精品解析：陕西省西安市阎良区第一中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中教学检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，测评时间120分钟； 2．试卷如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在试卷上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程x（x－1）=0的解是（　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵x(x−1)=0 ∴x=0或x−1=0 ∴=0,=1 故选C 2. 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船发射成功，标志着我国向航天强国的目标又迈进了坚实的一步．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】解：根据中心对称图形的定义，只有C选项绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 故选C． 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴交点坐标的求法，熟练掌握“求抛物线与轴的交点时，令计算值”是解题的关键．求抛物线与轴的交点坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的值． 【详解】解：将代入得， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故选：A． 4. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. -5 B. 5 C. -3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将 代入方程，等式仍成立，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】∵ 是方程 的根， ∴ 代入，得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项，  故选：D ． 6. 关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点的判别式应用，熟练掌握“二次函数图象与x轴有两个不同交点时，对应一元二次方程的判别式”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等实数根，利用判别式大于0求解k的范围． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 解得， 故选：D． 7. 如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理．理解旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ， ∵， ∴． 故选：C． 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；直接计算点A和点B的纵坐标和的表达式，利用b的范围比较它们与6的大小关系以及和的大小关系即可． 【详解】解：把点，分别代入抛物线得， ，， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：抛物线， 因此顶点坐标是， 故答案为． 10. 已知点与点关于原点对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征．根据平面内关于原点对称的点：横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即，， ∴． 故答案为：． 11. 若方程可以配方成，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 13. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，即， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， 16. 若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需结合根的判别式解答．由抛物线的顶点在x轴上可知，方程有两个相等的实数根；由上步分析可得，据此可得k的值，注意：需根据二次函数的二次项系数不为零对得到的值进行取舍. 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得或 17. 已知抛物线经过，两点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，利用待定系数法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质：，旋转角，得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴，旋转角， 在中，， ∴是等腰三角形， ∴， 又， ∴． 19. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线过点，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，进而求出时的函数值，即可． 【详解】解：由题意，平移后的抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴当时，，即． 20. 某电商平台引入AI智能投放算法，精准优化广告营销策略，使单场大型促销活动的营销成本逐月下降，原来单场活动的营销成本为250万元，经过两个月的算法迭代后，单场活动营销成本降至160万元，求该平台单场活动营销成本的月平均降低率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；设月平均降低率为，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设月平均降低率为， 根据题意， ． 解方程：， （舍）， 因此，月平均降低率为，即． 答：该平台单场活动营销成本的月平均降低率为． 21. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，交x轴于A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，当函数值时，求自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）根据顶点坐标为设抛物线的解析式为，将代入计算即可； （2）求出A、B的坐标，进而根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：当时， 解得， ∴， 由函数图象可知： 当函数值时，或． 22. 窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，经研究发现，在摆放角度固定的情况下，发射后，窜天猴的高度与时间满足函数关系式．当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到． （1）求关于的函数解析式； （2）张涛家所在的楼层距离地面，他说：“窜天猴发射后，有两次与我家所在楼层的高度相同，这两次间隔的时间为”．请判断张涛的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：张涛的说法正确，理由如下： 当时，， 整理得，， 解得，， ∴两次间隔的时间为， ∴张涛的说法正确． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而求出时间差即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，． （1）画出将先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如上图所示，由图可知． 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中图形的平移与旋转，确定变换后点的坐标是解题的关键； （1）确定三个顶点平移后的对应点坐标，并依次连接即可； （2）确定三个顶点逆时针旋转后的对应点坐标，并依次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，为缓解停车难的问题，某小区利用一块矩形空地建了一个长为50米，宽为30米的小型惠民停车场，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽； （2）据调查分析，停车场多于50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元？ 【答案】（1）通道的宽是米； （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得：(舍去)， ∴通道的宽是米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， ∵优惠大众， ∴， 即当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点为线段上一动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】（1），； （2）当为时，四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）求点坐标，令抛物线解析式中，解一元二次方程；求点坐标，令，代入解析式计算． （2）先求抛物线对称轴、点坐标，再求直线解析式得点坐标；根据点横坐标得坐标，由（为竖直线）得横坐标与相同，进而得坐标；利用平行四边形对边相等（）列方程求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴：． 将代入抛物线，， ∴． 设直线为， ∵、， ∴， 解得，， ∴直线：． 当时，， ∴， ∴． ∵点横坐标为， ∴； ∵（垂直轴）， ∴横坐标为，． ∴， 由，得， 解得（与重合，舍去），． ∴当为时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的解析式求解、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与点坐标的求法、利用平行四边形对边相等列方程是解题的关键． 26. 问题提出 （1）如图①，在内有一点，连接、、，把绕点顺时针旋转得到，连接，当点，，，在同一直线上时，此时 ； 问题拓展 （2）如图②，在中，，，点是内一点，连接、、，若，，，求的长； 问题应用 （3）如图③，是，，三座城市位置的平面示意图，若，，，要在内规划建设一个物流基地，连接，，，求物流基地到三座城市，，的距离和的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由“把绕点顺时针旋转得到”，可得，易证是等边三角形，则可得，然后根据平角和周角即可求得答案； （2）如图，把，绕点逆时针旋转得到，连接，则，由等腰直角三角形的性质可得，继而可得，然后利用勾股定理即可求得答案； （3）把绕点顺时针旋转得到，分别连接，过点作交的延长线于点，易证是等边三角形，则，继而可得当、、、四点共线时，最小，然后根据含角的直角三角形的三边关系和勾股定理即可求得答案 【详解】解：（1）∵把绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，，，四点共线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，把，绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）把绕点顺时针旋转得到，分别连接，过点作交的延长线于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为 【点睛】本题是基于三角形为背景的几何变换综合题，主要考查了旋转变换、全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形解决问题，属于中考常考题型 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，测评时间120分钟； 2．试卷如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在试卷上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 方程x（x－1）=0的解是（　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或－1 2. 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船发射成功，标志着我国向航天强国的目标又迈进了坚实的一步．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（） A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. -5 B. 5 C. -3 D. 3 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______． 10. 已知点与点关于原点对称，则_______． 11. 若方程可以配方成，则的值为______． 12. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 13. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 17. 已知抛物线经过，两点，求该抛物线的解析式． 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 19. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线过点，求m的值． 20. 某电商平台引入AI智能投放算法，精准优化广告营销策略，使单场大型促销活动的营销成本逐月下降，原来单场活动的营销成本为250万元，经过两个月的算法迭代后，单场活动营销成本降至160万元，求该平台单场活动营销成本的月平均降低率． 21. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，交x轴于A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，当函数值时，求自变量x的取值范围． 22. 窜天猴，又称钻天猴或冲天炮，其特点在于火药燃烧后，能在尾部产生强大的气流，推动主体向上飞行，经研究发现，在摆放角度固定的情况下，发射后，窜天猴的高度与时间满足函数关系式．当发射时，窜天猴高度达到，当发射时，窜天猴高度达到． （1）求关于的函数解析式； （2）张涛家所在的楼层距离地面，他说：“窜天猴发射后，有两次与我家所在楼层的高度相同，这两次间隔的时间为”．请判断张涛的说法是否正确，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，． （1）画出将先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 24. 如图，为缓解停车难的问题，某小区利用一块矩形空地建了一个长为50米，宽为30米的小型惠民停车场，阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽； （2）据调查分析，停车场多于50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为11250元？ 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点为线段上一动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 26. 问题提出 （1）如图①，在内有一点，连接、、，把绕点顺时针旋转得到，连接，当点，，，在同一直线上时，此时 ； 问题拓展 （2）如图②，在中，，，点是内一点，连接、、，若，，，求的长； 问题应用 （3）如图③，是，，三座城市位置的平面示意图，若，，，要在内规划建设一个物流基地，连接，，，求物流基地到三座城市，，的距离和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $