第1章 【模型构建专题】 解直角三角形的常见图形结构-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 9年级 下册 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第一章　直角三角形的边角关系 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型1　背靠背型 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.如图，由游客中心A处修建通往观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若BC＝100 m，∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为　　m.(参考数据：sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)  60 1 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图，某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，则路基底AD的长约为　 　米.(结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)  43 2 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.［2023·聊城中考］东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200 m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(A，B，C，P四点在同一平面内).求明珠大剧院P到龙堤BC的距离.(结果精确到1 m，参考数据：sin68.2° ≈0.928，cos 68.2°≈0.371，tan 68.2° ≈2.500，sin 56.31°≈0.832，cos 56.31° ≈0.555，tan 56.31°≈1.500) 3 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：过点P作PE⊥BC于点E， 过点A作AD⊥PE于点D， 则四边形ADEB是矩形， ∴DE＝AB＝520.设AD＝BE＝x. 在Rt△PAD中，PD＝AD·tan ∠PAD＝x·tan 68.2°≈2.5x. 在Rt△PCE中，tan ∠PCE＝tan 56.31°＝≈1.5， 解得x＝320，∴PE＝2.5x＋520＝1320(m). 答：明珠大剧院P到龙堤BC的距离约为1320 m. 3 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型2　母抱子型 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.［2024·眉山中考］如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为　　　　　　　米.  (4)　 4 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.交通安全一直是安全教育的重要组成部分，其中超速是引发交通事故的主要原因之一.规定以下问题情境中的速度不得超过50 km/h.如图，在一条笔直公路AB的上方P处有一台交通探测仪，PA⊥AB于点A，AP＝8 m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向A点行驶，测得∠PBA＝14°，2 s后到达C点，测得∠PCA＝53°.(参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈4.12) (1)求AB的长度；(结果保留整数) (2)判断此轿车是否超速. 5 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(1)在Rt△ABP中，∠PBA＝14°，AP＝8， ∴AB＝＝32(m). 答：AB的长度约为32 m. (2)在Rt△ACP中，∠PCA＝53°，AP＝8， ∴AC＝≈6(m). ∴BC＝AB－AC＝32－6＝26(m). ∴轿车行驶的速度为26÷2＝13(m/s)＝46.8(km/h). ∵46.8＜50，∴此轿车没有超速. 5 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.［跨学科题］［2024·宿州埇桥区三模］光线从一种介质进入另一种介质时会发生折射现象.如图1，我们把n＝称为折射率(法线与介质相互垂直). 操作一：如图2，在一个无水的 水槽中，有一束激光恰好落在水 槽C点处. 6 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 操作二：如图3，保持激光的角度和高度不变，在水槽中加入一定量的水，水平面为EF，这束光发生折射，光线与EF交于点H，折射光线为HG，MN为法线.已知四边形BCEF是矩形，该束光从空气到水中的折射 率n＝，CE＝30 cm，入射角α＝53.2°， 求CG的长.(参考数据：sin 53.2°≈0.80， cos 53.2°≈0.60，tan 53.2°≈1.34) 6 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：设MN与BC交于点P，∠PHG＝β. ∵n＝，sin α≈0.80＝， ∴sin β＝. 在Rt△PHG中，sin β＝，HP＝CE＝30， 由勾股定理易得PG＝22.5. 在Rt△PHC中，tan ∠PHC＝tan α≈1.34， ∴PC＝HP·tan α≈40.2， ∴CG＝PC－PG＝40.2－22.5＝17.7 cm. 6 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型3　交叉型 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.［方程思想］如图，甲建筑物AD和乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从点E(点A，E，B在同一水平线上)测得点D的仰角为30°，测得点C的仰角为60°，则这两座建筑物顶端C，D间的距离为　　　　　m.(结果保留根号)  20 7 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4，则斜坡CD的长为　　　　米. (结果保留根号)  80 8 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点，且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°.已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度. (结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73， sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53° ≈1.33) 9 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°， tan ∠ADB＝tan 53°＝≈1.33， tan ∠CBD＝tan 30°＝， ∴DF≈4.5，BF＝6， ∴BD＝BF＋DF≈4.5＋6. 在Rt△ABD中，tan ∠ADB＝tan 53°＝≈1.33， 解得AB≈19.8. 答：DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米. 9 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型4　斜截型 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个Rt△DEF纸板测量大树AB的高度，已知tan ∠EDF＝0.5，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝13 m，则树AB的高度是( )  A.7 m B.7.5 m C.8 m D.8.5 m C 10 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E.若BC＝6，sin A＝，则DE的长为         .  　 11 -- 【模型构建专题】　解直角三角形的常见图形结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $