3.3垂径定理（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦垂径定理及推论，通过赵州桥主拱半径问题导入，衔接圆的对称性和圆心角、弧、弦关系的旧知，以折叠实验和几何证明推导定理，构建新旧知识衔接的学习支架。 其特色在于情境引入培养数学眼光，探究中折叠实验与逻辑证明发展数学思维，典例分析公路转弯半径、巩固练习窗户设计问题强化数学语言应用。小结“知二推三”助知识结构化，分层作业兼顾基础与探究。学生提升几何直观与应用能力，教师可高效备课。

北师大版·九年级下册 ✳3.3 垂径定理 第三章 圆 学 习 目 标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 知识回顾 1.圆即是 图形，也是 图形.其对称轴是任意一条过圆心的 .对称中心为 。 2.在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 ． 轴对称 中心对称 圆心 直线 同圆或等圆 相等 情境引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 如图，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ A B C D O M 议一议 新知探究 探究：垂径定理及其推论 这个图形是轴对称图形， 对称轴是直径CD所在的直线． 新知探究 （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 A B C D O M 线段: AM=BM 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 新知探究 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. A B C D O M 新知探究 垂径定理: 知识归纳 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 推导格式： 注意：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. A B C D O M 新知探究 判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. × × √ B O C D A O C D E 新知探究 1.如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm. · O A B E 解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴ 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm. 16 新知探究 想一想 如图，AB是☉O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B C D O M ③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 已知： ① CD是直径 ② AM=BM （2）分析： 可推得 △AOM≌△BOM （1）是轴对称图形，对称轴是直线CD所在的直线. 新知探究 ∴由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2）证明：连接AO,BO,则AO=BO, 又∵AE=BE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. A B C D O M 新知探究 垂径定理的推论: 知识归纳 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. · O A B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 新知探究 2.如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是 的中点，则∠MON的度数是(　　) A．100°  B．110° C．120°   D．130° D ∵OE⊥CD， ∴CF=CD=×600=300(m)， 根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2, R2=3002+(R-90)2 解得R=545, ∴这段弯路的半径约为545m. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 例1 ● O C D E F ┗ 典例分析 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 常用辅助线：连接半径，由半径、半弦长、弦心距构造直角三角形． 典例分析 如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 例2 解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB， ∴AE＝PE，BF＝PF， ∴EF是△ABP的中位线， ∴EF＝AB＝×10＝5(cm)． 巩固练习 基础巩固题 1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AE＝BE B.AD＝BD C.OE＝DE D.∠AOD＝∠BOD ⌒ ⌒ C 2.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm  　　　　B．3cm C．4cm  　　　　D．4cm D 巩固练习 基础巩固题 3.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( ) A.8cm B.5cm C.9cm D.12cm · O A B D 4.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　）A.（0，0） B.（2，-1） C.（0，1） D.（2，1） B D 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 )，点O是这段弧的圆心，C是 上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 巩固练习 基础巩固题 7.如图，☉O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . B A O P 250 3cm≤OP≤5cm 5.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= . 10 cm 巩固练习 基础巩固题 8.已知：☉O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 巩固练习 基础巩固题 9.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB于F，∴AF=AB=3m， ∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， ∴AO=r，OF=r-2， 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r=m． 即，AB所在圆O的半径为m． 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.（“知二推三”） 两条辅助线：连半径，作弦心距. 作业布置 1.必做题：习题3.3第1-3题。 2.探究性作业：习题3.3第4题。 感谢聆听! $