1.5 三角函数的应用-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦“三角函数的应用”核心知识点，涵盖方向角、仰角俯角、坡度坡角三类问题，通过教材改编例题、实际情境题导入，衔接三角函数定义，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察航海、建筑等现实场景，用数学思维推理运算（如辅助线构造、勾股定理与三角函数结合），借数学语言构建直角三角形模型。含“二鸟饮泉”数学文化题、2023中考改编题，分层设计基础与提升内容，助力学生提升应用意识，为教师提供丰富例题与解题思路。

BS 数 学 9年级 下册 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第一章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ▶限时:15分钟 知识点1　方向角问题 1.［教材P25复习题第13题改编］如图为东西流向且河岸平行的一段河道，A，B分别为两岸上的点，且点B在点A的正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽为( )  A.atan 55°米 B.米 C.米 D.米 D 1 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10 km到B处，再从B处向正西方向行驶20 km到C处.此时这艘船与A处的距离为( ) A.15 km B.10 km C.10 km D.5 km C 2 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.［2023·合肥包河区一模改编］如图，C地在A地的正东方向，因有大山相隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向上，距离A地52 km，C地位于B地南偏东30°方向上.若打通穿山隧道，建成两地直达的高铁，则A地到C地之间高铁线路的长约为______　　km.(结果保留整数，参考数据： sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39， tan 67°≈2.36，≈1.73)  60 3 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2　仰角、俯角问题 4.如图，从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90 m.若tan α＝0.27，tan β＝2.73，则这栋楼的高约为 　 　m.  270 4 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得A，R的距离是40 km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　 　　　　km.(结果保留根号)  (20－20)　 5 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.［数学文化］“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步.两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达.喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离.”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC＝30， BD＝20，则AB＝　　　　　　. (结果保留根号)  10 6 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点3　坡度、坡角问题 7.［2023·宿州萧县月考］如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1∶3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　　　　米.(结果保留根号)  10 7 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.［教材P19“做一做”改编］如图，已知滑梯AB的长为3 m，为安全起见，萌萌打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°.若点D，B，C在同一水平地面上，则加长后的滑梯AD的长为　 　m.(结果保留根号)  3 8 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ▶限时:10分钟 9.［2023·合肥蜀山区期末］在坡度i＝1∶2.4的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是( ) A.6米 B.6.5米 C.13米 D.14.4米 B 9 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.［2023·安庆桐城月考］如图，在水平地面上有房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠DAC＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，BC＝5米，则 这棵树的高度DE是( ) A.6米 B.6米 C.5米 D.12米 C 10 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，一栋楼房AB后有一个小山坡CD，其坡度i＝3∶4.某一时刻太阳光线与水平线的夹角为40°时，楼房AB在小山坡CD上的影长为25米，测得坡脚C与楼房的水平距离BC＝40米，求楼房AB的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 11 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：过点D分别作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，易得四边形BFDE是矩形，∴DF＝BE，DE＝BF. 在Rt△DCE中，∵i＝，∴设DE＝3x，可得CE＝4x， 由勾股定理得(3x)2＋(4x)2＝252，解得x＝5，∴CE＝20，BF＝DE＝15， ∴DF＝BE＝BC＋CE＝40＋20＝60(米). 在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝tan 40°＝， ∴AF＝DF·tan 40°≈60×0.84＝50.4(米)， ∴AB＝AF＋BF＝50.4＋15≈65(米). 答：楼房AB的高度约为65米. 11 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.［2023·合肥瑶海区二模］某海事救援艇开展海上救援演习活动，被救援船只A、救援艇B，C的位置如图所示，测得船只A在救援艇B的东北方向上，救援艇C在救援艇B的南偏东82°方向上，且救援艇C在船只A的正南方向，若船只A到救援艇B的距离为42海里，救援艇B，C的速度分别是 31海里/小时、24海里/小时，问哪艘救援艇先 到达被救援船只A？(参考数据：≈1.41， cos 53°≈0.60，sin 53°≈0.80，tan 37°≈0.75) 12 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：过点C作CD⊥AB于点D. 由题意，得∠A＝45°，∠C＝82°，∠ABC＝180°－45° －82°＝53°，∴∠BCD＝37°. 设CD＝x海里，在Rt△BDC中，tan ∠BCD＝， ∴≈0.75，BD≈0.75x. 在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AD＝CD＝x海里， ∴0.75x＋x＝42，解得x＝24，∴AC＝CD≈1.41×24＝33.84(海里). 救援艇B和C到达被救援船只A的时间分别为42÷31≈1.35(小时)，33.84÷24＝1.41(小时)，1.35＜1.41. 答：救援艇B先到达被救援船只A. 12 -- 5　三角函数的应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $