分层作业(27)圆锥曲线的综合问题(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

(2)证明：当直线AB的斜率为0时，可设A(x,y),则 BC0点-则1，-》-1， i=(,-)-(-xw) (号-（号=1. 因为A,D,Q三点共线，所以A市/@A,- 4y1-(y 化简可得号·者1，即y-=1-,y=1, (度-a)=0, 当y1=y3时，不符合题意， y=士1，此时x2=1. 当y=1时，可令A(1,1),B(-1,1),点A与点P重合，不 所以1≠y,解得Q=一兴，同理可得xp=兴， 4 4 符合题意； 当y=-1时，可令A(1,-1),B(-1,-1),此时直线PA 又x1+x2十x3=4十4千车 的斜率不存在，不符合题意，故直线AB的斜率不为0. 3 3 设直线AB:x=my十n,联立直线AB与双曲线C的方程可 （y1+y2)2-2y1y2+y3_32k2+8_8k2+2 得(2m2-1y2+mw+2m-1=04=8(m2+n-）>0 12 12 3 设A(x1),B(y),则直线PA斜率-， 则2xn+2xQ-3x。=-y,2-当-3.862+2= 1一1，直线 2 2 3 y3(y1+y2） PB外争：=德，1D,-1D=1号知，- -3.86+2--二44-8-2=一2， 2 3 2 所以2xp十2xQ一3xG是定值，该定值为-2. +2,则x1y2+y1x2-(x1十x2)-y1y2+1=0.又因为x1 =my1十n,x2=my2十n. 分层作业（二十七） 原式可转化为(2m-1)y1y2-(m-n)(y1+y2)-2n+1 =0, 答案速对 2n2-1 -4mn 由根与系数的关系可得y一7m一y十y:2m一 1 3 4 代入式子中化简可得(m十n-1)(m-n)=0. 故m=n或m+n-1=0. A B D AC 若m=n,直线AB的方程为x=my十m,恒过定点(0， -1), 8.39.(2,4)U(4,+∞)10.8√2 5 若m+n一1=0，直线AB的方程为x-1=m(y-1),直线 恒过定点P(1,1), 试题精析 与题目中A,B为异于点P的点矛盾，故直线AB恒过定，点 (0,-1). 1A[设P9,则写+学-1=91-)(-2y≤2). 15.解：(1)依题意△ABD的重心G在x轴的正半轴上，因为三 易知M(0,2), 角形的重心一定在三角形内， 所以抛物线C的焦点在x轴上， 所以PM=x2+(2-y)2=9(-￥)+(y2-4y+4) 设抛物线C的方程为y2=2px(p>0), 当ABL0F时，=。=号，则IAB到=人十号+a十号 4y2-4y+13(-2≤y≤2). =2p=4,所以力=2， 当y=- 9∈[-2,2]时，PM有景大值，为-号× 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)依题知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x=ky+1, (←)-4x(←)+13- A(x1y1),B(x2,y2),D(x3,y3),G(xG,0),P(xp,0), Q(zQ,0), 所以PM的最大位为，√-9 5 联主任+1得2-4终y一4=0， 故选A.] y2=4x, 2c=4, 4=16k2+16>0 a=1, y1十y2=4k, 则++出=0， 2.A[由题意如合-，解得0-原，故双南线C的标 3 yy2=-4, a2+b2=c2, c=2, y3=-4k,x3=4k2, 准方程为x2 则D(42,-4k)， 苦1 由题意及双曲线的对称性，平行四边形ABDE与双曲线C如 图所示， 112 设P(任a,则PM=,√（任-2）'+a=a+4, 所以当a=0时，PMm=2,此时sin∠APM=PM=2 即c0s∠APB的最小值为1-2×（）=号 因为四边形ABDE为平行四边形，所以S△ADE=2S△oAE: 由题意知，直线AE的斜率不为零，且F2(2,0),故设直线AE 