课时测评26　离心率的计算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评26　离心率的计算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意得，2a＝4b，所以＝，所以e＝＝＝＝.故选D. 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 答案：D 解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)，得渐近线为y＝±x，因为其中一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则·＝－1，得＝2，故e＝＝.故选D. 3．已知椭圆＋＝1的焦距大于2，则其离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c.因为m>4，所以a2＝m，b2＝4，则2c＝2＝2>2，解得m>5，此时e2＝＝＝1－>1－＝，所以e∈.故选C. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 答案：A 解析：由题意，在双曲线C: －＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，由题意可知F(c，0)，B，N，因为M是BF中点，则M，可得＝，＝，且O，M，N三点共线，则∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝. 故选A. 5．椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的焦点F1，F2，记椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则下列关系式一定正确的是(　　) A．e1e2＝1 B．e2＝2e1 C．e－e＝1 D．e＋e＝2ee 答案：D 解析：由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，而e＝，e＝，又a－4＝c2＝a＋4，由＋＝＋＝＋＝2，所以e＋e＝2ee.当e1e2＝1，则e＋＝2，此时e1＝e2＝1不合要求；当e2＝2e1，则5e＝8e⇒e＝，e＝，不一定成立，不合要求；当e－e＝1，则2e＋1＝2e＋2e⇒e＝，e＝1＋，不一定成立；综上A不成立，BC不一定成立，D一定成立．故选D. 6．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．＝ D．△PF2Q的周长为2 答案：AC 解析：由题意得2b＝2，所以b＝1，因为＝，a2＝1＋c2，解得c2＝2，a2＝3，因为焦点F1，F2在y轴上，所以椭圆C的方程为＋x2＝1，故A正确，B错误；不妨设F1，则P，Q两点的纵坐标也为，在＋x2＝1中令y＝，解得x＝±，所以不妨令P，Q，所以PQ＝，故C正确；根据椭圆的定义可知，△PF2Q的周长为4a＝4，故D错误．故选AC. 7．椭圆C：＋＝1(b>0)其中一个顶点坐标为(－2，0)，则椭圆C的离心率为________． 答案： 解析：由题意得，＋＝1(b>0)，则b2＝1，a2＝4b2＝4，所以c2＝a2－b2＝3，则e＝＝＝. 8．(开放题)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与C无公共点”的e的一个值为________． 答案：2(注：填区间内任何一个值均可) 解析：由题意可知双曲线的渐近线为y＝±x，离心率e>1，若满足直线y＝x与C无公共点，则需≤⇒≤3⇒e2－1≤3⇒1<e≤2. 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为椭圆上一点，∠F1MF2＝60°，若点F2到直线MF1的距离为a，则椭圆的离心率为__________． 答案： 解析：如图，＝a，因为∠F1MF2＝60°，所以＝，＝a，因为＋＝2a，所以|MF1|＝2a－|MF2|＝a，进而＝|MF1|－|MH|＝a－a＝a，又因为2＋2＝2，即a2＋2＝4c2，化简得a2＝3c2，所以e＝. 10．(10分)已知M是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若－＝2. (1)求双曲线C的离心率； (2)当·<0时，求y0的取值范围． 解：(1)由－＝2可得2a＝2，所以a＝， 故c＝＝2，离心率为＝＝. (2)因为F1(－2，0)，F2，M， 所以·＝·＝·＋2＝x＋y－4， 由于－y＝1，所以·＝x＋y－4＝3y＋y－1＝4y－1<0，即y<， 解得－<y0<. 11．(5分)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，＝2，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 答案：D 解析：由双曲线的对称性可知＝，＝，则四边形AF1BF2为平行四边形，令＝＝m，则＝＝2m，由双曲线定义可知－＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即＝＝m＝2a，＝＝4a，·＝·cos∠AF2B＝4a×2acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，则有cos∠F2BF1＝ ＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D. 12．(5分)设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得＋＝2a1，－＝2a2，＝a1＋a2，＝a1－a2，设＝2c，∠F1PF2＝60°，则在△PF1F2中由余弦定理得2＝2＋2－2·cos F1PF2，即4c2＝2＋2－2·cos60°，化简得a＋3a＝4c2，所以＋＝4(0<e1<1，e2>1)，又因为双曲线的离心率为e2＝，所以椭圆的离心率为e1＝. 13．(15分)如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围． 解：由题意可知A，B， 则直线AB方程为＋＝1，整理得bx＋ay－ab＝0， 若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 即O点到直线AB的距离d≤＝＝c， 所以≤c，即a2b2≤a2c2＋c2b2， 又a2－b2＝c2， 所以a2≤a2c2＋c2， 整理得2≤a2c2，即a2－c2≤ac， 又由e＝且0<e<1可得e2＋e－1≥0， 解得e∈. 14．(5分)(多选)已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 答案：ABC 解析：由题意可设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，因为双曲线C过点，所以×32－2＝λ，即λ＝1，则双曲线C的方程为－y2＝1，故A正确；由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，则离心率为e＝＝＝，故B正确；双曲线的右焦点坐标为，满足y＝ex－2－1＝x－2－1，故C正确；由消去x整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，故D错误．故选ABC. 15．(15分)已知椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且＝4，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2－e1的取值范围． 解：设＝m，＝n，＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1， 由双曲线的定义可得m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 由＝4，可得n＝c，即a1－a2＝c， 由e1＝，e2＝，可得－＝－＝＝， 由0<e1<1，可得>1，可得>，即1<e2<2， 则e2－e1＝e2－＝，设2＋e2＝t， 则＝＝t＋－4，由于函数f＝t＋－4在上递调递增， 所以f∈， 即e2－e1的取值范围为. 学生用书↓第102页 学科网（北京）股份有限公司 $