精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 6. 若点关于直线对称的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列存在量词命题中真命题是（ ） A. B. 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 C. 是无理数，是无理数 D. 10. 已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. 14 D. 13 11. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “对恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 13. 函数的值域为____________. 14. 已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数的最小正周期是. （1）求值； （2）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间. 16. 如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． （1）当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （2）求的最小值． 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 设为实数，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 19. 设正整数，若由实数组成的集合满足：对中任意四个不同的元素，，，，均有.则称为集合. （1）判断集合和是否为集合，说明理由； （2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集与交集的定义可求解. 【详解】因为全集，，所以， 又因为，. 故选：D. 2. 设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性求出，根据最小正周期求出，即可求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，则， 解得，又，所以， 又相邻对称轴之间的距离为，则，又， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 所以的单调增区间为. 故选：B 3. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集运算、子集的概念以及二次函数的值域即可求解. 【详解】由题意，故AB错误； 而，所以，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 4. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，即可求出子集个数. 【详解】由题意，，故其子集的个数为. 故选：D 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 6. 若点关于直线对称的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，从而得，，然后再利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】由题意得， 则，得. 故. 故选：D 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出，再根据求出 ，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围. 【详解】由题意可知，则， 因，则， 则，， 因在上单调递增， 结合正弦函数图象性质可得，解得， 故的取值范围是. 故选：B 8. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集，集合，则，而， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列存在量词命题中真命题是（ ） A. B. 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 C. 是无理数，是无理数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合例子，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，，使得，故A为真命题. 对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题； 对于C，若，则是无理数，是无理数，故C为真命题. 对于D，，∴为假命题. 故选：ABC. 10. 已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. 14 D. 13 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，和二倍角公式化简函数的解析式，再根据方程根和余弦函数图像构造不等式计算即可. 【详解】由题意得 ， 得或－1，得或或． 由，得， 因为方程在，上恰有5个实数根， 所以结合余弦函数的图象得，得． 故选：ABC. 11. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “对恒成立”是“”的必要不充分条件 D. 设，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式，对选项进行判断. 【详解】若，满足，但此时，A选项错误； 当时，满足，但此时，不成立，B选项错误； 时，，当且仅当，即时等号成立， 对恒成立，则， 时不一定满足，时一定有， 所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，C选项正确； ，则，由不成立，所以等号不成立， 即的最小值不是2，D选项错误. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域. 【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数的值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式以及正弦函数图像性质可得值域. 【详解】由可得， 再由正弦函数图象可求得，因此. 故答案为： 14. 已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 【答案】511 【解析】 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数的最小正周期是. （1）求值； （2）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1）2 （2），. 【解析】 【分析】（1）由且，即可求值； （2）由函数平移知，结合正弦函数的单调性即可求的单调递增区间. 【小问1详解】 ，又， ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知，，将的图像向右平移个单位后可得：， 再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：， 由，解得，. ∴的单调递增区间为，. 16. 如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． （1）当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （2）求的最小值． 【答案】（1）当时，面积取得最大值，最大面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，进而利用基本不等式即可求解； （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值． 【小问1详解】 由题意得，，都为正数， 则该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积取得最大值，最大面积为． 【小问2详解】 由，，都为正数，则， 所以 ， 当且仅当，又，即时，等号成立， 所以的最小值为． 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）作代换，然后由基本不等式求解即可； （2）利用完全平方公式作代换，然后利用基本不等式求解即可； 【小问1详解】 因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为． 【小问2详解】 因为，所以． 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为6． 18. 设为实数，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，再利用集合的运算即可解； （2）根据得出关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 时，， 所以， 所以或； 【小问2详解】 由，得或， 即或， 所以实数的取值范围是. 19. 设正整数，若由实数组成的集合满足：对中任意四个不同的元素，，，，均有.则称为集合. （1）判断集合和是否为集合，说明理由； （2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数. 【答案】（1） 集合是集合， 当时，； 当时，； 当时，； 集合不是集合， 取，则，不满足题中性质. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由集合的定义即可得出答案. （2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 因此，不妨设， ①当时，显然，则，与矛盾； ②当时，则，此时，则， 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； ③当时，则，与矛盾； ④当时，则，，于是， 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为， 所以中大于1的元素的可能个数为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $