24.2.2 垂径分弦-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（沪科版）

该初中数学课件聚焦“垂径定理”核心知识点，从圆的对称性入手，通过翻折纸片引入轴对称性质，逐步展开垂径定理的应用，涵盖半径、弦心距、弦长关系及实际问题，构建由基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，通过变式训练（如求弦长、半径）、跨学科实例（化学蒸馏瓶液面宽）及培优题（PA+PC最小值转化），培养学生空间观念与模型意识。方法总结强调构造直角三角形用勾股定理，易错点提示避免思维疏漏，助力学生提升解题能力，也为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

HK 数 学 9年级 下册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第2课时　垂径分弦 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点1　圆的对称性 1．将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明( ) A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴 C．圆的直径相互平分 D．直径是圆中最长的弦 ▶限时:15分钟 B 1 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点2　垂径定理 2．如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE C． D．△OCE≌△ODE B 2 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3．如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝CD＝8，则☉O的半径为( ) A．3 B．4 C． D．5 D 3 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 求半径→求弦心距→求弦长 (1)如图1，☉O的弦AB＝24，P是AB上一个动点．若☉O的直径是26，则OP的最小值为　 　．  (2)如图2，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E．若BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°， 则CD的长为　 　．  　5　 4 3 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．如图，在☉O中，弦AB＝12，半径OC⊥AB于点P，且P为OC的中点，则AC的长是( ) A．4 B．6 C．8 D．4 D 4 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点3　垂径定理的实际应用 5．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为( ) A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm B 5 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6．[跨学科题]化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6 cm，瓶内液体最大深度为4 cm，则液面宽AB的长为( ) A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．8 cm D 6 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 垂径定理的应用 　　过圆心作弦的垂线，连接半径．半径与弦心距、弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理知二求一． 6 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7．如图，AB是☉O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，OP＝，则☉O的半径为( ) A．5 B．3 C．4 D． ▶限时:15分钟 A 7 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为　 　m．  　1.3　 8 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9．在直径为50的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且弦AB的长为40，弦CD的长为48，则AB与CD之间的距离为　 　．  对平行弦的位置考虑不周 　8或22　 9 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10．[2025·六安金安区月考]如图，AB是☉O的弦，半径OD⊥AB，垂足为点H，BC⊥AB，交AD的延长线于点C． (1)求证：D是AC的中点； (2)若AB＝6，AC＝2，求☉O的半径． 10 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(1)连接BD． ∵AB是☉O的弦，OD⊥AB， ∴D是的中点， ∴，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC，∴BD＝CD， ∴AD＝CD，即D是AC的中点． 10 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)连接OA． ∵OD⊥AB，垂足为点H，AB＝6，∴AH＝AB＝3， ∵D是AC的中点，AC＝2，∴AD＝， ∴DH＝＝2， 设OD＝OA＝r，则OH＝r－2， 在Rt△OAH中，OH2＋AH2＝OA2， ∴(r－2)2＋32＝r2，解得r＝，即☉O的半径为． 10 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11．[转化思想]如图，AB，CD是半径为5的☉O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为线段EF上任意一点，求PA＋PC的最小值． 11 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：如图，连接BC交MN于点P，连接AP，过点B作MN的平行线交CD的延长线于点H． 由圆的对称性可知AP＝BP， ∴PA＋PC＝BP＋PC， ∴当B，P，C三点共线时，PA＋PC有 最小值，为BC的长． ∵MN是直径，AB⊥MN，CD⊥MN， 答案图 11 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝3． 易得四边形EBHF为矩形，∴EB＝FH＝4，∴CH＝7．连接OA．∵OA＝5，AE＝4， ∴OE＝3，同理得OF＝4， ∴EF＝7，∴BH＝7， ∴BC＝7，即PA＋PC的最小值为7． 11 -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 第2课时　垂径分弦 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $