第2章 学案23 点到直线的距离-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

点到直线的距离学案23 学案23点到直线的距离 听 昆学习任务 记 1.探索并掌握，点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.（数学抽象、数学运算） 2.会求点到直线的距离与两条平行直线间的距离.（数学运算） 课堂活动 新知应用 求点P(-2,1)到下列直线的距离： 活动一掌握点到直线的距离 (1)3x+4y-1=0;(2)y=2x+3;(3)2x+5 阄新知导学 =0. 阅读教材P97一99，完成下列问题. 问题1如图，在平面直角坐标系中，已知点 P(xoyo),直线l:Ax+By十C=0(A≠0， B≠0)，怎样求出点P到直线1的距离呢？ Y◆P 母题变式：求过点P(一2,1)且与原点距离最大的 直线1的方程，并求最大距离。 问题2怎样用向量方法求点P到直线1的 距离？ 「方法总结」应用点到直线的距离公式时应注 新知生成 意的三个问题 平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为 的垂线所得垂线段的长度，距离公式d 一般式 =lAzo+Byo+CI (2)当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式 √A2+B 仍然适用. 提醒：(1)利用公式时直线的方程必须是 (3)直线方程Ax十By十C=0,当A=0或B=0 般式. 时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴！ (2)分子含有绝对值. 垂直)，故也可用数形结合求解 7110 人教B版数学选择性必修第一册 听 活动二掌握两条平行直线之间的距离 2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互 相平行，则它们之间的距离是 笔 阄新知导学 记 「方法总结」求两条平行直线间距离的两种 阅读教材P99一100，完成下列问题. 方法 问题3如图所示，已知两条平行直线1，l2的方 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条 程，并且从11上任选一点P(xoy。),思考如何 直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为 求出直线11，l2的距离？ 点线距来求. (2)公式法：设直线L1:Ax+By+C1=0,l2:Ax +By十C2=0,则两条平行直线间的距离d= 1C,-C(A,B不同时为0，C≠C,)】, √JA2+B 活动三距离公式的综合应用 新知应用 问题4如果给出两条平行线的方程为Ax十By 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和 十C1=0,Ax+By+C2=0(A,B不同时为0， B(一3，一1)，并且各自绕着A,B旋转，如果两 且C1≠C2).试用点线距离的求法求平行线间 条平行直线间的距离为d,求d的取值范围， 的距离并作进一步化简. 厅新知生成 !1.两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的距离。 2.两条平行直线L1:Ax+By+C1=0与l2:Ax +By+C2=0之间的距离d= IC。-C(A,B 母题变式(1)：若将本题中的条件“并且各自绕着 √A2+B2 A,B旋转”改为“两条直线的斜率都等于1”，其 不全为0，C1≠C2). 他条件不变，求d的值. 提醒：(1)两平行直线间的距离可以转化为点到 直线的距离. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证 两直线方程中x,y的系数分别对应相等 今新知应用 1.若两条平行直线l1:x一2y十m=0(m>0)与l2:2 十y-6=0之间的距离是5，则m十n=（) A.0 B.1 C.-2 D.-1 1172 点到直线的距离学案23 母题变式(2)：若本题中条件不变，求当d取最大 2.对于任意实数k,直线(k十2)x一(1十k)y一2 听 值时两条直线的方程. =0与点（一2，一2）的距离为d,则d的取值范 课 围是 笔 A.[0,4√2] B.(0,4√2] c[o.2 。25 D.0,5 3.(多选)直线1过点B(3,3),若A(1,2)到直线1 的距离为2，则直线1的方程可以为 ( ) A.3x+4y-21=0 「方法总结」应用数形结合思想求最值 B.4x+3y-21=0 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意 C.x=3 义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加 D.y=3 以解决， 4.已知直线l1:ax+2y+4=0,直线l2:x+(a+ (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常 1)y+4=0,若11∥2，则11与12的距离为 用到.当图形中的元素运动变化时，我们能直观地 ( 观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的 A.√2 B.2√2 变化范围， C.32 D.4√2 七课堂小结 5.点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y +4十4m=0(m为任意实数)的距离的取值范 1.知识清单： 围是 ( ) (1)点到直线的距离. (2)两条平行直线之间的距离. A.[0,5] B.[0,25] (3)距离公式的综合应用. C.[0,4] D.[0,W5] 2.方法归纳：公式法、数形结合法 6.两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y 3.常见误区：运用两条平行直线之间的距离公式 +5=0间的距离为 时，必须保证两直线方程中x,y的系数分别对 7.若点P为x轴上一点，且点P到直线3x一4y 应相等， +6=0的距离为6，则点P的坐标为 ( A.(8,0) 七课堂达标 B.(-12,0) 1.(多选)下列直线与直线l:x一y十2=0平行， C.(8,0)或(-12,0) 且与它的距离为√2的是 D.(-8,0)或(12,0) A.x-y+4=0 B.x-y十3=0 8.已知l:3.x+4y+6=0,P(m,n)为l上一动点， C.x-y+1=0 D.x-y=0 则(m+1)2+n2的最小值为 课后反思 731新知生成 由l1⊥l2,得1Xa十aX(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C 1.k1=k2b1≠b2 正确； 2.A1B2=A2B1 1 新知应用 若Q>0,则L1y=一立x十1始终过点(0,1)，斜率为负， 1.B[法一：因为直线L1与直线l2:2x十y-4=0平行， .l1始终不过第三象限，故D正确.] 则直线1的斜率为一2， 4.10[联立 5x-3y-17=0, 又直线l1过点A(2,5), 解得x=1,y=一4， x-y-5=0, 则y-5=-2(x-2),即2x十y-9=0. 即两条直线的交点坐标为(1，一4)， 故选B. 由题意将，点(1，一4)代入直线mx+2y一2=0中， 法二：与直线12：2x十y一4=0平行的直线可设为2x十y十C 可得m一8-2=0， =0, 解得m=10.] 将点(2,5)代入2x十y+C=0可得C=一9，故直线l1的方 5.-2[由两直线垂直得2a10=0,解得a=5. 程为2x十y一9=0. 又点(1，m)在直线ax+2y一1=0上，所以a十2m-1=0, 故选B.] 所以m=-2.] 2.A[由题意得-2(k-3)=2(k-3)(4-k), 6.解：(1)因为B(-2,一1)，C(4,3),M为BC边的中点， 解得k=3或k=5, 所以M(1,1), 当k=5时，l1:2x-y+1=0,l2:2x一y十1=0，两直线重合， 又A(-1,5), 故舍去； 当k=3时，l1:y十1=0，l2:y-1=0,两直线平行. 则w-5号-2 综上，若11∥12，则的值是3. 故中线AM所在直线的方程为y一1=一2(x-1), 故选A.] 即2x十y-3=0. 活动三 (2)A(-1,5),B(-2,-1), 新知导学 5+1 问题3提示：①l1⊥12台m1⊥m2台n1⊥n2; 则kAB= -1+2=6, ②L1⊥l2台m1·m2=0台n1·n2=0. 新知生成 收所求直线的钟率为一司， 1.k1k2=-1 因为所求直线过点C(4,3), 2.(1)A1A2+B1B2=0(2)垂直 新知应用 故所求直线的方程为y一3三二6(x一4)， 1.C[因为直线l1与直线l2互相垂直， 即x+6y-22=0. 所以aX1-2(a一1)=0，解得a=2. 故选C.] 学案23点到直线的距离 2.A[联立任y十2=0解得-1， 课堂活动 (2x+y+1=0, y=1, 活动一 .直线x-y十2=0和2x十y十1=0的交点坐标为(-1,1)， 新知导学 又直线l和直线x一3y+2=0垂直， 问题1提示：点P到直线1的距离等于点P到直线1的垂线 .直线1的斜率为一3， 段的长，如图，过点P作直线1的垂线为'，垂足为P1,则 则直线1的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. 的方向向量为(A,B), 故选A.] 课堂达标 1.C[直线ax+(a-3)y十3=0与直线x+ay-3=0垂直， 则a×1+(a一3)×a=0,解得a=0或a=2. 故选C.] 2x-y+1=0 解得区=一1数交点坐标为（一1，一1D .'的方程为A(y-yo)一B(x-xo)=0,与l的方程联立， 2.B[联立 x+y+2=0, (y=-1, (B2xo-AByo-AC Ayo-ABzo-BC\ 设与直线2x十3y=0平行的直线的方程为2x十3y十C=0,由于 解得交点P,（A+B A2+B2 直线经过点（一1，一1）， Azo+Byo+C .|PP1= 故-2一3+C=0,解得C=5. √A+B2 故直线的方程为2x十3y十5=0， 问题2提示：直线l的法向量n=(A,B). 故选B.] 在直线l上任取一点M(x,y),又P(x,yo),可得向量PM 3.ACD[易得1ax-2y)+3y-1-0过点（号，号）：故A =(x-xo,y-y0). 正确； IPP,I-IPP:I-IPM:al_lAz,+By,+Cl 当a=1时，l1,l2重合，故B错误； n √A2+B2 331■ 27 [法-：直线6x十m心y+1=0恒过点（日，0），且两 3×(-)-3 直线平行，则它们之间的距离d= 73 √32+2 26 新知应用 解：(1)根据点到直线的距离公式，得 法二：由题意知，m=6 4=6 故m=4,则两平行直线之间的距离 d=13x(-2)+4×1-1-3 5 .1 √32+4 -3-2」 d 即点P(一2,1D到直线3x十4y-1=0的距离为号 √32+2 活动三 (2)直线方程y=2x十3可化为一般式2x-y十3=0. 新知应用 根据，点到直线的距离公式，得 解：如图，显然有0<d≤|AB|. d=12×(-2)-1+3到-2_25 √22+(-1)F 哈 5 A(6,2) 即点P(-2,1)到直线y=2x+3的距离为25 B(-3,-I 0/d 5 (3)直线方程2x+5=0可化为x= ,该直线垂直于 x轴， 而AB|=√(6+3)2+(2+1)7=3√10. 所以4=-2-(-)川=安 故所求的d的取值范围为(0,3√10]. 母题变式(1)：解：两条直线方程分别为x一y一4=0和x一y十 即点P(-2,1)到直线2x十5=0的距离为 1 2=0,所以d=5=32, 母题变式：解：设原点为O,连接OP(图略)，易知过点P且与原 母题变式(2)：解：由图可知，当d取最大值时，两直线与AB所 点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线 在直线垂直 1 由1OP,得，·ka即=-1，所以点=一E0心-2， 所以直线l的方程为y-1=2(x十2)，即2x-y十5=0，即直 A(6,2) 线2x一y十5=0是过，点P且与原点距离最大的直线，最大距 0/d 5 2+(=5. 离为 B(-3,-1) 活动二 2-(-1)1 新知导学 而ks=6-(-3)=3, 问题3提示：只需求出P(xo,yo)到l2的距离，即为直线l1, 所以所求两条直线的斜率为一3. l2的距离. 故所求的直线方程分别为y一2=一3(x-6)和y十1=一3(x 问题4提示：在直线Ax十By十C1=0上任取一点P(xo, +3), yo),点P(xoyo)到直线Ax十By十C2=0的距离，就是这 即3x十y-20=0和3x+y+10=0. 两条平行直线间的距离，即 课堂达标 d=LAzo+Byo+C:1 1.AD[设与直线l:x一y十2=0平行，且与它的距离为V2的 √A+B 直线方程为x-y十C=0(C≠2)， 因为点P(xoyo)在直线Ax十By十C:=0上， 则C一2-2，解得C=4或C=0,故所求直线方程为工 所以Axo+By。十C1=0, √2 即Ax0十By0=-C1, y十4=0或x一y=0.故选AD.] 周此d=lA+B+C,_-C+C,l_IC,-Cl 2.B[对于任意实数k,直线(k十2)x-(1十)y-2=0,转化 √/A+B √WA2+B VA2+B2 为(x-y)十2x-y-2=0, 新知生成 由x一y=0及2x-y-2=0可得x=2且y=2,直线恒过点 1.任意一点 (2,2), 新知应用 点(2,2)和，点（一2，一2）连线所在的直线方程为x一y=0, 1.C[因为，所以是=2解得n=-4,即直线：z 当直线与x一y=0垂直时， dmx=√(-2-2)2+(-2-2)2-4V2, 2)y-3=0,所以两平行直线间的距离d=m-（-3)1 因为直线不过点（一2，一2），所以d>0,故d的取值范围是 √/12+(-2) (0,4√2]. √5，解得m=2或m=一8（舍去），所以m十n=一2.] 故选B.] 134 3.AC[当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=3,满足 (2)法一：设直线1上任意一点M的坐标为(x,y),则此点关 条件. 于点(2，-1)的对称点为M1(4-x,-2-y), 当直线1的斜率存在时，设直线I的方程为y一3=k(x一3)， 且M1在直线3x-y-4=0上， 即kx-y十3一3k=0. 所以3(4-x)-（-2-y)-4=0, 由题意可得k-2+3-3张=2，解得6=一3 即3x-y-10=0. Wk2+1 所以直线L的方程为3x一y一10=0. 所以直线1的方程为3x+4y-21=0. 法二：在直线3x-y-4=0上取两点A(0,-4),B(1,-1), 综上，可得直线1的方程为x=3或3x十4y-21=0.] 则点A(0,一4)关于点(2，一1)的对称点为A1(4,2),点B(1,一1) 4.C[因为l1:ax+2y+4=0,l2:x+(a+1)y+4=0,且L1 关于点(2，一1)的对称点为B1(3,-1). ∥12 可得直线A1B1的方程为3x一y一10=0， 所以a0,且-安+期得a-一2 即直线1的方程为3x一y一10=0. 4 则l1:一2x+2y+4=0,即x一y-2=0,l2:x-y+4=0, 法三：由平面几何知识易知所求直线1与直线3x一y一4=0 所以1，与1，的距离为-2-4=32. 平行， 1+1 则可设1的方程为3x-y十C=0(C≠一4). 故选C.] 在直线3x-y-4=0上取一点(0，一4)， 5.B[将直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0变形为 则点(0，一4)关于点(2，一1)的对称点(4,2)在直线3x一y+ (x+y+4)+m(-3x-y+4)=0, C=0上， 所以任十4=0：。解得z= .3X×4-2+C=0,.C=-10. -3x-y+4=0,1 ”。由此可得直线1恒过点 y=-8, .直线l的方程为3x一y一10=0. Q(4,一8)，所以点A到直线1的最大距离为|AQ,此时直线 角度2 L垂直于AQ,点A到直线L的最小距离为0，此时直线L经过 应用体验2解：(1)设点P(4,5)关于直线l的对称，点为P'(x',y), 点A, 则线段PP'的中点在直线L上，且直线PP'垂直于直线L, 又|AQ|=√(2一4)2+（一4+8）2=2√5，所以，点A到直线1 y+5-3x4+3, 2 2 的距离的取值范围是[0,2√5]。 x'=-2, 即〈 解得 y'-5、 x-4×3=-1, y'=7, 故选B.] 6.3③a 68 [由题意，将12的方程化为3x+5y+2=0, 5 所以点P'的坐标为（一2,7） 5 1一2 所以d= 3.1 x=一2 (2)解方程组 /y=3x+3, 得 √32+5 √34 68 y=x-2, 9 y=-2 7.C[设Pa,0),则3a-4X0+6=6, √32+(-4)2 剥点（各，-号）在所农直线上. 解得a=8或a=-12.故选C.] 在直线y=x一2上任取一点M(2,0), 8号 [由于(m+1)2+n2=(√(m+1)2+n)2, 设点M关于直线l的对称点为M(xoyo) 所以(m+1)2+n2的最小值即为点P(m,n)与点（一1,0）的 =3x2+2 2 2 3, 5 距离的平方的最小值， 则 解得 02×3=-1, yo 9 点(-1,0)到P(m,n)的最小值即为点（一1,0）到直线3x+ yo=51 +5-0的整8号号（得》广-品 点N(吕，）色在所东直线上 所以(n十1D+的最小值为号】 9 y+2 5 x十2 学案24习题课对称问题 由两点式得直线方程为991口+5， 5+2 -5+2 课堂活动 化简得7x+y+22=0, 活动一 故所求直线的方程为7x十y十22=0. 角度1 活动二 应用体验1解：(1)设所求点为(x0,y0), 应用体验3解：如图，设原点关于1 (xo+3=2 的对称点A的坐标为(a,b), P(-4,3) .0 A(a,b) 2 由中点坐标公式得 yo-1 解得21， 总()=-， (2=4 yo=9, 所以 即对称点为(1,9). x号+6x-25， 351■