2025-2026学年人教版数学八年级上册期末压轴题专项训练

八上数学42道压轴题专项训练（考核类型+考点+解题关键+解析） 压轴题专项训练01 如图，AB=AC，∠BAC=90°，将AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连BD，CD，过点C作CE⟂CD交BD于点F，求证：BF=AB. 01题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转性质、全等构造 通过旋转构造全等，证明线段相等 【解答】 证明：如图 ， 作AG⟂CD于H，交BD于G，作∠ADW=135°，交AG于W， ∵AC绕点A逆时针旋转30°到AD， ∴AC=AD，∠CAD=30°， ∴∠ADC=∠ACD=75°，∠DAG=∠CAG=12∠CAD=15°， AG平分CD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°， ∴CG=DG， ∴∠DCG=∠CDB， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴AB=AD，∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAD=∠ADB=30°， ∵∠CBF=∠ABC−∠ABD=45°−30°=15°， ∠DCG=∠CDB=∠ADC−∠ADB=75°−30°=45°， ∴∠CBF=∠DAW，∠CGD=90°， ∵CF⟂CD， ∴∠DCF=90°， ∴∠CFD=90°−∠CDB=90°−45°=45°， ∴∠BFC=180°−∠CFD=135°，CF=CD， ∴∠AFC=∠ADW， 在Rt△DWH中，∠W=180°−∠CAD−∠ADW=180°−15°−135°=30°， ∴DW=2DH， ∵CF=CD=2DH， ∴DW=CF， ∴△BCF≌△AWD（AAS）， ∴BF=AD， ∴BF=AB。 压轴题专项训练02 如图，等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D是BF上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接FE，当△AFE的周长最小时，直接写出此时∠AEF的度数． 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 最值与动点问题 旋转最值、对称最值 用旋转和对称求三角形周长最小值 证明：如图 作射线CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC， ∵AD绕点A逆时针旋转60°到AE， ∴∠DAE=60°，AD=AE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∠ACE=∠BAD， ∵BF是AC上的中线， ∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°， ∴∠ACE=30°， ∴ 点E在与AC成30°的直线上运动， 作点A关于CE对称点A′，AA′交CE于O，连接A′F，交CE于E′， 当点E在E′处时，AE+EF最小，则△AFE的周长最小， ∴AE′=A′E′， ∴∠AA′E′=∠A′AE′， ∵∠AOC=90°，∠ACE=30°， ∴AC=2OA，∠ACO=60°， ∵AA′=2OA， ∴AA′=AC=AB， ∴∠AA′E′=∠ABA′=12∠BAA′=30°， ∴∠A′AE′=30°， ∴∠A′E′F=∠AA′E′+∠A′AE′=60°， 即当△AFE的周长最小时，直接写出此时∠AEF的度数为：60°. 压轴题专项训练03 已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP． （1）如下图，点E在AC边上，且AE=BP，连接BE交CP于点F． ①求证：BE=CP； ②填空：∠BFC=_______°； （2）如下图，将CP绕点C顺时针旋转120°至CQ，即CP=CQ，； （3）如下图，在（2）的条件下，延长BC至点E，使CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当S△APC=5S△QCE时，则S△QDE:S△BPC=_______． 【解答】 (1) ① 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 等边三角形性质、SAS全等 利用等边三角形边角关系 证明全等 证明： (1) ② 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形 性质与计算 等边三角形角度计算 利用外角定理求角度 解：由①知，△ABE≌△BCP， ∴∠ABE=∠BCP， ∴∠CFE=∠CBE+∠BCP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°， ∴∠BFC=180°−∠CFE=120°， 故答案为：120； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转构造全等、线段关系 通过旋转120°构造全等， 建立线段数量关系 BP+2CD=4；理由如下： 如图 在AC上截取AE=BP，连接BE，QE， 由（1）可知，BE=CP，∠BFC=120°， ∵CP=CQ， ∴BE=CQ， ∵∠QCP=120°， ∴∠BFC=∠QCP， (3) 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 面积与线段比例 面积比例转化、 全等图形面积相等 通过面积比例建立线段关系，结合旋转模型 证明：如图 延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM， ∵∠PCQ=120°， ∴∠BCP+∠MCQ=180°−120°=60°， ， ， 由（2）知：BD=QD， ， ， ， 故答案为：． 压轴题专项训练04 （1）已知：如下图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD∥AB，P为BC边上一点，过点P作AP⟂PE，PE交直线CD于点E．求证：AP=PE； （2）如下图，等腰△ABC中，AB=AC，CD∥AB，P为BC边上一点，过点P作∠APE=∠BAC，PE交直线CD于点E．求证：AP=PE； （3）如下图，△ABC中，直线DF过点C，BC平分∠ACF，P为BC边上一点，连接AP，若∠ACP的度数为α，∠CAP的度数为β， 且0°<β<α<α+β<90°，则直线DF上必有一点E，使得AP=PE，请计算∠APE=_______．（用α，β的代数式表示） 【解答】 （1） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 AAS全等判定、 等腰直角三角形 作垂线构造全等， 证明线段相等 证明：如图 作 PF⊥NC，交 AC 于点 F， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ACB=∠B=45°， ∴∠CFP=90°−∠ACB=90°−45°=45°， ∴∠CFP=∠ACB，∠AFP=180°−∠CFP=180°−45°=135°， ∴CP=PF， ∵CD∥AB， ∴∠ACD=∠BAC=90°， ∴∠PCE=∠ACD+∠ACB=90°+45°=135°，∠ACD=∠APE=90°， ∴∠PCE=∠AFP， ∵∠COE=∠POF， ∴∠PAC=∠PEC， ∴△AFP≌△EPC（AAS）， ∴AP=PE； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 AAS全等判定、 等腰三角形 构造等腰三角形， 利用角相等证明全等 证明：如图 以 P 为圆心，PC 长为半径画弧，交 AC 于 F， ∴PF=PC， ∴∠ACB=∠PFC， ∴∠AFP=180°−∠PFC=180°−∠ACB， ∵AB∥CD， ∴∠PCE=180°−∠B，∠ACE=∠BAC， ∵AB=AC，∠APE=∠BAC， ∴∠B=∠ACB，∠APE=∠ACE， ∴∠PCE=180°−∠ACB， ∴∠AFP=∠PCE， ∵∠AOP=∠COE， ∴∠PAF=∠PEC， ∴△AFP≌△EPC（AAS）， ∴AP=PE； （3） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 角平分线性质、全等判定 分类讨论，用代数式 表示角度关系 解：如图 当点 E 在射线 CD 上时，作 AB'∥CD，交 BC 于 B'，作∠APE=∠ACP=α，交 CD 于 E， ∴∠AB'C=∠FCP， ∵BC 平分∠ACF， ∴∠ACP=∠PCF，∴∠AB'C=∠ACB'， 由（2）知，PE=AP，∴当 AP=PE 时，∠APE=∠B'AC=180°−2α． 如图 当点 E 在射线 CF 上时， 作 PG⊥AC 于 G，作 PH⊥CE 于点 H， ∴∠AGP=∠PHE=∠CGP=∠CHP=90°， ∵BC 平分∠ACF， ∴PG=PH， ∵AP=PE， ∴△APG≌△EPH（HL）， ∴∠CEP=∠CAP=β， ∴∠EPB=∠BCE+∠CEP=α+β， 同理可得：∠APB=α+β， ∴∠APE=∠APB+∠EPB=2α+2β， 综上所述：∠APE=180°−2α 或 2α+2β． 压轴题专项训练05 点P为等边△ABC所在平面内一点，连接AP，BP，CP，且∠BPC=120°． （1）如下图，点P在△ABC外部，若BP=2，CP=3，则AP的长为_______（直接写出结果）； （2）． ①如下图，若AP⟂BP，求的值； ②如下图，D为BC边中点，连接PD，求∠APC−∠CPD的度数． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转构造全等、等边三角形 通过旋转60°构造等边三角形，求线段长 解：是等边三角形， ，， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为． 则，，，，， ， 点在线段上， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：； （2）① 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 等腰直角三角形、旋转构造 通过旋转构造等边三角形，求线段比例 解：，， 将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接， 则，，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． （2）② 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转构造、角度计算 通过旋转和全等转化角度关系 如图， 延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接， 同理可知，是等边三角形， ， 是的中点，， 在与中， ， ，， ，， ，， ， ， ， ，， 在与中， ， ， ． 压轴题专项训练06 如下图，在△ABC 中，AB=AC，点 P 为△ABC 外一点，点 M 为 BP 延长线上一点，点 N 为线段 PC 上一点，AM⊥BP 于点 M，AN⊥CP 于点 N，且∠ACP=∠ABP．直接写出图中与△ANC 全等的三角形是 _________，直接写出线段 PC，PM，BM 之间满足的数量关系是 _________． 【解答】 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线性质、全等判定 双垂直模型， 证明线段关系 解：∵AM⊥BP，AN⊥CP， ∴∠AMB=∠ANC=90°， 在△AMB 和△ANC 中， ， ∴△AMB≌△ANC（AAS），∴AM=AN，MB=NC， 又∵AP=AP， ∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）， ∴MP=NP， ∴PC=NC+NP=BM+PM， 故答案为：△AMB；PC=BM+PM； 压轴题专项训练07 如下图，已知等边△ABC 及△ABC 外一点 D，连接 DA，DB，DC．若∠ADB=60°，试判断 AD，CD，BD 之间满足的数量关系，并予以证明． 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 等边三角形性质、截长补短 在BD上截取AD，构造全等证明线段和关系 BD=AD+CD，证明如下： 如图，在 BD 上截取 DE=AD， ∵等边△ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵∠ADB=60°，∴△ADE 为等边三角形， ∴AD=AE，∠EAD=60°=∠BAC， ∴∠DAC=∠EAB， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE， 又∵BD=DE+BE， ∴BD=AD+CD； 压轴题专项训练08 如下图，在△ABC 中，AB=AC，点 E 为△ABC 外一点，且∠EAB=3∠EAC=60°，∠EBC=30°，求∠AEC 的度数． 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转构造、角度计算 通过构造等边三角形和全等求角度 解：如图， 延长 AB 至 F，使 AF=AE，再在 BE 上取点 G，使 AG=AB，连接 AG，FG，FE， ∵∠EAB=3∠EAC=60°，∠EBC=30°， ∴△AFE 为等边三角形， ∴AF=EF=AE，∠AFE=60°， ∴∠ABG=∠AGB=80°，∠BAG=∠EAC=20°，∠GAE=∠GEA=40°， ∴AG=EG， ∵AF=EF，AG=EG，FG=FG， ∴△FAG≌△FEG（SSS）， ∴∠AFG=∠EFG=30°， ∵AF=AE，∠BAG=∠EAC，AG=AB=AC， ∴△AFG≌△AEC（SAS）， ∴∠AFG=∠AEC， ∴∠AEC=30°． 压轴题专项训练09 （1）在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，AC 上，且满足 DE=EF，∠DEF=60°． ①如下图，若△ABC 为等边三角形，求证：BD=CE； ②如下图，若∠A=90°，∠B=60°，且 AD=4，CE=7，求 BE 的长； （2）如下图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=60°，BC=CD．过点 C 分别作 AB，AD 的垂线，垂足分别为 M，N．若 BM=3DN，直接写出的值． 【解答】 （1）① 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 等边三角形性质、全等判定 利用等边三角形和 60°角证明全等 证明： △ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，∠DEF=60°， ∴∠BDE=∠CEF， 在△BDE与△CEF中， ∴△BDE≅△CEF（AAS）， ∴BD=CE； （1）② 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 直角三角形性质、全等构造 构造全等三角形， 利用比例求线段长 解：∠A=90°，∠B=60°，如图（2），连接DF，在EC取点G，使得∠FGE=60°，连接FG， 同（1）得△DBE≅△EGF， ∴DB=EG，BE=FG，∠FGE=∠B=60°， ∴∠C=30°， ∵∠EGF=∠C+∠GFC，即60°=30°+∠GFC， ∴∠GFC=30°， ∴FG=CG， 设BE=FG=CG=x， ∵CE=7，AD=4， ∴DB=EG=7−x，AB=AD+DB=7−x+4=11−x，BC=BE+CE=x+7． ∵∠A=90°，∠B=60°， ∴∠C=30°， ∴BC=2AB， ∴x+7=22−2x， 解得x=5， ∴BE=5； （2） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形性质、比例关系 构造等边三角形，利用比例求线段比 解：的值为．理由如下： 延长AM至点E，连接CE，使得∠E=60°，延长EC，与AD交于点F，连接BD，如图， ∠BCD=60°，BC=CD， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD=CB=BD，∠CBD=∠CDB=60°， ∵∠E=60°，∠A=60°， ∴∠F=180°−∠E−∠A=180°−60°−60°=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE=EF=AF， ∵∠CDN+∠BDC=∠ABD+∠A，∠A=∠CDB=60°， ∴∠ABD=∠CDN， 在△ADB和△FCD中， △ADB≅△FCD（AAS）， ∴CF=AD，AB=FD， 同理可证：△ADB≅△EBC，△FCD≅△EBC， ∴AD=BE=CF，AB=FD=EC， ∵BM=3DN， 设DN=a，AD=BE=CF=x，AB=FD=EC=y， 则BM=3a，ME=x−3a，NF=y−a， ∵CM⟂AB，CN⟂AD，∠E=∠F=60°， ∴∠ECM=∠NCF=30°， ∴EC=2ME，CF=2NF， 即， 解得：， ． 压轴题专项训练10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，D 为射线 AB 上的一动点，以 DC 为边作等边△CDE（点 C、D、E 按顺时针方向排列），探究线段 EA 与 ED 的数量关系． 【特殊位置】（1）如下图，当点 D 与点 B 重合，点 E 在 AB 上，猜想 EA 与 ED 的数量关系，并证明； 【一般情况】（2）如下图，当点 D 在 AB 的延长线上时，证明（1）中的结论仍然成立； 【迁移应用 3】如下图，当点 D 在 AB 的延长线上时，EM⊥AB 于点 M，过点 E 作 EN∥AB，交 CB 的延长线于点 N，若 CB：BN=3：2，AM=6，直接写出 BN 的长 _________． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形性质、特殊角 特殊位置分析，证明线段关系 证明：， 理由如下：△CDE为等边三角形，∴DC=DE， ∵∠A=90°−∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴AD=2DC=2DE，∴AE=AD−DE=DE； （2） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等判定、等边三角形 构造等边三角形，证明线段关系不变 证明：在上取点，使，连接、， BF=BC，∠ABC=60°，∴△CBF为等边三角形， 由（1）结论可知，FA=FB=FC， ∵△CDE为等边三角形，∴CE=CD，∠ECD=∠FCB， ∴∠FCE=∠BCD，∴△CFE≅△CBD（SAS）， ∴∠CFE=∠CBD=180°−∠ABC=180°−60°=120°， ∴∠EFD=∠CFE−∠CFB=120°−60°=60°， ∴∠AFE=180°−∠EFD=120°，∴∠AFE=∠CFE， ∴△CFE≅△AFE（SAS），∴EA=EC=ED； （3） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 坐标计算、平行线性质 结合坐标和平行线性质求线段长 解：在AB上取点F，使BF=BC，连接CF， 设CB=3x，BN=2x，则CN=5x，∠DCN=α， 由（1）可知：AF=FB=CB=3x，由（2）可知：EA=ED， 又EM⟂AB于点M，∴AD=2AM=12， ∵EN∥AB，∴∠ENC=∠ABC=60°， ∵∠ENC=∠CDN=60°，∴∠DEN=∠DCN=α， ∴∠CEN=∠CED+∠DEN=60°+α，∠DCF=∠BCF+∠DCN=60°+α， ∴∠CEN=∠DCF， ∵∠CFD=∠ENC=60°，CD=EC， ∴△CFD≅△ENC（AAS）， ∴AD=AF+DF=8x=12，DF=CN=5x， ， BN=2x=3． 故答案为：3． 压轴题专项训练11 问题提出 如下图，在等腰△ABC 中，AB=BC，D 在 BC 边上（端点除外），AD=DE，且∠ABC=∠ADE=α，连接 CE，探究∠BCE 与 α 的数量关系． （1）先将问题特殊化，如下图，当 α=60° 时，直接写出∠BCE 的大小； （2）再探究一般情形，如下图，求∠BCE 与 α 的数量关系． 【问题拓展】将上图特殊化，如下图，当 α=90° 时，连接 BE，M 是 AC 的中点，N 是 BE 的中点．判定以 D，M，N 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等腰三角形性质、角度计算 特殊角60°时求角度大小 解：如图，在 AB 上截取 AF，使 AF=CD，连接 DF， ∵∠ABC=∠ADE=60°， ∴∠ADC−∠ABC=∠ADC−∠ADE， ∴∠BAD=∠CDE， 在△FAD 和△CDE 中， ∴△FAD≌△CDE（SAS）， ∴∠AFD=∠DCE， ∵AB=BC，AF=CD， ∴AB−AF=BC−CD， ∴BF=BD， ∴△BFD 是等边三角形， ∴∠BCE=∠AFD=120°； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转模型、角度关系 探究旋转角与角度数量关系 解：如图，在 AB 上截取 AF，使 AF=CD，连接 DF， ∵∠ABC=∠ADE=α， ∴∠ADC−∠ABC=∠ADC−∠ADE， ∴∠BAD=∠CDE， 在△FAD 和△CDE 中， ∴△FAD≌△CDE（SAS）， ∴∠AFD=∠DCE， ∵AB=BC，AF=CD， ∴AB−AF=BC−CD， ∴BF=BD， ∵∠ABC=α， ∴∠BFD=90°−α， ∴∠BCE=∠AFD=180°−∠BFD=90°+α． （3） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等腰直角三角形、中点性质 探究特殊角时三角形的形状 证明：△DMN 为等腰直角三角形，证明如下： 如图，连接 BM，DM，DN，AN，延长 MN 交 CE 于 G，连接 DG， 由（2）得：当 α=90° 时，∠DCE=90°+α=135°， ∵AB=BC，∠ABC=α=90°， ∴∠BAC=45°， ∴∠ACE=∠DCE−∠DCA=90°， ∵AB=BC，M 为 AC 中点， ∴BM⊥AC， ∴∠BMC=∠ECM=90°， ∴BM∥CE， ∴∠MBE=∠CEN， ∵N 为 BE 中点， ∴BN=EN， 在△BMN 和△EGN 中， ∴△BMN≌△EGN（ASA）， ∴BM=EG，MN=GN， ∠BAC=45°，BM⊥AC， ∴BM=AM， ∴AM=EG， ∵∠DHC=∠DAM+∠ADE=∠DEG+∠ACE，∠ADE=∠ACE=90°， ∴∠DAM=∠DEG， 在△DAM 和△DEG 中， ∴△DAM≌△DEG（SAS）， ∴DM=DG，∠ADM=∠EDG， ∴∠MDG=∠ADE=90°， ∴△MDG 为等腰直角三角形． ∵MN=GN， ∴△DMN 为等腰直角三角形． 压轴题专项训练12 已知△ABC 是等边三角形． （1）如下图，在射线 BC 上取一点 D，以 CD 为边作等边△CDE，连接 AD，BE，AD 交 BE 于点 F． ①求证：AD＝BE； ②连接 CF，求证：∠FCE＝∠EBD． （2）如下图，点 T 在△ABC 的外部，CT＝BC，连接 AT，BT，CM 平分∠BCT 交 AT 于点 M，交 BT 于点 N． ①求∠ATB 的大小； ②探究线段 AM，CN，MT 之间的数量关系，并说明理由． 【解答】 （1）① 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 等边三角形性质、SAS全等 双等边三角形模型，证明线段相等 证明：∵△ABC 与△CDE 为等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE 和△ACD 中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD. （1）② 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等三角形性质、角度相等 通过全等三角形对应角相等证明 证明：如图，过 C 作 CH⊥BE 于 H，作 CG⊥AD 于 G， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBD=∠DAC， ∴∠AFB=∠EBD+∠ADB=∠DAC+∠ADB， ∴∠ACB=∠AFB=60°， ∵CH⊥BE，CG⊥AD， ∴∠BHC=∠AGC=90°， 在△BHC 和△AGC 中， ∴△BHC≌△AGC（AAS）， ∴CH=CG， ∵CH⊥BE，CG⊥AD， ∴∠BFC=∠CFD， ∵∠BFC+∠CFD=180°−∠AFB=120°， ∴∠BFC=60°， ∵∠ECD=60°， ∴∠BFC−∠BEC=∠ECD−∠BEC， ∴∠FCE=∠EBC. （2）① 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形外角性质 利用外角性质求角度大小 解：设∠ACT=x°， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠BCT=∠BCA+∠ACT=60°+x°， ∵CA=CB=CT， ∴∠ATC=∠CAT=90°−x°，∠BTC=∠CBT=60°−x°， ∴∠ATB=∠ATC−∠BTC=30°； （2）② 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线性质、线段关系 探究线段之间的数量关系 证明：如图，连接 BM，在 BM 上取点 S，使得 MS=MC，连接 CS， ∵BC=CT，CM 平分∠BCT， ∴BN=NT，CN⊥BT. ∴∠TMN=90°−∠ATB=60°，BM=TM， ∴∠BMN=∠TMN=60°， ∵MS=MC， ∴△SMC 为等边三角形， ∴CS=CM，∠SCM=60°， ∵∠BCA=∠SCM， ∴∠BCA−∠ACS=∠SCM−∠ACS， ∴∠BCS=∠ACM， 在△BCS 和△ACM 中， ∴△BCS≌△ACM（SAS），∴BS=AM， ∵BM=TM，∴TM−AM=BM−BS=MS， ∵MN⊥BT，∠TMN=30°，∴MN=MT， ∵MN+CN=CM，CM=MS，∴MT−AM=MT+CN， ∴AM+CN=MT. 压轴题专项训练13 已知，在等边△ABC 中，点 D 为直线 BC 上一点，作点 B 关于直线 AD 的对称点 E，连接 CE，直线 AD 与 CE 交于点 F． （1）如下图，若点 D 在线段 BC 上． ①∠F 的度数为 ； ②求证：AF＝CF+EF； （2）如下图，若点 D 在点 C 的右侧，AF＝a，CF＝b，则 DF＝_ __．（用含 a，b 的式子表示） 【解答】 （1）① 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形、轴对称性质 利用对称性求角度 解：∵在等边△ABC 中，点 D 为直线 BC 上一点，作点 B 关于直线 AD 的对称点 E， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，AE=AB，∠BAF=∠EAF=α. ∴∠EAC=2α−60°，AE=AC. ∴. ∴∠BCF=180°−120°+α−60°=α. ∵∠ADB=∠CDF， ∴∠F=∠ABC=60°， 故答案为：60°； （1）② 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等判定、线段和差 构造等边三角形，证明线段和关系 证明：如图 1，作交 AD 于点 G，连接 BF. ∵∠AFC=60°， ∴△FCG 是等边三角形， ∴GF=FC. ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∴∠ACG=∠BCF=α. 在△ACG 和△BCF 中， ∴△ACG≌△BCF（SAS）， ∴AG=BF. ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E， ∴BF=EF. ∵AF−AG=GF， ∴AF=CF+EF. （2） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 最值与动点问题 动点问题、线段关系 用含参数式子表示线段长度 解：如图 2，作∠FCG=60°交 AD 于点 G，连接 BE. ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E， ∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠EAC=2α−60°，AE=AC. ∴. ∴∠CFG=∠CAD+∠ACE=α−60°+120°−α=60°； ∴△FCG 是等边三角形， ∴GF=FC=CG=b. 同理可得：△ACG≌△BCF. ∴AG=BF=AF+FG=a+b. ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E， ∴BF=EF=a+b，∠ECF=∠ABF=120°−α. ∴∠AFB=180°−α−120°+α=60°，∠BFC=60°=∠CFD. 过 C 作CQ⊥BF于 Q，作CT⊥DF于 T，作DM⊥BF于 M， ∴CQ=CT，∠DFM=60°， ∴∠FDM=30°. 设DF=x， ∴①，，. 同理：， ∴②. ② - ①得：， 解得：， ∴. 故答案为：. 压轴题专项训练14 如下图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，AD＝BD＝BC，则∠A＝ ______； 【解答】 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等腰三角形角度计算 设未知数列方程求角度 解：设∠A=x，∵AD=BD=BC， ∴∠A=∠ABD=x，∠BDC=∠C， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2x， ∴∠C=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°， ∴∠A=36°； 故答案为：36°. 压轴题专项训练15 如下图，在△ABC 中，∠B＝30°，点 D 在 BC 上，∠BAD＝45°，AB＝CD，求∠C 的度数； 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等构造、角度计算 截取相等线段构造全等求角度 解：如图，在 BC 上取一点 E，使 BE=AB，∴∠BAE=∠BEA， ∵AB=CD，∴BE=CD，∴BE - DE=CD - DE， 即 BD=CE， ∵∠B=30°，∠BAD=45°， ∴∠BAE=∠BEA=75°，∠ADE=30°+45°=75°， ∴∠ADE=∠BEA=75°， ∴AD=AE，∠ADB=∠AEC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠C=∠B=30°； 压轴题专项训练16 如下图，在四边形 ABDC 中，∠ABC＝40°，∠BAC＝∠ACD＝80°，AC＝CD，求∠ADB 的度数． 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等构造、角度计算 延长线段构造全等求角度 解：∵∠ABC=40°，∠BAC=80°，∴∠ACB=180° - 40° - 80°=60°， ∵∠ACD=80°，∴∠BCD=80° - 60°=20°， ∵AC=CD，∴∠ADC=∠CAD=（180°−80°）/2=50°， 如图，延长 CA 至点 G，使 CG=BC，连接 BG，作∠BCF=∠ABC=40°，交 AB 于 F，交 AD 于点 P，连接 FG，设 AD 与 BC 交于点 E， ∴∠AFC=40°+40°=80°=∠BAC，∠ACF=60° - 40°=20°=∠BCD， ∴AC=CF， ∵AC=CD， ∴CF=CD， ∵∠ACB=60°，CB=CG， ∴△BCG 是等边三角形， ∴BG=CG=BC，∠BGC=60°， 在△CFG 和△CDB 中， ∴△CFG≌△CDB（SAS）， ∴∠CGF=∠CBD， 在△CFG 和△BFG 中， ∴△CFG≌△BFG（SSS）， ∴∠CGF=∠BGF=1/2×60°=30°， ∴∠CBD=30°， ∵∠BED=∠BCD+∠ADC=20°+50°=70°， ∴∠ADB=180° - 30° - 70°=80°. 压轴题专项训练17 △ABC 是等边三角形，点 D 在△ABC 的内部，△BDC 是顶角为 120° 的等腰三角形，BD＝CD． （1）如下图，连接 AD，求证：AD⊥BC； （2） 如下图，过点 D 作∠EDF＝60°，分别交 AB、AC 于点 E、F，连接 EF，延长 ED 交 BC 于点 G． ①求证：△DFC≌△DGB； ②若 BC＝10，求△AEF 的周长． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形、等腰三角形 三线合一证明垂直 证明：如图，延长 AD 交 BC 于 M， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC， ∵AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD=∠CAD， ∴AM⊥BC，即 AD⊥BC； (2) ① 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 ASA全等判定 利用角度关系证明全等 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠DCF=60°−30°=30°， ∴∠DCF=∠DBG， ∵∠EDF=60°， ∴∠CDF+∠CDG=120°， ∵∠BDC=∠BDG+∠CDG=120°， ∴∠BDG=∠CDF， 在△DFC 和△DGB 中， ∴△DFC≌△DGB（ASA）； (2) ② 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形、周长计算 构造全等三角形转化线段求周长 解：如图，延长 CD，BD，分别交 AB 于 Q，交 AC 于 P，在 AC 上取一点 K，使 KP=QE，连接 DK， 由①知：BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠BPC=∠CQB=90°， ∴PC=BC，BQ=BC， ∴PC=BQ=AQ=AP=×10=5， 在 Rt△BDQ 和 Rt△CDP 中， ∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL）， ∴DQ=DP， ∵∠DQE=∠DPK=90°， ∴△DQE≌△DPK（SAS）， ∴DE=DK，∠DQE=∠DPK， ∵∠BDQ=60°，∠EDF=60°， ∴∠QDE+∠FDP=60°， ∴∠DPK+∠FDP=60°， 即∠FDK=60°， ∴∠FDK=∠EDF=60°， ∵FD=FD， ∴△EDF≌△KDF（SAS）， ∴EF=KF=FP+PK， ∴△AEF 的周长 = AE+AF+EF=AE+AF+FP+PK=AE+AF+FP+QE=AP+AQ=5+5=10. 压轴题专项训练18 （1）如下图，中，（），平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于，连，在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的 “平分交于” 换成 “平分的外角交直线于”，其他条件不变，请在下图中补全图形，并直接写出的度数（用含的式子表示）； （3）在（1）的条件下，若（如下图），且，于，求的长度． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线、垂直平分线 证明角平分线，需作辅助线 证明：， ， ，， 平分， ， ，即平分； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 外角平分线、角度计算 补全图形，用代数式表示角度 解：如图 2，连接、，过点作于，交的延长线于， 则， 由（1）可知：， ，， ， 点在的垂直平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线性质、面积法 利用面积法求线段长度 解：如图 3，连接，过点作交的延长线于， ，平分， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 解得：． 压轴题专项训练19 以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如下图，当点、、三点共线时，求证：； （2）如下图，当点、、三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：； （3）如下图，当点在线段上运动时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系___________． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 等腰三角形、角度计算 利用角度和证明垂直 证明：在△DAC 中，∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵∠ADC=α， ∴∠DCA+∠DAC+∠ADC=180°， ∴∠DCA=90°−α， 同理可得：∠ECB=90°−β， ∵90°−+90°−+∠DCE=180°， ∵α+β=180°， ∴∠DCE=90°， ∴DC⊥CE； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 中点、全等构造、垂直证明 倍长中线法构造全等证明垂直 证明：延长 DF 至 Q，使 FQ=DF，连接 BQ， 在△AFD 和△BFQ 中， ∴△AFD≌△BFQ（SAS）， ∴AD=BQ，∠DAF=∠QBF， 又∵AD=DC， ∴DC=QB， 由（1）知∠DAC=∠DCA，∠ECB=∠EBC， 设∠DAC=∠DCA=x，∠ECB=∠EBC=y，∠CAB=∠1，∠CBA=∠2， ∴∠QBF=x−∠1， ∴∠QBE=y+x−∠1−∠2，∠DCE=180°−y−x−∠1−∠2， 由（1）知 x+y=90°， ∴∠DCE=∠QBE=90°−∠1∠2， 在△DCE 和△QBE 中， ∴△DCE≌△QBE（SAS）， ∴DE=QE， 又∵DF=QF， ∴DF⊥EF； （3） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 角度关系探究 分类讨论角度数量关系 解：取 AB 的中点 F，连接 EF，由（2）知 DF⊥EF， ∵EB=EA， ∵EB=EC， ∴EC=EA， 设∠BAC=x，∠BCA=y，∠EAC=∠ECA=z， ①当点 E 在 AC 上方，如图， ∵∠DBC=∠BAC+∠BCA=x+y=90°+z， ∴z=∠DBC−90°， ∴∠AEC=180°−2z=180°−2（∠DBC−90°）=360°−2∠DBC， 即∠AEC+2∠DBC=360°； ②如图，当点 E 在 AC 下方，如图， ∵∠DBC=∠BAC+∠BCA=x+y=90°−z， ∴∠AEC=180°−2z=2（90°−z）=2∠DBC． 综上所述，∠AEC+2∠DBC=360° 或∠AEC=2∠DBC． 故答案为：∠AEC+2∠DBC=360° 或∠AEC=2∠DBC． 压轴题专项训练20 （1）如下图，在中，是角平分线．求证：． （2）在中，，，是角平分线，，． ①如下图，若，求证：； ②如下图，为线段上一点，绕点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含，的式子表示）． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 面积与线段比例 角平分线、面积比 证明面积比等于线段比 如图，作点到、边的垂线，垂足分别为，。 是角平分线， ， ，， ， ， 。 （2）① 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线、线段关系 构造等腰三角形证明线段关系 如图，在上取点，使，作的角平分线交于点。 在中，，， ， 是角平分线，即。 又，， （）， ，， ， ， ， 又是角平分线， ， ， ， ， ， ， 是角平分线， ，即， ，即。 （2）② 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 最值与动点问题 旋转最值、将军饮马 旋转构造，利用对称求最值时的比例 如图，连接，作点关于直线的对称点，连接交于点， ， ， 又，， （）， ， 是定直线， ， 当在点时，最小， 由对称性可知，， ， 当最小时，。 压轴题专项训练21 问题提出：如下图，在锐角等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，K是动点，满足BK⟂AK，将线段AK绕点A逆时针旋转α至AD，连接DK并延长，交BC于点M，探究点M的位置． 特例探究： （1）如下图，当点K在BC上时，连接CD，求证：． （2）如下图，当点K在AC上时，求证：M是BC的中点． 问题解决：再探究一般情形，如下图，求证：是的中点． 【解答】 （1） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 旋转性质、全等判定 旋转全等证明线段比例关系 证明：∵ AB=AC，BK⊥AK ∴ BK=KC=1/2 BC，∠BAK=∠CAK（等腰三角形三线合一） ∵ ∠BAC=α，∠KAD=α ∴ ∠BAC=∠KAD ∴ ∠BAC - ∠KAC = ∠KAD - ∠KAC ∴ ∠BAK=∠DAC 在△BAK 和△CAD 中： { BA=CA（已知） { ∠BAK=∠CAD（已证） { KA=DA（旋转性质，AK=AD） ∴ △BAK≌△CAD（SAS） ∴ CD=BK（全等三角形对应边相等） 又∵ BK=1/2 BC（已证） ∴ CD=1/2 BC （2） 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等腰三角形、中点证明 利用等腰三角形性质证明中点 证明：∵ AB=AC，∠BAC=α ∴ ∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2（等腰三角形两底角相等） ∵ AK=AD，∠KAD=α ∴ ∠AKD=∠D=(180°-α)/2（等腰三角形两底角相等） ∴ ∠AKD=∠ACB（等量代换） ∵ ∠AKD=∠MKC（对顶角相等） ∴ ∠MKC=∠ACB（等量代换） ∴ MK=MC（等角对等边） ∵ BK⊥AK ∴ ∠BKA=90°，则∠BKC=180°-∠BKA=90°（平角定义） ∴ ∠MKB + ∠MKC=90°，∠MBK + ∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余） 又∵ ∠MKC=∠ACB（已证） ∴ ∠MKB=∠MBK（等角的余角相等） ∴ MK=MB（等角对等边） ∵ MK=MC 且 MK=MB ∴ MB=MC ∴ M 是 BC 的中点 （3） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 旋转模型应用 旋转模型、中点证明 一般情形下的中点证明 证明：连接 CD，过点 B 作 BE⊥KD 于点 E，过点 C 作 CF⊥DK 于点 F（如图，此处对应原题辅助线图）。 在△BAK 和△CAD 中： { BA=CA（已知） { ∠BAK=∠CAD=α（∠BAC=α，∠KAD=α，且∠BAK=∠BAC-∠KAC，∠CAD=∠KAD-∠KAC） { KA=DA（旋转性质，AK=AD） ∴ △BAK≌△CAD（SAS） ∴ BK=CD（全等三角形对应边相等），∠AKB=∠ADC=90°（全等三角形对应角相等，且 BK⊥AK 则∠AKB=90°） ∵ ∠ADC=90°，∠AKB=90° ∴ ∠ADK + ∠CDF=90°（∠ADC=∠ADK+∠CDF），∠AKD + ∠BKE=90°（∠AKB=∠AKD+∠BKE） 又∵ AK=AD ∴ ∠ADK=∠AKD（等腰三角形两底角相等） ∴ ∠CDF=∠BKE（等角的余角相等） 在△CDF 和△BKE 中： { ∠CDF=∠BKE（已证） { ∠CFD=∠BEK=90°（BE⊥KD，CF⊥DK） { CD=BK（已证） ∴ △CDF≌△BKE（AAS） ∴ CF=BE（全等三角形对应边相等） 在△BEM 和△CFM 中： { ∠BME=∠CMF（对顶角相等） { ∠BEM=∠CFM=90°（已证） { BE=CF（已证） ∴ △BEM≌△CFM（AAS） ∴ BM=CM（全等三角形对应边相等） ∴ M 是 BC 的中点 压轴题专项训练22 如下图，在中，，，平分，，，求的长； 【解答】 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线、全等构造 截取相等线段构造全等求线段长 解：在线段 AB 上截取 BE=BC=7，连接 DE， ∵∠A=40°，∠C=80°，∴∠ABC=180°−40°−80°=60°， ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°， ∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE=CD=4，∠BED=∠C=80°， ∵∠A=40°，∴∠ADE=80°−40°=40°=∠A， ∴AE=DE=4，∴AB=BE+AE=7+4=11. 压轴题专项训练23 如下图，在中，，，平分，，，求的长； 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角平分线、全等构造 多次构造全等求线段长 解：∵△ABC 中，AB=AC，∠A=20°， ∴∠ABC=∠C=80°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠DBE=∠DBC=40°，∠BDC=60°， 在 BA 边上取点 E，使 BE=BC=2，连接 DE， 在△DEB 和△DBC 中， ∴△DEB≌△DCB（SAS）， ∴∠BED=∠C=80°， ∴∠BDE=60°， ∴∠EDF=60°， 在 DA 边上取点 F，使 DF=DB，连接 FE， 同理得△BDE≌△FDE（SAS）， ∴∠DFE=∠DBE=40°，BE=EF=2， ∵∠A=20°， ∴∠AEF=20°， ∴AF=EF=2， ∵BD=DF=3， ∴AD=DF+AF=5. 压轴题专项训练24 如下图，在中，，，，则的长为. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 角平分线与垂直平分线 角度条件、勾股定理 利用角度关系和勾股定理求线段长 解：如图，作 BE⊥AC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DE=AE，连接 BD，则 BE 是 AD 的垂直平分线， ∴AB=BD，∠A=∠D， ∵3∠A+∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°， ∴∠BCA=2∠A， ∵∠BCA=∠D+∠CBD， ∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A， ∴∠CBD=∠A=∠D， ∴DC=BC=4， 设 AC=x， ∴AD=DC+AC=4+x， ∴AE=AD=2+x， ∴EC=AC−AE=x−2， 在 Rt△BCE 和 Rt△AEB 中，由勾股定理得到： ， ∴， 解得，x=5， 即 AC=5， 故答案为：5. 压轴题专项训练25 如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接，. （1）如下图 ①求的度数； ②求证：； （2）如下图，、分别是、上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为（用含的式子表示）. 【解答】 （1）① 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 等腰/等边三角形性质与计算 等边三角形、角度计算 利用等边三角形性质求角度 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠DBC=α， ∴∠ABD=60°−α，∠ABE=∠ADB=∠ACB+∠DBC=60°+α， ∴∠DBE=∠ABE+∠ABD=(60°+α)+(60°−α)=120°； （1）② 本题难度星级：★★★☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 全等三角形综合 全等判定、线段相等 截取构造全等证明线段相等 证明：如图， 在 AB 上截取 BX=AD， ∵AD=2BF， ∴BX=2BF， ∴XF=BF， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABD≌△BXC（SAS）， ∴∠CXB=∠ADB，CX=BD， ∵∠ABD=∠ABE， ∴∠ABE=∠CXB， ∵∠BFE=∠CFX， ∴△BFE≌△XFC（ASA）， ∴BE=CX， ∴BE=BD； （2） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 最值与动点问题 轴对称最值、动点轨迹 构造等边三角形，利用轴对称求最值 解：如图， 作∠DBW=60°，截取 BW=BD，连接 NW，DW，DW 交 BC 于 N’，在 BA 上截取 BM’=BN’，连接 M’N’，M’N’ 交 BD 于 O， ∴∠ABC=∠DBW， ∴∠MBD=∠NBW， ∵BM=BN， ∴△MBD≌△NBW（SAS）， ∴DM=NW， ∴DN+DM=DN+NW≤DW， ∴当 N 在 N’ 处，M 在 M’ 处时，DM+DN 最小， 此时∠BDM’=∠BDW=60°， ∵∠ABC=60°，BM’=BN’， ∴△BM’N’ 是等边三角形， ∴∠BN’M’=60°，∠BM’N’=60°， ∴∠BN’M’=∠BDM’， ∵∠DOM’=∠BON’， ∴∠DM’O=∠DBC=α， ∴∠BM’D=60°+α， 故答案为：60°+α． 压轴题专项训练26 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点的坐标为，直角顶点在轴上. （1）如下图，若点的坐标为，直接写出点的坐标； （2）如下图，点在轴的负半轴上，为的中点，连，求的度数； （3）如图，点在轴的负半轴上，点在轴负半轴上，连接并延长，交于，若，求点的横坐标. 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 等腰直角三角形、坐标计算 结合坐标性质进行几何推理 解：（1）如图 1，过点 C 作 CH⊥x 轴于 H， ∵点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵∠CHB＝90°， ∴∠BCH + ∠CBH＝90°， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO + ∠CBH＝90°， ∴∠BCH＝∠ABO， ∵∠AOB＝∠BHC＝90°， ∴△AOB≌△BHC（AAS）， ∴BH＝OA＝2，CH＝OB＝1， ∴OH＝BH - OB＝2 - 1＝1， ∴点 C 的坐标为（-1，-1）； （2）如图 2，过点 D 作 DM⊥OA 于 M，作 DN⊥OB 于 N，连接 BD， ∴∠DNO＝∠DMO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MDN＝90°， ∴∠BDM + ∠BDN＝90°， ∵△ABC 是等腰直角三角形，D 为 AC 的中点， ∴BD⊥AC，∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ADB＝90°，AD＝BD， ∴∠ADM + ∠BDM＝90°， ∴∠ADM＝∠BDN， ∵∠AMD＝∠BND＝90°， ∴△ADM≌△BDN（AAS）， ∴DM＝DN， ∵DM⊥OA，DN⊥OB， ∴OD 平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠AOB＝×90°＝45°； （3）如图 3，过点 E 作 EQ⊥OA 于 Q，过点 A 作 AP⊥EF 于 P， ∵EF＝AF， ∴∠EAF＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC + ∠BAF，∠AEF＝∠C + ∠CBE，∠C＝∠BAC＝45°， ∴∠BAF＝∠CBE， ∵∠CBE + ∠ABE＝∠BAF + ∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠ABE， ∵∠AOB＝90°，AP⊥EF，∴AP＝AO＝2， ∵， ∴AP＝EQ＝2，∴点 E 的横坐标为 - 2． 压轴题专项训练27 如下图，在平面直角坐标系中，点，满足，点在第四象限，，. （1），，； （2）求点的坐标； （3）如下图，点为点上方的轴上一点，以点为直角顶点作等腰，，点在点的右侧，连交轴于点，若，求的长. 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、全等 代数与几何结合，坐标计算与证明 （1）求 a、c、OA 的值 解：∵ |a+2c| + c² - 6c + 9 = 0， ∴ |a+2c| + (c - 3)² = 0（将 c² - 6c + 9 配方为完全平方形式）， ∵ 绝对值和平方数均为非负数，非负数之和为 0 则每项均为 0， ∴ c - 3 = 0，得 c = 3； 将 c = 3 代入 | a+2c| = 0，得 a + 2×3 = 0，即 a = -6， ∴ 点 A 坐标为 (-6, 0)，点 C 坐标为 (0, 3)， ∴ OA 为点 A 到原点 O 的距离，即 OA = |-6 - 0| = 6， 故答案为：-6，3，6。 （2）求点 B 的坐标 解：由（1）可知：OA = 6，OC = 3（OC 为点 C 到原点 O 的距离，即 OC = |3 - 0| = 3）， 如图（辅助线）：作 BH⊥y 轴于点 H， ∴ ∠BHC = 90°（垂直定义）， ∵ ∠ACB = 90°（已知），∠BHC = 90°， ∴ ∠ACO + ∠HCB = 90°（∠ACB 的拆分），∠HCB + ∠CBH = 90°（直角三角形两锐角互余）， ∴ ∠ACO = ∠CBH（同角的余角相等）， 在△AOC 和△CHB 中： { ∠AOC = ∠CHB（均为 90°）， ∠ACO = ∠CBH（已证）， AC = CB（已知） } ∴ △AOC ≌ △CHB（AAS，角角边全等判定）， ∴ 对应边相等：OC = HB，OA = CH， ∵ OC = 3，OA = 6， ∴ HB = 3，CH = 6， 又∵ 点 C 坐标为 (0, 3)，CH = 6 且 H 在 y 轴上， ∴ OH = CH - OC = 6 - 3 = 3（H 在 C 下方，故纵坐标为 3 - 6 = -3）， ∵ BH⊥y 轴，HB = 3 且 B 在第四象限（横坐标为正，纵坐标为负）， ∴ B 的横坐标 = HB = 3，纵坐标 = -OH = -3， ∴ 点 B 坐标为 (3, -3)。 （3）求 AM 的长 解：如图（辅助线）：过 B 作 BP⊥x 轴，垂足为 P；过 N 作 NQ⊥x 轴，垂足为 Q， ∴ ∠BPE = ∠NQE = 90°（垂直定义）， ∵ 点 B 坐标为 (3, -3)，BP⊥x 轴，∴ BP = |-3| = 3； ∵ △CMN 是等腰 Rt△，C 为直角顶点，CM = CN，C (0, 3)，N 在 C 右侧， ∴ N 的纵坐标与 C 相同（CM 在 y 轴，CN 水平向右），即 NQ = 3（NQ⊥x 轴，故 NQ = 纵坐标的绝对值 = 3）， ∴ NQ = BP = 3， 又∵ ∠BEP = ∠NEQ（对顶角相等）， 在△BPE 和△NQE 中： { ∠BPE = ∠NQE（均为 90°）， ∠BEP = ∠NEQ（已证）， BP = NQ（已证） } ∴ △BPE ≌ △NQE（AAS）， ∴ BE = NE（全等三角形对应边相等），即 E 为 BN 中点， 延长 CE 至 H 点，使 EH = CE（构造线段中点，CE = 5，故 CH = CE + EH = 10），连接 BH， 在△CNE 和△HBE 中： { CE = HE（构造的 EH = CE）， ∠CEN = ∠HEB（对顶角相等）， EN = EB（已证 E 为 BN 中点） } ∴ △CNE ≌ △HBE（SAS，边角边全等判定）， ∴ ∠NCE = ∠BHE（全等三角形对应角相等），CN = HB（全等三角形对应边相等）， ∴ CN ∥ BH（内错角相等，两直线平行）， ∴ ∠NCB + ∠CBH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵ △ABC 是等腰 Rt△（∠ACB = 90°，AC = BC），△CMN 是等腰 Rt△（∠MCN = 90°，CM = CN）， ∴ ∠ACB = ∠MCN = 90°， ∴ ∠ACB + ∠BCM = ∠MCN + ∠BCM（等式性质），即∠ACM + ∠BCN = 360° - ∠ACB - ∠MCN = 180°（周角为 360°）， 又∵ ∠NCB + ∠CBH = 180°（已证 CN ∥ BH）， ∴ ∠ACM = ∠CBH（同角的补角相等）， ∵ CN = HB（已证），CM = CN（已知△CMN 是等腰 Rt△）， ∴ CM = BH（等量代换）， 在△ACM 和△CBH 中： { AC = CB（已知△ABC 是等腰 Rt△）， ∠ACM = ∠CBH（已证）， CM = BH（已证） } ∴ △ACM ≌ △CBH（SAS）， ∴ AM = CH（全等三角形对应边相等）， ∵ CH = CE + EH = 5 + 5 = 10（EH = CE = 5）， ∴ AM = 10。 压轴题专项训练28 如图 1，在平面直角坐标系中，原点为 O，一条直线交 x 轴负半轴和 y 轴正半轴于点 A，B，点 C 在线段 AB 上，点 D 在线段 OB 上，线段 CD 的垂直平分线交 OA 于点 E，∠BAO=∠CDE=α（0°<α<90°）. （1）若 α=30°，则解决以下问题： ①当点 D 与原点 O 重合，如图 2，求证：AC=BC； ②如图 3，若 DC∥OA，连 BE，求证：AE=BE； （2）如图 4，过点 D 作 x 轴的平行线，交 AB 于点 F，求证：BF=2AC. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 垂直平分线、全等三角形 坐标系中结合垂直平分线性质 证明：（1）①当点 D 与原点 O 重合时，∠BAO=∠COE=α=30°， ∴AC=OC， ∵∠AOB=90°， ∴∠CBO=90°−30°=60°，∠BOC=90°−30°=60°， ∴∠CBO=∠BOC=60°， ∴△BOC 是等边三角形， ∴BC=OC， ∴AC=BC； ②如图，设线段 CD 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 F，连接 DF， 则 CE=DE，CF=DF，EF⊥OA， ∴∠DCE=∠CDE，∠BCD=∠FDC， ∵DC∥OA， ∴∠DCE=∠AEC，∠CDE=∠DEO，∠BCD=∠BAO， ∵∠BAO=∠CDE=α=30°， ∴∠BAO=∠AEC=∠DEO=∠FDC=∠FCD=∠DCE=∠CDE=30°， ∴AC=CF， 又∵CD=CD， ∴△CDE≌△CDF（ASA）， ∴CE=CF=DE=DF， ∵∠ECF=60°， ∴△CEF 是等边三角形， ∴CE=CF=EF， ∴∠ABO=∠BDF=60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴BF=DF=BD=CF， 在△BED 和△BEF 中， ∴△BED≌△BEF（SSS）， ∴∠EBD=∠EBF=∠ABO=30°， ∴∠EBF=∠BAO， ∴AE=BE； （2）如图，在 BF 上取点 G，使∠EGA=∠CAE=α，连接 EG、DG，则 EG=EA， 过点 D 作∠HDF=∠BFD=α 交 AB 于点 H，则 HD=HF，∠DHG=2α， ∵∠BFD=∠BAO=α， ∴DF∥OA， ∴∠BDF=∠BOA=90°， ∴∠FBD=90°−α，∠BDH=90°−∠HDF=90°−α， ∴∠FBD=∠BDH， ∴HD=HB=HF， ∴BF=2HB=2HD， ∵线段 CD 的垂直平分线交 OA 于点 E， ∴EC=ED， ∴∠ECD=∠EDC=α， ∴∠CED=180°−2α， ∵∠AEG=180°−2α， ∴∠AEG=∠CED，即∠AEC+∠CEG=∠CEG+∠GED， ∴∠AEC=∠GED， 在△AEC 和△GED 中， ∴△AEC≌△GED（SAS）， ∴∠EGD=∠EAC=α，DG=AC， ∴∠DGH=∠EGD+∠AGE=2α， ∴∠DGH=∠DHG， ∴DG=DH=AC，∴BF=2AC. 压轴题专项训练29 在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A（a，0），B（b，0），且满足 | a+2|+（b-2）²=0，点 C 在 y 轴上. （1）直接写出 A，B 两点的坐标：A________，B________； （2）如下图，当△ABC 为等边三角形时，OC=2，点 P 为线段 OC 上的一个动点，以 BP 为边作等边△BPQ，在点 P 从点 C 到点 O 的运动过程中，求点 Q 所经过的路径长； （3）如下图 点 D 为△ABC 内一点，连接 DA，DC，DB，当∠ACB=80°，∠DAB=10°，∠DBC=20° 时，求∠ADC 的度数. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 等边三角形、路径长、角度计算 坐标系中等边三角形的综合应用 解：（1）∵|a+2|+(b - 2)²=0， ∴a+2=0，b - 2=0， ∴a=-2，b=2， ∴A（-2，0），B（2，0）， 故答案为：（-2，0），（2，0）； （2）如图 1， 取 BC 的中点 D，连接 OD，连接 DQ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°，BC=AB=2 -（-2）=4， ∵∠BOC=90°， ∴OD=BD=½BC， ∴△BOD 是等边三角形， ∴∠OBD=60°，OB=BD， ∵△BPQ 是等边三角形， ∴∠PBQ=60°，BP=BQ， ∴∠PBQ=∠OBD， ∴∠PBQ -∠CBP=∠OBD -∠CBP， ∴∠PBO=∠QBD， ∴△PBO≌△QDB（SAS）， ∴∠QDB=∠POB=90°， ∴点 Q 在过点 BC 的中点 D 且与 BC 垂直的线段上运动， 当点 P 在点 O 处时，Q 点在 D 点；当点 Q 在 C 处时，点 Q 在 Q′处， 此时△BCQ′是等边三角形，Q′D 是 BC 上的中线， ∴Q′D=½√3CQ′=½√3BC=½√3×4=2√3， ∴点 Q 所经过的路径长为：2√3； （3）如图 2， 延长 BD，交 AC 于 E，设 AD 交 OC 于 F，BE 和 OC 交于点 G，连接 BF， ∵OA=OB=2，CO⊥AB， ∴AC=BC，AF=BF， ∴∠ACO=∠BCO=½∠ACB=½×80°=40°，∠CAB=∠CBA=（180°-∠ACB）/2=（180°-80°）/2=50°，∠FBO=∠DAB=10°， ∴∠ABD=∠CBA -∠DBC=50°-20°=30°，∠DFB=∠DAB+∠FBO=10°+10°=20°，∠CAD=∠CAB -∠DAB=50°-10°=40°， ∴∠DBE=∠ABD -∠FBO=30°-10°=20°，∠CAD=∠ACO， ∴∠DFB=∠DBF，AF=CF=BF， ∴DF=BD， ∵∠DBC=20°，∠ACB=80°， ∴∠BEC=180°-20°-80°=80°， ∴∠ACB=∠BEC， ∴BE=BC=AC， ∵∠ADE=∠DAB+∠ABD=10°+30°=40°， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE， ∴BE - DE=AC - AE， ∴BD=CE， ∴DF=CE， ∵∠ACO=∠ADE=40°，∠CGE=∠DGF， ∴△CFG≌△FDG（AAS）， ∴DG=CG，EG=FG， ∴DG+EG=CG+FG， ∴DE=CF， ∴AE=AF， ∴AE+CE=AF+DF， ∴AC=AD， ∴∠ADC=∠ACD=（180°-∠CAD）/2=（180°-40°）/2=70°． 压轴题专项训练30 已知：实数 m 满足 m²+16=8m. （1）直接写出 m 的值为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，A 是 y 轴正半轴上的点，D 是 x 轴正半轴上的点. ①如下图，B 是 y 轴正半轴上 O，A 之间的点，C 是 x 轴正半轴上 O，D 之间的点，若∠CBD=45°，∠BCO=∠DAO，AD=2m，BC=2，求△CBD 的面积. ②如下图，若 AO=m，DO=m，在坐标系中第二、四象限夹角平分线上一点 P 的坐标为（n，-n），以 AP 为斜边作等腰 Rt△APQ（A，P，Q 按逆时针排列）. （Ⅰ）求点 Q 的纵坐标； （Ⅱ）连接 DQ，当 DQ 的值最小时，直接写出 n 的值为______. 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、面积计算、最值问题 代数条件与几何图形结合 解：（1），，，， 故答案为：4； （2）①由（1）知：，， 如图 1，过点作于，延长交轴于， ， ， ， ， ，， ，，，， 设，则，，，，，，； ②（Ⅰ）如图 2，过点作轴，过点作于，过点作于， ，，，，， 设，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，点的坐标为，即点的纵坐标为 2； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：点的坐标为，点在直线上，当直线时，的值最小，此时点和的横坐标相等，，， 故答案为：4。 压轴题专项训练31 已知在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，点，连接。 （1） 若满足，且的面积为 8，直接写出两点坐标： ，B ； （2） 如下图，在 (1) 的条件下，为上一点，连接，点在上，若，，求证：。 (3) 如下图，点G,H分别在线段OB,OA上，且∠AGH=45°，∠ABO=∠OHG。若GH=m，AB=n(n>m)，求△AGH的面积（用含m,n的式子表示）。 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰三角形、面积 坐标系中三角形面积的计算与证明 （1） 解：由题意得 a>0，b<0， ∵ △ABO 的面积为 8，∴ (1/2)×a×|b|=8，∴ a|b|=16， （2） ∵ a²+2ab+b²=0，∴ (a+b)²=0，∴ a=-b，∴ a=4，b=-4， 故答案为：(0,4)；(-4,0)； （2）证明： 如图，过 A 作 AM⊥OE 于点 M，过 B 作 BN⊥OE 于点 N， ∴ ∠AMO=∠BNO=90°， ∵ AE=OA，∴ OM=EM，∴ OE=2OM， ∵ ∠BED=30°，∴ BE=2BN， 又∵ ∠AOM+∠MAO=∠AOM+∠BON， ∴ ∠MAO=∠BON， 在△AOM 和△OBN 中： { ∠AMO=∠BNO { ∠MAO=∠BON { OA=OB ∴ △AOM≌△OBN（AAS）， ∴ OM=BN， ∴ BE=OE； （3）解： 如图，过 A 作 AE⊥GH 延长线于点 E，延长 AE 交 x 轴于点 F， ∵ ∠AGH=45°， ∴ AE=EG， ∵ ∠FEG=∠AOF=90°， ∴ ∠AFO=∠OHG，∠EAH=∠OGH， 又∵ ∠ABO=∠OHG， ∴ ∠ABO=∠AFO， ∴ AB=AF， ∵ ∠EAH=∠OGH，AE=EG，∠AEH=∠FEG=90°， ∴ △AEH≌△GEF（AAS）， ∴ EH=EF，EG=AE， 设 EH=EF=x，则 EG=x+m，AE=n-x， ∴ x+m=n-x， ∴ x=(n-m)/2， ∴ S△AGH=(1/2)×GH×AE=(1/2)×m×[(n-m)/2 + m]=(1/2)×m×[(n+m)/2]=(m²+mn)/4。 压轴题专项训练32 在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)，C(−a,0)，且|a+4|+b2−8b+16=0。 （1）直接写出点A,B,C的坐标； （2）如下图，△BEF是等腰直角三角形，∠FBE=90°，A,F,E三点在一条直线上，过点B作BG⟂CF于G，若BG=4，△ABE的面积为 15，求CF的长； (3) 如下图，点M(t,−2)，N(t+2,−3)，连接MN,AM,BN。当AM+BN最小时，直接写出t的值。 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、最值 坐标系中的最值问题 解：（1）∵在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（-a，0），且 | a+4|+b² - 8b + 16=0， 即 | a+4|+（b - 4）²=0， 依题意得：， 解得：， ∴A（-4，0），B（0，4），C（4，0）； （2）过 B 作 BH⊥EF 于 H，如图（1）， ∵△BEF 是等腰直角三角形， ∴BF=BE，∠FBE=90°，∠BFE=∠BEF=45°，BH=FH=HE， ∵A（-4，0），B（0，4），C（4，0）， ∴OA=OC=OB=4， 又∵∠AOB=∠COB=90°， ∴∠OAB=∠OBA=∠OCB=∠OBC=45°， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABF=∠CBE=90° - ∠FBC， 在△ABF 和△CBE 中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF=CE，S△ABF=S△CBE，∠BEC=∠BFA， ∴∠CEF=∠BEC - ∠BEF=∠BFA - ∠BEF=180° - 45° - 45°=90°， 设 AF=CE=x，BH=FH=HE=y， ∴S△ABE=AE·BH=(x+2y)·y=xy+y²， S△BCE=S△BEF+S△CEF - S△CBE =S△BEF+S△CEF - S△ABF =EF·BH + EF·CE - AF·BH =·2y·y + ·2y·x - xy =y² + xy， ∴S△BCE=S△ABE， ∵BG⊥CF，BG=4，△ABE 的面积为 15， ∴・CF・BG=15，即×CF×4=15， ∴CF=7.5； （3）t 的值为，理由如下： ∵点 M（t，-2），N（t+2，-3），A（-4，0）， ∴点 N 在直线 y=-3 上运动，点 M 在直线 y=-2 上运动， 如图（2），将 AM 沿着 MN 方向平移到 A’N，则 A’（-2，-1），A’N=AM， 作点 B 关于直线 y=-3 对称的点 B’，连接 B’N，A’B’， 则 B’（0，-10），B’N=BN， AM+BN=A’N+B’N≥A’B’，当 A’，N，B’ 三点共线时取等号，此时 AM+BN 最小，点 N 为 A’B’ 与直线 y=-3 的交点， 设直线 A’B’ 的表达式为 y=kx+t，将点 A’，点 B’ 的坐标代入得： ， 解得， ∴直线 A’B’ 的表达式为 y=x - 10， 当 y=-3 时，由 - 3=x - 10 得 x=， ∴N（，-3）， 由 t + 2=得：t=． 压轴题专项训练33 在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(b,0)为x轴上两点，且a,b满足：，点，，为线段上一动点。 （1） 如下图，当DC⟂AC时，a=，b=；点D坐标为___________； (2) 如图 2，当∠ADC=45°时，x轴上有一点E，连接CE，若∠DCE=60°，求点E坐标。 （3）如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接CM、CD，在点的运动过程中，的值变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由。 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、旋转模型、最值 坐标系中旋转与最值结合 解：（1），，，，，，，，，，，，．，，，． 故答案为：；；； （2），，，．，，，． 过点作于点，如图， 则为等腰直角三角形，， 设，，，，，，，，； （3）的值不变，该值为，理由： 过点作于点，过点作于点，于点，如图． 设，则， ． ，， ，， ， ，， ， 点为中点， 为的中位线， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ． 压轴题专项训练34 已知，在平面直角坐标系中，点，点，且满足。 (1) 则a= ，b= ； (2) 如下图，若点，OE⟂AC于点F，交AB于点E，点H是线段OB上一点，且∠AEO=∠BEH，求CH的长； (3) 如下图，点，点在轴上，且，求点的坐标。 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、全等三角形、坐标计算 坐标系中构造全等求坐标 解：（1）在平面直角坐标系中，点 A (a, 0)，点 B (0, b)，且 a，b 满足 a² - 8a + 16 + √(b - 4) = 0，由题意得：{a² - 8a + 16 = 0；b - 4 = 0}解得：{a = 4；b = 4}故答案为：4，4； （2）点 C (0, 5/2)，OE⊥AC 于点 F，交 AB 于点 E，如图 1，过点 B 作 BM⊥y 轴交 OE 延长线于点 M， ∴ ∠EOA + ∠OAC = 90°，OC = 5/2 ∵ ∠BOE + ∠AOE = 90°，∴ ∠BOE = ∠OAC， 在△OBM 和△AOC 中， {∠BOE = ∠OAC；BO = OA；∠OBM = ∠AOC} ∴ △OBM ≌ △AOC（ASA）， ∴ BM = OC = 5/2 ∵ ∠AEO = ∠BEM，∠AEO = ∠BEH，∴ ∠BEM = ∠BEH ∵ OA = OB，∠AOB = 90°∴ ∠ABO = 45°， ∵ BM⊥y 轴，∴ ∠MBE = 45°， 在△BME 和△BEH 中， {∠MBE = ∠HBE；BE = BE；∠BEM = ∠BEH} ∴ △BME ≌ △BHE（ASA）， ∴ BM = BH = 5/2 ∴ CH = OC + BH - BO = 1， ∴ CH = 1； （3）在 y 轴上取点 N (0, -1)，连接 AN，作 EN⊥AN 交 AQ 延长线于点 E，作 EF⊥y 轴于点 F，连接 OE，如图 2， ∴ OP = ON = 1， 在△BOP 和△AON 中， {BO = AO；∠BOP = ∠AON；OP = ON} ∴ △BOP ≌ △AON（SAS）， ∴ ∠OBP = ∠OAN， ∵ ∠OBP + ∠OAQ = 45°， ∴ ∠OAN + ∠OAQ = 45°，∴ ∠NAE = 45°， ∵ EN⊥AN， ∴ ∠AEN = ∠NAE = 45°，∴ EN = AN， ∵ ∠ENF + ∠NOA = ∠ONA + ∠NAO = 90°， ∴ ∠ENF = ∠NAO， 在△EFN 和△NOA 中， {∠ENF = ∠NAO；∠EFN = ∠NOA；EN = NA} ∴ △EFN ≌ △NOA（AAS）， ∴ EF = ON = 1，FN = OA = 4，∴ FO = 3，∴ 点 E (-1, 3)， ∵ S△AEO = S△AOQ + S△EOQ， ∴ (1/2)×4×3 = (1/2) OQ×4 + (1/2) OQ×1，∴ OQ = 12/5， ∴ Q (0, 12/5)。 压轴题专项训练35 已知：在平面直角坐标系中，点 A（-2，0），点 B（0，6），过点 B 作 BC⊥AB，且 BC=AB． （1）如下图，求 C 点的坐标； （2）如下图，若过点 C 作∠CDB=∠CBD 交 y 轴于点 D，过点 D 作 DE⊥DC，且 DE=DC，连接 AE 交 y 轴于点 F，求证：F 为 AE 中点； （3）如下图，若点 G 为 y 轴上一动点，直线 BC 上存在点 H（18-3m，m）使得△AGH为等腰直角三角形，直接写出满足条件的所有点 G 坐标． 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 等腰直角三角形、全等三角形 坐标系中构造全等求点坐标 （1）解：如图，过点作轴于，则， ，， ， ∴∠ABO+∠CBM=90°， ∴∠C=∠ABO， ∵A(−2,0)，点B(0,6)， ∴AO=2，BO=6， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为； （2）证明：过点作轴于， 由（1）知，点， ， ， ∴CD=CB， ∴BM=DM=2， ∴D(0,10)， 过点作轴于，轴，同理可得，∴EG=DM=2，DG=CM=6， ∴OG=10−6=4， ∵EG∥x轴，∴∠EGO=∠AOF=90°，∠FEG=∠FAO，∵OA=GE=2，∴△AOF≅△EGF(AAS)，∴AF=EF，∴F为AE中点； （3）解：为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时， 由（1）知，当与重合，与（1）中的点重合时，为等腰直角三角形，此时，点坐标为； ②当，点在轴右侧时，过点作轴于，过点作轴于， 同理可得，∴HT=HS，TG=SA， ∵H(18−3m,m)，∴18−3m=m，解得，，，点坐标为； ③当，点在轴左侧时，过点作轴于，过点作轴于， 同理可得，∴HT=HS，TG=SA， ∵H(18−3m,m)，∴−(18−3m)=m，解得m=9，∴TG=SA=9−2=7，∴OG=GT+OT=4+9=16，∴点G坐标为(0,16)； 综上，点G坐标为(0,6)或(0,11)或(0,16)。 压轴题专项训练36 如图，点 A（-4，0），B（0，3）在平面直角坐标系中的坐标轴上，点 P（-1，1）为△AOB 内一点，AB=5． （1）求点 P 到 AB 的距离； （2）如下图，射线 BP 交 OA 的垂直平分线于点 C，试判断△BAC 的形状，并说明理由； （3）如下图，Q（m，0）为 x 轴正半轴上一点，将 AQ 沿 PQ 所在直线翻折，与 y 轴，线段 AB 分别交于点 F，G，试探究△BFG 的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求△BFG 的周长． 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 角平分线、面积、翻折 坐标系中角平分线与翻折结合 解：（1）∵点 A（-4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3， ∵∠AOB=90°，∴S△AOB=½OA・OB=½×4×3=6， 如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PF⊥y 轴于点 F，PG⊥AB 于点 G， ∵点 P（-1，1），∴PE=PF=OE=OF=1， ∵S△ABP+S△AOP+S△BOP=S△AOB，∴½・AB・PG+½・OA・PE+½・OB・PF=6， 即 ½×5×PG+½×4×1+½×3×1=6，解得：PG=1， 即点 P 到 AB 的距离为 1； （2）△PAC 是等腰直角三角形，理由如下： ∵射线 BP 交 OA 的垂直平分线于点 C，∴AC=OC， ∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°， 由（1）可知，PE=PF=PG=1， ∴BP 平分∠ABO，AP 平分∠BAO，OP 平分∠AOB， ∴∠PBA=∠PBO=½∠ABO，∠PAB=½∠BAO，∠AOP=∠BOP=45°， ∴∠PBA+∠PAB=½（∠ABO+∠BAO）=½×90°=45°， ∴∠APC=∠PBA+∠PAB=45°， 如图 1-1，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，CN⊥y 轴于点 N， 则∠CMA=∠CNO=90°， ∵BP 平分∠ABO，∴CM=CN， 在 Rt△ACM 和 Rt△OCN 中， ∴Rt△ACM≌Rt△OCN（HL）， ∴∠CAM=∠CON， ∵∠CON+∠COB=180°， ∴∠CAM+∠COB=180°， ∴∠ABO+∠ACO=360° - 180°=180°， 即 2∠PBA+∠ACO=180°， ∵AC=OC，∴∠COA=∠CAO， ∵∠COA+∠CAO+∠ACO=180°，∴2∠COA+∠ACO=180°， ∴∠PBA=∠COA， ∵∠CPO=∠BOP+∠PBO=45°+∠PBA，∠COP=∠AOP+∠COA=45°+∠COA，∴∠COP=∠CPO， ∴PC=OC，∴AC=PC， ∴∠APC=∠PAC=45°， ∴∠ACP=90°， ∴△PAC 是等腰直角三角形； （3）△BFG 的周长不会发生变化，理由如下： 如图 2，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PM⊥y 轴于点 M，PN⊥AB 于点 N，PR⊥QG 于点 R，连接 PG、PF. 由（2）可知，点 P 为△AOB 的三条内角平分线的交点， ∴PE=PM=PN=OE=OM=1， ∵OB=3， ∴BM=OB - OM=2， 在 Rt△BPN 和 Rt△BPM 中， ∴Rt△BPN≌Rt△BPM（HL）， ∴BN=BM=2， 由翻折的性质得：∠PQA=∠PQF， ∵PE⊥AQ，PR⊥QG， ∴PE=PR， ∴PR=PM=PN， 同理可证：Rt△PMF≌Rt△PRF（HL）， ∴FM=FR， 同理：Rt△PGN≌Rt△PGR（HL）， ∴GN=GR， ∴△BFG 的周长 = BG+GF+BF=BG+GR+RF+BF=BG+GN+FM+BF=BN+BM=2+2=4， 即△BFG 的周长不会发生变化，为定值 4. 压轴题专项训练37 在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且． （1）直接写出 A，B 两点的坐标； （2）如下图，E 点在线段 AB 上，且 E 点横坐标为，连接 OE．在第四象限过 O 点作 OG⊥OE，且 OG=OE，连接 AG，作 OH⊥AG 于 H，交 AB 于点 P，求△OPE 的面积； （3）如下图，∠MON=40°，ON 与 x 轴非负半轴重合，OM 在第一象限，将∠MON 以 2.5°/ 秒的速度绕 O 点在第一象限内逆时针旋转，OM，ON 分别与线段 AB 交于点 E，F，在第二象限过 O 点作 OH⊥OF，且 OH=OF，问经过多长时间，△AEH 为等腰三角形？ 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、旋转 坐标系中旋转与等腰三角形存在性 解：（1），，，，，，，； （2）过作于，过作于， ，，，，， 在与中， （AAS），，，，，，，， 在与中， （AAS），，，，，， 在与中， （AAS），，， 又，，； （3）证明：，，，，，，， 在与中， （SAS），，，， 要使为等腰三角形，，，，（秒）， 即：经过 10 秒后，是等腰三角形。 压轴题专项训练38 如下图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4），点 B 在第一象限，△OAB 为等边三角形． （1）直接写出点 B 的纵坐标___________；（直接填写答案） （2）如下图，OM、BN 是△OAB 的中线，OM、BN 的交点为 C，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D，连接 AD 交 OM 于 E，求点 E 的纵坐标； （3）如下图，OM 是△OAB 的中线，若点 P 为直线 OM 上的动点，连接 PA，以 AP 为边作等边△APQ（点 A、P、Q 为逆时针方向），求 AQ+OQ 取最小值时点 Q 的纵坐标． 【解答】 本题难度星级：★★☆☆☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 等边三角形、坐标计算 等边三角形性质求纵坐标 解：如图1，作 BN⊥OA 于 N， ∵△AOB 是等边三角形， ∴OB=OA=4，∠BON=60°， ∴ON=OB=2，BN=OB=， ∴B（2，）， 故答案为：（2，）； （2） 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 中点、对称点、直线交点 求对称点与直线交点坐标 解：BN、OM 是△AOB 是等边三角形， ∴BN⊥OA，∠AOC=30°．∵ON=2， ∴CN=2・tan30°=， ∴C（，2）， ∴D（，-2）， ∴直线 OC 的解析式为：y=x， 设 AD 的解析式为：y=kx+b， ∴， ∴， ∴y=-x+4， 由x=-x+4 得，x=， 当 x=时，y=×=1， ∴E（，1）； （3） 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 最值与动点问题 等边三角形、旋转、最值 动点问题，构造全等求最值 如图，连接 BQ， ∵△AOB 和△APQ 是等边三角形， ∴∠ABO=∠BAO=∠PAQ=60°，OA=AB，AP=AQ， ∵OM 是△OAB 的中线， ∴∠AOM=∠AOB=30°， ∴∠PAO=∠BAQ， ∴△ABQ≌△AOP， ∴∠ABQ=∠AOP=30°， ∴∠OBQ=90°， ∴Q 点在与 OB 垂直的直线 l 的运动， 作点 A 关于 l 的对称点 A′，A′A 与 l 交于 T，连接 OA′，交 l 于 Q′，当点 Q 在 Q′上时，AQ+OQ 取最小值， ∴AA′⊥l， ∴∠BAT=60°，AT=AB， ∴∠OAA′=120°，AA′=AB=OA， ∴∠Q′AA′=∠A′=30°， ∴∠OAQ′=90°，∴Q′y=4， ∴Q 点的纵坐标为：4． 压轴题专项训练39 已知：实数 m，n，t 满足 m² + n² - 12m - 16n + 100 + |t - 2| = 0. （1）求 m，n，t 的值； （2）如图，在平面直角坐标系中，A，B 都是 y 轴正半轴上的点，C，D 都是 x 轴正半轴上的点（点 D 在 C 右边），∠CBD = 45°，∠BCD + ∠DAO = 180°. ①如下图，若点 A 与 B 重合，CD = m，求 B 点的坐标； ②如下图，若点 A 与 B 不重合，AD = n，BC = t，直接写出△CBD 的面积. 【解答】 本题难度星级：★★★★☆ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、面积 坐标系中三角形面积计算 解：（1），，，， 解得：，，。 （2）①，，，。 设，，，，。 如图，过点作于，的反向延长线交轴于点。 ，，。 又由题意，，，（AAS），。 又，。 又，，。 ②如图，过作于，并延长交轴于点。 ，，，。，，。 又，（AAS），。，，，。，，，。 设， 又，，，，，即，。 压轴题专项训练40 如下图，在平面直角坐标系中，已知 A（a，0），B（0，b）两点，∠OBA = 30°. （1）若 a，b 满足 a² - 2a + 1 + |b - | = 0. ①直接写出△AOB 的周长； ②P 在第一象限内，若△PBA 为等腰直角三角形，直接写出点 P 的坐标. （2）如下图，C 是 x 轴上点 A 右侧的动点，D 在第一象限内，满足∠BCD = 60°，∠ABC = ∠ADC. ①探究三条线段 AO，AD，AC 之间的数量关系，并给出证明； ②设△BCD 与△BOA 的面积的比值为 k，直接写出 k 的取值范围. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、面积比 坐标系中面积比的范围探究 解：（1）①，，，，，，，，的周长； ②如图 1，当，时，过点作轴于， ， ，， 又， ， ，， 点； 当，时，同理可求：点； 当，时， ， ， 点是的中点， 点； 综上所述：点或或； （2）①，理由如下： 如图 2，延长至，使，连接，设与交于点， ，， ，， 又， 是等边三角形， ，， ，，，，，，，； ②，，，，， 又，是等边三角形，，，点在的平分线上运动， 又点在点右侧， 当点与点重合时，， 的面积， ， 即。 压轴题专项训练40 如图，在平面直角坐标系中，点 B，A，C 顺时针排列，CA = CB，∠ACB = 90°，点 B（a，b）满足 a² + b² - 4（a + b） + 8 = 0. （1）直接写出点 B 的坐标； （2）如下图，当点 A 在 x 轴正半轴上，且点 A 的横坐标大于 2 时，求证：∠OCB = 2∠OAB； （3）如下图，当点 A 在第二象限，点 C 的横坐标小于 2 时，BD⊥x 轴于点 D，连接 AO，E 为 AO 中点，DE = m，CE = n，直接写出五边形 AODBC 的面积. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 非负性、等腰直角三角形、面积 坐标系中复杂图形面积计算 解：（1）∵a² + b² - 4（a + b） + 8 = 0， ∴（a - 2）² + （b - 2）² = 0， ∵（a - 2）² ≥ 0，（b - 2）² ≥ 0， ∴a = b = 2， ∴B（2，2）； （2）过点 B 作 BE∥x 轴，过点 C 作 CD⊥x 轴于 D 交 BE 于 E，连接 OB，过点 C 作 CF⊥OB 于 F，如图 1， 则∠BEC=∠CDA=∠CDO=∠BFC=90°， ∵∠BCE + ∠CBE = 90°，∠ACB=90°， ∴∠BCE + ∠ACD = 90°， ∴∠CBE = ∠ACD， 在△CBE 和△ACD 中： { ∠BEC = ∠CDA { ∠CBE = ∠ACD { CB = CA ∴△CBE≌△ACD（AAS）， ∴BE=CD，CE=AD，∠BCE=∠CAD， 设 BE=CD=k，则 OD=k+2，CE=AD=k+2， ∴OD=AD=CE， 在△OCD 和△ACD 中： { OD = AD { ∠ODC = ∠ADC { CD = CD ∴△OCD≌△ACD（SAS）， ∴CB=CO=CA，∠COD=∠CAD， ∴∠BCE=∠CAD=∠COD， 设∠BCE=∠CAD=∠COD=α，则∠CBE=∠ACD=∠OCD=90°−α． 在△ABC 中，∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴∠OAB=∠BAC−∠CAD=45°−α， ∵∠OCB=∠OCD−∠BCE=90°−α−α=90°−2α， ∴∠OCB=2∠OAB； （3）过点 A 作 AH⊥x 轴于 H，过点 C 作 CG⊥AH 于 G，延长 DB 交 CG 于 F，过点 E 作 EJ⊥x 轴于 J 交 CG 于 K，EL⊥AH 于 L，延长 CE 至 M，使 EM=CE，连接 OM，DM， 则∠F=∠G=∠AHO=∠EJO=∠EKC=90°，四边形 DFGH 是矩形， ∵∠BCF + ∠CBF = 90°，CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠BCF + ∠ACG = 90°， ∴∠CBF = ∠ACG， 在△BCF 和△CAG 中： { ∠F = ∠G { ∠CBF = ∠ACG { BC = CA ∴△BCF≌△CAG（AAS）， ∴CF=AG=x，BF=CG=y， 则 DF=GH=y+2，FG=DH=x+y， ∴AH=y+2−x，OH=x+y−2， ∵点 E 为 AO 中点，∴AE=EO， ∵EL⊥AH，∴∠ALE=∠EJO=90°， ∵EJ∥AH，∴∠EAL=∠OEJ， 在△AEL 和△EOJ 中： { ∠ALE = ∠EJO { ∠EAL = ∠OEJ { AE = EO ∴△AEL≌△EOJ（AAS）， ∴EL=JO，AL=EJ， ∵∠ELH=∠LHJ=∠EJH=90°，∴四边形 ELJH 是矩形， ∴HJ=EL，EJ=LH， ∴HJ=OJ=1/2 OH = (x+y−2)/2，EJ=AL=LH=1/2 AH = (y+2−x)/2， ∴DJ=OD + OJ=2 + (x+y−2)/2 = (x+y+2)/2， ∴EK=y+2−(y+2−x)/2 = (x+y+2)/2，CK=y−(x+y+2)/2 = (y−x−2)/2， ∴EK=DJ，CK=EJ， 在△CEK 和△DEJ 中： { EK = DJ { ∠CKE = ∠EJD = 90° { CK = EJ ∴△CEK≌△DEJ（SAS）， ∴CE=DE，∠ECK=∠DEJ， ∵∠CJE + ∠DEJ=90°，∴∠ECK + ∠DEJ=90°， ∴∠CDE=90°， ∵DE=m，CE=n，∴m=n， ∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC=∠CDE=45°，∴∠DEO=90°， ∴∠EOM + ∠CDE=45°， 在△EOM 和△EAC 中： { EA = EO { ∠AEC = ∠OEM { AC = EM ∴△EOM≌△EAC（SAS）， ∴AC=OM，S△EOM=S△EAC， ∵CD=EM=DE，∠CED=∠MED=90°， ∴△CDE 和△MDE 均为等腰直角三角形， ∴∠CDM=45°+45°=90°=∠CDB， ∴∠ODM=∠BDC， 在△DOM 和△DBC 中： { OD = DB { ∠ODM = ∠BDC { OM = BC ∴△DOM≌△DBC（SAS）， ∴S△DOM=S△DBC， ∴S 五边形 AODBC = S△CDM = 1/2 × CM × DE = 1/2 × 2m × m = m²（或 n²）． 压轴题专项训练42 35.（12 分）如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°，点 A（m，m + 1）在第一象限，点 B 在 x 轴的负半轴上，AB 交 y 轴于 D，AC 交 x 轴于 E，∠ODE = 2∠AED，点 F 在 y 轴上，且在点 D 的上方. （1）如下图，求证：DA 平分∠EDF； （2）如下图，连接 OA，求证：AO = AE； （3）直接写出点 C 的坐标__________（用含 m 的式子表示）. 【解答】 本题难度星级：★★★★★ 考核类型 核心考点 关键特征 坐标系与几何综合 等腰直角三角形、角平分线、坐标 坐标系中角平分线性质与坐标表示 【解答】 （1）证明：设，则. 在中，， ， 平分； （2）作于，轴于，作轴于，交于点， ， ， 平分， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ； （3）作轴于，轴于，过作于， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $