第28章 锐角三角函数 综合练习-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十八章解直角三角形单元复习，系统梳理锐角三角函数概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，串联知识点内在逻辑，助力学生构建完整知识网络。 其亮点在于融入2024年多地中考真题，引导学生用数学眼光观察现实问题，如测量建筑物高度、坝体长度等情境。通过综合题提示（如构造相似）培养推理思维，规范解答步骤强化数学语言表达，分层练习适配不同水平学生，为教师提供精准复习素材，有效提升知识巩固与应用能力。

RJ 数 学 9年级 下册 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 第二十八章综合练习 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1.若∠A为锐角，且sin A＝，则∠A的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° B 1 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为( ) A.3sin 35° B. C.3cos 35° D.3tan 35° C 2 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 3.［2024·云南中考］如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( ) A. B. C. D. C 3 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 4.如果α是锐角，且sin α＝，那么cos (90°－α)＝( ) A. B. C. D. A 4 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 5.在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是( ) A.45° B.75° C.105° D.120° C 5 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 6.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°37'，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是 ( ) A.8÷sin42° ' ″37＝ B.8÷tan42° ' ″37° ' ″＝ C.8×cos42° ' ″37＝ D.8×tan42° ' ″37° ' ″＝ D 6 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 7.比较cos 58°，tan 32°的大小关系是( ) A.tan 32°＜cos 58° B.cos 58°＝tan 32° C.cos 58°＜tan 32° D.无法确定 C 7 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 8.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为( ) A.m(cos α－sin α) B.m(sin α－cos α) C.m(cos α－tan α) D. A 8 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 9.［2024·德阳中考］某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)， 则建筑物CD的高为( ) A.20米 B.15米 C.12米 D.(10＋5)米 B 9 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 10.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC.若tan ∠ADB＝，则tan ∠CAD的值为( ) A. B. C. D. 提示：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，利用△ABD∽△ECD，结合DC＝BD，tan ∠ADB＝分别表示出两相似三角形各边长即可. D 10 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.已知α是锐角，sin(α＋15°)＝，则cos α＝  .  11 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 12.如图，在△ABC中，AB＝BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E， 作射线AE交BC于点M.若CM＝1，BD＝3， 则sin B＝  　.  12 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 13.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为　 　.  3或4 13 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 14.已知量角器如图放置，点O，P，M在同一条直线上，点M在0°处，点N在60°处. (1)∠MPN　 　60°；(填“＞”“＜”或“＝”)  (2)若量角器(看作半圆)的半径为4，点P到量角器中心O的距离为0.5，则tan ∠MPN＝  　.  ＞ 14 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算：tan 45°－sin 60°＋sin 45°. 解：原式＝1－＝1－＋1＝. 15 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝24，cos A＝，求这个三角形的周长. 解：根据题意，设AC＝5x，AB＝13x，则BC＝12x， ∴12x＝24，解得x＝2， ∴AB＝26，AC＝10， ∴△ABC的周长为10＋24＋26＝60. 16 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝5，AD＝4，sin C＝，求sin ∠BAD的值. 17 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：∵AD⊥BC，AD＝4，sin C＝， ∴，解得AC＝2， 在Rt△ACD中，CD＝＝2， ∵BC＝5，∴BD＝BC－CD＝3， 在Rt△ABD中，AB＝＝5， ∴sin ∠BAD＝. 17 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 18.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3 m，坝高AE＝DF＝6 m，斜坡CD的坡度为1∶，斜坡AB的坡角∠B＝45°，求坝底BC的长(结果保留根号). 18 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：由题意可得四边形AEFD为矩形， ∴EF＝AD＝3 m. 在Rt△AEB中，∠B＝45°，AE＝6 m， ∴BE＝AE＝6 m， ∵斜坡CD的坡度为1∶，DF＝6 m， ∴FC＝DF＝6 m， ∴BC＝BE＋EF＋FC＝(9＋6) m. 答：坝底BC的长为(9＋6) m. 18 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.如图所示，某集团的项目组计划在山脚 下点A与山顶点B之间修建一条索道，现利 用无人机测算A，B两点间的距离.当无人机 飞至山顶点B的正上方点C处时，测得山脚下点A的俯角约为45°，点C与点A的高度差为400 m，BC＝100 m，求山脚下点A到山顶点B之间的距离AB. 解：山脚下点A到山顶点B之间的距离AB约为500 m. 19 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 20.［2024·宜宾中考］宜宾地标广场位于三江汇合口(如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江).某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C，D，在地标广场上选择两个观测点A，B(点A，B，C，D在同一水平面，且AB∥CD).如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米.求长江口的宽度CD的值.(结 果精确到1米，参考数据：sin 18.17°≈0.31， cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33， sin 21.34°≈0.36，cos 21.34°≈0.93， tan 21.34°≈0.39) 图1　　 　图2 20 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：过点A作AG⊥CD于点G，过点B作BK⊥CD于点K. 由题意得∠CAG＝∠DBK＝18.17°，∠GAD＝∠CBK＝21.34°， 易证△AGC≌△BKD，∴CG＝DK. 设CG＝x，AG＝y. ∵tan ∠CAG＝tan 18.17°＝≈0.33，即x＝0.33y， tan ∠DAG＝tan 21.34°＝≈0.39，即x＋100＝0.39y， ∴0.33y＋100＝0.39y，解得y＝， ∴x＝0.33×＝550，∴CG＝DK＝550， ∴CD＝550×2＋100＝1200(米). 答：长江口的宽度CD的值约为1200米. 20 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 六、(本题满分12分) 21.在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：. (1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值； (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一 座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米， AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度.(结 果保留根号) 图1 图2 21 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°， ∴∠A＝60°. ∵， ∴， ∴b＝2. 21 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)∵，∴， ∴sin B＝，∴∠B＝60°， ∴tan B＝，∴BD＝CD. ∵AC2＝CD2＋AD2，∴196＝CD2＋， ∴CD＝8或CD＝－3(舍去). 答：景观桥CD的长度为8米. 21 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 七、(本题满分12分) 22.［2024·贵州中考］综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水. (直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线) 22 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列 问题： (1)求BC的长； (2)求B，D之间的距离.(结果精确到0.1 cm) (参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62) 22 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：(1)在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠OBC＝45°，∴BC＝AC＝20 cm. (2)由题可知ON＝EC＝AC＝10 cm， ∴NB＝ON＝10 cm. 在Rt△DON中，∠DON＝32°， ∴DN＝ON·tan ∠DON＝10×tan 32°≈10×0.62＝6.2(cm)， ∴BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8(cm). 答：B，D之间的距离约为3.8 cm. 22 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 八、(本题满分14分) 23.［2024·苏州中考］图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. (1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；(结果保留根号) (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tan α＝(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度.(结果保留根号) 图1　　 图2　　 图3 23 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：(1)过点C作CE⊥AD，垂足为E. 由题意得CE＝AB＝10 cm，AE＝BC＝20 cm， ∵AD＝50 cm，∴DE＝AD－AE＝30 cm， 在Rt△CED中，CD＝＝10(cm)， ∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. 23 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)如图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G. 由题意得FG＝AB＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°， 在Rt△ADG中，tan α＝， 设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，∴AD＝＝5x cm， ∵AD＝50 cm，∴5x＝50，解得x＝10，∴AG＝40 cm，DG＝30 cm， ∴BF＝AG＝40 cm，DF＝DG＋FG＝30＋10＝40(cm)， ∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20(cm)， 在Rt△CFD中，CD＝＝20 cm， ∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm. 23 -- 第二十八章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 $