课时测评14　点到直线的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评14　点到直线的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．± 答案：D 解析：由题意，得＝1，即|a|＝，所以a＝±.故选D. 2．点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) 答案：B 解析：设对称点坐标为(a，b)， 解得即Q(－2，5)．故选B. 3．已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 答案：C 解析：点(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，点(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，则的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即为两平行线间的距离，即＝1.故选C. 4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　) A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0 答案：D 解析：设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.故选D. 5．(多选)两条平行线分别经过点A(6，2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是(　　) A．4 B．7 C．9 D．11 答案：ABC 解析：当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，则d＝9.当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋2－6k＝0，kx－y＋3k－1＝0，所以d＝＝.由此可得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.当81－d2＝0，即d＝9时，k＝－，所以d＝9成立．当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即d4－90d2≤0，所以0<d≤3且d≠9.综上所述，d∈(0，3]．故应选ABC. 6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是________． 答案：5 解析：两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5. 7．已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝________． 答案：－14 解析：由题意知即解得故ab＝－14. 8．(一题两空)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则直线l的方程为__________________，点A(5，0)到直线l的距离的最大值是________． 答案：4x－3y－5＝0或x＝2　 解析：设直线l的方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，所以l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.由解得交点P(2，1)，过点P任意作直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， 所以dmax＝|PA|＝. 9．(10分)设l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，求直线l1，l2的方程． 解：当AB⊥l1，且AB⊥l2时， l1与l2间的距离最大． 又kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为k＝－， 则l1的方程是y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. l2的方程是y＋1＝－(x－0)， 即x＋2y＋2＝0. 10．(10分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)， 所以|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 解得b＝3或b＝－3(舍去)． 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 11．(5分)(多选)下列过(2，2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8，2)的距离相等的是(　　) A．x＋y－4＝0 B．x＝2 C．2x＋y－6＝0 D．x－2y＋2＝0 答案：AD 解析：显然l的斜率不存在时x＝2不满足题意．设l：y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0.由条件可知＝，解得k＝或－1.当k＝时，l∥AB，方程为x－2y＋2＝0，当k＝－1时，l过AB中点，方程为x＋y－4＝0. 12．(5分)若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－m－2间的距离不大于，则m的取值范围是____________． 答案：[－11，－6) ∪(－6，－1] 解析：直线y＝－2x－m－2可化为2x＋y＋m＋2＝0.由两平行直线间的距离公式，得d＝＝.由题意知0<≤，即0<|m＋6|≤5，解得－11≤m≤－1，且m≠－6. 13．(10分)已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0.求其他三边所在直线的方程． 解析：因为由解得 所以中心坐标为(－1，0)． 所以中心到已知边的距离为＝ . 设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0. 因为正方形中心到各边距离相等， 所以＝和＝ . 所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0. 所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0. 14．(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 答案：BC 解析：由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”．点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2<4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝>4，故D不符合题意．故选BC. 15．(15分)某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0，若在河上建一座供水站P，使分别到A，B两村的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？ 解：过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，如图，在直线l上任取除点P以外的一点P′， 因为|AP′|＋|P′B|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|， 所以P点即为所求. 设A′(a，b)，则 即解得a＝3，b＝6， 即A′(3，6)， 直线A′B的方程为＝， 即6x＋y－24＝0， 由解得x＝，y＝. 即P，故供水站P应建在点处，才能使管道最省． 学生用书↓第58页 学科网（北京）股份有限公司 $