第二十六章 反比例函数K值的几何意义四大题型 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十六章 反比例函数K值几何意义四大题型 题型一、同一象限内K值的几何意义 【例题剖析】 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 【答案】 解：根据题意得：，，即 ，，故答案为：． 【专题训练】 1-1、如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 1-2、如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 1-3、如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 1-4、如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数 的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    1-5、如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知图中阴影部分的面积=1，则空白区域面积＋= ． 题型二、同一反比例函数两个象限内K值的几何意义 【例题剖析】 如图，A，B是函数y＝(k＜0)的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴．若△ABC的面积为6，则k值为( ) A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 答案：B. 解：∵S△ABC=2∣k∣=6，∴∣k∣=3，∵反比例函数图象在二、四象限，∴k＜0，∴k=﹣3 故选：B. 【专题训练】 2-1、如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，若S四边形ABCD＝8，则m的值是 ___． 2-2、如右图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ． 题型三、两个反比例函数图像内K值的几何意义 【例题剖析】 如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 【答案】4 解：如图，连接，， 点和点分别在反比例函数与的图象上， ，， ，，故答案为：4． 【专题训练】 3-1、如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． （3-1图） （3-2图） 3-2、如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 3-3、如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 3-4、如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ． 3-5、如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 3-6、如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型四、反比例函数与几何图形相结合 【例题剖析】 如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 答案：3 解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 【专题训练】 4-1、如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，则k= ． 4-2、如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，则的面积= ． 4-3、如图，点A、C为反比例函数y（x＜0）图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，求k= ． 4-4、如图，已知，，将线段平移至的位置，其点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，若四边形的面积是18，则 ．    4-5、如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________． 4-6、如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 4-7、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．    4-8、如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 4-9、如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 4-10、如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数K值几何意义答案解析 题型一、同一象限内K值的几何意义 【专题训练】 1-1、答案：B 解：连接， 点，点 B的坐标是，轴， ．故选B． 1-2、答案：6 解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 1-3、【答案】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积，故答案为：． 1-4、答案：16. 解：∵两点在反比例函数的图象上， ∵, ∴四边形的面积为, ∴四边形的面积为, 1-5、答案：6. 解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得矩形ACOD和矩形BFOE的面积都等于|k|＝4， ∴＋＝4+4﹣1×2＝6． 题型二、同一反比例函数两个象限内K值的几何意义 【专题训练】 2-1、答案：4 解：∵ABCD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S四边形ABCD＝S△AOB=8，∴S△AOB=2=， ∴k=4 2-2、答案： 解：∵直线与双曲线（其中）相交于，两点， ∴ ∴， ∴双曲线的表达式为：，， ∵过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， 故答案为． 题型三、两个反比例函数图像内K值的几何意义 【专题训练】 3-1、【答案】1 解：如图，延长交轴于，连接、， 轴，， ， ，故答案：． 3-2、【答案】10 解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴．故答案为：10． 3-3、【答案】 解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵轴，轴，轴，∴， ∵点B在上， ∴， 解得：，故答案为； 3-4、【答案】1 解：如图所示，延长交轴于C， ∵轴，∴轴， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴， ∴，故答案为：． 3-5、【答案】B 解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴，，， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 3-6、答案：B 解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 题型四、反比例函数与几何图形相结合 【专题训练】 4-1、解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示． ∵CE⊥x轴，CF⊥y轴， ∴∠ECF＝90°． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACF+∠FCB＝∠FCB+∠BCE＝90°，AC＝BC， ∴∠ACF＝∠BCE． 在△ACF和△BCE中，， ∴△ACF≌△BCE（AAS）， ∴S△ACF＝S△BCE， ∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC． ∵将直线y＝﹣3x向上平移3个单位可得出直线AB， ∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+3， ∴点A（0，3），点B（1，0）， ∴AB， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC1×34． ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C， ∴k＝4， ∴此反比例函数的表达式为y． 4-2、【答案】2.5 解：如图，过点作轴于， 已知，是反比例函数图象上的两点， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 轴，轴， ， 又 ， ， ， ． 4-3、答案：﹣4. 解：∵点E为OC的中点， ∴△AEO的面积＝△AEC的面积， ∵点A、C为反比例函数y图象上的点， ∴S△ABO＝S△CDO， ∴S四边形CDBE＝S△AEO， ∵EB∥CD， ∴△OEB∽△OCD， ∴（）2， ∴S△OCD＝2， 则xy＝﹣2， ∴k＝xy＝﹣4． 4-4、解：，， 将线段平移至的位置，点坐标为，点坐标为． ∵四边形的面积是18 ∴， ． ． 则点的坐标为． 又点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 4-5、答案：4 解：点C是OA的中点， ∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB, ∴S△ABD = S△OBD,点B在双曲线上，BD⊥ y轴， ∴S△OBD=×8=4,∴S△ABD =4,答案为：4. 4-6、答案：3 解：连接OD、DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴点B、点D到对角线AC的距离相等， ∴S△ADE= S△ABE=，∵AD⊥x轴，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO=， 设点D(x，y) ，∴S△ADO=OA×AD=xy=，∴k=xy=3．故答案为：3． 4-7、答案： 解∶过点作轴于点，    由旋转的性质得，，， ∵点的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． ∴， ∴点的坐标为，， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为∶． 4-8、答案： 解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 4-9、答案： 解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 4-10、【答案】A 解：过B作于D、过A作轴于H，连接，交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴， ∵，又平行四边形的面积是6， ∴， 设，，则， 整理，得，即， ∵， ∴，则，∴， ∵四边形平行四边形， ∴与平分，∴，则， ∵点C恰好落在反比例函数的图象上， ∴，故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $