2025-2026学年人教版（2012）九年级上册数学期末检测

2025-2026学年 人教版九年级上册数学期末检测 试卷副标题 考试范围：九年级上册；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯 B．在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行 C．在黑板上任意画一个四边形，其内角和为 D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上 2．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数，则该函数与轴的交点是（   ） A． B． C． D． 5．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 6．如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 9．如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是 ． 12．某袋子中有黑球8个，白球若干个，这些球除颜色外其余都相同，若摸到白球的概率为0.2，则袋中白球的个数是 ． 13．如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ． 14．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 15．如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 16．如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。 17．用合适的方法解下列方程： (1) (2) 18．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 19．已知抛物线与x轴交于点与． (1)求该抛物线的解析式及它的对称轴． (2)当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 20．如图，中，，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点落在上． (1)求的度数； (2)求点的坐标． 21．在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 22．如图，在中，弦与相交于点E，，连接，．求证： (1)． (2)． 23．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 24．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 25．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D C B D A C 1．C 【分析】本题考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件。选项A、B、D均为随机事件，不一定发生；选项C中，四边形的内角和恒为，是必然事件，据此判定即可． 【详解】解：四边形的内角和总是（根据多边形内角和定理），则任意画一个四边形，其内角和一定为，故选项C是必然事件， 选项A、B、D均可能发生也可能不发生，不是必然事件， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，进而即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握与轴的交点是横坐标为0，是解此题的关键． 令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象与轴的交点是， 故选：B． 5．D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意先求得的半径，进而得到，然后利用勾股定理求得，根据垂径定理可知，据此即可求得答案． 【详解】解：∵为的直径，为的弦，于点E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知的度数，连接，，，可知，故在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可表示出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∵为的切线，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得 , ∴ 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 11．/ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵和是抛物线上面的点，且， ∴； 故答案为： 12．2 【分析】本题考查了概率的计算公式，根据概率公式构建方程求解即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，则总球数为，根据题意得方程： ， 解得： 故袋中白球的个数是2， 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 14． 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数图象与x轴有交点，则对应二次方程的判别式大于或等于零，据此列式求解即可． 【详解】解：二次函数 的图象与x轴有交点，即方程 有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 16．/ 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 18． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 19．(1)函数解析式为：，对称轴为直线 (2)或 【分析】本题考查了抛物线的交点式解析式、对称轴求解及函数值正负的取值范围分析，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线与轴的交点坐标，设出交点式解析式并展开，结合对称轴公式求出对应结果； （2）根据抛物线的开口方向及与轴的交点，分析函数值大于时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点与， ， 解得：， 函数解析式为：， ， 对称轴为直线； （2）解： 抛物线与轴交于点与， 当时，或． 20．(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出，由，即可证得是等边三角形，即可求得； （2）过点作 轴于点．证，然后根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出，，可得结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ， 是等边三角形， ． （2）（2）如图，过点作 轴于点． ，． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，． ．． ． ． ． ． 21．(1) (2)见解析 (3)列表见解析，概率为 【分析】本题考查了频数分布表的相关计算、频数分布直方图的补全以及用列表法求随机事件的概率，解题的关键是掌握“频率=频数÷样本总数”的关系，并通过列表列出所有等可能结果来计算概率． （1）根据频率与频数的关系，用的频数除以样本总数200，即可求出n； （2）先通过样本总数减去其他组的频数求出的频数m，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形； （3）标记2名男生和1名女生，用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况，数出“1男1女”的情况数，结合概率公式(概率符合条件的情况数总情况数)计算概率． 【详解】（1）解：由题意知，样本总数为200,的频数为40．   根据“频率频数样本总数”，得．   故答案为：； （2）解：先求的频数m．   ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，   ∴．   补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应； （3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下： 男1 男2 女 男1 (男1，男2) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，女) 女 (女，男1) (女，男2) 由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．   ∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．   答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到，进而证明结论； （2）先说明，再运用证明，再利用相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ， 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 24．(1)（答案不唯一） (2)运动员落水点E与点C的距离为5米 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一）； （2）解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米． 25．(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $