检测区内有沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。将检测板左端放在孔上沿，调整板面与轴正方向的夹角使板上收集到离子的记录线最长。求此记录线的长度及该夹角的正弦值。 (3)如图（b）所示，若轴右侧有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小的变化规律为（为大于零的常量），检测板与轴平行，并可沿轴平移。求检测板能收集到离子时的最大坐标。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）电场中运动有 解得 磁场中做圆周运动有 解得 （2）检测区内离子做类平抛运动，水平方向有 竖直方向有 又有 解得 当时，，解得 当时，解得 则有 （3）电场中运动有 磁场中运动有 又由， 解得 19．（2025·山西朔州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ，其他区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小是磁场II的2倍，在轴正半轴上与点距离为的点有一粒子源，不断地沿轴正向射出质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子的速度大小均为，粒子射出后刚好从点第二次返回轴；再在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小； (2)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子第一次经过轴的位置离O点的距离； (3)若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅱ中运动的最大速度的大小；运动过程中离轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子射出后刚好从点第二次返回轴，如图所示 设匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，匀强磁场II的磁感应强度大小为，由洛伦兹力提供向心力可得， 可得 根据几何关系可得 联立解得 （2）在的区域内加上沿轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从点射出后恰好做直线运动，则有 若加上电场后再撤去磁场Ⅰ，粒子在第一象限内做类平抛运动，则有， 解得 则粒子第一次经过轴的位置离O点的距离为 （3）粒子第一次经过轴进入磁场Ⅱ中时，竖直分速度为 则此时粒子速度大小为 粒子速度与轴的夹角满足 将粒子的速度进行如图分解 其中， 则有 可知粒子在磁场Ⅱ中运动可分解为：沿轴方向以速度做匀速直线分运动，另一分运动以速度大小做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 如图所示 可知当方向沿轴正方向时，粒子的速度最大，为 此时粒子离轴距离最大，为 20．（2025·山东烟台·三模）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场的上边界是以为圆心、半径为R的圆弧，下边界是以为圆心、半径为的圆弧；第四象限内存在沿着x轴正方向、大小的匀强电场，第三象限内同时存在沿着y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，其中电场强度大小为，磁感应强度的大小也为。一个质量为m、电荷量为的粒子以大小为的速度从y轴上的点正对圆心方向射入第一象限的磁场中，离开磁场后进入第四象限的电场之中，然后从y轴上的Q点离开电场进入第三象限的电磁场中，不计粒子的重力，忽略粒子对电磁场的影响，求： (1)粒子进入第四象限时的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)Q点的纵坐标； (3)粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间； (4)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度； 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）磁场中，由牛顿第二定律得解得由几何知识可证明，粒子从点离开第一象限，设速度方向与x轴正方向的夹角为，则由几何知识可得有 （2）粒子在第四象限内做类斜抛运动，粒子水平方向做匀变速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，设竖直位移大小为，水平位移大小为，在电场中运动时间为。由牛顿第二定律得 则有，，解得，故Q点的纵坐标为 （3）粒子在磁场中偏转的圆心角为在磁场中运动的周期在磁场中运动的时间为离开磁场运动到点时间为则粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间为 （4）粒子进入第三象限后做摆线运动，经过Q点时沿方向的分速度大小分别为和，则：，求得由题意可知 故粒子的运动可分解为沿着x轴负方向、速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。粒子运动到最低点时，速度最大，方向沿着x轴的负方向，最大速度为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $