精品解析：福建省同安第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

同安一中2024-2025学年（上）高三数学第一次月考 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解. 【详解】即， 解得， 由题意得， 则. 故选：. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系以及两角差的正弦公式求出，再利用两角和的正弦公式即可求得答案. 【详解】由，得，即， 由，得， 故， 则， 故选：C 4. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可. 【详解】由图象可知函数为偶函数，且， 四个选项函数的定义域均为， 对于A项，，即为偶函数， 而，故A错误； 对于B、D项，， ，显然两项均为奇函数，故B、D错误； 对于C项，，即为偶函数， 而，故C正确. 故选：C 5. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可列出方程，求解即可， 【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的10000倍, 则， 即， , 故选：D． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式代入求解即可. 【详解】. 故选：C 7. 设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ） ①； ②；③； ④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由是奇函数得到的图象关于点对称，可判定②正确；由是偶函数，得到的图象关于对称，可判定③正确；在中，分别将用替换，将用替换，再将用替换，可判定①正确. 【详解】由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称， 所以，所以②正确； 令，则， 又由是偶函数，所以的图象关于对称， 所以的图象关于对称，则有，令， 则，所以③正确. 在中，将用替换，则， 在中，将用替换，则， 所以，再将用替换，则， 所以，所以①正确； 对于④中，由，无法推出其一定相等. 故选：B. 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将，构造函数，研究单调性，进而比较大小即可. 【详解】构造函数，可得， 当时，单调递减， ， 由，故，即. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，探讨函数的单调性及极值判断AB；探讨对称性求解判断CD. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，作出其图象. 由图知，函数在处取得极大值，只有一个极大值点，故A错误； 函数在处取得极小值，且当时，，则有且仅有2个零点，故B正确； 因，则点是图象的对称中心，故C正确； 因 ，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ） A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察图象确定的最小值，周期求，结合对称性可得函数过点由此可求，通过三角恒等变换求，验证是否为的对称中心判断A，求的对称轴判断B，由条件求的范围，结合余弦函数性质判断C，结合余弦函数性质求函数的单调递减区间判断D. 【详解】由题图可得函数的最小值为，， 又，，，所以， 结合对称性可得函数的图象过点， 所以，解得，又，所以， 所以， 所以， 所以. 对于A，当，，所以是的一个对称中心，故A正确； 对于B，令，，可得，，故的对称轴方程为，，故B正确； 对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C错误； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数在区间的最小值为，且在区间唯一的极大值点．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，由可知，，进而可求，然后再证明即得；再利用数形结合可得在上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得. 【详解】∵， ∴， 又函数在区间的最小值为， ∴函数在区间上不单调， 又， ∴时，函数在区间上取得最小值， 可得原条件的一个必要条件， ∴，即， 下面证明充分性： 当时，，， 令，则， ∴函数在上单调递增，又， ∴函数在上存在唯一的零点，且在上，在上， ∴函数在区间的最小值为， 综上，故A正确； ∵， 令，得， 由函数图象可知在区间上只有一个交点， 即存在唯一，使得， 又，故， 且当时，，当时，， ∴在区间上，唯一的极大值点， ， ∵，， ∴. 故CD正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则________________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数对称，再利用特值求出并验证即得. 【详解】函数的定义域为， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于数对称， 则，此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即满足题意， 所以. 故答案为： 14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时取得等号， 所以有最小值为3， 因为恒成立，所以，即， 解得， 故答案为: . 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）4 （Ⅱ） 【解析】 【详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则； （Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1） ①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可； （2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， ①当时，在上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 17. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故，且， 因为平面平面，且， 所以平面 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证，由题易证； （2）由体积求出的长，建立空间直角坐标系，假设，求出平面的法向量，由余弦值为，求出，进而可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4， 所以三棱锥的体积为，所以， 因为，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则，，设 因为⊥平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 又， 故 取，则， 得， 因为二面角的余弦值为， 所以 解得：或（舍去），此时． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】（1） （2）①； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②略 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若已知数列，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，理由如下： 因为， ， 依次类推，， 故 ， 若使为等差数列，则， 所以存在不全为0的数列，使得数列为等差数列. 【解析】 【分析】（1）由已知，可得第二次“和扩充”后得到数列，即可得到； （2）由已知，数列第次“和扩充”后增加的项数为，可得，可得是首项为4，公比为2的等比数列，可得，则，可解得. （3）由已知，可得，进而可得，从而得到结论. 【小问1详解】 第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. 【小问3详解】 存在不全为0的数列，使得数列为等差数列，理由略. 【点睛】关键点点睛：小问（2），推出是首项为4，公比为2的等比数列，进而求解；小问（3），推出，利用累加法求和得到，得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024-2025学年（上）高三数学第一次月考 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ） ①； ②；③； ④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ） A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 11. 函数在区间的最小值为，且在区间唯一的极大值点．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 13. 已知函数的图象关于直线对称，则________________． 14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 17. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若已知数列，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $