选择性必修第一册综合测试-2025-2026学年高二上学期数学湘教版

湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的前n项和为 $$S _ { n } ，$$ 若 $$S _ { 9 } = 1 ，$$ ，则 $$a _ { 3 } + a _ { 7 } = \left($$ ) A.-2 $$B . \frac { 7 } { 3 }$$ C.1 $$D . \frac { 2 } { 9 }$$ 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成 $$a _ { 1 }$$ 和d来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或 者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由 $$S _ { 9 } = 1 ，$$ ，根据等差数列的求和公式， $$S _ { 9 } = 9 a _ { 1 } + \frac { 9 \times 8 } { 2 } d = 1 \odot 9 a _ { 1 } + 3 6 d = 1 ，$$ 1 又 $$a _ { 3 } + a _ { 7 } = a _ { 1 } + 2 d + a _ { 1 } + 6 d = 2 a _ { 1 } + 8 d = \frac { 2 } { 9 } \left( 9 a _ { 1 } -$$ $$6 d \right) = \frac { 2 } { 9 }$$ 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质， $$a _ { 1 } + a _ { 9 } = a _ { 3 } + a _ { 1 } ，$$ ，由 $$S _ { 9 } = 1 ，$$ ，根据等差数列的求和公式， $$S _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 3 } \right) } { 2 } = \frac { 9 \left( a _ { 3 } + a _ { 1 } \right) } { 2 } = 1 ，$$ $$若 a _ { 3 }$$ $$a _ { 3 } + a _ { 7 } = \frac { 2 } { 9 }$$ 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差 d=0， ，则 $$S _ { 9 } = 1 = 9 a _ { 1 } \to a _ { 1 } = \frac { 1 } { 9 }$$ $$\frac { 1 } { 9 } ，$$ $$a _ { 3 } + a _ { 7 } = 2 a _ { 1 } = \frac { 2 } { 9 }$$ a= 故选：D 2. 若 不等式 $$\left( - 1 \right) ^ { n } a < 2 + \frac { \left( - 1 \right) ^ { n + 1 } } { n }$$ 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是() $$A . \left[ - 2 ， \frac { 3 } { 2 } \right)$$ $$B . \left( - 2 ， \frac { 3 } { 2 } \right)$$ $$C . \left[ - 3 ， \frac { 3 } { 2 } \right)$$ $$D . \left( - 3 ， \frac { 3 } { 2 } \right)$$ 【答案】A 【分析】对n按奇偶数分类讨论，再由不等式恒成立可得. 【详解】n为正奇数时，不等式为 $$- a < 2 + \frac { 1 } { n }$$ 易知 $$y = 2 + \frac { 1 } { n }$$ 是递减的，因此而 $$2 + \frac { 1 } { n } > 2$$ ，所以 -a≤2， ，即 a≥-2，n 为正偶数时，不等式为 $$a < 2 - \frac { 1 } { n } ，$$ 易知 $$y = 2 - \frac { 1 } { n }$$ 是递增的， n=2 时， $$y = 2 - \frac { 1 } { n }$$ 取得最小值 $$\left[ \frac { 3 } { 2 } ，$$ ，所以 $$a < \frac { 3 } { 2 }$$ 综上，a的范围是 $$\left[ - 2 ， \frac { 3 } { 2 } \right)$$ .故选： A. 3.已知圆x2+y+2)2=r2口>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.1,3) C.(3,+0) D.(0,+0) 【答案】B 【分析】先求出圆心E(0,-2)到直线y=√3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论 【详解】由题意， 在圆x2+(y+2)=2(r>0)中，圆心E(0,-2),半径为r, 到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有2个， 圆心B(0,-2)到直线y=V5x+2的距离为：d= x3--2x1+月-2 V3)+(1 故由图可知， 当r=1时， 圆x2+(y+2)2=2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y=V3x+2的距离等于1： 当r=3时， 圆x2+(y+2)'=r2(r>0)上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y=√5x+2的距离等于1： 当则的取值范围为(1,3)时， 圆x2+(y+2)2=2(1>0)上有且仅有两个点到直线y=√3x+2的距离等于1. 故选：B 4.已知直线+by-a+2b=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，则AB的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点P(1,-2),从而可得当PC⊥AB时，AB的最小，结合勾股定理代入计 算，即可求解 【详解】因为直线ax+y-a+2b=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令x-1=0, 则x=1,y=-2,所以直线过定点(1，-2)，设P(1,-2), 将圆C:x2+y2+4y-1=0化为标准式为x2+(y+2)=5, 所以圆心C(0,-2),半径r=√5，PC=1 当PC⊥AB时，AB的最小， 此时AB到=2Vr2-|PC=2xV5-i=4 故选：C 5.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P'为垂足，则线段PP的中点M 的轨迹方程为() A,+=1（>0) B.+ 十 -=1(y>0) 168 c若若190 +-1(y>0) D.168 【答案】A 【分析】设点M(x,y),由题意，根据中点的坐标表示可得P(c,2y),代入圆的方程即可求解. 【详解】设点M(x,y),则P(x,P(x,0), 因为M为PP的中点，所以y%=2y,即P(x,2y), 又P在圆x2+y2=160>0)上， 所以x+4y2=160>0),即+上=10>0)， 164 即点M的轨迹方程为名+苦-0>， 故选：A 6.已知双前线c号芳-1a>0b>0的离心华为5，c的一条渐近线与K)+-=1交于4，B两点、 则川ABE() A.6 B.25 c.3V5 D.45 5 5 5 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长」 【详解】由e=V5,则c-a+b 5, b2 =1+ 解得2=2. a 所以双曲线的渐近线为y=±2x, 当渐近线为y=-2x时，圆心2,3)到该渐近线的距离d=2x2+3_75 V22+15 >1,不合题意： 当渐近线为y=2x时，则圆心(2，)到渐近线的距离d=12×2-3引。5 V22+15 所以弦长AB卡2P2-dP=2,1 45 5 故选：D 7.在(x-√)的展开式中，x的系数为() A.6 B.-6 C.12 D.-12 【答案】A 【分析】写出三项展开式，令4？=3，解出：然后回代入二项展开式系数即可得解 【详解】(x-V的二项展开式为T4=Cx4()=C（←1x5=0,123,4) 令4-号3，解得7=2 故所求即为C(-1)2=6. 故选：A 8.某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第 一个出场，且甲或乙最后出场的概率是() A.君 B.4 c. 1 1 D. 2 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 甲 乙 丙 丙 丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲 丙 甲 甲 丙 乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率P=243 81 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种： 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种： 于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意： 基本事件总数显然是A=24, 根据古典概型的计算公式，所求概率为8= 243 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为S,4<0,a2o2s+ao26>0,ao2sa226<0，则() A.d>0 B.a2024+a2027>0 C.Sn中S226最小 D.使Sn>0成立的最小正整数n的值为4050 【答案】ABD 【分析】先根据己知条件判断425,426的符号，进而可判断公差的符号，然后根据等差数列的通项公式和前n项和 公式逐项判断即可 【详解】因为a22,4026<0,4<0,所以a2025<0<a2026,即d=a2o26-a2025>0，故A正确： a2024+a2027=a2025-d+42026+d>0,故B正确： 由a2o25<0<42o26,得当n≤2025时，a.<0,当n≥2026,4.>0， 所以当n=2025时，Sn最小，故C错误： 结合C选项中数列各项的符号可知： S4049 4049(a+a09）=4049a,20,Ss0 40504+a4o5d 2 2 =2021a2025+202b 所以使S>0成立的最小正整数n的值为4050，故D正确. 故选：ABD, 10.直线x+y+3=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x-3)2+y2=2上，过直线上的一点作圆的切线， 则() A.△ABP面积的最小值为6 B.△ABP面积的最大值为12 C.切线长的最小值是4 D.切线长的最小值是4√2 【答案】ABC 【分析】根据题意，由条件可得A,B坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点P到AB距离的最小值，从而判断AB, 再由勾股定理代入计算，即可判断CD 【详解】根据题意，直线x+y+3=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，则A(-3,0),B(0,-3),故AB=3V2, 圆（代-3沙+y=2的圆心到直线x+y+3=0的距离332 圆(x-3)2+y2=2的半径为√2，则点P到AB距离的最小值为3√2-√2=22，最大值为3√2+√2=4√2， 故△ABP面积的最小值S-分×3万x2万-6，所以A项正确： △ABP面积的最大值S号×35x45=12,所以选项B正确： 圆心到直线的距离d=3√2，所以切线长的最小值1=√-2=√18-2=4，所以C项正确 故选：ABC 1.已知双曲线c:二-1a>0)的右焦点为r 4W3 0 左顶点为A,过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为 a24 H,且交C的右支于点G,设O为坐标原点，P为C的左支上一动点，则() A.AH=FH B.OG-2a 3 C.PF-PG s3-3 D.P+PG≥3+5V5 3 【答案】ACD 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定H,G的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假：利用 平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合 双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假， 【详解】对双曲线：c-45,b=2,所以a-Ce--6-4-2y5 3 V3 3 双曲线在一、三象限的渐近线方程为y=√3x 如图： 直线H所在的直线方程为：y=一 y=V3x 由 x- 3 3y=1 3=1 x=9-5 44 6 、 3 且x>0→ x- V5) o2 3 2 所以GF= 9-3433- 63 2 =3-√5 对A:因为A 33 +1=2,所以A=|FH,故 A正确： 对B:因为OG= 9-V33-V3 6,2 新=5，所以OG号近不成立，故B错误 对C:PF-PG<FG=3-V3,当P,F,G三点共线时取等号，故C正确： 对D:设双曲线左焦点为，则P-P-2a=P745 3 所以 -p5q49-95 4W3 28+63,4V3 3 3 3 35+2x33+145-5+1+45-3+55,当，P,G三点共线时取等号赦D正确。 3 33 3 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.数列a}满足：4子且a1a- (a1+a),则a60= 【答案】1220 【分析】首先将条件平方，再由递推公式推出数列{a-a}是等差数列，再相加求和. 【详解】a-a=层a+a).所以(a。-a广-号aa.且a:-ag-a:-a小 两式相减得：a-a)ae-2a+a)a:-a)。 又由a1-an= (a1+a.)≥0及a>0,故{a}是递增数列，a2-a,≠0， 2 所以a2-a1=a+1-a+3' 当n=1时，&-a=行a+a）),解得G=2a,又a,>a,即a=2.a-4=3 所以数列红}是等差数列，首项为专，公差为行 所以a-a-+-号a-, 故a-a-a)+(a,-a,)++(6-a)+4-2+3++60)+号 2x59×(2+60)2-1220. 3 2 3 故答案为：1220 13.已知圆x2+y2=4与圆(x-2)2+(y+2)2=20交于A,B两点，则公共弦长AB= 【答案】2W2 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可 【详解】由题得，x2+y2-4=0,x2-4x+y2+4y-12=0,两方程相减得， x-y+2=0,则圆心0(0.0)到此直线距离为d=2=5,所以AB=2N-d=24-2=25. 1+1 故答案为：2√2 14.某高校组织了关于人形机器人的实践调研活动，实践团成员由来自不同专业的4名男生、3名女生组成.现要从 中随机挑选3人去完成一项综合性调研任务，任务包含资料收集、实地访谈、报告撰写三个环节，每人负责一个环 节（特殊情况下可以负责两个）.若要求负责实地访谈的为1名女生，且负责资料收集的不能是女生（特殊情况为女 生参与资料收集，需至少有1名男生与其搭档，且该男生需负责报告撰写)，则恰好挑选了2名女生的概率为 【路案】月 【分析】根据题意分类讨论求出总情况，然后选出恰好挑选了2名女生的情况，求出概率即可. 【详解】若挑选了1名女生2名男生，则1名女生负责实地访谈，2名男生分别负责资料收集和报告撰写，此时有 CA:=36种安排方法： 若挑选了2名女生1名男生，无特殊情况时，2名女生分别负责实地访谈和报告撰写，1名男生负责资料收集，此 时有AC4=24种安排方法： 有特殊情况时，2名女生分别负责实地访谈和资料收集，1名男生负责资料收集和报告撰写，此时有AC,=24种安 排方法，所以不同的安排方法共有36+24+24=84种， 恰好挑选了2名女生的概率为94二=7 ,24+244 故答案为： 4 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}为等比数列，数列bn}的前n项和为Sn,且a=2,a.=16,Sn=n2+3n. (1)求{a}和b}的通项公式： (2)设cn=ab.,求数列{cn}的前n项和T. 【答案】(1)an=2",b.=2n+2 (2)Tn=n.2+2 【分析】(1)由等比数列通项公式基本量的计算和a.与Sn的关系即可求解： (2)由错位相减法即可求解， 【详解】(1)设等比数列{a}的公比为9， 由4=2,4=16，得9=g-=8,即g=2,所以a=2×2=2, 42 由Sn=+3n,当n≥2时，Sn-1=(n-1)+3(n-1), 所以b=S。-S1=(m+3m）-(-1)2+3(n-1)=2n+2,n≥2， 当n=1时，b=S=4,满足上式，所以bn=2n+2 (2)由(1)得cn=abn=2”×(2n+2)=(n+1)21, 则T=2×22+3×2+4×24+…+(n+1)x21, 两边同时乘以2，得2Tn=2×2+3×24+4×2++(n+1)×2+2, 两式作差得-Z=2x2+(424+21大29-8+81-2） 1-2 +12e=-.2"2,所以Tn=n2+2 16.(15分)已知圆C的方程为x2+y2-6x-4y+9=0 (@若直线！经过圆C的圆心，且倾斜角为不，求直线1的方程： (2)若直线y=x+1与圆C交于A,B两点，求弦AB的长， 【答案】(1)x+y-5=0 (2)2V2 【分析】(1)首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案： (2)利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】(1)由题意得圆C的标准方程为：(x-3)'+(y-2)'=4, 所以圆心坐标为(3,2)， 由直线的点斜式方程可得直线方程为y-2=tm红-3儿 即x+y-5=0: (2)圆心(3,2)到直线y=x+1的距离为d-3-2+1-5, 所以弦4B的长为22-(2)=25 17.15分)如图，已加稀圆r言+芳-1a>b0)的右焦点为P10,过P的动直线与r交于P0两点，且当 P0⊥x轴时，P2=3. (1)求T的方程： (2)证明： FP FO_3 PO4 (3)若P在x轴上方，直线PE与圆E:(x+1)2+y2=16交于点B,点B在x轴上方，是否存在点P,使得△PBF与△OEF 的面积之比为3：5？若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由 【答案10片号1 (2)证明见解析 3存在P0,宁 【分析】(1)根据给定条件，列出方程组求出a,b即可. (2)按直线1的斜率是否为0分类，设出直线1的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算 得证， (3)利用椭圆的范围及两点间距离公式求出焦半径，再利用三角形面积关系，结合已知的面积比列式求出点P坐 标 【详解】1依器意，点0在福圆r上，剥宁+8-1，又G-6-1 联立解得a2=4,b2=3, 所以椭圆Γ的方程是父+上 431. (2)当1的斜率为零时，P,2为椭圆T长轴端点，|PQ=4,|FP|F@=3×1=3,则 FP‖FQL- POl 4 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 8．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知公差为的等差数列的前项和为，则（　　） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值为4050 10．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 11．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．数列满足：，且，则 . 13．已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 14．某高校组织了关于人形机器人的实践调研活动，实践团成员由来自不同专业的4名男生、3名女生组成.现要从中随机挑选3人去完成一项综合性调研任务，任务包含资料收集、实地访谈、报告撰写三个环节，每人负责一个环节（特殊情况下可以负责两个）.若要求负责实地访谈的为1名女生，且负责资料收集的不能是女生（特殊情况为女生参与资料收集，需至少有1名男生与其搭档，且该男生需负责报告撰写），则恰好挑选了2名女生的概率为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 17．（15分）如图，已知椭圆的右焦点为，过的动直线与交于两点，且当轴时，.    (1)求的方程； (2)证明：； (3)若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 18．（17分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 19．（17分）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对按奇偶数分类讨论，再由不等式恒成立可得． 【详解】为正奇数时，不等式为， 易知是递减的，因此而，所以，即，为正偶数时，不等式为， 易知是递增的，时，取得最小值，所以， 综上，的范围是．故选：A． 3．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 4．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 6．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 8．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知公差为的等差数列的前项和为，则（　　） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值为4050 【答案】ABD 【分析】先根据已知条件判断的符号，进而可判断公差的符号，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式逐项判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A正确；，故B正确； 由，得当时，，当，， 所以当时，最小，故C错误； 结合C选项中数列各项的符号可知： ， 所以使成立的最小正整数的值为4050，故D正确． 故选：ABD． 10．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 11．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．数列满足：，且，则 . 【答案】1220 【分析】首先将条件平方，再由递推公式推出数列是等差数列，再相加求和. 【详解】由，所以，且， 两式相减得：， 又由及，故是递增数列，， 所以， 当时，，解得，又，即， 所以数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， 故 . 故答案为：. 13．已知圆与圆交于，两点，则公共弦长 ． 【答案】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为，所以． 故答案为：. 14．某高校组织了关于人形机器人的实践调研活动，实践团成员由来自不同专业的4名男生、3名女生组成.现要从中随机挑选3人去完成一项综合性调研任务，任务包含资料收集、实地访谈、报告撰写三个环节，每人负责一个环节（特殊情况下可以负责两个）.若要求负责实地访谈的为1名女生，且负责资料收集的不能是女生（特殊情况为女生参与资料收集，需至少有1名男生与其搭档，且该男生需负责报告撰写），则恰好挑选了2名女生的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意分类讨论求出总情况，然后选出恰好挑选了2名女生的情况，求出概率即可. 【详解】若挑选了1名女生2名男生，则1名女生负责实地访谈，2名男生分别负责资料收集和报告撰写，此时有种安排方法； 若挑选了2名女生1名男生，无特殊情况时，2名女生分别负责实地访谈和报告撰写，1名男生负责资料收集，此时有种安排方法； 有特殊情况时，2名女生分别负责实地访谈和资料收集，1名男生负责资料收集和报告撰写，此时有种安排方法，所以不同的安排方法共有种， 恰好挑选了2名女生的概率为， 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解； （2）由错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，，得，即，所以， 由，当时，， 所以，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）得， 则， 两边同时乘以2，得， 两式作差得，所以 16．（15分）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 17．（15分）如图，已知椭圆的右焦点为，过的动直线与交于两点，且当轴时，.    (1)求的方程； (2)证明：； (3)若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按直线的斜率是否为0分类，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）利用椭圆的范围及两点间距离公式求出焦半径，再利用三角形面积关系，结合已知的面积比列式求出点坐标. 【详解】（1）依题意，点在椭圆上，则，又， 联立解得， 所以椭圆的方程是. （2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点，，则； 当的斜率不为零时，设的方程为， 由消去得，， 所以， 而，则为， 因此，即， 所以. （3）依题意，，而， 则， 同理，而， 由（2）知，，则 ， 于是，， 因此 ， 整理得，则，   ，而， 解得，点， 所以存在满足题意. 18．（17分）在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率； (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据表中数据，结合古典概型求出对应概率； (2)4个球中恰有2个塑料球的情况可以分三种，即从红色球中抽出的2个都是塑料球；或者红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球；或者红色球中抽出的2个都是木质球再结合事件的相互独立性求概率. (3)先分别设出红球白球的个数结合概率公式表示出再作差比较大小即可. 【详解】（1）由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为． （2）当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球两个木质球， 因为，所以从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率， 从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为， 从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为， 当从红色球中抽出的2个都是塑料球，从白色球中抽的都是木质球时对应的概率为：， 当从红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球，从白色球中抽的是1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：， 当从红色球中抽出的2个都是木质球，从白色球中抽的都是塑料球时对应的概率为：， 故当这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为. （3）设红色球总数为，白色球总数为，已知， 从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为， 从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为， ， 因为，所以，所以， 所以. 19．（17分）已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义可得，，由即可求得，进而写出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程利用韦达定理得到，，从而得到，，求出的中点坐标代入直线方程可得答案. 【详解】（1）因为短轴长为2，所以， 因为， 所以，， 又因为轴，所以， 则，且，解得， 则椭圆的标准方程为. （2）设，则，， 联立，整理得， 则，，则， 直线：， 令，得， 故，，， 则的中点坐标为， 由于与的面积相等，故到直线的距离相等， 因此的中点在上， 可得，， 则，解得，又，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S,=1,则a+4=() A.-2 B C.1 D. 2.若不等式(-少a<2+少”对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是() n B.2 c.s n(引 3.己知圆x2+(y+2)2=r2>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.Q,3) C.(3,+w) D.(0,+0) 4.已知直线+by-a+2b=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，则AB的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 5.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P'为垂足，则线段PP的中点M 的轨迹方程为() Ax2y1(y>0)B.1681C>0）C D.+=1(y>0) 164 c6+号10) 168 6已知双曲线C。1Q>0.b>0的离心率为5，C的一条新近线写圆(x-2+(0-3沙=1交于4，B两息 则川AB=() 4. B.2V5 c.35 D.45 5 5 5 5 7.在(x-)的展开式中，x的系数为() A.6 B.-6 C.12 D.-12 8.某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第 一个出场，且甲或乙最后出场的概率是() A.吉 B. c. 1 D.2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知公差为d的等差数列{an}的前n项和为S,4<0,a2o2s+a26>0,ao242o26<0，则() A.d>0 B.42024+a2027>0 C.S中S2026最小 D.使S.>0成立的最小正整数n的值为4050 10.直线x+y+3=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x-3)2+y2=2上，过直线上的一点作圆的切线， 则() A.△ABP面积的最小值为6 B.△ABP面积的最大值为12 C.切线长的最小值是4 D.切线长的最小值是4√2 1.已知双曲线c:上-1a>0)的右焦点为F a2-4 左顶点为A,过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为 3 H,且交C的右支于点G,设O为坐标原点，P为C的左支上一动点，则() A.AH=FH B.0G=2丽 C.PF-PGs3-3 D.IP+lPG≥3+53 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.数列a}满足：a-号且a1a-am+a)小，则a 13.已知圆x2+y2=4与圆(x-2)2+(y+2)2=20交于A,B两点，则公共弦长AB= 14.某高校组织了关于人形机器人的实践调研活动，实践团成员由来自不同专业的4名男生、3名女生组成.现要从 中随机挑选3人去完成一项综合性调研任务，任务包含资料收集、实地访谈、报告撰写三个环节，每人负责一个环 节（特殊情况下可以负责两个）.若要求负责实地访谈的为1名女生，且负责资料收集的不能是女生（特殊情况为女 生参与资料收集，需至少有1名男生与其搭档，且该男生需负责报告撰写)，则恰好挑选了2名女生的概率为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)己知数列{an}为等比数列，数列bn}的前n项和为Sn,且4=2，a4=16,Sn=n2+3n. (1)求{a}和{b}的通项公式： (2)设cn=ab.，求数列{cn}的前n项和T. 16.（15分)已知圆C的方程为x2+y2-6x-4y+9=0 Q)喏直线！经过园C的园心，且倾斜角为买。求直线1的方程： (2)若直线y=x+1与圆C交于A,B两点，求弦AB的长 17（15分》如图，已知嘴题r哥+茶-1ab0)的右张点为00.过r的动直线与r交于R0雨点，且当 PQ⊥x轴时，Pg=3 70 (1)求Γ的方程： (2)证明： FP FO_3 PO4 (3)若P在x轴上方，直线PE与圆E:(x+1)2+y2=16交于点B,点B在x轴上方，是否存在点P,使得△PBF与△QEF 的面积之比为3：5？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由 18.(17分)在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料 和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表： 红色 白色 塑料球 木质球 塑料球 木质球 68个 136个 153个 51个 (1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率： (2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数 等于木质球的个数的概率. (3)若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为？，该球为木质球 的概率为？，比较？与的大小关系（结论不要求证明） 1917分》已知楠圆C兰+是=1a>60的短辅长为2，在有东点分别为，天，M为猫的C上一点，月L: 轴，|ME=7|M1. (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线x=y+(t≠0且0<m<2)与椭圆C交于A,B两点，点A关于原点的对称点为A、关于x轴的对称点 为A,直线BA,与x轴交于点D,若△ABD与△ABA的面积相等，求m的值