2.2　平方根与立方根 教案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 课题 第1课时　算术平方根 授课人 教 学 目 标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个正数的算术平方根. 2.了解算术平方根的性质. 3.在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力.在合作交流等活动中,培养学生的合作精神和创新意识. 4.经历算术平方根及其性质的产生过程,能用概念及性质解决有关问题. 5.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲. 教学 重点 　　了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根. 教学 难点 　　理解算术平方根的概念和性质. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　在以往的学习中我们解决了这样一个问题:有两个边长为1的小正方形,通过剪一剪、拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,则有a2=2,2是有理数,而a是无理数.那么该怎样表示a呢?在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来,x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习. 处理方式:可把拼图例子投在屏幕上,让学生看着图形直观体会. 　　利用拼图例子引入,承前启后.通过前面的学习,学生知道了大正方形的边长是无理数,学生很自然地想知道这个无理数该怎样表示.此处,恰到好处地迎合了学生的疑问,很顺畅地引入算术平方根. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 认识算术平方根 前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形(如图2-2-2)完成下列问题:(多媒体出示) 图2-2-2 问题1:x2=　　　,y2=　　　,  z2=　　　　,w2=　　　　.  问题2:你能求出x,y,z,w的值吗?x,y,z,w中哪些是有理数,哪些是无理数?你能表示它们吗? 处理方式:问题1可以让学生观察图形并独立思考完成,问题2要让学生讨论交流,交流后教师进行讲评. 学情预设:问题1根据勾股定理,可求出x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.问题2中z=2是有理数,而x,y,w是无理数. 教师追问:你能表示出它们吗?从而引出算术平方根的概念. 【概括新知】 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0. 教师提问: 1.你能根据132=169说出169的算术平方根是什么吗?记作什么?根据122=144,你知道144的算术平方根是什么吗?记作什么?(提示:13,记作=13,12,记作=12) 2.你能根据x2=7(x>0)说出7的算术平方根是什么吗?记作什么?在y2=11(y>0)中,y所表示的数又是什么呢?(提示:根号7,记作,) 说明:教师让学生根据算术平方根的概念,先独立思考,然后在小组内进行讨论,学生说出结果后,教师再进行讲评. 【应用】 例1　求下列各数的算术平方根: (1)900;(2)1;(3);(4)14. 师生互动:让学生独立思考,然后分别找四名同学口答,并说明表示方法,强调能化简的时候要进行化简. 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30. (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1. (3)因为( )2=,所以的算术平方根是,即=. (4)14的算术平方根是. 【探究2】 算术平方根的性质 【思考·交流】 (1)在上面例1中,一些数的算术平方根的结果没有“”了,这些数有什么特点? (2)在上面例1中,=30,也就是=30. 一般地,当a≥0时,=a成立吗?当a<0时,=a还成立吗? 1.通过问题情境,学生会感知“数怎么又不够用了”,激发学生的好奇心和求知欲.让学生学会发现,会从阅读中寻找有用的信息,提高学生发现问题、分析问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 处理方式:让学生观察例1,得到结果没有“”的数都是有理数的平方.当a≥0时,=a;当a<0时,=-a. 教师说明:=|a|=即a的平方的算术平方根等于a的绝对值. (3)( )2=a成立吗?这里的a是什么数?你是怎么理解的?与同伴进行交流. 师生活动:让学生举例,并在小组内交流各自的想法,尽可能多地说出一些具有代表性的数,然后观察并得出发现的规律.形成共识后,选派代表进行发言,有问题时其他同学进行补充和说明. 总结发现的结论:( )2=a成立,这里的a是非负数,即非负数的算术平方根等于它本身. 【概括新知】 当a≥0时,=a,( )2=a;当a<0时,=-a.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【应用】 例2　由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)之间的关系为s=4.9t2.有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间? 处理方式:阅读例题,理解题意后让学生独立完成,然后教师利用多媒体展示解题过程,规范解题思路,并让学生改正. 解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,得t2=4, 所以t==2. 因此,铁球到达地面需要2 s. 变式 1.(-6)2的算术平方根是 (　　) A.-6　　　　　B.36　　　　　C.±6 　　　　　D.6 2.求下列各式的值: ,,,. 　　2.学生根据定义和乘方算式能说出一个正数的算术平方根,体会算术平方根的概念. 3.体验求一个正数的算术平方根的过程,掌握利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以求出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是. 4.体会算术平方根在实际问题中的应用,让学生感受到数学与生活的密切联系,培养学生应用新知解决实际问题的能力. 5.变式训练旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生的情况调整教学进程.练习注意了问题的梯度性,由浅入深,可以让学生一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识. 【拓展提升】 已知=x,=2,z是9的算术平方根,求2x+y-z的算术平方根. 　　拓展思维,提高解题能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.求下列各数的算术平方根: 36,,15,0.64,10-4,,. 2.下列各式中正确的是 (　　) A.=±5 B.=-6 C.=-2 D.=3 活动 三: 课堂 总结 反思 3.在户外活动中,刺激度排名榜首的是“蹦极”(如图2-2-3所示).某次“蹦极”中,跳跃者站在高40 m以上(相当于10层楼高)的跳台上,把一端固定的长长的橡皮条绑牢跳下,跳跃者在空中享受“自由落体”(已知自由下落物体的高度h(m)与下落时间t(s)之间的关系为h=4.9t2).如果“蹦极”运动起跳点的高度为44.1米,那么跳跃者在空中能享受多长时间的“自由落体”? 　图2-2-3 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 第1课时　算术平方根 定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”.特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0. 例1　 性质:当a≥0时,=a,( )2=a;当a<0时,=-a. 例2 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 要想让学生正确、牢固地掌握算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平很重要.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化. ②[讲授效果反思] 这节课的重点是算术平方根的概念教学和正数的算术平方根的求法,在讲解概念时应注意概念的自然引导和概念的解释,特别是在x2=a中,正数x是a的算术平方根,x为正数,这一点一定要强调清楚. ③[师生互动反思] 通过师生间频繁地互动,使学生深刻理解概念,准确表述,并通过练习巩固掌握. ④[习题反思] 要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算术平方根,而是通过平方运算来求算术平方根,非平方数的算术平方根只能用根号来表示. 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 第2课时　平方根 课题 第2课时　平方根 授课人 教 学 目 标 1.了解平方根、开平方的概念,明确算术平方根与平方根的区别和联系. 2.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系,会求一个正数的平方根. 3.通过在学习中相互合作,培养学生的团队精神及认真的学习态度. 4.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系,提高学生学习数学的能力. 5.通过积极参与获取新知,从中渗透从特殊到一般的观点,在小组活动中发展学生的独立思考能力与竞争意识. 教学 重点 1.求非负数的平方根. 2.平方根与算术平方根的区别与联系. 教学 难点 1.平方根与算术平方根的区别与联系. 2.负数没有平方根,负数不能进行开平方运算的原因. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.求下列各数的算术平方根: (1)100;(2)1.96;(3). 处理方式:利用算术平方根的定义将其化简,并让学生说明理由,注意格式的规范书写. 解:(1)因为102=100,所以=10. (2)因为1.42=1.96,所以=1.4. (3)因为( )2=,所以=. 2.追问:通过上节课的学习,我们学习了算术平方根及其求法.那么,什么是平方根?又如何求非负数的平方根呢?下面请同学们带着这两个问题进入下面的学习.揭示课题:第2课时　平方根. 　　回顾算术平方根的求法,提出问题引起学生的思考,从而揭示本节课的学习内容. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 平方根的概念及其性质 【思考交流】 (1)3的平方是9,还有其他数的平方也是9吗? (2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢? 师生活动:让学生思考两个问题后进行回答,明确3和-3的平方都等于9.平方等于的数有2个,分别是和-;平方等于0.64的数是0.8和-0.8. 处理方式:教师展示问题,然后分别指名回答,并顺势得出平方根的概念. 【概括新知】 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根). 【尝试·思考】 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点? (2)一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢? 师生活动:教师引导学生处理问题(1)时,可以利用定义和值的个数加以区分,让学生用规范的语言进行表达,有问题时其他同学进行修正.处理问题(2)时可让学生结合前面的练习和平方根的定义进行思考,并用自己的语言进行总结. 归纳: 联系:1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根是0,算术平方根也是0. 区别:(个数不同)一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根. 【概括新知】一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根. 说明:正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根,另一个是-,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作±,读作“正、负根号a”. 例:(±4)2=16,则+4和-4都是16的平方根,即16的平方根是±4;4是16的算术平方根. 说明:求一个数a的平方根的运算,叫作开平方,a叫作被开方数.开平方与平方互为逆运算. 【应用】 例1　(教材例3)求下列各数的平方根: (1)64;(2);(3)0.0004;(4);(5)11. 处理方式:学生在练习本上独立完成后互相交流,然后教师指名回答解题过程,并展示正确的书写格式,让学生对比修正. 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8; (2)因为(±)2=,所以的平方根是±,即±=±; (3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02, 即±=±0.02; (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25, 即±=±25; (5)11的平方根是±. 　　1.通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念,以此培养学生自学、观察、分析及归纳总结的能力. 2.让学生明白平方与开平方互为逆运算,知道求一个数的平方根就是寻求哪个数的平方等于这个数. 3.通过对例题的详解,学生能准确地书写表达,规范平方根的书写格式,掌握正确的符号化语言. 活动 二: 探究 与 应用 例2　(教材例4)求下列各式的值: (1);(2)-;(3). 教师指导:学生利用算术平方根的性质( )2=a(a为非负数);=|a|(a为任意数)进行化简,并让学生说明化简的理由. 解:(1)==15; (2)-=-=-; (3)=8. 变式 1.(-5)2的平方根是　　　　,平方根等于±7的数是　　　　.  2.若( )2=,则x=　　　;若=3,则x=　　　.  　　4.通过变式训练,交流讨论,使学生进一步掌握平方根和平方的互逆关系. 【拓展提升】 1.一个正数的平方根是2a-1与-a+3,则a=　 　　,这个正数是　 　　.  2.若y=++2,求x+y的平方根. 　　通过拓展提升,使学生深刻理解概念,灵活应用概念解决问题,提高学生分析问题、灵活解题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列各数中没有平方根的是 (　　) A.0　　　B.-1　　　C.10　　　 D.102 2.16的平方根是 (　　) A.±4 B.24 C.± D.±2 3.的平方根为　　　　;=　　　　.  4.求下列各数的平方根: (1)0.01;(2)2;(3)(-13)2. 5.求下列各式中的x. (1)16x2=81;(2)(x-3)2-25=0. 　　围绕本节课的重点知识(平方根)做适当的练习,在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课为学生提供了富有数学含义的问题,让学生进行充分的探索和交流.要引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受学习平方根的必要性. ②[讲授效果反思] 深刻理解平方根的定义,明确平方根与算术平方根的区别与联系,通过练习体会平方根的性质. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,学生在理解平方根的概念时,易与算术平方根混淆,特别是符号表示,还应通过练习去体会. 活动 三: 课堂 总结 反思 ④[习题反思] 为了让学生巩固新知,增加了部分练习题,围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习,选题有层次,有梯度.教学时可以根据学生的实际情况做适当的取舍. 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 第3课时　立方根 课题 第3课时　立方根 授课人 教 学 目 标 1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根. 2.会用立方运算求一个数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.了解立方根的性质. 3.学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想. 4.利用立方根的概念,通过方程思想解决实际问题. 5.在教学活动中,不断培养合作交流的良好习惯. 教学 重点 　　立方根的概念和性质,会求某些数的立方根. 教学 难点 　　立方根的求法,立方根与平方根的联系及区别. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 提问: (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根? (提示:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根).a(a≥0)的平方根记作±.) (2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么? (提示:正数的平方根有两个,它们互为相反数;负数没有平方根,0的平方根是0.) 提出疑问:在前面,我们学过了平方计算,也学过立方计算,那么是否对于任意一个数也存在立方根呢?揭示课题:第3课时　立方根. 　　通过回顾所学的内容,采用类比的方法从平方根导出立方根,从形式和结构上形成了鲜明的对比,有利于弄清两者的区别和联系,加深学习的印象. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 立方根的概念及其性质 【思考交流】 如图2-2-4,一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方,每个小正方体的棱长是多少? 图2-2-4 教师引导:学生要求每个小正方体的棱长,就是要想到一个数,使这个数的立方等于216÷27,从而求出每个小正方体的棱长. 学情预设:每个小正方体的体积为216÷27=8(cm3),因为23=8,所以每个小正方体的棱长为2 cm. 【概括新知】 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根). 【尝试·思考】 (1)一个数的平方根可能有两个,一个数的立方根可能有几个呢? (2)求8,0,-27的立方根. 处理方式:教师引导学生利用立方根的概念在小组内进行交流,注意巡视指导,对于学生出现的个别问题进行个别指导,共性问题待学生回答后讲评. 学情预设:(1)一个数的立方根只有一个;(2)因为23=8,所以8的立方根是2.因为03=0,所以0的立方根是0.因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3. (3)正数有几个立方根?0有几个立方根?负数呢? 教师追问,并让学生用自己的语言进行总结发现的规律. 【概括新知】 正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数.每个数a都有一个立方根,记作,读作“三次根号a”. 说明:求一个数a的立方根的运算叫作开立方,a叫作被开方数. 【应用】 例1　(教材例5)求下列各数的立方根: (1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5. 　　1.利用生活中的实际问题,激发学生学习的欲望.体会正方体中棱长与体积之间的关系,感受数学知识与实际生活的密切联系. 2.学生独立思考后小组内进行讨论,对比归纳得出立方根的性质. 活动 二: 探究 与 应用 处理方式:先让学生独立思考,然后在练习本上完成,注意巡视指导学生的解题步骤.学生完成后,展示解题过程,并进行讲评,重点关注表示方法. 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3; (2)因为( )3=,所以的立方根是,即=; (3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6; (4)-5的立方根是. 变式 1.的平方根是　　　　.  2.立方根等于它本身的数是　　　　.  3.要制作一个体积为216 cm3的正方体箱子,其棱长为　　　　.  【探究2】 ( )和 【思考·交流】 (1)在例1中,一些数的立方根的结果没有“”了,这些数有什么特点? (2)在例1中,=-3,也就是=-3.一般地,=a成立吗? (3)( )3=a成立吗?与同伴进行交流. 处理方式:指名回答问题(1),让学生发现结果没有“”的数是一个数的立方;对于问题(2)(3)让学生先在小组内进行交流,然后再举例进行说明,从而发现其中的规律,并进行总结. 【概括新知】 立方根的两个公式:(1)( )3=a;(2)=a. 【应用】 例2　(教材例6)求下列各式的值: (1);(2);(3)-;(4)( )3. 师生活动:让学生根据立方根的两个公式进行化简,待学生独立完成后指名回答,并进行展示. 解:(1)==-2; (2)==0.4; (3)-=-=-; (4)( )3=9. 　　3.通过例题让学生进一步理解立方根的概念,规范解题格式. 4.让学生能够掌握并利用立方根的概念解题,并对性质( )3=a和=a加深理解和应用. 【拓展提升】 1.若+=0,则a和b的关系是　　　　.  2.若<0,则=　　　　.  3.一个正方形的边长变为原来的m倍,则面积变为原来的　　 　　倍;一个正方体的体积变为原来的n倍,则棱长变为原来的　　　　倍.  　　灵活应用立方根的有关知识解决问题,提升能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.判断正误: (1)-4没有立方根. (　　) (2)1的立方根是±1. (　　) (3)的立方根是. (　　) (4)-5的立方根是-. (　　) 2.求下列各式的值: ;-;;( )3. 3.-的立方根是　　　　.  4.求下列各式中的x: (1)x3=-0.027;(2)3(x-4)3-648=0. 　　及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的. 【板书设计】 第3课时　立方根 1.概念:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根).每个数a都有立方根,记作,读作“三次根号a”. 2.性质:正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数. 例1 3.立方根的两个公式:(1)( )3=a;(2)=a. 例2 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过回顾旧知,引入新课,让学生感受学习新知识的必要性,激发学生的求知欲望.类比平方根,引导学生探究立方根的相关知识,使学生顺理成章地学习了立方根的概念、性质、运算. ②[讲授效果反思] 课堂中给足学生思考、计算的时间,让学生在原有的基础上自主完成新知识的建构.重点理解立方根的概念及其性质,同时注意与平方根的区别与联系. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,学生对于立方根的理解比较到位,比平方根要好. ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 第4课时　估算 课题 第4课时　估算 授课人 教 学 目 标 1.会估算一个无理数的大致范围. 2.会比较两个无理数的大小. 3.会利用估算法解决一些简单的实际问题. 4.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,发展学生的估算意识和数感. 5.体验估算在现实生活中的合理性,掌握估算的方法,形成估算的意识,发展学生的数感. 6.体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情. 教学 重点 　　会估算无理数,比较无理数的大小. 教学 难点 　　掌握估算方法,形成估算意识,培养学生用估算法比较大小及解决实际问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 课件、三角尺 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 公园有多宽(多媒体出示课本第36页内容) 问题:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000 m2. (1)公园的宽大约是多少?它有1000 m吗? (2)如果要求结果精确到10 m,它的宽大约是多少?与同伴进行交流. (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗(结果精确到1 m)? 教师说明:要解决这个实际问题,就要学习无理数的估算,掌握估算的方法.揭示课题:第4课时　估算. 　　通过现实情境引入新课,让学生初步建立数感,让学生体会生活中的数学,激发学生学习的积极性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 估算无理数的大小 师生活动:展示情境导入的问题,让学生先以自学或小组合作的形式探究学习问题(1)、问题(2),然后再总结归纳解决问题的方法.最后由学生自主完成问题(3)的整个探究过程. 展示答案,并加以说明: 解:(1)设公园的宽是x m,则长是2x m.由题意,得2x2=400000,所以x2=200000.所以公园的宽x为200000的算术平方根,大约几百米.若x=1000,则x2=1000000,因为1000000>200000,所以它没有1000 m. (2)依次计算4102,4202,4302……看200000在哪两数的平方之间.因为x=450时,x2更接近200000,所以它的宽大约是450 m. (3)设它的半径为r,则3.14r2=800,所以r2≈255.因为225<255<256,所以15<r<16,当r=16时,r2更接近于255,所以r≈16. 故它的半径约为16 m. 【思考·交流】 (1)下列计算结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流. ≈0.066;≈96;≈60.4. (2)你能估计的大小吗(结果精确到1)? 处理方式:让学生观察问题(1),从结果入手,利用平方根与平方互为逆运算、立方根与立方互为逆运算,计算结果的平方或立方后再与被开方数进行比较.对于(2)让学生在小组内尝试探究,采用“夹逼法”逐渐接近实际结果. 结论:(1)中≈0.066,≈96,≈60.4都不正确. (2)≈10. (3)宽比长之比为的长方形称为“黄金矩形”.你能比较与的大小吗?你是怎么想的? 　　1.本活动的设计意图在于让学生知道如何验证结果的正确性,如何估算一个无理数的大小,掌握估算无理数大小的方法,知道一个无理数的大体范围. 2.让学生通过估算来比较有理数与无理数的大小,进一步体验估算的作用和方法.在实际教学中也要根据学生不同的方法加以肯定和鼓励,以便学生能更好地感受无理数的大小. 活动 二: 探究 与 应用 师生活动:引导学生在小组内讨论比较的方法,对于不同的方法,只要合理,教师就要给予鼓励和表扬.学生讨论后,展示各自比较的方法,并对其进行分析讲评. 学情预设:与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了,因为>2,所以-1>1,所以>. 【应用】 例　(教材例7)生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.如图2-2-8,现有一架长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗? 图2-2-8 师生活动:教师引导学生画出图形,利用方程求出梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达的高度,再与5.6进行比较.指派一名同学板书解题过程,然后让其他同学独立完成后再在小组内进行交流. 解:设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m,此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的. 根据勾股定理,有x2+(6×)2=62, 即x2=32,x=. 因为5.62=31.36<32,所以>5.6. 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头. 说明:解方程时x2=32中x的值应为32的算术平方根. 变式 通过估算,比较下面各数的大小. (1)与;(2)与3.85. 【探究2】 利用计算器进行开方运算 【尝试·思考】 (1)观察你的计算器面板,对于开方运算,可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001):①;②. (2)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么?改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律. 说明:除了估算,我们也可以利用计算器进行开方运算. 处理方式:问题(1)让学生根据自己的计算器说明按键的顺序,求出两个式子的值;问题(2)让学生在小组内先确定符合要求的数,然后再利用计算器进行计算,并用自己的语言表述发现的规律. 学情预设:学生通过计算和探究,很容易得到:(1)≈2.4269;②≈-10.8718.(2)随着开方次数的增加,开方的结果逐渐趋近于1. 　　3.例题的设计主要是让学生在解决实际问题中再次体会估算的方法,感受估算的广泛性,从而体验到学习数学的乐趣. 4.不同的计算器按键会有所不同,通过观察掌握计算器各按键的功能,能根据说明书进行正确的计算,同时利用探究让学生发现其中的规律. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 1.a是的整数部分,b是的整数部分,则a+b的平方根为　　　　.  2.数轴上,点A表示的数是,点B表示的数是,则A,B两点之间表示整数的点有　　　　个.  　　对于学有余力的同学注重提升能力,使他们始终保持积极的学习热情. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.估计的值 (　　) A.在2到3之间　　　　B.在3到4之间 C.在4到5之间 D.在5到6之间 2.估计的值介于 (　　) A.2.1到2.2之间 B.2.2到2.3之间 C.2.3到2.4之间 D.2.4到2.5之间 3.比较与的大小. 　　检验学生对本节课知识的掌握情况,同时也是对本节课知识的又一次巩固和提高,有利于下节课知识的讲解. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过实际问题入手,让学生感受估算在实际问题中的应用,激发学生的求知欲望和好奇心,使学生能积极投入到本节课的学习中. ②[讲授效果反思] 在课堂中让学生充分的思考、讨论、交流、操作,使学生真正认识到估算在实际问题中的应用,同时感受计算器在估值中的作用,培养了学生的解题能力和动手操作能力. ③[师生互动反思] 整个环节中,学生能积极参与、主动思考,通过练习和拓展,学生的思维能力得到进一步提高. ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $