专题03 概率初步全章9大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期沪教版

专题03 概率初步 题型1 确定性事件与随机事件的概率 题型6 互斥事件的概率加法公式（重点） 题型2 写出样本空间 题型7 独立事件的乘法公式（重点） 题型3 计算古典概型问题的概率（常考点） 题型8 加法公式与乘法公式综合应用（难点） 题型4互斥事件、对立事件、独立事件的判断与证明（难点） 题型9 有放回与无放回问题的概率（难点） 题型5 利用对立事件的概率公式求概率（重点） 题型一 确定性事件与随机事件的概率（共2小题） 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据概率的基本性质可得结果. 【详解】随机事件的概率， 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 【答案】③ 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误， 对于②, 比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误， 对于③, 概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确， 故答案为：③ 题型二 写出样本空间（共3小题） 3．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 4．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 【答案】6 【分析】利用列举法即可直接得出结果. 【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 【答案】（白球）（答案不唯一） 【分析】根据样本点的定义即可求解. 【详解】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球）， 故答案为：（白球）（答案不唯一） 题型三 计算古典概型问题的概率（共7小题） 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用列举法求古典概型的概率. 【详解】掷两颗骰子，所有情况如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由上表，一共有36种情况，所得点数互不相等有30种情况， 所以所求概率为. 故选：B 7．（23-24高二上·上海·期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件，再分别求出点数之和是2、3、4的基本事件个数，进而求出点数之和是2、3、4的概率，，，即可得到它们的大小关系． 【详解】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，共36种， 其中点数之和是2的有1种，故， 点数之和是3的有2种，故， 点数之和是4的有3种，故， 所以 故选：D 8．（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，出现点数的基本事件总数， 出现的点数是包含的基本事件个数， 所以，掷一颗质地均匀的骰子出现点数是的概率为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 【答案】/0.3 【分析】直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】因为不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同， 所以从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： ， 故答案为． 10．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】恰好抽取三次就停止的事件有：221，132，112，241，142，共有5种情况， 故恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合，概率为； (2) 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型的概率公式可得解. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 12．（22-23高二上·上海闵行·期末）将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间见解析，； (2). 【分析】（1）列举法写出样本空间，古典概型的概率求法求事件A发生的概率； （2）列举出事件的基本事件，即可求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【详解】（1）如下表格，行表示，列表示， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知：样本空间中基本事件有，共有36种； 事件的基本事件有，共有12种； 所以. （2）事件的基本事件有，共有5种； 事件的基本事件有，共有9种； 所以，事件的基本事件有，共有11种， 所以. 题型四 互斥事件、对立事件、独立事件的判断与证明（共11小题） 13．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 故选：C 14．（23-24高二上·上海·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 15．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 16．（22-23高二上·上海浦东新·期末）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，正确的个数为（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断. 【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确； ②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误； ③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确； ④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故正确； 故选：C. 17．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D． 【详解】由题可得，样本空间为 ，共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对于．若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确； 对于B．事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如， ∴事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对C．，C正确； 对D．所以 又因为所以， 所以与相互独立，D正确． 故选：B． 18．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 19．（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据得，结合事件A与B独立，得到，从而得到. 【详解】因为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为两个事件A与B独立，所以， 所以 ， 故事件A与独立. 20．（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 【答案】事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立 【分析】 （1）（2）掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为36．分别求解事件A,B,C,AB，AC包含的基本事件个数，利用古典概率计算公式可得,，验证,是否成立，即可得出结论． 【详解】 掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为． 设为事件“两颗骰子的点数和为7”， 为事件“白色骰子的点数是1”，则表示“白色骰子的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6个， 事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6个， 事件AB包含的基本事件有（61）共有1个， 则， ，， 故， 即事件A与事件B是独立的． （2）设为事件“两颗骰子的点数和为7”， C为事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，则AC表示“两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11个， 事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2个， 则， ，， 而， 21．（23-24高二上·上海·期末）（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间； ①单次掷一颗骰子，观察点数； ②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果； （2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由. 【答案】（1）；②；（2）相互独立，理由见解析 【分析】（1）列举法即可求解， （2）根据乘法公式验证即可判定是否独立. 【详解】（1）①；②. （2）， ， 则事件是相互独立的. 22．（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】(1)年龄的平均数为，第百分位数为； (2)事件、相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. （2）解：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 23．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷黑、白两枚质地均匀的骰子， (1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； (2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）列举出所有事件数和满足题意的事件数即可； （2）根据独立事件的判定方法分别计算即可. 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个， 两个点数都是偶数的基本事件有共9个， 概率为． （2）设“点数和为7”为事件， “白色骰子的点数为1”为事件， 满足事件的情况数有共6个， 满足事件的情况数有共6个， 同时满足事件的情况有， 抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个， 则，，，所以， 所以事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的. 故事件A与事件C是不是独立的． 题型五 利用对立事件的概率公式求概率（共3小题） 24．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再根据并事件和交事件及对立事件的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 25．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 【答案】0.8/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解. 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 26．（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 【答案】 【分析】由对立事件的概率公式计算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型六 互斥事件的概率加法公式（共4小题） 27．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【答案】0.9/ 【分析】利用互斥事件的概率求解. 【详解】解：因为，且A，B互斥， 所以， 故答案为：0.9 利用互斥事件的概率公式求概率 28．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 【答案】/ 【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可． 【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，， 则，解得， 所以抽到一等品的概率为0.76. 故答案为：6. 29．（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】/0.4 【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解. 【详解】因为事件A、B都不发生的概率为， 所以, 又因为代入上式可得， 所以， 故答案为: . 30．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【答案】(1)16 (2)， (3) 【分析】（1）由样本点的概念即可求解； （2）根据事件写出各自事件发生时的等价条件，即可得到各自事件发生时数对的样本点个数，从而求得各自事件发生的概率； （3）因为两个事件不可能同时发生，所以至少一个发生的概率为各自发生概率之和. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型七 独立事件的乘法公式（共5小题） 31．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【分析】先算出甲赢的概率，再用这个概率乘以1000即可. 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 32．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【答案】0.48/ 【分析】根据独立事件的概率公式计算即可. 【详解】记事件为甲击中目标，事件为乙击中目标， 由题意得，与相互独立，且，. 则目标被甲乙同时击中的概率. 故答案为：0.48. 33．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 【答案】0.28/ 【分析】应用独立事件乘法公式计算即可. 【详解】因为A，B为两个独立事件，且，， 则． 故答案为：. 34．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 35．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 题型八 加法公式与乘法公式综合应用（共10小题） 36．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 37．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 【答案】/ 【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可. 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 38．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 39．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可结合对立事件的性质求解. 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故, 又，故， 进而可得， 故答案为： 40．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 【答案】 【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可. 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为： 41．（24-25高二上·上海青浦·期末）甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据题意，分别求甲击中目标，乙没有击中目标和甲没有击中目标，乙击中目标的概率，再求和即可. 【详解】因为两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以，甲击中目标，乙没有击中目标的概率为； 甲没有击中目标，乙击中目标的概率为， 所以，恰有1人击中目标的概率是 故答案为： 42．（24-25高二上·上海宝山·期末）甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得 元． 【答案】84 【分析】分别求出甲、乙最终获胜的概率，即可求出答案. 【详解】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲的奖金为元. 故答案为：. 43．（24-25高二上·上海·期末）某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】恰好有一人通过的概率为， 故答案为： 44．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 【答案】0.56/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案. 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则. 故答案为：． 45．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 题型九 有放回与无放回问题的概率（共3小题） 46．（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的基本事件有（个）， 事件发生所包含的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 47．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 48．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 题型1 确定性事件与随机事件的概率 题型6 互斥事件的概率加法公式（重点） 题型2 写出样本空间 题型7 独立事件的乘法公式（重点） 题型3 计算古典概型问题的概率（常考点） 题型8 加法公式与乘法公式综合应用（难点） 题型4互斥事件、对立事件、独立事件的判断与证明（难点） 题型9 有放回与无放回问题的概率（难点） 题型5 利用对立事件的概率公式求概率（重点） 题型一 确定性事件与随机事件的概率（共2小题） 1．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 2．（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 题型二 写出样本空间（共3小题） 3．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 4．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 5．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 题型三 计算古典概型问题的概率（共7小题） 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海·期末）先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 9．（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 10．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 11．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 12．（22-23高二上·上海闵行·期末）将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 题型四 互斥事件、对立事件、独立事件的判断与证明（共11小题） 13．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 14．（23-24高二上·上海·期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 15．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 16．（22-23高二上·上海浦东新·期末）先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，正确的个数为（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 18．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 19．（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 20．（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 21．（23-24高二上·上海·期末）（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间； ①单次掷一颗骰子，观察点数； ②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果； （2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由. 22．（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 23．（23-24高二上·上海长宁·期末）掷黑、白两枚质地均匀的骰子， (1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； (2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 题型五 利用对立事件的概率公式求概率（共3小题） 24．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 25．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 26．（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 题型六 互斥事件的概率加法公式（共4小题） 27．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 28．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 29．（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 30．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型七 独立事件的乘法公式（共5小题） 31．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 32．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 33．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 34．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 35．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 题型八 加法公式与乘法公式综合应用（共10小题） 36．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 38．（24-25高二上·上海长宁·期末）已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 39．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 40．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 41．（24-25高二上·上海青浦·期末）甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是 . 42．（24-25高二上·上海宝山·期末）甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得 元． 43．（24-25高二上·上海·期末）某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 44．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 45．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 题型九 有放回与无放回问题的概率（共3小题） 46．（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 47．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 48．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $