第1章 直角三角形的边角关系 章末小结与提升-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了直角三角形边角关系的四大核心考点，包括锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形及其应用，通过考点分类例题解析和章末小结构建知识网络，帮助学生明晰概念公式与解题方法的内在逻辑。 其亮点在于融合易错题分类讨论和中考真题情境设计，如通过正方形中动点问题（第4题）培养学生数学思维中的推理能力，借助测量河宽单摆运动等实际问题（第15-18题）发展数学语言的模型意识与应用意识。分层设置基础题综合题和中考题，满足不同学生需求，教师可直接用于学情诊断和针对性复习。

BS 数 学 9年级 下册 -- 章末小结与提升 第一章　直角三角形的边角关系 章末小结与提升 -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点1　锐角三角函数的定义 1.在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( ) A.c＝bsin B B.b＝csin B C.c＝asin A D.b＝csin A 11 12 13 14 15 16 17 18 B -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，cos A＝，则边BC的长是( ) A.20 B.16 C.15 D.12 11 12 13 14 15 16 17 18 A -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.若α是锐角，且sin α＝，则cos(90°－α)的值是 　.  11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.［易错题］若正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上 一点，且DP＝1，则tan ∠BPC的值是　　　.  11 12 13 14 15 16 17 18 2或 -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长都为1，点A，B，C，D都在格点(网格线的交点)上，AB与CD相交 于点O，则sin ∠BOD的值为             .  11 12 13 14 15 16 17 18 　 -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点2　特殊角的三角函数值 6.计算：cos245°＋sin 30°的值为( ) A. B.1 C. D. 11 12 13 14 15 16 17 18 B -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.在△ABC中，∠A，∠C均为锐角，若|tan B－|＋(sin A－)2＝0，则∠C的度数为　　　.  11 12 13 14 15 16 17 18 75° -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.计算： (1)2cos 30°＋sin 45°－3tan 30°； 11 12 13 14 15 16 17 18 解：原式＝. -- 章末小结与提升 (2)＋|1－sin 30°|－2tan 45°·sin 60°； (3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：原式＝－. 解：原式＝. -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点3　解直角三角形 9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值为( ) A. B. C. D. 11 12 13 14 15 16 17 18 B -- 章末小结与提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点.若tan ∠DBA＝，则AD的长是( )  A. B.2 C.1 D.2 11 12 13 14 15 16 17 18 B -- 章末小结与提升 11.［2023·合肥肥东模拟改编］如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE＝8，CE＝2.  (1)AB＝　　.  (2)tan ∠AEB＝ 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6 -- 章末小结与提升 12.［分类讨论思想］在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，请画出所有可能情况的示意图，并求出CP的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 解：有3种情况：①如图1，∠ABC＝60°，∠ABP＝30°，BC＝6，易得AB＝3，AC＝3.在Rt△ABP中，AP＝AB·tan 30°＝3×，∴CP＝3＝2. ②如图2，此时CP＝AC＋AP＝3＝4. ③如图3，∠C＝60°，∠ABP＝30°， ∠BAC＝90°，∴∠P＝60°， ∴△BCP是等边三角形，∴CP＝BC＝6. 综上所述，CP的长为2或4或6. 图1　　　　图2　　　图3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 考点4　解直角三角形的应用 13.如图，鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的 长度是( ) A.3 m B.3 m C.2 m D.4 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B -- 章末小结与提升 14.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，若斜面坡度为1∶，则斜面AB的长是　　　米.(结果保留根号)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 -- 章末小结与提升 15.如图，张老师将细绳系住的小球B悬挂于铁架台上的A点，用来研究单摆运动，释放后小球在上运动，经测量，点B距离桌面MN 25 cm，小球运动到最低点时距离桌面MN的高度DE为10 cm，∠BAE＝ 37°.求点B到AD的距离和AB的长.(结果 保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 解：过点B作BF⊥AD于点F，BG⊥MN于点G，线段BF的长即为点B到AD的距离. 由题意可得四边形BGDF为矩形， ∴EF＝BG－DE＝25－10＝15. 设AB的长为x cm，则AF的长为(x－15)cm. 在Rt△ABF中，cos ∠BAE＝，即≈0.80， 解得x≈75，∴BF＝AB·sin ∠BAE≈45 cm. 答：点B到AD的距离约为45 cm，AB的长约为75 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 16.如图，为了测量河对面A，B(点A在AG上，点B不在AG上)两点之间的距离，测绘人员在C处测得∠BCD＝45°，在D处测得∠ADC＝21.7°，∠BDC＝63.4°.已知AG∥CD，AC⊥ CD，CD＝90 m，求A，B间的距离.(结果保留整数，参考数据：sin 21.7°≈0.37，cos 21.7°≈0.93， tan 21.7°≈0.40，sin 63.4°≈0.89， cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00， ≈5.39) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 解：在Rt△ACD中，∠ADC＝21.7°，CD＝90， ∴AC＝CD·tan∠ADC≈90×0.40＝36. 过点B作BE⊥CD，交CD于点E，交AG于点F，则EF＝AC＝36，AF＝CE，设BE＝x. 在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴CE＝＝x， 在Rt△BDE中，∠BDE＝63.4°，∴DE＝， ∴CD＝CE＋DE＝x＋＝90，解得x＝60， ∴BE＝CE＝AF＝60，BF＝BE－EF＝24， ∴在Rt△ABF中，AB＝≈65(m). 答：A，B间的距离约为65 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 17.［2024·合肥庐阳区四模］刷脸支付是一种以AI人脸识别为核心的新型支付方式，支付过程非常简单，支付时只需要支付者面对刷脸支付的收银机屏幕上的摄像头，刷脸支付系统会自动将消费者面部信息与个人账户关联.某店使用的支付宝收银机的底座尺寸为AC＝27.6 cm，CD＝10 cm，该店使用的支付宝收银机经常出现顾客刷脸失败的情况，故请 维修人员上门调试，调试后，AB水平放置，∠A＝60°， ∠ACD＝130°，CD⊥EF，D为EF的中点，在该店可以成功 使用，求此时D到AB的距离.(结果精确到个位，参考数据： sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，≈1.73) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 解：过点D作DN⊥AB，垂足为点N，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，过点C作CG⊥DN，垂足为点G，∴四边形CMNG为矩形，∴CG∥AB，CM＝NG. ∵∠A＝60°，∠ACD＝130°，∴∠DCG＝10°. 在Rt△ACM中，AC＝27.6 cm， ∴CM＝AC·sin 60°＝27.6×＝13.8cm，∴CM＝NG＝13.8cm. 在Rt△DCG中，CD＝10 cm， ∴DG＝CD·sin 10°≈10×0.17＝1.7 cm， ∴DN＝DG＋NG＝1.7＋13.8≈26 cm. 答：此时D到AB的距离约26 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 18.［2024·宜宾中考］宜宾地标广场位于三江汇合口(如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江).某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C，D，在地标广场上选择两个观测点A，B(点A，B，C，D在同一水平面，且AB∥CD).如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17° 方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米.求长江口的宽度CD的值.(结果精确到1米，参考数据：sin 18.17° ≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈ 0.33，sin 21.34°≈0.36，cos 21.34°≈0.93， tan 21.34°≈0.39) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 解：如图，作CH⊥AB于点H，作AG⊥CD于点G，作BK⊥CD于点K， 又AB∥CD， ∴四边形AHCG，四边形ABKG都是矩形， ∴GK＝AB＝100，CG＝AH，CH＝AG＝BK，CH∥AG∥BK. 由题意可得∠CAG＝∠DBK＝18.17°，∠GAD＝∠CBK＝21.34°， ∴∠ACH＝∠CAG＝18.17°，∠BCH＝∠CBK＝21.34°. ∵∠AGC＝∠BKD＝90°， ∴△AGC≌△BKD， ∴CG＝DK. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 设AH＝x，CH＝y， ∴＝tan ∠ACH＝tan 18.17°≈0.33，即x＝0.33y， ＝tan ∠BCH＝tan 21.34°≈0.39，即x＋100＝0.39y， ∴0.33y＋100＝0.39y，∴y＝， ∴x＝0.33×＝550，∴CG＝DK＝550， ∴CD＝550×2＋100＝1 200(米). 答：长江口的宽度CD约为1 200米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -- 章末小结与提升 $