的方程为x=my十2. -3=1,消去工并整理得(3m2-1Dy2+12my十9 x=my+2, 故选C.] 0,3m2-1≠0，A=36(m2+1)>0, 5.D[设直线1与双曲线C的上支交于两点A(x1, 设A(x1y1),E(x2,y2),由根与系数的关系可得y1十y2= y1),B(x2y2), 12m 9 3m2-7y1y23m2- 联立口=y+2, y2-x2=8, 消去x可得(1-t2)y2-4ty-12=0, 因为点A,E均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率 [1-t2≠0， 为士，所以-5<<5，解得0<m<行 △=16t2+48(1-t2)>0, 4t 所以56e=20r:·lg=√0+)-47 则y+=1=2>0, 解得、6」 -2<<-1, 号>0， 令m中=（长2），则m=-1,所以5e 因北，实数：的取值范周是(-气-) 故选D.] 6t 4-30-4-32 6.AC[抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=一1，作出 图象。 由抛物线的性质可知|PF|的最小值 因为y--在1,2）上流。 为|OF=1,选项A正确； 所以当t=1时，(S△oE)m=6,所以△ADE面积的最小值为12. F是定点，由圆的性质可知|QF|的最 故选A.] 小值为|CF|一r=√10-1，选项B 1 错误； 3.B[原，点到直线l的距离d= =1, cos20+sin20 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M, 故直线1为圆x2十y2=1的切线，如图所示， 由抛物线定义可知|PF=|PM,故|PF+IPQ= 设椭圆C的左焦，点为F1,连接AF1,BF1, |PM+|PQ|,|PM|+|PQ|的最小值为点Q到准线x=-1 的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误.故选AC.] 则△ABF的周长=|AB|+|AF|+|BF|≤|AF1|+ BF+AF+BF=4a=8, 766 5 [抛物线y2=8x的焦点F的坐标 当且仅当直线1过左焦点F1时取到等号， 为(2,0)，准线方程为x=一2， 故选B. 如图，由抛物线的定义可得点P到直线x =一2的距离等于|PF|. 过点P作直线2x一y十2=0的垂线，垂足=-2 为M,连接FM, 所以点P到直线2x一y十2=0与到直线x=一2的距离之 和等于|PM|+|PF|, 4.C[如图，因为0<∠APB<π，要使cos∠APB最小， 由两点之间线段最短可得|PM十|PF|≥|FM, 则∠APB最大，此时PA,PB与圆M相切，则∠APB 过F作直线2x一y十2=0的垂线，垂足为F', 2∠APM, 则1FF'1=14-0+2L=65 所以cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM, √22+(-1)产5' 要求cos∠APB的最小值，则sin∠APM=AM- IPMIPM最 所以|PM|+|PF≥|FM≥IFF'I=6N5, 5 大，即|PM|最小. 当且仅当F',P,F三，点共线时等号成立.] 11311 8.3[以F1F2的中点O为坐标原点，F1F2的中垂线为y轴， 11.解：(1)因为A(W2,√3)的共轭点分别记为B1(x1,y1), 建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(一5,0)，由双曲线的 B2(x2y2), 定义可知，点P的轨迹是以F1,F2为焦点，实轴长为6的双 肉筑的左美，即盖P的轮莲方程为写若=1(：区一8》网 片+-0+-0， 8 4 ·PN=(PF+F1·(PF+F1N),由MF=FN, 所以直线B,品，的方复为受+=0， 4 可得PM.PN-(PF+FM)·(PF-Fi)=|PFI2 -|F1M12=|PF12-1. 因为|PF1的最小值为c-a=5-3=2,所以PM.PN的最 联立 解得日2-1， 小值是3. 2x+3y=0, 8 4 所以x=士√6，所以B1(W6,-1),B2(-√6,1)， 所以B1B2=27, (2)因为点A(x0,y0)在椭圆C上， 所以要+91，甲+2=8 9.(2,4)U(4,十∞)[以PR所在直线为x轴，QS所在直线 由(1)知，直线BB,的方程为g+要=0，即 2 +yoy 为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则P(一2,0)， =0, R(2,0),S(0,2),Q(0,-2), 当0时，重线B,品：的方想为y-爱，入写+号 =1, 得x2= 16y6 x6+2y8 =2y8,即x1x2=-2y,x1+x2=0, y1y2= 2+=爱+，)=0. 2yo 设A(x,y),B(x,-y),且x>0,y≠0，所以PA=(x+2, k1·k,=0.y20=y:-(,+y)+y好 x1-x0x2一x0x1x2-x0(x1十x2)十x6 y),RB=(x-2,-y), 因为PA·RB=0,所以(x十2)(x-2)-y2=0, 1 即点A位于双曲线x2一y2=4(y≠0)的右支上，渐近线方程 -2y6+x =-2 为y=x或y=一x. 设点A到直线PS的距离为h,又直线y=x与直线PS的距 当y。=0时，易知A(士2√2,0)，对应共轭点为B1(0,2), B2(0,-2), 离为√2，点(2,0)到直线PS的距离为2√2， 则h∈W2,22)U2E,+o),又用为SAs=宁PS×h 比时=会：-号故：=一日也展立， =√2h∈(2,4)U(4,+∞)， |k1|+|k2|≥2√k1k2T=√2，当且仅当|k1=|k2|= 所以△PAS面积的取值范固是(2,4)U(4,十∞).] 10.8巨号[设PG9),由PF,-PF, 「名时，等号成立，则k1+k,的最小值为回 (3)证明：由(2)知，对任意点A(x0,y),都有|x1一x2|= 得√/(x+2)2+y=2·√(x-2)+y, 2|x1I,ly-y2|=2|y1I, 整理得x2十y2-12.x十4=0，即(x-6)2+y2=32, |B,B,|=√Cc1-x2)+y-y2)=√4x+4y=√2x6+8, 所以点P(x,y)在圆(x-6)2+y2=32上， 则P(xy)到x轴的最大距离为4W2, 点A(9)到直线B,B:号+yy=0的克离1 所以△PF,P,的面积最大值为号×4X4E=8E, x6+2y0 8 又南运线y=名：与园ú-62+y=32有文底， √x6+4y8√xi+4y6 所以66 以va+石≤4vE,即366≤32a+6),整理得a≥ 则△ABB,的西软S-BB,·a-合·V2+8 吾解得≥号， 8 =4V2, √x6+4y 所以实数a的最小位为号】 故△AB,B,的面积为定值4√2， 1114 12.解，1)证明：由=，消去y得+2-6x十1=0， (2)Q(x0y0)为椭圆C2上一点，由(1)知椭圆C2的方程为 y=x+1 由△=(2-b)2-4=0,b>0,得b=4. 2+y2-1 当xo=0时，根据椭圆的对称性，不妨设yo=1,E,F为椭 所以T的方程为y2=4x,所以A(a,2Va),B(a,-2Na). 设C(xo,y),则由CA.C克=0，得(x-a)(x。-a)+(y 圆C1的短轴的端点(0，士√2)，则|EF|=2√2. 直线AB的方程为y=1,与椭圆C,的方程联立求得 -2a)(y十2a)=0, A(-√2,1)，B(2,1),得到|AB|=2√2.所以四边形 结合y后=4xo,求得x0=a-4,所以点C的横坐标为a-4, AEBF的面积为4.同理求得yo=0时，四边形AEBF的面 所以|CM=xM-xc=a-(a-4)=4,为定值. 积为4. (2)先证明直角三角形内切圆半径公式， 当x,≠0，≠0时，直线0Q的斜率为”，方程为y yo 对于Rt△ABC,∠B=90°，其内切圆半径为r,则S△ABc ， =a+6er 1 yo y= x, 联立直线OQ与椭圆C1的方程 ac ac(a+c-b) 从而r-a+b+c(a+c+b)a+c-b _ac(atc-b)_ac(atc-6)_1 =2a+c-b), 1,得F(W2x0W2y),E(-√2xo,-V2yo). (a+c)2-b2 2ac Q(x0y)是椭圆C1的弦AB的中点， 设△ACM,△BCM内切圆的半径分别为r1,r2, 设A(x1y1),B(x2y2),则x1十x2=2x0y1十y2=2y0· 则，=号AM1+1CM1-AcID, AB在精因C号+号-1上，-1. 同星，=1CM1+|BM1-BC. =1, 两式相减得-(x+x)+9y+)=0, 设△ABC的内切国半径为R,则R=之(|AC|+|BC|- 4 2 即(x1-x2)x0+2(y1-y2)y,=0. |AB|) 小直线AB约外率为器一积 所以r,+:=专(2CM+AM+|BM-IAC- x1-x2 直线AB的方程为y一y。=一（红一），即y= 2yo IBCD-(2ICM1+1ABI-2R-1ABD)-ICMI- 2 R=4-R, 十十2.：Q(红y)为精圆C上一点，椭国C,的方程 2yo 因为R=√2(Wa+√a(a-4)+√a-√a(a-4)-√/2a) 为号+)=1营+=1，即+2=2， =√2(2a+4√a-√2a) 4√2a 4V2 连线AB的方和为y=一京十大 = W2a+4√a+2a + +√2 代入相国C,的方拉得+2(-卖+)”-40，(1+ 因为y=√a是关于a(a≥4)的单调递增函数， yo 所以R(a)=4是关于a(a≥4)的单调递减函教， 两边同乘以2y,且x6+2y8=2, 得x2-2xox十2-4y8=0, 所以函数R(a)在[4，十∞)上单调递增， △=(-2x0)2-4X1×(2-4y)=8y8>0, 所以R∈[4√2-4,2)，所以r1+r2∈(2,8-4√2] …x1+x2=2x0,x1x2=2-4y, 故△ACM与△BCM内切圆的半径之和的取值范围是(2,8-4W2]. 4w+x6 1B解16---号c-26 刻=中()a+-a a ·√4红6-8+16y=√8后+2x. :P为椭圆C1上任意一点，|PF1|+|PF2|=2a. 设点F(W2xoW2yo),E(一√2xo,-√2y)到直线AB的距 IPF+PF≥(PE+PE)=a, 离分别为d1,d2, 2 2 则Sar=SAae+SAe=子|AB(d,+d, 当且仅当|PF1=|PF2|=a,即点P为短轴端点时，等号 成立. N2x6+22y8-22(x6+2y)-2 d= .|PF12+|PF2|的最小值为2a2=8, Vxo+4yo √x6+4y a=46=2以精国G的方框为号+苦-1 2√2-2 √x6+4y6 1151■ d2= -2W2y8-2x-2_-(2y8+x)-2 又FM.FN=(xg-1,y3)·(x4-1,y)=x3x4-(x3+ √4y6+x6 √4y6+x x4)+1+y3y4=0, 2W2+2 所以空-4一2m+1+贸 +4m=0,化简得m2十k2十6km=4. √4y6+x6 k2 k2 ABd+d;) 1 所以SAMFN=2(xt:十x十：十I） =285+2,2-2+25+2-4 =m+2-2km十4=m2+k2+2m 2k2 √4y后+x 综上所述，当Q在椭圆C。上移动时，四边形AEBF的面积 -()+2()+1. 为定值4. 14.解：(1)设A(x1y1),B(x2y2), 令1=是则Sw=+2+1, 把x=2y-1代入y2=2px,得y2-4y+2p=0, 因为m2+k2+6km=4, 由41=162-8p>0,年p> 所以()'+6（器）+1-意>0， 由根与系数的关系，可得y1十y2=4p,y1y2=2p, 即t2+6t+1>0,得t>-3+2√2或t<-3-22, 所以|AB|= 1 1+ ·√y1+y2)2-4y1y2=5· 从而得S△MN=t2+2t+1>12-8V2=4(3-2W2). 综上所述，△MFN面积的最小值为4(3一2√2). VGp-8D=4V5,解得=2或p=是（合去）. a2' 故p=2. .1 解：(1)由题意得3十2=1， 解得a2=4,b2=1,所以椭圆 (2)设M(x3,y),N(x4,y4),由(1)知抛物线C:y2=4x,则 F(1,0). a2=b2+c2, 因为FM.FN=0,所以∠MFN=90°， C的标准方程为 4+y2=1. 则Sawx=合1MF11NF1=合(a,+1)(x,+1)= (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线和椭圆方程可 1 ly=kx+m, 2(xx十x3十x4十1).（米） ①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴 +， 得 对称， 消去y可得(1+4k2)x2+8kmx十4m2-4=0,所以△= 因为∠MFN=90°， 64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0, 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是一1. -8km 即2+1>m,则十计红 不妨设直线MF的斜率为1，则MF:y=x一1， 1 由y,-1得-6z十1=0， :kOM·kON=- 22-+m).十m） T1x2 T1T2 y2=4x, b2x1x2十km(x1十x2)十m2 1 得工=32片 x3=3+22, =一 -82m2十 子，即+4n-4 x4=3-22x4=3+2V2. (1+4k2)m2 4,整理得2m2=42+1,0 代入(*)式计算易得，当x3=x4=3-2√2时，△MFN的面 4m2-4 积取得最小值，为4(3一2√2). 又MN|=√1+)+x2)-4红1x ②当直线MN的斜率存在时， 设直线MN的方程为y=kx十m, /1+k)(64k2+16-16m) (1+4k2)2 由-红+'得z2-（4-2m红+m=0, 而，点O到直线MN的距离d= m y2=4x, △2=(4-2km)2-4m2k2>0, V1+k2 +x,-42m 所以Sams=2d:lMNI=2/f 1m(64k2+16-16m) (1+4k2)2 则 把①代入，则 =m2 工4A, 1 (4k2+1)(64k2+16-32k2-8) y3y=(kz3+m)(kzx+m)=kiz:xs+mk (x3+x)+m2 S△OMN=2 (1+4k2)2 =1 可得S△OMN为定值1. 1116■ 0□00□00 □口1口口1□ 分层作业（二十七） 题 2□2222 卡 年级： 学号 33333 圆锥曲线的综合问题（二） 信 4□4口44口4☐ 班级： 5555I5 (满分：129分) 位 66☐6]66 姓名： 7077刀7刀7□ 8☐8□8☐8]8 9□99□99□ 4.(5分)已知点P为抛物线C:y2=4x上的动 基础对点练· 点，A,B为圆M:(x-2)2+y2=1上的两个动 ,(5分)设M是椭圆C:。干4 +y=1上的上顶点， 点，则cos∠APB的最小值为 () 点P在C上，则|PM的最大值为 A]、3 4 2 A9/5 5 [B]√15 to1 [c]√/13 [D]4 5.(5分)已知直线l:x=ty+2和双曲线C:y2一 2.(5分)已知双曲线C:x=1(a>0,6>0) x2=8,若l与C的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是 () 的左、右焦点分别为F1,F2,F1F2|=4,且C 的一条渐近线与直线1：√3x一y+1=0平行. -o A,B,D,E分别是C在第一、二、三、四象限内 c.) (,- 的四点，且四边形ABDE是平行四边形.若A, 6.(6分)（多选）已知F是抛物线y2=4x的焦点， E,F2三点共线，则△ADE面积的最小值为 P是抛物线y2=4x上一动点，Q是⊙C:(x一4)2 ( 十(y一1)2=1上一动点，则下列说法正确的有 [A]12 CB]24 () [o]16 [D]8 [A]PF的最小值为1 3.(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点是F [B]QF|的最小值为√10 直线l:xcos0+ysin0=1(0∈R)交椭圆C于 [c]PF+PQ的最小值为4 A,B两点，则△ABF的周长的最大值为 []|PF+|PQ的最小值为√/10+1 7.(5分)已知点P是抛物线C:y2=8x上任意一 [A]6 [B]8 点，则点P到直线2x一y十2=0与到直线x= [c]6√2 [D]8√2 一2的距离之和的最小值是 57 8.(5分)已知|F1F2=10,点P满足PF2一 (1)当点A的坐标为（√2，√3）时，求B1B2; |PF1|=6,动点M,N满足|MN|=2,MF1= (2)当直线AB1,AB2斜率存在时，记其斜率 FN,则PM·PN的最小值是 分别为1，k2,其中k1k2≠0，求k1+k2的 最小值； (3)证明：△AB1B2的面积为定值. 9.(5分)已知正方形PQRS的边长为2√2，两个 不同的点A,B都在直线QS的同侧（但A,B 与P在直线QS的异侧)，A,B关于直线PR 对称，若PA·RB=0,则△PAS面积的取值 范围是 10.(5分)已知双曲线C:-芳1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1(一2,0)，F2(2,0),若 点P在双曲线C的渐近线上，且PF,= √2PF2,则△PFF2的面积的最大值 为 ,☐实数a的最小值为 19876543210+0.5 .14分)若椭圆：名+，1(a>h>0)上的两 个点M(xM,yM),N(xN,yN)满足ZMN十 2 yN=O,则称M,N为该椭圆的一个“共轭 62 点对”，点M,N互为共轭点.显然，对于椭圆 上任意一点M,总有两个共轭点N1,N2.已知 椭圆C:若+号-1，点A)是箱圆C上 动点，点A的两个共轭点分别记为B1(x1,y1), B2(x2y2). 58 ■ 0□0000 □口1口口1▣ 分层作业（二十七） 年级： 卡信息 学号后 2□2222 33333 4□444口4☐ (满分：129分) 班级： 5555I5 位 66☐6]66 姓名： 707口7刀7D7 8☐8□8☐8]8 9I99□99□ 19876543210+0.5 1 9876543210+0.5 12.(15分)如图，动直线x=a(a≥4)与抛物线 13.(17分)在平面直角坐标 T:y2=bx(b>0)交于A,B两点，点C是以 22 系x0y中，椭圆C:0十 AB为直径的圆与Γ的一个交点（不同于A, B),点C在AB上的投影为点M,直线y=x =1a>b>0)的离心率为 y2 之，左、右焦点分 十1为T的一条切线， 别是F,F2,点P为椭圆C1上任意一点， (1)证明：|CM|为定值； |PF12+PF2|2的最小值为8. (2)求△ACM与△BCM的内切圆半径之和 (1)求椭圆C,的方程； 的取值范围. 2x2,2y2 (2)设椭圆C,:2+号-1a>b>0),Q6,） 为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1 于A,B两点，且Q为线段AB的中点，过O, Q两点的直线交椭圆C1于E,F两点，如图. 当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的 面积是否为定值？若是，求出该定值；若不 是，请说明理由。 59 ◆ 19876543210+0.5 19876543210+0.5 14.(15分)已知直线x一2y+1=0与抛物线C: 15.(17分)已知椭圆C:a+方 x2,y2 =1(a>b>0)的 y2=2x(p>0)交于A,B两点，lAB|=4√15. (1)求； 离心率等于，且稀园C经过点Pa,号》， (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，且 (1)求椭圆C的标准方程； FM.FN=0,求△MFN面积的最小值： (2)若直线y=kx+m与椭圆C交于M,N两 点，O为坐标原点，直线OM,ON的斜率之积 等于-是，试探求△OMN的面积是否为定 值，并说明理由. 60