第1章 直角三角形的边角关系 综合练习-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用，通过综合练习将三角函数定义、边角关系与坡度、仰角俯角等现实情境串联，构建从基础到应用的知识网络。 其亮点在于以“测量小河宽度”“基站塔高度计算”等实际问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，分层设置基础选择、综合解答及中考真题，如结合勾股定理与三角函数求sin∠BAD的第20题，提升推理能力，助力教师精准复习。

BS 数 学 9年级 下册 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 第一章综合练习 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1.若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° A 1 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则( )   A.sin A＝ B.cos A＝ C.cos B＝ D.tan B＝ B 2 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 3.若α为锐角，且sin α＝，则cos(90°－α)的值是( ) A. B. C. D. C 3 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 4.如图，要测量小河的宽度，已知点P位于点A正北方向，点C位于点A的北偏西46°方向.若测得PC＝50米，则小河宽PA为( )   A.50sin 44° 米 B.50cos 44° 米 C.50tan 44° 米 D.50tan 46° 米 C 4 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 5.在Rt△ABC中，若＝0，则∠C的度数是( ) A.105° B.90° C.75° D.60° A 5 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 6.如果某人沿坡度为8：15的斜坡前进17 m，那么他所在的位置比原来的位置升高了( ) A.15 m B.10 m C.8 m D.6 m C 6 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 7.若一个等腰三角形的腰长为4，面积为4，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° B 7 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 8.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点(网格线的交点)处，则tan C的值为( ) A. B. C. D.1 第8题图　 B 8 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，CE＝－1，sin B＝，则菱形的周长是( ) A.4 B.5 C.6 D.4 第9题图 D 9 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 10.在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p，从x轴正方向到射线OP(逆时针方向)的旋转角为α，则用［p，α］表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为［，45°］.若点Q的极坐标为［4，60°］，则点Q的坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(2，2) D 10 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2024，AC＝2024，则∠A的度数为　 　.  45° 11 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 12.如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝85°，AB＝13，AC＝12，则S△ABC＝　 　.  第12题图　 39 12 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 13.在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为　 　.  3或4 13 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 14.如图，在坡度为i＝1∶2.4的斜坡CB上有一 座建成的基站塔AB，小芮在坡脚点C测得塔顶 点A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米 到达点D处，在点D处测得塔顶点A的仰角为53°.(点A，B，C，D，N均在同一平面内，参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) (1)D处的竖直高度为　 　米；  (2)基站塔AB的高约为  　米.  第14题图 5 14 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算：3tan 30°＋tan 45°－2sin 60°. 解：原式＝1. 15 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 16.如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tan B＝.求AB的长. 解：AB＝5. 16 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长. 解：AB＝6. 17 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 18.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足60°≤α≤75°.现有一架5 m长的梯子. (1)当梯子底端距离墙面2 m时， 人能否安全地使用这架梯子？ (2)若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以够到梯子顶端上方25 cm处的物体，使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5 m处的物体吗？(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26， tan 75°≈3.73) 18 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：(1)此时人能够安全地使用这架梯子. (2)∵60°≤α≤75°，∴当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上的墙高度最大. 在Rt△ABC中，AC＝ABsin α≈5×0.97＝4.85(m)， ∴使用这架梯子最高可以够到墙上4.85＋0.25＝5.1(m)处的物体， ∴使用这架梯子能安全够到墙上距离地面5 m处的物体. 18 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.一块直角三角板ABC按如图位置放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°.求点B的坐标. 解：过点B作BE⊥x轴于点E.由题意得OA＝1，OC＝3，∴AC＝. 在Rt△ABC中，BC＝.易得∠OCA＝∠CBE， ∴sin ∠OCA＝sin ∠CBE，即， ∴CE＝，∴BE＝＝3， ∴点B的坐标为(－3－，3). 19 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝. (1)求AC和AB的长； (2)求sin ∠BAD的值. 解：(1)AC＝6，AB＝10. (2)过点D作DE⊥AB于点E.∵S△ABD＝BD·AC＝AB·DE，∴DE＝.∵AD＝＝6，∴sin ∠BAD＝. 20 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 六、(本题满分12分) 21.2024年“五一”假期第一天，小明和爸爸一起去农家乐游玩.如图所示，他们从门口A处进入农家乐，沿着北偏西37°方向前进500 m到达垂钓中心B处.已知果园C在门口 A的南偏东56°方向上，茶园D在果园C的正北 方向460 m处，在垂钓中心B的正东方向，求垂 钓中心B与茶园D之间的距离.(结果保留整数，参考数据： sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， sin 56°≈0.83，cos 56°≈0.56，tan 56°≈1.48) 21 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：过点A作AE⊥BD于点E，AF⊥CD于点F. 由题意知∠BAE＝37°，∠ACF＝56°， 在Rt△ABE中，BE＝ABsin 37°≈500×0.60＝300，AE＝ABcos 37°≈500×0.80＝400. 在Rt△ACF中，CF＝CD－DF＝60， AF＝CFtan 56°≈60×1.48＝88.8. 易知DE＝AF， ∴BD＝BE＋DE＝300＋88.8≈389(m). 答：垂钓中心B与茶园D之间的距离约为389 m. 21 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 七、(本题满分12分) 22.［2024·达州中考］“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体，如图1.在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，AB是彩婷的中轴，甲同学站在C处，借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩婷中轴的距离BC＝6米.乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩婷的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米.请根据以上数据，求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41) 图1　　 图2 22 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：过点M作MN⊥AB于点N. 由题易得四边形MCBN是矩形， ∴MN＝BC＝6，BN＝MC＝1.5. 在Rt△DMN中，DN＝MN·tan 30°＝2. 在Rt△AEF中，AF＝EF·sin 45°＝2， ∴DF＝AF＋DB－AB＝2＋2＋1.5－6.3≈1.5(米). 答：中轴上DF的长度约为1.5米. 22 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 八、(本题满分14分) 23.［2024·苏州中考］图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆.已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. (1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；(结果保留根号) (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tan α＝(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度.(结果保留根号) 图1　　 图2　　 图3 23 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解：(1)过点C作CE⊥AD，垂足为点E， 易得四边形ABCE为矩形， ∴AE＝BC＝20，CE＝AB＝10. ∵AD＝50，∴ED＝30. 在Rt△CED中，CD＝＝10 cm. 23 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G. 易得四边形ABFG为矩形，∴∠AGD＝90°. 在Rt△AGD中，tan α＝， 设DG＝3k，AG＝4k， ∴AD＝5k＝50，∴k＝10， ∴AG＝40，DG＝30， ∴BF＝AG＝40，FG＝AB＝10， ∴CF＝BF－BC＝20，DF＝40. 在Rt△CFD中，CD＝＝20 cm. 23 -- 第一章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 $