数学培优专题一 数列中的非常规问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列中的非常规问题，覆盖函数与数列综合、构造新数列、逻辑推理证明等高考核心考点，按“函数视角—构造方法—推理应用”逻辑层次架构知识体系，通过考点梳理（如存在性问题分析）、方法指导（反证法、函数构造）、真题训练（多选题、证明题）等环节，帮助学生突破数列综合应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”与“数学语言”为核心，创新采用“问题情境—模型构建—逻辑论证”教学模式，如第3题通过构造函数分析等差与等比数列交点个数培养数学眼光，第6题设计H数列构造活动训练数学表达。设置基础巩固到综合拔高的分层例题，配合详细解答规范推理过程，能在有限时间内提升学生解决非常规数列问题的能力，为教师把控复习节奏提供精准教学指导。

数学培优专题一 数列中的非常规问题 2025-03-03 一、数列中的函数 1.已知数列和数列满足： 问是否存在，使得数列成等比数列?若存在，则求的值；若不存在，则加以证明. 2． 已知各项均为正数的两个数列和满足：． 设，且是等比数列，求和的值． 3.已知等差数列的公差，等比数列的公比，记满足的正整数的个数为，对所有的与而言，求的最大值. 4.（多选题）记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，下列命题中真命题的有： A．当时，数列的前3项依次为5,3,2 B．对数列都存在正整数，当时总有 C．当时， D．对某个正整数，若，则 5．设是各项为正数且公差为的等差数列． 是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由． 二、数列中的构造 6．设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立． 7. 证明以下命题： (1)对任一正整数,都存在整数，使得成等差数列； (2)存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列. 8.各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 三、数列中的推理 9.设数列满足：，.　证明:为等差数列的充分必要条件是为等差数列且. 10．对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”．若数列既是“数列”,又是“数列”,证明: 是等差数列． 11.数列的首项，前项和为，已知对任意整数，当时， 都成立.求数列的通项公式. 12． 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质． (3)设是无穷数列，已知．求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 数学培优专题一 数列中的非常规问题 2025-03-03 一、数列中的函数 1.已知数列和数列满足： 问是否存在，使得数列成等比数列?若存在，则求的值；若不存在，则加以证明. 解：设，由知， 则 假设存在，使得数列成等比数列，则，公比.. 当时，，这与矛盾. 所以不存在，使得数列成等比数列. 注： 2． 已知各项均为正数的两个数列和满足：． 设，且是等比数列，求和的值． 解法1：设由， 得， 时，上式也成立，即： 设，为常数， 所以为常数，从而，由得 解法2：，， 即： 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若，则从而当时，矛盾. 若，则从而当时，矛盾. 综上所述，. ,数列是公比为的等比数列. 若，则， 又由得 从而中至少有两项相等，则与矛盾，所以 3.已知等差数列的公差，等比数列的公比，记满足的正整数的个数为，对所有的与而言，求的最大值. 分析：直线与曲线最多有个公共点. 在等差数列与等比数列中，有 所以 解：已知设函数 因为均为上的连续函数，且至多有个零点， 所以至多有个零点. ,,，， ,其中 ①当时，关于的方程最多有个正整数解，最多有个正整数满足 ②当时，设，当为偶数时，关于的方程最多有个正偶数解，即最多有个正偶数满足 当时，设，当为奇数时，关于的方程 最多有个正奇数解，即最多有个正奇数满足 假设存在正偶数，满足， 则 假设同时还存在正奇数，满足， 则 从而 产生矛盾. 综上可知，满足的正整数最多有个. 在等差数列与等比数列中，有 所以 4.（多选题）记为不超过实数的最大整数，例如，，，.设为正整数，数列满足，，下列命题中真命题的有： A．当时，数列的前3项依次为5,3,2 B．对数列都存在正整数，当时总有 C．当时， D．对某个正整数，若，则 【答案】ACD． 【解析】（1）数列是无穷数列，且各项为正整数，即对， 证明：首先，其次假设 则，， 从而由的定义知 由数学归纳法知：对，. (2) 当时， 当时， 当时， 故命题“对数列都存在正整数，当时总有”是假命题. 问题：数列的通项公式有哪些类型？ （3）当时，. 证明：首先由（1）知对，，其次， 最后对， 由，知， 或，或， 从而 （4）对某个正整数，若，则． 证明：首先由（3）知，其次由知 ，， ，故. 5．设是各项为正数且公差为的等差数列． 是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由． 解：假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列， 则，且． 分别在两个等式的两边同除以及，并令(，)， 则，且． 将上述两个等式两边取对数，得， 且． 化简得， 且． 再将这两式相除，化简得()． 令， 则． 令， 则． 令，则． 令，则． 由，， 知，，，在和上均单调． 故只有唯一零点，即方程()只有唯一解，故假设不成立． 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列． 二、数列中的构造 6．设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立． (3)证明：设的公差为d，令，. 对，， ,则，且为等差数列. 的前n项和，令，则 当时；当时； 当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数， 因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”． 的前n项和，令，则, ∵对，是非负偶数，∴, 即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”. 因此命题得证. (3) 解法一：设等差数列的公差为，则． 令，则． 下证是“H数列”: 设的前n项和为，则， 于是对任意的正整数n，总存在正整数，使得，所以是“H数列”． 同理可证也是“H数列”． 所以，对任意的等差数列，总存在两个“H数列” 和，使得成立． 解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列中若时， 是“数列”， 则． 同理等差数列中若时，是“数列”，． 任意的等差数列，则可表示为． 令，，此时，． 所以对任意的等差数列，总存在两个等差“数列”和，使得成立． 7. 证明以下命题： (1)对任一正整数,都存在整数，使得成等差数列； (2)存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列. 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证，类似勾股数进行拼凑。(2)结合第(1)问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷. 证明：(1)考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取，对一切正整数均能成立； (2)证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于的一个多项式，做两种途径的分解 根据上式，取 构造:对任意正整数，设 对任意正整数， ， , 可构成三角形的三边. , ， 成等差数列. 任取正整数，假设三角形相似， 则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 由知，存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列. 8.各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有 证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 证明：由题设的值仅与有关,记为则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考察函数 ,则在定义域上有 ， 故对， 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 ,注意到,解上式得 取,即有 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三、数列中的推理 9.设数列满足：，.　证明:为等差数列的充分必要条件是为等差数列且. 本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 证明：必要性，设是公差为的等差数列，则 ，. 又 (常数) , 所以数列为等差数列,且. 充分性： 设数列是公差为的等差数列，且. ，， . 又 所以，同理. 得， 因为，所以， ，当且仅当时取等号. 所以，数列是常数列，记 又， 又从而（常数）. 所以数列是公差为的等差数列. 【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来. 10．对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”．若数列既是“数列”,又是“数列”,证明: 是等差数列． 解析: 数列既是“数列”,又是“数列”,因此, ,,① ,．② 由① 知：，，. 代入②得：，，记为常数， 即，. 在①中,取,,则,所以, . 在①中,取,则,所以, . 所以，即是等差数列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3＝（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”； （2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{an}为等差数列． 11.数列的首项，前项和为，已知对任意整数，当时， 都成立.求数列的通项公式. 解析： 由题意： 由（1）（2）得：当时， ，即当时， . 由（2）（3）得:当时， 即当时，. 由（1）（4）得:当时， 由（5）（6）得:当时， , 由（5）（7）得:当时， , 由（6）（7）得:当时， 由（5）得：当时， 从而 由（6）得：当时， 从而 所以当时， 所以数列是等差数列，设其公差为，即： 由当时， 得 得： 从而当时，，， 在（1）中令得：，. 所以当时， 12． 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质． (3)设是无穷数列，已知．求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 证明： 充分性：当为常数列时，． 对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证． 必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在， 使得，而． 下面证明存在满足的，使得，但． 设，取，使得，则，，故存在使得．取，因为()，所以， 依此类推，得．但，即． 所以不具有性质，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 第 2 页 共 2页 学科网（北京）股份有限公司 $