2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册综合测试卷

湘数版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.设x∈R,则k-2<1”是“x2+x-2>0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.当a>0,b>0时，不等式-b<1<a的解是() Y A名或 B合 1 a b c.x<-或x a 6 D.合<0或0<x<日 a 3.己知函数f(x)= g,00aeR,若f月=1，则a=) 1 A.4 B. C.1 D.2 log2x,x>0 4.设函数f(x)= log(←x),x<0,若f(a>f(-a,则实数a的取值范围是() 2 A.(-1,0)U(0,1) B.（-,-1)U(1,+∞) C.(-1,0)U1,+∞) D.（-∞，-1)U(0,1) 5.已知函数()=sn(a+p@≥0受x=香为的零点，t=为y=f利图象的对称转，且)在 2 4 侣单调，则如的最大位为 A.11 B.9 C.7 D.5 6.为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率 分布直方图如图所示.根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为() 频 0.0s1 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 体重(kg) AAA 054.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5 A.300 B.360 C.420 D.450 7.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒 成立，则实数t的取值范围是() A.「V2,+∞) B.[2,+0) c.(o,2 D.「-2，-1「V2,3 8.已知函数f()=m2x+p),其中p为实数，若f)≤f爱对xeR恒成立，且f孕>f(),则f)的单调 递增区间是 A. 3 B. c. [r++]e刀 D. kπ-5kxke2② 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)满足：xeR都有f(1+x)+f(1-x)=f(1),且f(2x)的图象关于直线x=1对称，若 2=1)分则() A.f(1)=0 B.f(x+1)是奇函数 片 D.】 分) 10.已知函数f(x)=sin2x+V5cos2m(o>0),则下列说法正确的是() A.若函数f(x)的最小正周期为兀，则o=1 B.若0=1，则函数f)在月上的最小值为-1 。,若西数了)40上单润递塔，则0<ws兮 D。芳函数倒在D上拾有两个零点，则a 3 2x+-1-1,x≤0， 11.已知函数f(x)= x+1-1,>0. g(9=[f八+a叭文1，则() A.g(x)有4个不同零点的充要条件是a<0 B.a>0是g(x)没有零点的充分不必要条件 C.g(x)有2个不同零点的充要条件是a=0 D.存在a∈R,使得g(x)有3个不同零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.己知x,x,分别是函数f(x)=e+x-2,g(x)=hx+x-2的零点，则1+hx的值为 .知a>0且a≠1，函数fy)=3c0s9+。2在区何3,0)的最小值为3，则/y在区间(25)的最大 为 14.某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180,200,230,250,280， 300,320,350,380,400,则这组数据的第70百分位数是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 4 15.(13分)已知奇函数f)=a1+2（aeR）. (1)求a的值： 2)若对于任意的x∈-】，，不等式fm心+x+m-)+f-mc≥0恒成立，求m的取值范匪 16(15分)卫知展数/)=20x君司@>0的最小正周期为元 0a侣引a)-号求m的： (2)将函数f(x)的图象向右平移汇个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为8(x),求函数y=g(x) 12 上的值域 17.(15分)水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱. (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率： (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱： (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46：二级果48个，单果质量 平均数为240.41克，方差为648.21：求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量. 18.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数) (1)若函数图象过点(L,1),对x∈R,y>0恒成立，求实数a的取值范围： (2)若函数图象过点(1,1)，对a∈[-2，-1]，y>0恒成立，求实数x的取值范围： 19.(17分)已知函数∫9)=2xax+10,8()=x-x+,(a∈R (1)当a=1时，求f(2)的值： (2)若对任意x∈R,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围： (3)若x∈(0,2)，3x2∈[0,1]，使得不等式f(:)>g(x,)成立，求实数a的取值范围.湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.设x∈R,则x-2<1”是“x2+x-2>0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可 【详解】由x-2<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3,由x2+x-2=(x+2)(x-1)>0解得x<-2或x>1, 因为集合(1,3)是集合(-∞，-2)U(1,+∞)的真子集， 即由1<x<3可推出x<-2或x>1,由x<-2或x>1,推不出1<x<3, 所以“x-2<1"是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件，故选：A 2.当a>0,b>0时，不等式-b<<a的解是() 1 .1 1 1 A.x<-或x> B.--<x< b a a b 1 C.x<-1或x> 1 -1 <x<0或0<x< a b D.一b a 【答案】A 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可。 【详解1由上<aa>0)→>0→rx->0→x>a或x<0, 1 由-b<b0)→+>0曰x>0,或x<-方，所以不等式-b<士<a的解是x<名或x>放选：A x a a.2,x≥0 3.已知函数f(x)= a∈R),若f(f(-1)=1,则a=() 2x,x<0 A 1 B.2 C.1 D.2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算即可 【详解】-)-2.2)=a2=1,解得a=子故远：A log2x,x>0 4. 设函数f(x)= log(-x),x<0:若f(网>f(-a),则实数a的取值范围是() 2 A.(-1,0)(0,1)B.(-∞，-1)U(1,+o)C.（-1,0)U(1,+o）D.(-∞，-1)U(0,1) 【答案】C 【分析】根据a>0和a<0分类求解. 【详解】若a>0,则由f(a>f(-a)得lg:a>log1a=-log,a,即log,a>0.a>1. 2 若a<0,则由f(a)>f(-a)得lo9（-a)>log,（-a, 即-log2（←d)>log2（a)∴.log2（-a)<0,.0<-a<1,即-1<a<0.综上可知，-1<a<0或a>1.故选：C. 5.已知函数f(x)=sim(ar+p)(o>0,4≤，x=-严为f)的零点，x=亚为y=f(田图象的对称轴，且f)在 4 4 (匹，乃单调，则®的最大值为 1836 A.11 B.9 C.7 D.5 【答案】B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且w≤12，结合-一普为/x)的零点，=胥为)图象的对称轴，求 出满足条件的解析式，并结合fCx)在（及，江）上单调，可得ω的最大值. 18’36 【详解】：x一千为)的零点，x香为寸)图象的对称轴。 心2n+1T=,即.2石=气，CN）即w=21,EN”即w为正奇数， 4 了0在后爱上华调则名后后号即75若能附：2 当w1助，1华+p加kz,w号g=-异 此时f)在（及，）不单调，不满足题意：当0=9时，9 18’36 +p=m,Z, 州≤号甲牙此时/)在(g·无)单调，滴足题意：放ω的最大值为9，故选B, 18’36 6.为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率 分布直方图如图所示.根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（) 频率 ↑组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 体重(kg) 0 54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5 A.300 B.360 C.420 D.450 【答案】B 【分析】由题意，根据频率分布直方图得出高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例，再根据总人 数是2000，即可求出人数得出答案 【详解】由图可知，高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例是 2×(0.04+0.035+0.015)=0.18,故该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为2000×0.18=360，故选：B. 7.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒 成立，则实数t的取值范围是() A.「2，+o） B.[2,+o) C.(02 D.[-2,-1「V2,3] 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性易得当x<0时，f(x)=-2,进而可得2f(x)=f(V2x),根据题意对任意的x∈[t,t+2], 都有f(x+t)≥∫(N2x)恒成立，结合函数单调性可解得t的取值范围， 【详解】：∫(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2, “当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(-x)2=-x2,所以2f(x)=f(2x), 所以对任意的x∈[，t+2],有f(x+t)≥f(√2x)恒成立，因为f(x)在R上单调递增， x+t≥2x,即t≥(N2-1小x恒成立，t≥(V2-1)t+2),解得t≥√2，故选：A 8,已知函数fW=m2x中，其中p为实数，若)/经对xeR成立，且/月>()，则)的单调 递增区间是 A. kr-，kπ+四k∈Z) 3 B. 元k∈Z) 6 2 C. D. 3 kr-3.ks (ke2) 【答案】C 【分n】先山三角随数的最值得p着加或9=名+加低=列，再由写>1)得f)=m2x+)进 6 而可得单调增区间 【详解因为对任套xeR倍恒成立，所以周m行y1,则p=君+a或9=冬2(c2), 当p=名+2时，f)-m2x+则[月引号f()}合去). 6 即=m2x+） 令2x行s2x行2行，解得x名xx行，即时（的单调莲特区间是+若红+子依e刀： 2 6 3 故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)满足：Hx∈R都有f(1+x)+∫(1-x)=f(1),且f(2x)的图象关于直线x=1对称，若 a=-1付)则（) A.f(1)=0 B.f(x+1)是奇函数 c. D. 【答案】ABD 【分析】在己知式中令x=0求得fI),从而得出f(x)的图象关于点1，O)对称，再由已知得f(x)的图象关于直线 x=2对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项. 【详解】对A,x∈R都有f(1+x)+∫(1-x)=f1),令x=0得fI)+fI)=f),所以fI)=0,A正确： 对B,由选项A分析知f1+x)+f1-x)=0,所以f(x)的图象关于点L,0)对称， 从而f(x+1)的图象关于点(O,0)对称，所以f(x+1)是奇函数，B正确： 对C.f(2x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称，因此有f(2-x)=f(2+x), 由两个对称性得（为=-f兮=-f(兮=f(兮子，C错误： 对D,由以上分析得f(2+)=f(2-x)=-fL-(1-]=-f(x), 所以fx+4)=-fx+2)=f(x),所以f(x)是周期函数，4是其一个周期。 32宁f=f孕=孕-方0=0=0，f④=0=-0-1， 所以f+f+f+f孕+f孕+f9+f孕+f孕=0， 所》》川3-)+) 01- D正确。 13 故选：ABD 10.己知函数f(x)=sin2m+V3cos2m(o>0),则下列说法正确的是() A.若函数∫(x)的最小正周期为兀，则o=1 B.若0=1，则函数f(y在0上的最小值为-1 C. 若数f四在0 上单调递增，则0<@行 D.若函数f()在[0，上恰有两个零点，则<0≤ 6 3 【答案】AC 【分析】借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数图象及其性质逐项判断即可得. 【详解】f(x)=sin2wx+V3cos2aw=2sim2r+ 3 对A:T=江=π，解得@=1，故A正确： 20 对B:若w=1,则国=2sn(2x+写) 当时.2骨， 则f(x)mn=2si 4机=-5，故B错误： 对C:当xe0时，2ar+c[臣g +332+3 则有受+行受结合@>0，可得0<w兮放c正确 对D:当x∈[0，可时，2ax+∈[20元+ 331 3 则有2x<2ax+号江，解刊君0子放D借误 4 6 故选：AC 2-1-1,x≤0， 11.已知函数f(x)= 1 g(9=[孔+a叭文1，则() x+三-1，x>0, A.g(x)有4个不同零点的充要条件是a<0 B.a>0是g(x)没有零点的充分不必要条件 C.g(x)有2个不同零点的充要条件是a=0 D.存在a∈R,使得g(x)有3个不同零点 【答案】AC 分析)先作出函数图象，再结合方程g四)=V四F+矿)-1=0，得a子广了网，分类讨论计算求翻 2H-1-1,x≤0， 【详解】作出函数∫(x) 的大致图象如图所示： x+-1，x>0 x)4 y=f(x) 当f(x)=0时，g(x)=-1≠0 s0时，由g国)=+a四-1=0，得a/四 设)=1，则a=1,易知y=x为奇函数，且在区间(Q+)内单调莲减，其大致图象如图所示： 当a<0时，方程-t-a=0有两根，42，且-1<t<0,t2>1. 当-1<t<0时，f(x)=有两解x,x2,且<-1-1<x<0:当t2>1时，f()=t2有两解5，x4,且0<x3<1,x,>1. 当a=0时，方程-t-a=0有两根t,5,且5=-1,5，=1， 当=-1时，f(x)=-1,这时只存在x=-1一个解；当t2=1时，∫(x)=1,这时存在x2=1一个解 当a>0时，方程1-a=0有两根，5，且<-1,0<4，<1， 当t<-1时，f(x)=t,无解当0<t,<1时，f(x)=t2无解 综上，当a<0时，g(x)=[f(x)+a(x)-1有4个零点： 当a=0时，g(x)=[f(x)]+对(x)-1有2个零点： 当a>0时，g(x)=[f(x)+对(x)-1没有零点. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.己知x,x2分别是函数f(x)=e+x-2,8(x)=hx+x-2的零点，则1+nx,的值为 【答案】2 【分析】根据y=e与y=lnx的对称关系可知x+x,=2,由此可求得结果， 【详解】由题意知： e=2-x hx2=2-x2 x,x2分别为y=e*、y=hx与直线y=2-x交点的横坐标， :y=e*与y=lnx关于直线y=x对称，y=2-x关于直线y=x对称， 则由 y=2-x y=x “得： =16+5=2,c5+血。=2-5+2-名=4-(G+5)=2故答案为：2. x=1 13.已知a>0且a≠1，函数f=3cos+2a在区间(-3,0)的最小值为3，则f(y在区间(2,5)的最大值 2 a-a 为 【答案】-5 【分析】根据题意可得f(2-x)+f(x)=-2,利用对称性和单调性可得f(x)在区间(2,5)的最大值 【i详解1由f)=30s四+2江，则f2-对=3cos2-9+2a 2ta-a2=30os元- 0元-。+11=-3c0s+2 2 a-a 2a-1 所以f(2-x)+f)=-30os四2，寸3 cos22-2如 2a- 921-4d-1 =-2, 当2<x<5时，-3<2-x<0,所以f(x)=-2-f(2-x), 由于当-3<2-x<0时，f(2-mm=3,所以当2<x<5时，f()s=-2-f(2-)=-2-3=-5: 故答案为：-5 14.某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180,200,230,250,280， 300,320,350,380,400,则这组数据的第70百分位数是 【答案】335 【分析】根据百分位数的定义计算即可。 【详解】因为10x70%=7,所以这组数据的第70百分位数是320+350-335 2 故答案为：335 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知奇函数=a2 (a∈R). (1)求a的值： (2)若对于任意的x [117 22 不等式f(n2+x+m-)+f(x2-mx)≥0恒成立，求m的取值范围。 【答案】(1)a=2 (2)L,+∞）) 【分析】(1)先根据奇函数性质求得α=2，然后利用奇函数定义判定即可得解. (2)结合(1)根据指数函数单调性判断∫(x)是R上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为 二牛恒成立，分离带数令1-=1，则m≥ 2 --1 -「13 ≥ 恒成立，然后结合不等式的性质利用基本 x2-x+1 2'2 不等式求解最值即可 【详解】(1)由题意知f(x)的定义域为R, 又四是奇通数，所以0=a-1=a-2=0,解得a=2,此时/)=2-名 故f)=2-,4-2-22-21 1+2i+212-1 1+2*-fx), 所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以a=2 《2)因为y=2在定义域上单调递增，所以f)=a十在R上单调递增，又f)是R上的奇函数 所以f(x2+x+m-1)+f(x2-x)≥0等价于f(x2+x+-1)≥-f(x2-x), 即f(x2+x+-1)≥f(仁x2+x),所以x2+x+-1≥-x2+x, 面-x+12--+1,因为x-+1【-习+子0恒成 所以m≥-x+1 x2-x+1 故l -x-x+1-(g-x++20-9.-1+万 21-x) x2-x+1 x2-x+1 ”0-x)2-1-x)+1 令1-=，因为分所以 2, 「13 m21++1+1对于一切t 2'2 恒成立， 因为1+之≥2；2，当且仅当1=1时取等号，所以 2 t+-1 max 所以≥1，当且仅当x=0时取等号，即m的取值范围为[1，+o) 16.(15分)已知函数f(x)=2 sin @x- (o>0)的最小正周期为兀. 6 (1)若&∈ 的值； 12 (②)将函数f(x)的图象向右平移汇个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为gx),求函数y=g(x) 12 在[周 上的值域。 【答案】(a)0 10 2[0,2+V 【分析】(1)运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可： (2)运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可. 【详解】1)高数寸儿的最小正周期为，0-2，即/)=2加2x君 出@即2n如号则m红号 1-c0s2a- .sin2 6 1, 0- 12 2 10 由a- e/ox) 12 .'.sin &-12)尸10 a)由D知，f)=2如f2-副 其图象向右平移沿个单位后得到的幽象对应函数为y-2如m2x-霸引】 12 再向上平移2个单位得到的图象对应函数为y=2sn2x- +2,即g(x)=2sim2x- 3 2 当x∈ 时，2x- 33令t=2x- 2π兀 2兀兀 63 3 3 te 33” 则y=simt在区间-3 2π元 上单调递减，在区间23 兀兀 上单调递增 2 ..sin 0≤2sim2x-D+2≤2+V3 3 故函数y=g(x)在 6’3 上的值域为0,2+V3 17.（15分)水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱. (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱： (3)抽取若千箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量 平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量. 【省】a吊 (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差1427.27克2，平均数285.44克，预估平均质量为287.69克 【分析】(1)利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案： (2)利用分层抽样的定义进行求解： (3)根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量 【详解】(1)设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数m=C56-136x135=9180, 2 A事件的样本点的公式m=Ci2C4=3468, 所以P(4)=”=346812 n918045 (2)因为一级果箱数：二级果箱数=102：34=3：1， 所以8箱水果中有一级果抽取8×，3=6箱，二级果抽取8×=2箱： 3+1 3+1 (3)设一级果平均质量为x,方差为S,二级果质量为y,方差为S, 总体样本平均质量为三，方差为S2, 因为元=303.45，=240.41，S=603.46,S3=648.21, 所以：=、120 120+48 ×303.45+48 +120+48×240.41=285.44克， S2= 205s034660345-2854f1p094g[4s21+ea041-28s4的手12727克， 48 120+48 预估平均质量为品+站5=28769克， 136 18.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数) (I)若函数图象过点(L,1),对x∈R,y>0恒成立，求实数a的取值范围： (2)若函数图象过点(1,1)，对a∈[-2，-1]，y>0恒成立，求实数x的取值范围： 【答案】(1)3-2V2,3+25) 【分析】(1)由已知可得b=-1-a,由x∈R,y>0恒成立列出不等式求解即得. (2)由(x2-x)a-x+2>0对a∈[-2，-1]恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【详解】(1)依题意，a+b+2=1,即b=-1-a, 由x∈R,y>0恒成立，得a>0 1△=b2-8a<0' 即a-少-8a<0,整理得a+1<0 a>0 a>0 解得3-2√2<a<3+2√2 所以实数a的取值范围是(3-2W2,3+2√5) (2)由(1)知，b=-1-a, 由y>0,得ax2-(1+a)x+2>0,即(x2-x)a-x+2>0, 依题意，（x2-x)a-x+2>0对a∈[-2，-1]恒成立， 令g(d=(x-xa-x+2, 则对a∈[-2，-1刂，g(@>0恒成立，于是 8(-2)=-2x2+x+2>0 8(-1)=-x2+2>0 湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 3．已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．设函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（    ） A．300 B．360 C．420 D．450 7．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 11．已知函数，则（    ） A．有4个不同零点的充要条件是 B．是没有零点的充分不必要条件 C．有2个不同零点的充要条件是 D．存在，使得有3个不同零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 13．已知且，函数在区间的最小值为3，则在区间的最大值为 . 14．某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 16．（15分）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域. 17．（15分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 18．（17分）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 19．（17分）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得，由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件，故选：A 2．当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，或， 由，或，所以不等式的解是或，故选：A 3．已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算即可. 【详解】，，解得.故选：A. 4．设函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和分类求解． 【详解】若，则由得，即．∴． 若，则由得， 即∴，    ∴，即．综上可知，或．故选：C． 5．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B． 6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（    ） A．300 B．360 C．420 D．450 【答案】B 【分析】由题意，根据频率分布直方图得出高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例，再根据总人数是2000，即可求出人数得出答案. 【详解】由图可知，高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例是 ，故该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为，故选：B. 7．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性易得当时，，进而可得，根据题意对任意的，都有恒成立，结合函数单调性可解得的取值范围. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，所以， 所以对任意的，有恒成立，因为在上单调递增， ，即恒成立，，解得，故选：A. 8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意恒成立，所以，则或， 当时，，则（舍去）， 当时，，则，符合题意， 即， 令，解得，即的单调递增区间是；故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 【答案】AC 【分析】借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数图象及其性质逐项判断即可得. 【详解】， 对A：，解得，故A正确； 对B：若，则， 当时，， 则，故B错误； 对C：当时，， 则有，结合，可得，故C正确； 对D：当时，， 则有，解得，故D错误. 故选：AC. 11．已知函数，则（    ） A．有4个不同零点的充要条件是 B．是没有零点的充分不必要条件 C．有2个不同零点的充要条件是 D．存在，使得有3个不同零点 【答案】AC 【分析】先作出函数图象，再结合方程，得，分类讨论计算求解. 【详解】作出函数的大致图象如图所示： 当时，. 当0时，由，得， 设，则，易知为奇函数，且在区间内单调递减，其大致图象如图所示： 当时，方程有两根，，且. 当时，有两解，且；当时，有两解，，且. 当时，方程有两根，且1， 当时，，这时只存在一个解；当时，，这时存在一个解. 当时，方程有两根，且， 当时，，无解；当时，无解. 综上，当时，有4个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点. 故选:AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，，.故答案为：. 13．已知且，函数在区间的最小值为3，则在区间的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用对称性和单调性可得在区间的最大值. 【详解】由，则， 所以， 当时，，所以， 由于当时，，所以当时，； 故答案为： 14．某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是 . 【答案】335 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故答案为：335 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数性质求得，然后利用奇函数定义判定即可得解. （2）结合（1）根据指数函数单调性判断是上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为恒成立，分离常数令，则对恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 又是奇函数，所以，解得，此时， 故， 所以是定义域为的奇函数，所以. （2）因为在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又是上的奇函数， 所以等价于， 即，所以， 即，因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号，即m的取值范围为. 16．（15分）已知函数的最小正周期为. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可； （2）运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可. 【详解】（1）函数的最小正周期为，，即， 由，即，则， ，，， ， 由，. （2）由（1）知，， 其图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为， 再向上平移2个单位得到的图象对应函数为，即. 当时，，令，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即. . 故函数在上的值域为. 17．（15分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 18．（17分）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【详解】（1）依题意，，即， 由，恒成立，得， 即，整理得， 解得. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 19．（17分）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $