数列中的周期性问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专项训练 数列中的周期性问题（学生版） 对于数列的周期性问题，先根据给出的关系式求出数列的若干项，再通过观察，归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前项和（积）. 一、单选题 1．已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 2．若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 5．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，．记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．672 B．673 C．1346 D．1347 7．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 8．已知数列满足，且，则（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 10．对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列的是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，记为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数列满足若，则的值为 ． 13．已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 14．若数列满足，，则 . 四、解答题 15．数列满足，求的值． 16．整数列，若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练 数列中的周期性问题（解析版） 对于数列的周期性问题，先根据给出的关系式求出数列的若干项，再通过观察，归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前项和（积）. 一、单选题 1．已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 2．若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列的递推关系式得数列是周期数列，从而得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，， 所以是周期为4的数列，故. 故选：D. 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 故选：B 4．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 5．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，．记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值． 【详解】当时，，， ，，…， 无穷数列周期性变化，周期为2， 所以． 故选：B． 6．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．672 B．673 C．1346 D．1347 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用 【分析】由题可得是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，据此可得答案. 【详解】由数列各项除以2的余数， 可得为，， 所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为， 因为，所以数列的前2020项的和为. 故选：D． 7．已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据已知得出数列的周期即可求解． 【详解】由已知得，， ， ， ，即， 所以， 故选：C． 8．已知数列满足，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案. 【详解】，解得， ，， ，……， 故为周期数列，一个周期为4， 其中， 故. 故选：D 二、多选题 9．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，计算即可. 【详解】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有. 故选： AD. 10．对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】按照数列的递推公式进行计算，并根据周期数列的定义逐一验证即可判断. 【详解】对于A，，数列是周期为2的周期数列，故A正确； 对于B，由递推公式，， 数列是周期为3的周期数列，故B正确； 对于C，当为偶数时，，满足，当为奇数时，，从而不存在正整数，使得， 则数列不是周期数列，故C错误； 对于D，当为奇数时，，则，，， 当为偶数时，，则，，， 所以数列是周期为4的周期数列，故D正确； 故选：ABD. 11．已知数列满足，记为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】数列周期性的应用、分组（并项）法求和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用递推公式列举前三项可判定A，利用递推公式作商可判定B，利用A、B的结论可判定C，根据数列的周期性可判定D. 【详解】由题意得，，解得，故A错误； 由，则，两式相除得，故B正确； 由可得，，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．已知数列满足若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】数列递推式从起，依次判断并赋值求值，观察数列的周期性，即可求出答案. 【详解】由，得， 则，所以3是数列的一个周期， 所以． 故答案为：. 13．已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 【答案】5 【知识点】数列周期性的应用 【分析】由，，得到数列的周期性，从而得到，再根据和求得和，从而得到. 【详解】时，由，， 两式相减可得， 因此数列是以3为周期的周期数列， 可得，． 由，可知，所以． 故答案为：. 14．若数列满足，，则 . 【答案】2 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用迭代依次求出数列的前几项，就可得是从第3项起以3为周期的数列，从而可求出结果. 【详解】利用，结合，依次迭代可得： 数列的前项依次为 且从第3项起以3为周期，所以. 故答案为： 四、解答题 15．数列满足，求的值． 【答案】1 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据已知递推式求出数列的前几项，可得数列是一个以4为周期的数列，再结合可求得答案. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 依次可得数列是一个以4为周期的数列，且， 所以． 16．整数列，若，求． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】设，得出整数列是周期为6的数列，且，再根据已知求出即可进一步求解. 【详解】设，则， 所以整数列是周期为6的数列，且， 所以， 解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $