2.6.1 双曲线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．6　双曲线及其方程 2．6.1　双曲线的标准方程 [学习目标] 知识层面 1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．　2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．　3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 素养层面 通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养；借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.椭圆的定义是什么？其标准方程是什么？ 提示：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆；根据焦点位置的不同，其标准方程为＋＝1或＋＝1(a＞b＞0)． 问题2.把椭圆定义中的“距离之和等于常数(大于|F1F2|)”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)”，那么点的轨迹还是椭圆吗？有什么特点？ 提示：不是椭圆，该轨迹是两条对称的曲线． 问题3.类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线(题图示)，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，|PF2|＝，所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)． 知识点一　双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两 学生用书↓第92页 个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 微提醒 要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”． 1．若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． 2．若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支． 3．若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．　　 知识点二　双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 [微思考1]　如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？ 提示：“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． [微思考2]　双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c有何不同？ 提示：双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2 ＋b2, 其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝c2＋b2，其中a＞b＞0，a＞c，c与b无大小要求． 1．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　) A．(－，0)，(，0) B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，) 答案：B 解析：由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 2．已知两定点F1(－3，0)、F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　) A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 答案：A 解析：A中，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，因为||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，因为||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，所以动点P的轨迹不存在；D中，因为||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A. 3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为( ，0)和(－ ，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为____________． 答案： －y2＝1 解析：由题意知 得(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝ ，所以b＝1，故双曲线的方程为 －y2＝1. 4．已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________________． 答案：y2－＝1(y≤－1) 解析：因为|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，|AC|＝＝3，|BC|＝＝5，所以|MA|－|MB|＝|BC|－|AC|＝2<4，故点M的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的双曲线的下支．此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.故点M的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1). 题型一　对双曲线定义的理解 (1)已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 (2)k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 [思路点拨]　利用双曲线的定义解题． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2，2<|F1F2|＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支．故选D. (2)原方程可化为－＝1.因为k>1，所以k2－1>0，1＋k>0，所以方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线．故选B. 学生用书↓第93页 方法技巧 1．设M(x，y)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的任意一点，左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线的右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a； 若点M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a. 因此得到|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的． 2．给出方程＋＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是否是双曲线，只有当mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若则双曲线的焦点在y轴上．　　 对点练1．(1)已知定点A，B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为(　　) A．双曲线 B．双曲线靠近点A的一支 C．两条射线 D．双曲线靠近点B的一支 (2)若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　) A．k<－3 B．k>－2 C．－3<k<－2 D．k<－3或k>－2 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)因为|PA|－|PB|<|AB|，所以点P的轨迹为双曲线靠近点B的一支．故选D. (2)由题意可知，解得－3<k<－2.故选C. 题型二　求双曲线的标准方程 (链教材P146例1)根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A(1，－)； (2)与双曲线 － ＝1有相同的焦点，且经过点(3 ，2)； (3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上． [思路点拨]　根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，进而设出双曲线方程，由题意列出方程组，解出a、b的值即可．对于不能确定焦点位置的情况，则需分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式． 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 － ＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－× <0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 － ＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. (2)方法一：因为焦点相同， 所以设所求双曲线的标准方程为 － ＝1(a>0，b>0)， 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　① 因为双曲线经过点(3 ，2)，所以 － ＝1.　② 由①②得a2＝12，b2＝8，所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 方法二：设所求双曲线的方程为 － ＝1(－4<λ<16)． 因为双曲线过点(3 ，2)，所以 － ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，(AB<0)． 因为点P，Q在双曲线上， 所以 解得 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 方法技巧 求双曲线的标准方程的常用方法 1．定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． 2．待定系数法一般步骤为： 对点练2．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(0，4)，(－3，4)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝－1 C．－＝1 D．－＝－1 答案：A 解析：设所求双曲线方程为－＝1，将(0，4)、(－3，4)代入方程，联立解方程组得a2＝16，b2＝9.故选A. 题型三　利用双曲线的定义求轨迹方程 (链教材P147例2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解． 解：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋， |MC2|＝r－， 所以|MC1|－|MC2|＝2. 又C1(－4，0)、C2(4，0)， 所以|C1C2|＝8， 所以2<|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支． 因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14， 所以点M的轨迹方程是－＝1(x≥)． 学生用书↓第94页 方法技巧 1．用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．　　 对点练3．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1) C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) 答案：A 解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F(图略)， 则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|. 所以|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|) ＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|＝6， 所以点P的轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8. 故点P的轨迹方程是x2－＝1(x>1)． 题型四　双曲线中焦点三角形问题 设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上． (1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积； (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？ [思路点拨]　由于三角形面积S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin θ，所以只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|. 解：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，则c＝. 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示，由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4， 两边平方得r＋r－2r1r2＝16. 因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即r＋r＝4c2＝4×()2＝52. 所以2r1r2＝52－16＝36， 所以S△F1PF2＝r1r2＝9. (2)若∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋r1r2， 而r1－r2＝4，|F1F2|＝2，所以r1r2＝36. 于是S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝×36×＝9. 同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3. 方法技巧 1．双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ； (3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 2．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是要特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．　　 对点练4．(1)如图，已知双曲线的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m (2)已知F1，F2分别是双曲线 － ＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.求△F1PF2的面积． 答案：(1)B 解析：(1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m. (2)因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝0，所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝ |PF1|·|PF2|＝ ×32＝16. 题型五　与双曲线有关的最值问题 (1)已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　) A．＋4 B．－4 C．－2 D．＋2 学生用书↓第95页 (2)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． [思路点拨] 答案：(1)C 解析：(1)双曲线－＝1中，a＝，半焦距c＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2. (2)设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图，连接MD，BD， 由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2. 所以|MA|＋|MB|＝2＋|MD|＋|MB|≥2＋|BD|. 又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时上式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1. 方法技巧 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点． 1．若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在． 2．若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在．　　 对点练5．已知F1，F2是双曲线－x2＝1的下、上焦点，点M(1，3)，点P为双曲线上支上一点，则|PM|＋|PF2|的最小值为________． 答案：－2 解析：由双曲线的标准方程－x2＝1可知a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，c＝2，所以F1(0，－2)，|PM|＋|PF2|＝|PM|＋|PF1|－2，所以要求|PM|＋|PF2|的最小值，即求|PM|＋|PF1|－2的最小值．连接MF1交双曲线上支于点P0，当点P位于点P0处时，|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|＝＝，故|PM|＋|PF2|的最小值为－2. 易错点1　忽略双曲线定义中的限制条件致错 已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 [正解]　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 答案：D [易错探因]　本题容易忽略双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而误选B. [误区警示]　在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，点P的轨迹是双曲线，其中取正号时对应双曲线的右(上)支，取负号时对应双曲线的左(下)支； 当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|(a>0)时，点P的轨迹是分别以点F1，F2为端点的两条射线； 当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在． 易错点2　忽略双曲线的焦点位置致错 若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________． [正解]　依题意有或 解得－3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(－3，2)∪(3，＋∞)． 答案：(－3，2)∪(3，＋∞) [易错探因]　本题易出错的地方是只考虑双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略焦点在y轴上的情况，从而得到错误答案(－3，2)． [误区警示]　在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的坐标轴，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $