6.1.2乘法公式与事件的独立性 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦概率中的乘法公式与相互独立事件，通过复习条件概率公式引出乘法公式及推广，再过渡到相互独立事件的定义与判断方法，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是结合摸球、系统可靠性等典例与分层训练，以数学思维（推理能力）和数学语言（应用意识）为核心，通过典例解析与方法总结，帮助学生掌握公式应用，教师可高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

1 随 机 事 件 的 条 件 概 率 第六章 第 六 章:概 率 1.2 乘法公式与事件的独立性 1.理解相互独立事件的定义及判断方法.(重点) 2.掌握相互独立事件的概率乘法公式.(重点) 3.能运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题.(重难点) 学习目标 1.条件概率的概念及计算? 复习回顾 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 2.由条件概率公式可以推出哪些关系? 可以推出 或 . 条件概率揭示了,, 三者之间“知二求一”的关系. 一、条件概率的乘法公式 由条件概率的定义P(B|A)= ,则有 P(AB)=P(B|A)P(A) (其中P(A)>0). ① 同理 P(AB)=P(A|B)P(B) (其中P(B)>0). ② 称公式①②为乘法公式,利用它们可以计算两个事件同时发生的概率. 探索新知 设A1,A2,⋯,An为任意n个事件,满足P(A1,A2,⋯,An-1)>0,则 推广: 例1: 已知口袋中有 3 个黑球和 7 个白球, 这 10 个球除颜色外完全相同. (1) 先后两次从中不放回地各摸出一球, 求两次摸到的均为黑球的概率; 解:(1)设事件Ai表示"第i次摸到的是黑球" (i=1,2,3),则事件A1A2表示 "两次摸到的均为黑球". 由题意知,P(A1)= ,P(A2|A1)= . 于是, 根据乘法公式, 有 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)= = ∴先后两次从中不放回地各摸出一球,两次摸到的均为黑球的概率为 典例讲解 (2) 从中不放回地摸球, 每次各摸一球, 求第三次才摸到黑球的概率. 例1: 已知口袋中有 3 个黑球和 7 个白球, 这 10 个球除颜色外完全相同. (2) 从中不放回地摸球, 每次各摸一球, 求第三次才摸到黑球的概率. 解:(2)设事件A表示"第三次才摸到黑球",则A=A3 所以从中不放回地摸球,每次各摸一球,第三次才摸到黑球的概率 典例讲解 由题知,, ,根据乘法公式, 有 . 典例讲解 方法总结 概率的乘法公式 (1)公式<m></m>反映了“知二求一”的方程思想. (2)该概率公式可以推广出<m></m>, 其中<m></m>,<m></m>. 解: 记事件表示“第一次抽到红桃”,事件表示“第二次抽到红桃”,事件 表示 “第三次抽到红桃 ”. (1)易知事件表示“两次抽到的均为红桃 ”.由题意知, . 由乘法公式得 . (2)由题知,, ,所以 . 巩固训练1. 小明自制了8张大小相同的扑克牌,其中3张红桃,5张黑桃 . (1)先后两次从中不放回地抽出一张牌,求两次抽到的牌均为红桃 的概率; (2)从中不放回地抽牌,每次各抽一张牌,求第三次才抽到红桃 的概率. 典例讲解 巩固训练2. 10个考签中有4个难签,3人参与抽签(不放回),甲先抽,乙其次,丙最 后.求: (1)甲抽到难签的概率; (2)甲、乙都抽到难签的概率; (3)甲没有抽到难签,而乙抽到难签的概率; (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率. 典例讲解 解:设事件,, 分别表示甲、乙、丙抽到难签. (1) . (2) . (3) . (4) . 二、相互独立事件的概念 1.定义:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件就叫作相互独立事件. 思考:相互独立事件的判断方法是什么? 探索新知 事件A,B相互独立的充要条件 2.概率公式: (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响. (2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B相互独立. (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 例2:口袋中有 4 个黑球和 3 个白球, 这 7 个球除颜色外完全相同, 连摸两次, 每次摸一球. 记事件A表示"第一次摸得黑球", 事件B表示"第二次摸得黑球". 在放回摸球和不放回摸球两种情况下,事件A与事件B是否独立? 典例讲解 解:①放回摸球: 依题意有 P(A)= ,P(B)= ,P(B|A)= 因此,P(B|A)=P(B), 即放回摸球时事件A与事件B独立. ②不放回摸球: 依题意有 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= 因此,P(AB)≠P(A)P(B),即不放回摸球时事件A与事件B不独立. 典例讲解 例3 (多选题)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取 两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取 出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取 出的球的数字之和是7”,则( ). AC A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 解:分别计算对应概率,公式判断。 设甲、乙、丙、丁四个事件发生的概率分别为,,, , 因此有,, . , 典例讲解 巩固训练: 下列各对事件中,不互为相互独立事件的是( ). C A.掷一枚质地均匀的骰子,事件为 “出现偶数点”,事件 为 “出现3点或6点” B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两次球,事件 为 “第一次 摸到白球”,事件 为“第二次摸到白球” C.一个家庭中有两个小孩,其中有男孩和有女孩是等可能的,事件 一个家庭中 既有男孩又有女孩,事件 一个家庭中最多有一个女孩} D.一个家庭中有三个小孩,其中有男孩和有女孩是等可能的,事件 一个家庭中 既有男孩又有女孩,事件 一个家庭中最多有一个女孩} 例4:如图,用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时,系统N1正常工作;当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. (1)求系统N1正常工作的概率P1; (N1) a b c (N2) a b c 解:设事件A=“元件a正常工作”,事件B=“元件b正常工作”,事件C=“元件c正常工作”. (1)依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80 0.90 0.90=0.648. 故系统N1正常工作的概率为0.648 典例讲解 (2)求系统N2正常工作的概率P2. (2) P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.80 0.90 0.10+0.80 0.10 0.90+0.80 0.90 0.90=0.792 故系统N2正常工作的概率为0.792 典例讲解 方法总结 求相互独立事件同时发生的概率的步骤: (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)再确定这些事件可以同时发生; (3)最后求出每个事件的概率,再求积. 典例讲解 例5 面对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,已知甲、乙、丙三个独立的研 究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,, .求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率; (3)他们能够研制出疫苗的概率. 解: 记事件,, 分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定时期内成功研 制出该疫苗,依题意可知,事件,,相互独立,且, , . (1)他们都研制出疫苗,即事件,, 同时发生. 故 . (2)他们都失败,即事件,, 同时发生. 故 . (3)“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系 可得所求事件的概率 . 典例讲解 巩固训练2 某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛.大赛分初试和复 试,初试又分笔试和实验操作两部分进行,初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”, 只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试.在初试部分,甲、乙、丙三人在笔 试中“合格”的概率依次为,,,在实验操作考试中“合格”的概率依次为,, ,所 有考试是否合格相互之间没有影响. (1)甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试,分别求三人进入复试的概 率,并判断谁进入下一轮复试的可能性最大; (2)这三人进行笔试与实验操作两项考试后,求恰有两人进入下一轮复试的概率. 典例讲解 [解析] (1)根据题意得,甲进入复试的概率 ,乙进入复试的概率 ,丙进入复试的概率 , 因为 , 所以丙进入下一轮复试的可能性最大. (2)这三人进行笔试与实验操作两项考试后,恰有两人进入下一轮复试的可能情况 为甲、乙进入,丙没有进入;甲、丙进入,乙没有进入;乙、丙进入,甲没有进入. 所以恰有两人进入下一轮复试的概率 . 课堂检测 1.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用事件 表示 “第一次摸得白球”,事件表示“第二次摸得白球”,则与 是( ). D A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 2.已知,,则 ( ). A A. B. C. D. 3.若,, ,则( ). C A.事件与互斥 B.事件与 对立 C.事件与相互独立 D.事件与 既互斥又相互独立 4.在同一时间内,甲、乙两个气象台 独立预报天气准确的概率分别为和 .求: (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率; (2)至少有一个气象台预报准确的概率. $