专题03 概率的进一步认识 6大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题03 概率的进一步认识 6大高频考点概览 考点01 用列举法求概率 考点02 几何概率 考点03 利用频率估计概率 考点04概率与统计综合 考点05 利用列表法或树状图求概率 考点06 判断游戏的公平性 地 城 考点01 用列举法求概率 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西·期末）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 2．（24-25九年级上·山西运城期末）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（    ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 3．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）山西是著名的“吃货大省”，小明来到山西游玩并品尝山西美食，小明对以下特色美食很有兴趣，它们是“臭豆腐”、“姚老太”、“灌饼”、“烤冷面”，若小明想先随机选择其中两种美食进行尝试，则选中“臭豆腐”和“烤冷面”这个组合的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西运城期末）从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级山西吕梁期末）在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个蓝球它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 ． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为 ． 地 城 考点02 几何概率 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，一只蚂蚁在水平放置的圆形瓷砖上爬行，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．则蚂蚁停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，正方形内接于，的两条直径且与正方形的对边分别垂直，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（山西省忻州某校2024—2025学年九年级上学期上学期期末模拟数学试题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在正方形阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山西运城·期末）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的赵爽弦图纸板，将一个飞镖随机投掷到纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 8．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．若直角三角形的两条直角边长分别为1和2，在大正方形内任意取一点P，则点P落在随影区域内的概率是 ． 地 城 考点03 利用频率估计概率 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 估计这一类新品种苹果树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（   ） A．6个 B．19个 C．25个 D．26个 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 发芽频率 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902 据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在篮球队员的选拔过程中，“投篮命中率”是一项重要的考核项目．下图是某篮球爱好者在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段该同学随机投篮一次正好命中的概率约为 ．（结果精确到） 9．（24-25九年级上·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 10．（24-25九年级上·山西运城·期末）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个独特的实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，下表是实验数据： 投掷次数n 相交次数m 相交频率 100 28 0.28 500 138 0.276 1000 273 0.273 5000 1354 0.2708 10000 2698 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01） 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为 ． 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某地区林业局为考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行了调查统计，统计数据如表： 移植总数 50 270 800 1500 3700 7000 14000 成活数 40 235 706 1335 3363 6292 12628 成活的频率 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 据此估计，该地区这种树苗移植成活的概率约为 （精确到）． 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 14．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）年月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 成活总数 成活率 估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ．（结果精确到） 15．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 三、解答题 16．（23-24九年级上·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 17．（24-25九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 18．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 19．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球次数 50 100 200 400 1000 2000 摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到），由此估计出袋子中红球有______个； (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率． 20．（24-25九年级上·山西晋中·期末）汉字是人们记事和沟通的重要工具，而书法是发挥汉字实用价值和艺术意趣最有效、最理想的形式，书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某数学兴趣小组从有意向学习书法的学生中，随机抽取了部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： 调查主题 xx中学学生对书法类型的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 xx中学有意向学习书法的学生 调查方案 从全校有意向的学生中按各年级人数比例分别随机抽取合适人选 调查数据的收集、整理与描述 对书法类型的喜爱情况调查问卷 您最喜爱的书法类型是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．篆书（    ）B．隶书（    ）C．行书（    ）D．楷书（    ）E．草书（    ） 所有问卷全部收回、并将调查结果绘制成如下两副统计图 调查结论 … 问题解决：请根据调查报告完成任务． (1)本次调查的总人数为__________，B类型的频率是__________． (2)若该校共有800名有意向学习书法的学生，估计有意向学习“行书”的学生人数． (3)请对该校有意向学习书法的学生对书法类型的喜爱情况作出评价，并提出一条合理化建议． 21．（24-25九年级上·山西运城·期末）一个盒子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，小张根据获得的数据绘制了如下的折线统计图． (1)根据上图中的数据，估计盒中红球有 个； (2)从该盒中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，求恰好摸到1个白球，1个红 地 城 考点04 概率与统计综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）每年的月日是“消防宣传日”．本月日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成，，，，五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有______人，并补全条形统计图； (2)若该校共有学生人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度达到“”级的人数； (3)测评成绩前四名的学生恰好是个女生和个男生，现从中随机抽取人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，求抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）穿越千年的时光长廊，山西在等你．近年来山西省在文旅方面下了不少功夫，就如2024年，借助热门游戏《黑神话悟空》的影响力，我省文化和旅游厅推出了“跟着悟空游山西”系列活动，推动了山西文旅走向全国、走向世界．下面是山西文旅集团推出的五条旅游研学线路： A游山西，读中华文明演进史；B游山西，读民族融合发展史； C游山西，读古代建筑艺术史；D游山西，读汇通天下晋商史； E游山西，读中国红色革命史． 某校为了了解九年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，E在的圆心角的度数是_____________． (2)森森和圆圆作为本校九年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． (1)表格中， ， ． (2)请补全条形统计图． (3)为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有 人，m的值为 ； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为 ； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁～55岁这个范围内的居民的概率． 5．（224-25九年级上·山西运城·期末）某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_______名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． (1) 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ (3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 地 城 考点05 利用列表法或树状图求概率 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）山西的四大旗舰物种是黑鹳（）、原麝（）、华北豹、褐马鸡．某校的野生动植物保护兴趣小组想要将该四大旗舰物种作为自己的课外调查研究内容，但由于时间关系，每位小组成员只能从中随机选择一种调查研究，为保持公平性，他们将这四大旗舰物种的图片制成了四张质地、大小完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，该小组成员小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取）．请你用列表或画树状图的方法，求两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． (1)四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． (2)亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2025年山西省中考体育在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，考生可根据自身实际，从三个项目中选择一项进行考试．某次篮球训练中，甲、乙、丙、丁四人做传球游戏．游戏规则是：第一次传球由持球者甲将球随机传给乙、丙、丁中的一人，以后的每一次传球都由持球者随机传给其他三人中的一人．求第二次传球后，球恰好在甲手中的概率． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）元旦期间，某超市为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样（如图所示）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费460元，转了两次转盘．    (1)该顾客最少可得______元购物券，最多可得______元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． (1)从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； (2)从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西是华夏文明的发祥地之一，悠久的历史留下了众多文化遗产，周末甲、乙两人从以下四个景区：泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺，随机选取一个参观游玩．假设这两人选择到哪个风景区参观游玩不受任何因素影响．且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同． (1)甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为_______． (2)假设甲去过泽州青莲寺，乙去过高平铁佛寺，各自去过的风景区不再选择，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）质朴大方的中华灯、崭新的汉白玉栏杆、花朵点缀的隔离带……，翻新后的迎泽大桥成为了网红打卡地，迎来了各地游客前来拍照留念．小徐和小亮收集了五张迎泽大桥的不同时期的图片（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C，D，E）．现将五张图片背面朝上放置于桌面，搅匀后小徐先从中随机抽取一张，不放回，小亮再从剩余图片中随机抽取一张，求小徐、小亮两人取到的恰好都是新中国成立后的迎泽大桥图片的概率． 地 城 考点06 判断游戏的公平性 一、单选题 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀．小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张． (1)小康抽到甲图片上半部分图片的概率是_____； (2)请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况； (3)游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比赛．小明找来一个转盘，转盘被等分为8份（红色3份，蓝色3份，黄色2份），随意的转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛．转到其他颜色，小明去． (1)转盘转到黄色的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 19．（24-25九年级上·山西晋城·期末）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的进一步认识 6大高频考点概览 考点01 用列举法求概率 考点02 几何概率 考点03 利用频率估计概率 考点04概率与统计综合 考点05 利用列表法或树状图求概率 考点06 判断游戏的公平性 地 城 考点01 用列举法求概率 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西·期末）甲、乙、丙三人通过抓阄来决定谁能得到仅有的一张球票，他们准备了三张完全相同的纸条，其中一张上画了“☆”，另两张空白．将三张纸条揉成三个大小相同的纸团后混在一起，按“甲—乙—丙”的顺序每人随机各取一个纸团，谁取到的纸团上画有“☆”，谁就能得到球票．下列说法正确的是（   ） A．甲能得到球票的概率最大 B．乙能得到球票的概率最大 C．丙能得到球票的概率最大 D．三人能得到球票的概率相等 【答案】D 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．画出树状图，利用列举法求出甲、乙、丙各抽到五星（“☆”）的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下：    则甲抽到五星的概率为，乙抽到五星的概率为，丙抽到五星的概率为， 所以甲、乙、丙得到球票的概率一样大， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西运城期末）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（    ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【答案】D 【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小． 【详解】解：每个数字抽到的概率都为：， 故小星抽到每个数的可能性相同． 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）山西是著名的“吃货大省”，小明来到山西游玩并品尝山西美食，小明对以下特色美食很有兴趣，它们是“臭豆腐”、“姚老太”、“灌饼”、“烤冷面”，若小明想先随机选择其中两种美食进行尝试，则选中“臭豆腐”和“烤冷面”这个组合的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，列出所有的情况，找出符合题意的情况，求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得：选法有：“臭豆腐”和“姚老太”、 “臭豆腐”和“灌饼”、 “臭豆腐”和“烤冷面”、 “姚老太”和“灌饼”、 “姚老太”和“烤冷面”、 “灌饼”和“烤冷面”，共种等可能出现的结果，其中选中“臭豆腐”和“烤冷面”这个组合的情况有种， 故选中“臭豆腐”和“烤冷面”这个组合的概率是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西运城期末）从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 二、填空题 5．（24-25九年级山西吕梁期末）在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个蓝球它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，直接利用概率公式求解即可求得答案，熟练掌握其概率公式是解决此题的关键． 【详解】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是概率公式，直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：小明恰好坐在爸爸正对面的概率为， 故答案为：． 地 城 考点02 几何概率 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，一只蚂蚁在水平放置的圆形瓷砖上爬行，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．则蚂蚁停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率，难度适中．根据几何概率的求法：蚂蚁停留在阴影部分的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份 ∴阴影区域与白色区域的面积相等， 蚂蚁停留在阴影部分的概率是 ， 故选B． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形，三角形的面积，概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式，是解决问题的关键． 由角平分线和垂线证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据面积概率可得的答案． 【详解】延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点M落在内（包括边界）的概率为，． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，正方形内接于，的两条直径且与正方形的对边分别垂直，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的对称性，正方形的性质和对称性，割补法求面积，结合题意，圆的半径为，阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半计算即可． 【详解】根据题意，得正方形的边长为2，其面积为4，圆的半径为，根据圆的对称性和正方形的对称性，得阴影部分的面积等于圆的面积与正方形面积差的一半， 故， 故选C． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出阴影部分正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出阴影部分正方形的面积，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】解：记阴影部分正方形为， 连接，交于点， ，， 设，则圆的直径为， ，， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为， 故选：C． 5．（山西省忻州某校2024—2025学年九年级上学期上学期期末模拟数学试题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在正方形阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的赵爽弦图纸板，将一个飞镖随机投掷到纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率计算，根据题意，概率等于阴影部分的面积与图形的总面积的商，计算即可． 【详解】设四个全等直角三角形的面积和为4m，小正方形的面积为4n，则整个图形的面积为， 根据割补法，得到直角三角形中的面积是一个直角三角形的面积即为m，小正方形中阴影部分面积正方形的面积的即为n，故阴影部分的面积和为， 故飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【答案】． 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得． 【详解】由图形知， S①＝S②， ∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴蚂蚁停在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率.解题的关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 8．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．若直角三角形的两条直角边长分别为1和2，在大正方形内任意取一点P，则点P落在随影区域内的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】本题以弦图为背景考查了几何概率，根据题意求得直角三角形的斜边长，即可求得大正方形的面积和小正方形的面积，结合几何概率即可求得答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为1和2， ∴直角三角形的斜边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为1， 那么，点P落在随影区域内的概率是． 故答案为：． 地 城 考点03 利用频率估计概率 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题． 【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6， 袋中白球的个数为（个）， 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 估计这一类新品种苹果树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，根据表格频率接近，即可求解． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这一类新品种苹果树成活的概率为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（   ） A．6个 B．19个 C．25个 D．26个 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【详解】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右， ∴摸到白球的频率稳定在左右， ∴白球的个数为：， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.97 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97， 故答案为：0.97． 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，由题意可得小球落在该地形图上的概率为，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为，则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 发芽频率 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902 据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴该品种谷子的种子发芽的概率约为， 故答案为：0.9． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在篮球队员的选拔过程中，“投篮命中率”是一项重要的考核项目．下图是某篮球爱好者在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段该同学随机投篮一次正好命中的概率约为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】 本题考查利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合图示的数据可得答案．解题的关键是要理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【详解】解：这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山西太原·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西运城·期末）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个独特的实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，下表是实验数据： 投掷次数n 相交次数m 相交频率 100 28 0.28 500 138 0.276 1000 273 0.273 5000 1354 0.2708 10000 2698 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01） 【答案】0.27 【分析】本题主要考查了频率与频数分布表，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增加，小针与平行线相交的频率逐步稳定在0.27附近， ∴可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27， 故答案为：0.27． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为 ． 【答案】0.90 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90． 故答案为：0.90． 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）某地区林业局为考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行了调查统计，统计数据如表： 移植总数 50 270 800 1500 3700 7000 14000 成活数 40 235 706 1335 3363 6292 12628 成活的频率 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 据此估计，该地区这种树苗移植成活的概率约为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数的增加，树苗成活的频率逐步稳定在附近， ∴该地区这种树苗移植成活的概率约为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 【答案】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据概率是频率的稳定值，结合表格进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）年月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 成活总数 成活率 估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解题的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计在相同条件下这一类新品种苹果树成活的概率约为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到） 【答案】6 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：， 解得． 故答案为：6． 三、解答题 16．（24-25九年级上·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，频率与概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （1）利用频率估计概率，再计算面积即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）画树状图如图： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的有3种结果， 所以恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为 17．（24-25九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 【答案】(1) (2)0.25 (3) 【分析】本题考查了列表法或树状图法： （1）根据概率公式求解； （2）根据频率的定义求解； （3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是； 故答案为：0.25 （3）解：列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 18．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 173 198 摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505 (1)上表中的________，________（小数形式）； (2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78，0.495 (2)0.5 (3)摸到黑球的概率为0.2 【分析】本题考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为 答：摸到黑球的概率为． 19．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球次数 50 100 200 400 1000 2000 摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到），由此估计出袋子中红球有______个； (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率． 【答案】(1)0.33，2 (2) 【分析】本题了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率所求事件的结果数总的结果数是解题的关键．． （1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可； （2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可； 【详解】（1）通过观察表格可知频率在0.33附近摆动 设红球有 x 个，则摸到白球的概率为 ​ ． 已知摸到白球的频率稳定在0.33附近摆动， 因此可以建立方程： 解这个方程得到 ． 经检验：是方程的解， 所以红球共2个； （2）将两个红球分别记作红1、红2，列表如下： 第一个第二个 白 红1 红2 白 （红1，白） （红2，白） 红1 （白，红1） （红2，红1） 红2 （白，红2） （红1，红2） 共有6种等可能的结果， 其中恰好摸到两个不同颜色的球的情况有4种， （红1，白）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）。 则P（不同颜色）． 20．（24-25九年级上·山西晋中·期末）汉字是人们记事和沟通的重要工具，而书法是发挥汉字实用价值和艺术意趣最有效、最理想的形式，书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某数学兴趣小组从有意向学习书法的学生中，随机抽取了部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： 调查主题 xx中学学生对书法类型的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 xx中学有意向学习书法的学生 调查方案 从全校有意向的学生中按各年级人数比例分别随机抽取合适人选 调查数据的收集、整理与描述 对书法类型的喜爱情况调查问卷 您最喜爱的书法类型是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．篆书（    ）B．隶书（    ）C．行书（    ）D．楷书（    ）E．草书（    ） 所有问卷全部收回、并将调查结果绘制成如下两副统计图 调查结论 … 问题解决：请根据调查报告完成任务． (1)本次调查的总人数为__________，B类型的频率是__________． (2)若该校共有800名有意向学习书法的学生，估计有意向学习“行书”的学生人数． (3)请对该校有意向学习书法的学生对书法类型的喜爱情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)200， (2)248名 (3)适当多开设“行书”“楷书”的书法课程数量，减少“篆书”“草书”的书法课程数量（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查数据的收集与处理，涉及扇形统计图和条形统计图的关联、样本估计总体等知识，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）根据喜爱D书法类型的人数和百分比即可求出本次调查的总人数和B类型的频率； （2）根据样本估计总体计算求解即可； （3）由统计图可得出结论，答案不唯一． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）； B类型的频率是； （2）解：（名）， 答：估计有意向学习行书的学生人数为248名； （3）解：由统计图可知，有意向学习书法的学生中，喜爱字体类型为“行书”“楷书”的人数较多，喜爱字体类型为“篆书”“草书”的人数较少 ， 建议：适当多开设“行书”“楷书”的书法课程数量，减少“篆书”“草书”的书法课程数量． 21．（24-25九年级上·山西运城·期末）一个盒子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，小张根据获得的数据绘制了如下的折线统计图． (1)根据上图中的数据，估计盒中红球有 个； (2)从该盒中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，列表法求概率： （1）根据频率估算出概率，再利用概率求数量即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，摸出白球的概率为：， ∴摸出红球的概率为：0.75， 设红球有个，由题意，得：， 解得：， ∴红球有3个； （2）用表示红球，用表示白球，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能得结果，其中摸到1个白球，1个红球的情况有6种， ∴． 地 城 考点04 概率与统计综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）每年的月日是“消防宣传日”．本月日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成，，，，五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有______人，并补全条形统计图； (2)若该校共有学生人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度达到“”级的人数； (3)测评成绩前四名的学生恰好是个女生和个男生，现从中随机抽取人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，求抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1)，图见解析； (2)该校学生对消防安全知识掌握程度达到“”级的人数为人； (3)． 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用树状图求概率． 由条形统计图可知：组共有人，由扇形统计图可知：组人数占总人数的，可以得到接受测评的总人数为人，根据条形统计图中已知的人数可以求出组的人数，根据组的人数补充统计图； 根据统计图中的数据可以计算出组人数占接受测评的人数的，用这个样本数据估计总体数据，求出全校学生中达到级的总人数； 画树状图可知，共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，从而求出抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【详解】（1）解：由条形统计图可知：组共有人， 由扇形统计图可知：组人数占总人数的， 接受测评的学生共有(人)， 组的人数为：(人)， 补全条形统计图，如下图所示， 故答案为：； （2）解：由条形统计图可知，接受测评的同学中达到级的共有人， 占接受测评人数的， 人中达到级的人数为：（人）， 答：该校学生对消防安全知识掌握程度达到“”级的人数为人； （3）解：设女生为A，个男生分别是，，， 画树状图如下， 共有种机会均等的结果，其中抽到的个学生恰好是一男生与一女生的情况有种． 抽到的个学生恰好是一男生与一女生的概率为． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）穿越千年的时光长廊，山西在等你．近年来山西省在文旅方面下了不少功夫，就如2024年，借助热门游戏《黑神话悟空》的影响力，我省文化和旅游厅推出了“跟着悟空游山西”系列活动，推动了山西文旅走向全国、走向世界．下面是山西文旅集团推出的五条旅游研学线路： A游山西，读中华文明演进史；B游山西，读民族融合发展史； C游山西，读古代建筑艺术史；D游山西，读汇通天下晋商史； E游山西，读中国红色革命史． 某校为了了解九年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，E在的圆心角的度数是_____________． (2)森森和圆圆作为本校九年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率． 【答案】(1)见解析；90 (2) 【分析】本题主要考查了统计图，圆心角的定义，树状图求概率等知识点，解决此题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据A的人数和比例，可以算出这次参加的总人数为80人，再算出E的比例乘以即可得到答案； （2）根据树状图求概率法，画出树状图，得到等可能的结果共25种，即可得到答案； 【详解】（1）解：由题和图可知∶总人数为（人）， ∴D的人数为：（人），如图所示；      ∴E在的圆心角的度数是， 故答案为：． （2） 解：             【点睛】共有25种等可能的结果，其中森森和圆圆选同一条路线的有5种，P（森森和圆圆选同一条路线）． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． (1)表格中， ， ． (2)请补全条形统计图． (3)为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率．熟练掌握众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率是解题的关键． （1）根据众数、中位数的概念进行求解即可； （2）先根据八年级成绩，统计出各分数段的人数，再依据已有统计图的刻度和七年级的条形图，在相应的八年级分数段上画出对应高度的直条； （3）运用列表法或树状图法列出所有可能的结果，统计出①②两张海报张贴在同一个活动教室的情况，用满足条件的情况除以总情况数即可． 【详解】（1）解：八年级学生家长测试成绩中，出现的次数最多，所以； 八年级名学生家长的测试成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，中位数是，所以． 故答案为：，． （2）解：补全条形统计图如图所示． （3）根据题意，列表如下： ① ② ③ ④ ① （①  ，②） （① ，③） （①，③） ② （② ，①） （③ ，③） （②，④） ③ （③ ，①） （④ ，②） （④，④） ④ （⑤，①） （⑤ ，②） （④，③） 由表格可知共有种可能的结果，其中①②两张海报张贴在同一个活动教室内的结果有2种， 故所求概率为． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有 人，m的值为 ； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为 ； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁～55岁这个范围内的居民的概率． 【答案】(1)①30，10，② (2) 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键． （1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；②用1减去其余两项所占的百分比即可； （2）直接用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：①55岁以上的有（人）， ， ， 故答案为：30，10； ②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为， 故答案为：； （2）解：不满意的人有（人）， 设岁这个范围内居民为A，55岁以上的三位居民分别为B1，B2，B3， 根据题意，列表格如下∶ 二 一 A A 或画树状图如下： 由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，， ∴， 故答案为：． 5．（224-25九年级上·山西运城·期末）某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_______名学生； (2)将条形统计图补充完整； (3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率． 【答案】(1)200 (2)统计图见解析 (3)树状图见解析，概率为 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，读懂题意并正确求解是解题的关键． （1）用最喜欢羽毛球的人数除以羽毛球在扇形统计图中圆心角占的百分比即可得到答案； （2）用总人数减去已知各部分的人数得到喜欢足球的人数，补全条形统计图即可； （3）根据题意画出树状图，用他俩选择同一项目的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）此次共调查的学生有：（名）； （2）足球的人数有：（名），补全统计图如图： （3）设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图： 共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种， 则P（他俩选择相同项目）． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． (1) 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有________人； ②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ (3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】(1)①240，②36 (2)600 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等． （1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小； （2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【详解】（1）解：人， ∴参加问卷调查的学生人数是240人， ∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为， 故答案为：240，36； （2）解：人， ∴样本中最喜欢A课程的人数为60人， ∴样本中最喜欢C课程的人数为人， ∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人； （3）解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】(1)见解析 (2)；． (3) 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，      （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． （3）列表如下， 甲乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 地 城 考点05 利用列表法或树状图求概率 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出所以标有偶数的区域的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：转盘被分成了8等份，其中2个区域标有数字“3”， 所以指针指向数字3的概率． （2）解：因为2和4是偶数，2个区域标有数字“2”，3个区域标有数字“4”，所以标有偶数的区域有5个， 所以指针指向的数字为偶数的概率． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）山西的四大旗舰物种是黑鹳（）、原麝（）、华北豹、褐马鸡．某校的野生动植物保护兴趣小组想要将该四大旗舰物种作为自己的课外调查研究内容，但由于时间关系，每位小组成员只能从中随机选择一种调查研究，为保持公平性，他们将这四大旗舰物种的图片制成了四张质地、大小完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，该小组成员小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取）．请你用列表或画树状图的方法，求两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率． 【答案】两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率是． 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，正确理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物分别用表示， 画树状图如图， 由图可知，共有种等可能结果，其中两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的有种， ∴两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率是． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． (1)四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． (2)亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了中心对称图形及列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图， （1）根据中心对称图形的概念求解； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人购买到同一幅作品的概率． 【详解】（1）解：在四幅山西刺绣作品中是中心对称的图形有②③④共3个． 故答案为：3； （2）解：将依次编号为， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到同一幅作品的可能性有3种， 故两人购买到同一幅作品的概率为． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2025年山西省中考体育在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，考生可根据自身实际，从三个项目中选择一项进行考试．某次篮球训练中，甲、乙、丙、丁四人做传球游戏．游戏规则是：第一次传球由持球者甲将球随机传给乙、丙、丁中的一人，以后的每一次传球都由持球者随机传给其他三人中的一人．求第二次传球后，球恰好在甲手中的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法是解题的关键．先把所有第二次传球有可能发生的试验结果用树状图表示出来，然后把第二次传球后，球恰好在甲手中的结果都找出来，代入概率计算公式即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中第二次传球后，球恰好在甲手中的结果有3种， 所以第二次传球后，球恰好在甲手中的概率． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）元旦期间，某超市为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20元”“30元”“40元”的字样（如图所示）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费460元，转了两次转盘．    (1)该顾客最少可得______元购物券，最多可得______元购物券； (2)请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】(1)20；80 (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得20元购物券，最多可得元购物券； （2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图，如图所示：    则该顾客最少可得元购物券，最多可得元购物券； （2）解：∵共有种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于元的有种情况， ∴该顾客所获购物券金额不低于元的概率为：． 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． (1)从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； (2)从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是， 故答案为：； （2）解：树状图： 所有等可能发生的情况共16种，其中两张卡片不是同一季节的情况共12种， 所以两张卡片不是同一季节的概率． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西是华夏文明的发祥地之一，悠久的历史留下了众多文化遗产，周末甲、乙两人从以下四个景区：泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺，随机选取一个参观游玩．假设这两人选择到哪个风景区参观游玩不受任何因素影响．且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同． (1)甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为_______． (2)假设甲去过泽州青莲寺，乙去过高平铁佛寺，各自去过的风景区不再选择，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）记泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺四个地点分别为、、、，画出树状图得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数，然后根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：由题意得，甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为， 故答案为：； （2）解：记泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺四个地点分别为、、、，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的有2种结果， 甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）质朴大方的中华灯、崭新的汉白玉栏杆、花朵点缀的隔离带……，翻新后的迎泽大桥成为了网红打卡地，迎来了各地游客前来拍照留念．小徐和小亮收集了五张迎泽大桥的不同时期的图片（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C，D，E）．现将五张图片背面朝上放置于桌面，搅匀后小徐先从中随机抽取一张，不放回，小亮再从剩余图片中随机抽取一张，求小徐、小亮两人取到的恰好都是新中国成立后的迎泽大桥图片的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下（树状图同样得分）： 第2张 第1张 A B C D E A B C D E 由表格可知，共有20种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两人取到的恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片的结果有6种， ∴两人取到的恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片概率为． 地 城 考点06 判断游戏的公平性 一、单选题 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀．小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张． (1)小康抽到甲图片上半部分图片的概率是_____； (2)请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况； (3)游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)游戏不公平 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数即可； （3）分别求出小康和小英获胜的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：小康抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小康抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：    （3）∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小康获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小英获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比赛．小明找来一个转盘，转盘被等分为8份（红色3份，蓝色3份，黄色2份），随意的转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛．转到其他颜色，小明去． (1)转盘转到黄色的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据黄色占2份，共8份即可解决问题； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】（1）解：转盘转到黄色的概率是， （2）解：这个游戏不公平． ∵小刚去的概率是，小明去的概率是， ∴这个游戏不公平． 19．（24-25九年级上·山西晋城·期末）这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】这个游戏规则对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种，再由概率公式分别求出双方获胜的概率，比较大小即可． 【详解】解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44， 其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种． ∴一方胜的概率为，另一方胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是 (2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：（小明获胜）， （小颖获胜）， 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是． （2）解：该游戏对双方不公平， 设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $