【解题模型】专题14万有引力定律及应用-2026高考物理

专题14万有引力定律及应用 模型总结 模型1 开普勒三定律 1 模型2 万有引力的计算 12 模型3 天体质量和密度的计算 21 模型4 卫星运行参数对比 31 模型1 开普勒三定律 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆　，太阳处在 椭圆　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 面积　相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的 三次方　跟它的公转周期的 二次方　的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．（2025·浙江杭州·一模）某人造月球卫星近月点高度为（为月球半径），远月点高度为，已知在月球表面附近的重力加速度为，忽略月球的自转，则（　　） A．卫星远月点速度大于近月点速度 B．从近月点运动到远月点，卫星机械能增加 C．该卫星的最小加速度为 D．该卫星的运动周期为 2．（2025·广东深圳·一模）开普勒定律不仅是对行星运动规律的精准总结，更将天文学从“定性描述”推向“定量分析”，为万有引力定律的形成提供了逻辑阶梯。一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（    ） A．公转周期约为36年 B．从远日点到近日点加速度逐渐减小 C．在近日点与在远日点线速度大小之比为 D．在近日点与在远日点加速度大小之比为49:25 3．（2025·河北衡水·三模）带电粒子绕着带电荷量为的场源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，场源电荷固定在椭圆左焦点上，带电粒子电荷量为（，且）；已知椭圆焦距为，半长轴为，场源电荷产生的电场中各点电势计算公式为（k为静电力常量，为到场源电荷的距离，取无穷远处电势为零）。只考虑电场力的作用。求： (1)带电粒子在、两点的速率之比； (2)从运动到的过程中，电场力对带电粒子做的功； (3)带电粒子动能与电势能之和的表达式。 4．（2025·河北衡水·三模）若将地球和金星的公转视为匀速圆周运动，公转轨道半径用表示，公转周期用表示，设，忽略行星自转影响，已知地球的第一宇宙速度约为，地球表面重力加速度。根据下表可判断下列说法正确的是（　　） 比值 轨道半径 星球质量 星球半径 金星/地球 0.72 0.82 0.95 A．金星表面的重力加速度约为 B．地球和金星公转对应的值相同 C．金星做圆周运动的线速度比地球的小 D．金星的第一宇宙速度约为 5．（2025·浙江·一模）科学家相信宇宙是和谐的，1766年，德国科学家提丢斯研究了下表中太阳系中各个行星的轨道半径（以AU为单位），他发现了一个规律，各行星到太阳的距离可近似用公式表示（其中n为正整数），但同时又注意到公式中，即AU的地方少了一颗行星，1801年后，科学家陆续发现这一区域存在大量小行星。假设所有行星的公转轨道近似可看作圆，下列说法正确的是（    ） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 轨道平均半径r/AU 0.39 0.72 1.00 1.52 5.20 9.54 A．小行星带处于木星与土星之间 B．水星离太阳最近，由此可知受太阳引力最大 C．火星的公转周期小于2年 D．金星公转的线速度与地球公转的线速度之比约为0.85 6．（2025·重庆南岸·模拟预测）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星的周期为2t1 B．卫星绕地球运行时机械能不守恒 C．卫星在近地点与远地点的速度之比为2∶1 D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为1∶4 7．（2025·浙江·一模）如图所示，卫星甲、乙、丙沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ绕某一星球转动。其中轨道Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，其半径分别为、。轨道Ⅱ为长轴长的椭圆轨道，与轨道Ⅰ切于点，与轨道Ⅲ交于点。下列说法正确的是（　　） A．卫星甲、乙、丙的绕行周期 B．卫星乙从A点运动到C点的过程中机械能增加 C．卫星乙在B点的向心加速度比卫星丙小 D．卫星乙的机械能与卫星丙一定相等 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，嫦娥六号在环月的椭圆轨道上运行，A为近月点，B为远月点，A到月心的距离为rA，嫦娥六号在A点的加速度大小为aA、线速度大小为vA；B到月心的距离为rB，嫦娥六号在B点的加速度大小为aB、线速度大小为vB；则下列关系错误的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·模拟预测）如图1所示，某人造卫星绕地球运动，所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，图2中的t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点的速度大小之比为3∶1 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为3∶1 C．地球的质量为 D．地球表面的重力加速度大小为 10．（2025·浙江嘉兴·一模）哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球围绕太阳的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，地球的公转周期为T0，则（　　） A．哈雷彗星的质量为 B．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为 C．无法得到哈雷彗星在近日点和远日点的速度大小之比 D．哈雷彗星的公转周期 模型2 万有引力的计算　 一、万有引力定律及重力加速度的理解 1．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝＝ (R－h) g＝ ＝ g＝ g＝－Rω 二、万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝mr。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）北京时间2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射后，成功进入近地点200公里、远地点363公里的预定轨道。已知地球第一宇宙速度为7.9km/s，则飞船在预定轨道上运行时，下列说法正确的是（　　） A．地球对飞船的万有引力为零 B．地球对飞船的万有引力大小保持不变 C．飞船的运行速度大小保持不变 D．飞船在远地点的速度小于7.9km/s 12．（2025·湖北恩施·一模）月球绕地球的公转、地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。已知太阳和地球的间距约为，月球和地球的间距约为，太阳的质量约为，地球的质量约为，月球的质量约为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动 B．月球对地球的引力约等于太阳对地球的引力 C．太阳对月球的引力远小于地球对月球的引力 D．太阳对月球的引力约为地球对月球的引力的两倍 13．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·广西·三模）我国发射的嫦娥四号成功在月球背面软着陆，实现了人类历史上首次月球背面软着陆与探测，为人类开发月球迈出坚实一步。太空船返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于太空船返回地球，已知地球质量约为月球的81倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为（　　） A．81：1 B．10： 9 C．9：1 D．9：10 15．（2025·陕西渭南·一模）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（　　） A．1∶180 B．180∶1 C．75000∶1 D．1∶75000 16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球静止卫星，b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 17．（2024·云南大理·一模）如图，赤道上空的三颗通信卫星就能实现全球通信，已知三颗卫星离地高度均为h，地球半径为R，地球静止卫星离地高度为，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．这三颗通信卫星受到地球的万有引力大小相等 B．能实现全球通信时，这三颗通信卫星离地高度至少为 C．恰好能实现全球通信时，这三颗通信卫星的周期均比地球静止卫星的周期小 D．恰好能实现全球通信时，这三颗通信卫星运行速度均小于第一宇宙速度 18．（2024·江苏·模拟预测）潮汐是发生在沿海地区海水周期性涨落的一种自然现象，主要是受月球对海水的引力而形成，导致地球自转持续减速，同时月球也会逐渐远离地球。如图所示，已知地球和月球的球心分别为O和OꞋ，A和B是地球上的两个海区，多年后，下列说法正确的是（　　） A．海区A的角速度小于海区B的角速度 B．地球赤道上的重力加速度会增大 C．月球绕地球做圆周运动的加速度会增大 D．地球的静止卫星距离地面的高度会减小 19．（2024·四川绵阳·一模）1994年发生了苏梅克-列维9号彗星与木星相撞事件，由于强大的引力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m的球体可视为质点，固定在长为L的轻质细杆两端。两球体在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的万有引力。关于杆上张力F随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（　　） A．L越大，F越小 B．ρ越大，F越小 C．m越大，F越小 D．h越大，F越小 20．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 模型3 天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 21．（2025·浙江台州·一模）在一次演习中，从赤道上的C点发射导弹，精确击中北极点N。取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在距离地心r处具有的引力势能为；物体在地球引力作用下作椭圆运动（椭圆的光学性质：经过焦点的光线经表面反射后会通过另一焦点）时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为，式中G为引力常量；已知地球质量为M，半径，要求发射所用的能量最少，则（　　） A．不考虑地球自转，当时，发射的能量最小 B．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度为 C．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度方向与夹角 D．考虑自转时，物体发射的最小速度大小为 22．（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，飞行器P绕某未知星体做匀速圆周运动。测得星体相对飞行器的张角为θ。为计算该星球的密度，还需要测量的物理量是（　　） A．星体的质量 B．星体的半径 C．飞行器运行的周期 D．飞行器的轨道半径 23．（2025·江苏南通·一模）牛顿著名的“月-地检验”证明了万有引力定律的普适性。某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度ω0，表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同。求 (1)地球的质量M； (2)相邻两次观察到月球的时间间隔t。 24．（2025·湖南湘西·一模）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障等阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由324km/h减小到0，历时60s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7000N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小g取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： (1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； (2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 25．（2025·湖南郴州·一模）因为太阳离地球比较远，并且比地球大得多，所以太阳光可以认为是平行光。某颗赤道正上方的卫星距离地球表面的高度等于地球半径R，在秋分这天太阳光直射赤道，该卫星上的黑夜时长为，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度比地球同步卫星小 B．该卫星的周期为 C．该卫星的角速度为 D．地球的密度为 26．（2025·陕西西安·模拟预测）2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·辽宁本溪·月考）“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 28．（2025·河北邯郸·模拟预测）“火卫一”围绕火星做匀速圆周运动，运动的周期为7.66小时，轨道距离火星表面的高度与火星半径之比为1.766，引力常量N·m2/kg2，则火星的平均密度约为（    ） A．kg/m3 B．kg/m3 C．kg/m3 D．kg/m3 29．（2025·陕西宝鸡·三模）“格利泽 581 g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20 亿光年（189.21 万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 30．（2025·河北·三模）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 的第一宇宙速度之比为 B．行星 M 和行星N 的第一宇宙速度之比为 C．行星 M 和行星N 的密度之比为 D．行星M 和行星N 的密度之比为 模型4 卫星运行参数对比 1.基本公式 (1)线速度大小：由G＝m得v＝。 (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。 (3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。 (4)向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3.人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。  ③高度固定不变，h＝3.6×107 m。 ④运行速率约为v＝3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 31．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，为地球近地卫星，为地球同步卫星，、两卫星的轨道均为圆周轨道。卫星轨道在近地点与卫星轨道相切，在远地点与卫星轨道相切。已知卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，则下列关于、、卫星运动的说法正确的是（    ） A．卫星的运动方向与地球自转方向可相同也可相反 B．卫星的周期约为 C．卫星的周期约为 D．两卫星相邻两次相距最近的时间间隔为 32．（2025·安徽合肥·模拟预测）我国近地小行星防御系统通过“监测—评估—干预”三位一体架构，力图避免小行星影响地球，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为和。下列说法正确的是（　　） A． B．卫星在轨道Ⅱ上b点的线速度小于在轨道Ⅲ上c点运行的线速度 C．卫星在轨道Ⅰ运行的周期约为24h D．卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能 33．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，赤道平面上靠近地表的某轨道上有一颗遥感卫星，其轨道半径为地球自转的周期为，遥感卫星绕地心转动的周期为T，卫星每隔时间经过赤道上同一点上方。已知卫星转动方向与地球自转方向相同。同步卫星轨道半径为、地球半径为则下列关系式正确的是（　　）    A． B． C． D． 34．（2025·天津河西·二模）太空电梯是一种设想中的交通工具，能够将人员和货物从地球表面直接运送到太空。如图是太空电梯的示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转；电梯轿厢可以沿着超级缆绳往返于空间站和基地之间。已知配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高。此时电梯轿厢正停在处。下列说法正确的是（　　） A．轿厢中的货物处于平衡状态 B．与天津广播电视塔相比，同步空间站绕地球运动的线速度更小 C．超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离的平方成反比 D．若从配重空间站脱落一个小物块，该物块脱落后做离心运动 35．（2025·山东·二模）我国近地小行星防御系统通过“监测—评估—干预”三位一体架构，力图避免小行星影响地球，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为和，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的点、点运行的线速度分别为、、、。下列说法正确的是（　　） A． B． C．卫星在轨道Ⅰ运行的周期约为24h D．卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能 36．（2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 37．（11-12高一下·河南信阳·期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行；c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有（　　） A．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g B．b在相同时间内转过的弧长最长 C．c在4h内转过的圆心角是 D．d的运行周期有可能是20h 38．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　）    A．卫星B的速度大小小于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为 C．B、C的向心加速度大小关系为 D．A、B、C周期大小关系为 39．（24-25高三下·湖北·阶段练习）2024年9月19日，我国在西昌卫星发射中心计划发射第五十九颗、第六十颗北斗导航卫星，至此北斗系统中已有多颗各种轨道的卫星。若卫星①为放在地球赤道上相对于地面静止的还未发射的卫星，卫星②为墨子号量子通信卫星（近似为圆轨道，高度约为500千米），卫星③为地球同步圆轨卫星，卫星④为四川省西昌市卫星发射中心卫星发射架上的卫星。若卫星①②③④相对于地心的线速度分别为，，，，运动的周期分别为，，，，角速度分别为，，，；动能为，，，；则（　　） A． B． C． D． 40．（2024·云南·模拟预测）我国于2024年11月9日11时39分在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将航天宏图卫星发射升空。示意图中a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近运行的航天宏图卫星，c为地球静止卫星。若A、B、C的运动均可看作匀速圆周运动，则（    ） A．向心加速度的大小关系为 B．向心加速度的大小关系为 C．角速度关系为 D．角速度关系为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14万有引力定律及应用 模型总结 模型1 开普勒三定律 1 模型2 万有引力的计算 12 模型3 天体质量和密度的计算 21 模型4 卫星运行参数对比 31 模型1 开普勒三定律 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆　，太阳处在 椭圆　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 面积　相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的 三次方　跟它的公转周期的 二次方　的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1．（2025·浙江杭州·一模）某人造月球卫星近月点高度为（为月球半径），远月点高度为，已知在月球表面附近的重力加速度为，忽略月球的自转，则（　　） A．卫星远月点速度大于近月点速度 B．从近月点运动到远月点，卫星机械能增加 C．该卫星的最小加速度为 D．该卫星的运动周期为 【答案】C 【详解】A．卫星在椭圆轨道上运行时，根据开普勒第二定律，近月点速度最大，远月点速度最小，故远月点速度小于近月点速度，故A错误； B．卫星仅受月球引力作用，机械能守恒，故从近月点到远月点机械能不变，故B错误； C．卫星经过远月点时所受万有引力最小，则加速度最小，故该卫星的最小加速度为 在月球表面有 联立解得，故C正确； D．假设贴近月球表面的圆轨道上有一卫星，设该卫星的周期为，则有 解得 卫星椭圆轨道的半长轴为，根据开普勒第三定律有 解得椭圆轨道周期，故D错误。 故选C。 2．（2025·广东深圳·一模）开普勒定律不仅是对行星运动规律的精准总结，更将天文学从“定性描述”推向“定量分析”，为万有引力定律的形成提供了逻辑阶梯。一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（    ） A．公转周期约为36年 B．从远日点到近日点加速度逐渐减小 C．在近日点与在远日点线速度大小之比为 D．在近日点与在远日点加速度大小之比为49:25 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律，公转周期满足，其中为轨道半长轴。小行星的近日点距离为，远日点距离为，半长轴 地球轨道半长轴为，周期为1年，因此小行星周期为 即，故A错误 B．根据万有引力提供向心力，则有 解得 从远日点到近日点，小行星与太阳的距离逐渐减小，因此加速度逐渐增大，故B错误； C．根据开普勒第二定律，线速度与距离满足 因此线速度之比为，故C错误； D．根据上述分析可知，加速度大小由决定，近日点加速度为 远日点为 加速度之比为，故D正确。 故选D。 3．（2025·河北衡水·三模）带电粒子绕着带电荷量为的场源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，场源电荷固定在椭圆左焦点上，带电粒子电荷量为（，且）；已知椭圆焦距为，半长轴为，场源电荷产生的电场中各点电势计算公式为（k为静电力常量，为到场源电荷的距离，取无穷远处电势为零）。只考虑电场力的作用。求： (1)带电粒子在、两点的速率之比； (2)从运动到的过程中，电场力对带电粒子做的功； (3)带电粒子动能与电势能之和的表达式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）类比开普勒第二定律可知 解得 （2）根据电势计算公式可得点的电势 点的电势 根据电场力做功与电势能的关系可知，带电粒子从运动到的过程中，电场力对带电粒子做的功 解得 （3）在点带电粒子动能与电势能之和 在点带电粒子动能与电势能之和 根据能量守恒可知 联立解得带电粒子动能与电势能之和 4．（2025·河北衡水·三模）若将地球和金星的公转视为匀速圆周运动，公转轨道半径用表示，公转周期用表示，设，忽略行星自转影响，已知地球的第一宇宙速度约为，地球表面重力加速度。根据下表可判断下列说法正确的是（　　） 比值 轨道半径 星球质量 星球半径 金星/地球 0.72 0.82 0.95 A．金星表面的重力加速度约为 B．地球和金星公转对应的值相同 C．金星做圆周运动的线速度比地球的小 D．金星的第一宇宙速度约为 【答案】BD 【详解】A．忽略行星自转影响，在行星表面，万有引力与重力相等，则 解得，故A错误； B．根据开普勒第三定律，中的值由中心天体（太阳）决定，地球和金星均绕太阳公转，故值相同，故B正确； C．根据万有引力提供向心力有，金星的轨道半径比地球小，因此其线速度更大，故C错误； D．第一宇宙速度公式为，金星与地球的第一宇宙速度之比为 代入地球的第一宇宙速度，得，故D正确。 故选BD。 5．（2025·浙江·一模）科学家相信宇宙是和谐的，1766年，德国科学家提丢斯研究了下表中太阳系中各个行星的轨道半径（以AU为单位），他发现了一个规律，各行星到太阳的距离可近似用公式表示（其中n为正整数），但同时又注意到公式中，即AU的地方少了一颗行星，1801年后，科学家陆续发现这一区域存在大量小行星。假设所有行星的公转轨道近似可看作圆，下列说法正确的是（    ） 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 轨道平均半径r/AU 0.39 0.72 1.00 1.52 5.20 9.54 A．小行星带处于木星与土星之间 B．水星离太阳最近，由此可知受太阳引力最大 C．火星的公转周期小于2年 D．金星公转的线速度与地球公转的线速度之比约为0.85 【答案】C 【详解】A．根据提丢斯公式，当时，，表格中火星轨道半径为1.52AU，木星为5.20AU，因此小行星带位于火星与木星之间，故A错误； B．太阳对行星的引力为，虽然水星的最小，但题目未提供行星质量数据，无法确定水星受引力最大，故B错误； C．根据开普勒第三定律，地球的，。火星的，代入得，小于2年，故C正确； D．根据万有引力提供向心力可得 解得，线速度与成正比。金星，地球，则，故D错误。 故选C。 6．（2025·重庆南岸·模拟预测）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星的周期为2t1 B．卫星绕地球运行时机械能不守恒 C．卫星在近地点与远地点的速度之比为2∶1 D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为1∶4 【答案】C 【详解】A．由图可知，卫星的周期为t1，A错误； B．卫星绕地球运行时只有地球引力做功，则机械能守恒，B错误； C．根据卫星在近地点与远地点受万有引力之比为4:1，可知在近地点与远地点到地心的距离之比为1:2，根据开普勒第二定律可知 则卫星在近地点与远地点的速度之比为，C正确； D．根据 可得 则卫星在近地点与远地点的加速度之比为4:1，D错误。 故选C。 7．（2025·浙江·一模）如图所示，卫星甲、乙、丙沿轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ绕某一星球转动。其中轨道Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，其半径分别为、。轨道Ⅱ为长轴长的椭圆轨道，与轨道Ⅰ切于点，与轨道Ⅲ交于点。下列说法正确的是（　　） A．卫星甲、乙、丙的绕行周期 B．卫星乙从A点运动到C点的过程中机械能增加 C．卫星乙在B点的向心加速度比卫星丙小 D．卫星乙的机械能与卫星丙一定相等 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，因，可知卫星甲、乙、丙的绕行周期，A错误；     B．卫星乙从A点运动到C点的过程中，只有地球引力做功，则机械能守恒，B错误； C．根据 可得 可知乙、丙两卫星在B点的加速度相等，但是由于丙做匀速圆周运动，则在B点的向心加速度等于B点的加速度；而乙在B点的加速度等于切线加速度和向心加速度的矢量和，可知卫星乙在B点的向心加速度比卫星丙小，C正确； D．卫星乙和丙的质量关系不确定，则不能比较卫星乙和丙的机械能大小关系，D错误。 故选C。 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，嫦娥六号在环月的椭圆轨道上运行，A为近月点，B为远月点，A到月心的距离为rA，嫦娥六号在A点的加速度大小为aA、线速度大小为vA；B到月心的距离为rB，嫦娥六号在B点的加速度大小为aB、线速度大小为vB；则下列关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．根据题意，由牛顿第二定律有 解得 由于，则有，故A正确； B．从近地点A向远地点B运动过程中，引力做负功，动能减小，速度减小，则有，故B正确； C．结合上述分析可知 由于，则有，故C正确； D．根据开普勒第二定律可知，故D错误。 本题选错误的，故选D。 9．（2025·湖南·模拟预测）如图1所示，某人造卫星绕地球运动，所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，图2中的t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点的速度大小之比为3∶1 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为3∶1 C．地球的质量为 D．地球表面的重力加速度大小为 【答案】A 【详解】A．设近地点到地心的距离为，远地点到地心的距离为，根据万有引力公式可得卫星在近地点时，有， 星在远地点时，有 解得 根据开普勒第二定律，卫星在近地点与远地点时， 可知近地点与远地点的速度之比为，故A正确； B．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知卫星在近地点与远地点的加速度之比为9∶1，故B错误； C．由已知条件知近地点到地心的距离为 由图可知，卫星的周期为，该卫星的半长轴为4R，结合开普勒第三定律知 解得，故C错误； D．由万有引力等于重力，有 解得，故D错误。 故选A。 10．（2025·浙江嘉兴·一模）哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，若地球围绕太阳的公转轨道可视为半径为r的圆轨道，地球的公转周期为T0，则（　　） A．哈雷彗星的质量为 B．哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为 C．无法得到哈雷彗星在近日点和远日点的速度大小之比 D．哈雷彗星的公转周期 【答案】B 【详解】A．根据题中条件无法求解哈雷彗星的质量，A错误； B．根据 可得 哈雷彗星在近日点与远日点的加速度大小之比为，B正确； C．根据开普勒第二定律，则 可得哈雷彗星在近日点和远日点的速度大小之比，C错误； D．根据开普勒第三定律 可得哈雷彗星的公转周期，D错误。 故选B。 模型2 万有引力的计算　 一、万有引力定律及重力加速度的理解 1．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝＝ (R－h) g＝ ＝ g＝ g＝－Rω 二、万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝mr。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）北京时间2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射后，成功进入近地点200公里、远地点363公里的预定轨道。已知地球第一宇宙速度为7.9km/s，则飞船在预定轨道上运行时，下列说法正确的是（　　） A．地球对飞船的万有引力为零 B．地球对飞船的万有引力大小保持不变 C．飞船的运行速度大小保持不变 D．飞船在远地点的速度小于7.9km/s 【答案】D 【详解】A．飞船绕地球运行由万有引力提供向心力，引力不可能为零，故A错误； B．万有引力公式为，椭圆轨道上飞船与地心的距离变化，故引力大小变化，B错误； C．根据开普勒第二定律，飞船在近地点速度最大，远地点速度最小，速度大小变化，C错误； D．第一宇宙速度是近地圆轨道的最大环绕速度。飞船在远地点的轨道半径大于地球半径，其速度小于该处对应圆轨道的速度，根据 可知 该处圆轨道速度又小于7.9km/s，则飞船在远地点的速度小于7.9km/s，故D正确。 故选D。 12．（2025·湖北恩施·一模）月球绕地球的公转、地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。已知太阳和地球的间距约为，月球和地球的间距约为，太阳的质量约为，地球的质量约为，月球的质量约为。下列说法正确的是（　　） A．月球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动 B．月球对地球的引力约等于太阳对地球的引力 C．太阳对月球的引力远小于地球对月球的引力 D．太阳对月球的引力约为地球对月球的引力的两倍 【答案】D 【详解】A．月球绕地球做匀速圆周运动，同时随地球绕太阳运动，月球绕太阳的运动是两种运动的合运动，不能简单视为匀速圆周运动，故A错误； B．根据万有引力表达式 代入题中数据，可知 故月球对地球的引力仅为太阳对地球引力的约0.568%，远小于后者，故B错误； C．结合B选项，代入题中数据，可知 太阳对月球的引力是地球对月球引力的约2.14倍，而非远小于，故C错误； D．由上述计算可知，太阳对月球的引力约为地球引力的2.14倍，接近两倍，故D正确。 故选D。 13．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，根据万有引力定律可得， 联立可得 故选B。 14．（2025·广西·三模）我国发射的嫦娥四号成功在月球背面软着陆，实现了人类历史上首次月球背面软着陆与探测，为人类开发月球迈出坚实一步。太空船返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于太空船返回地球，已知地球质量约为月球的81倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为（　　） A．81：1 B．10： 9 C．9：1 D．9：10 【答案】C 【详解】设太空舱质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，地球质量为81m0，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，由万有引力定律和力的平衡有： 可得 故选C。 15．（2025·陕西渭南·一模）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（　　） A．1∶180 B．180∶1 C．75000∶1 D．1∶75000 【答案】B 【详解】设月球质量为M，则太阳质量为，地球到月球的距离为r，则太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力 则太阳对海水的引力 则 故选B。 16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球静止卫星，b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 【答案】C 【详解】由于两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律，可知 可知a、b卫星的轨道半径之比为 根据万有引力定律，可知a、b卫星受地球的引力大小之比为 可知，b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的16倍。 故选C 。 17．（2024·云南大理·一模）如图，赤道上空的三颗通信卫星就能实现全球通信，已知三颗卫星离地高度均为h，地球半径为R，地球静止卫星离地高度为，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．这三颗通信卫星受到地球的万有引力大小相等 B．能实现全球通信时，这三颗通信卫星离地高度至少为 C．恰好能实现全球通信时，这三颗通信卫星的周期均比地球静止卫星的周期小 D．恰好能实现全球通信时，这三颗通信卫星运行速度均小于第一宇宙速度 【答案】CD 【详解】A．三颗通信卫星离地高度均为h，但质量不一定相同，根据可知三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小不一定相等，A错误； B．刚好覆盖地球，则每颗卫星覆盖120°，根据几何关系可得轨道半径为地球半径的2倍，卫星离地高度至少R，B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得 根据上面分析，恰好能实现全球通信时， 半径越小，周期越小，可知这三颗通信卫星的周期均比地球静止卫星的周期小，C正确； D．根据万有引力提供向心力 可得 半径越大，线速度越小，三颗通信卫星离地至少R，小于第一宇宙速度即环绕速度，D正确。 选CD。 18．（2024·江苏·模拟预测）潮汐是发生在沿海地区海水周期性涨落的一种自然现象，主要是受月球对海水的引力而形成，导致地球自转持续减速，同时月球也会逐渐远离地球。如图所示，已知地球和月球的球心分别为O和OꞋ，A和B是地球上的两个海区，多年后，下列说法正确的是（　　） A．海区A的角速度小于海区B的角速度 B．地球赤道上的重力加速度会增大 C．月球绕地球做圆周运动的加速度会增大 D．地球的静止卫星距离地面的高度会减小 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，A和B是地球上的两个海区，角速度与地球自转角速度相同，则海区A的角速度等于海区B的角速度，故A错误； B．根据题意，对地球赤道上的物体有 地球自转持续减速，周期变大，可得，地球赤道上的重力加速度会增大，故B正确； C．由万有引力提供向心力有 由于月球逐浙远离地球，增大，则月球绕地球做圆周运动的加速度会减小，故C错误； D． 解得 由于地球自转周期变大，则地球的静止卫星距离地面的高度会增大，故D错误。 故选B。 19．（2024·四川绵阳·一模）1994年发生了苏梅克-列维9号彗星与木星相撞事件，由于强大的引力潮汐效应，相撞前彗星被撕裂为二十几块。如图所示的简化模型能解释引力潮汐效应。质量分布均匀的球状行星半径为R、密度为ρ，两质量均为m的球体可视为质点，固定在长为L的轻质细杆两端。两球体在行星引力作用下自由下落，杆一直沿竖直方向，某时刻下端球体与行星表面间距离为h，忽略两球间的万有引力。关于杆上张力F随上述中的一个物理量变化的情况，下列说法正确的是（　　） A．L越大，F越小 B．ρ越大，F越小 C．m越大，F越小 D．h越大，F越小 【答案】D 【详解】设行星质量为，有，对杆下端的球体有 对杆上端的球体有 得 可知L越大，F越大，A错误；ρ越大，越大，F越大，B错误；m越大，F越大，C错误；h越大，F越小，D正确。 故选D。 20．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量 所以 故选D。 模型3 天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 21．（2025·浙江台州·一模）在一次演习中，从赤道上的C点发射导弹，精确击中北极点N。取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在距离地心r处具有的引力势能为；物体在地球引力作用下作椭圆运动（椭圆的光学性质：经过焦点的光线经表面反射后会通过另一焦点）时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为，式中G为引力常量；已知地球质量为M，半径，要求发射所用的能量最少，则（　　） A．不考虑地球自转，当时，发射的能量最小 B．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度为 C．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度方向与夹角 D．考虑自转时，物体发射的最小速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到点，则此椭圆一定位于过地心、北极点和赤道上的发射点组成的平面内，因此导弹的发射速度(初速度)必须也在此平面内，地心是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的、两点到焦点的距离相等，故椭圆的长轴是过点垂直的直线，即图上的直线，椭圆的另一焦点必在上。已知质量为的物体在质量为的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 (无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴的关系为……① 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为，现点到一个焦点的距离是定值，等于地球的半径，只要位于长轴上的另一焦点到的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于到的垂线的垂足处时，到该焦点的距离必最小。由几何关系可知……② 设发射时导弹的速度为，则有……③ 联立①②③，解得……④ 由②可知时，发射能量最少，A错误，B正确。 C．速度的方向在点与椭圆轨道相切，根据椭圆知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角，从图中可以看出，速度方向与的夹角，C正确。 D．由地球附近的物体受到的万有引力近似等于物体受到的重力，有……⑤ 联立④⑤两式，代入数据解得……⑥ 由于地球绕通过的轴自转，在赤道上点相对地心的速度为……⑦ 所以在地球自转的情况下，导弹发射的最小速度为，D错误。 故选BC。 22．（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，飞行器P绕某未知星体做匀速圆周运动。测得星体相对飞行器的张角为θ。为计算该星球的密度，还需要测量的物理量是（　　） A．星体的质量 B．星体的半径 C．飞行器运行的周期 D．飞行器的轨道半径 【答案】C 【详解】根据几何关系，可得星体半径R与轨道半径r的关系为 根据万有引力提供向心力有 解得 则星体的密度为 联立解得 故选C。 23．（2025·江苏南通·一模）牛顿著名的“月-地检验”证明了万有引力定律的普适性。某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度ω0，表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同。求 (1)地球的质量M； (2)相邻两次观察到月球的时间间隔t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体在地球表面受到的重力与引力近似相等 解得地球质量 （2）设月球公转角速度ω，有 解得 相邻两次观察到月球            所以相邻两次观察到月球的时间间隔 24．（2025·湖南湘西·一模）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障等阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由324km/h减小到0，历时60s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7000N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小g取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： (1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； (2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【答案】(1)，2700m (2)1750kg 【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为0，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式，有 代入题给数据得 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式，有 可得 （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有， 可得 由力的平衡条件有 可得 25．（2025·湖南郴州·一模）因为太阳离地球比较远，并且比地球大得多，所以太阳光可以认为是平行光。某颗赤道正上方的卫星距离地球表面的高度等于地球半径R，在秋分这天太阳光直射赤道，该卫星上的黑夜时长为，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度比地球同步卫星小 B．该卫星的周期为 C．该卫星的角速度为 D．地球的密度为 【答案】D 【详解】A．该卫星的轨道半径，地球同步卫星的轨道半径约为，由，得，轨道半径越大，卫星的线速度越小，故该卫星的线速度比地球同步卫星大，故A错误； B．由几何关系可知，该卫星上的黑夜时卫星与地球中心连线扫过的圆心角为，黑夜时长为，该卫星的周期为，故B错误； C．该卫星的角速度，故C错误； D．由万有引力提供向心力， 整理得 地球的密度，故D正确。 故选D。 26．（2025·陕西西安·模拟预测）2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当星体表面物质恰好不被离心力瓦解时，万有引力提供向心力。设星体质量为，半径为，密度为，表面物体质量为，则有 变化得 根据球体体积公式以及质量与密度的关系可得星体质量为 联立上式可得 解得密度为 根据题意可知， 则星体的密度最小值约为 故选C。 27．（25-26高三上·辽宁本溪·月考）“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 【答案】D 【详解】AB．小球竖直上抛最高点的位移为，时间为，根据 可得火星表面的重力加速度为 小球的初速度为 故AB错误； C．根据 可得第一宇宙速度的表达式为 可得第一宇宙速度之比为 地球的第一宇宙速度为7.9km/s，可得火星的第一宇宙速度约为，故C错误； D．根据黄金代换 又 可知星球密度为 火星与地球密度比为，故D正确。 故选D。 28．（2025·河北邯郸·模拟预测）“火卫一”围绕火星做匀速圆周运动，运动的周期为7.66小时，轨道距离火星表面的高度与火星半径之比为1.766，引力常量N·m2/kg2，则火星的平均密度约为（    ） A．kg/m3 B．kg/m3 C．kg/m3 D．kg/m3 【答案】A 【详解】火卫一绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 消去m后得火星质量 根据 火星的平均密度 已知轨道半径 计算得 故选A。 29．（2025·陕西宝鸡·三模）“格利泽 581 g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20 亿光年（189.21 万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 【答案】BD 【详解】A．由于物体在星球表面上飞行时有 解得 由于7.9km/s是地球表面的物体运行的速度，所以行星与地球的第一宇宙速度之比为 可知飞船在Gliese581g表面附近运行时的速度为，它大于7.9km/s，故A错误； B．由于物体在星球上受到万有引力，则有 则星球的质量 星球的密度 解得 可见，星球的密度与其半径成反比，由于行星的半径与地球的半径之比为2:1，所以它们的密度之比为1:2，故B正确； C．由上可知星球的质量 所以星球的质量与其半径的平方成正比，即该行星与地球的质量之比为4:1，故C错误； D．由于该行星是在太阳系之外的，故需要飞出太阳系，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，即16.7km/s，故D正确。 故选BD。 30．（2025·河北·三模）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 的第一宇宙速度之比为 B．行星 M 和行星N 的第一宇宙速度之比为 C．行星 M 和行星N 的密度之比为 D．行星M 和行星N 的密度之比为 【答案】AC 【详解】AB．根据自由落体运动 可知图像的斜率表示该行星表面重力加速度的一半，有 根据 可得第一宇宙速度为，行星 M 和行星N 的第一宇宙速度之比为，故A正确，B错误； CD．由， 可得，行星 M 和行星N 的密度之比为，故C正确，D错误。 故选 AC。 模型4 卫星运行参数对比 1.基本公式 (1)线速度大小：由G＝m得v＝。 (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。 (3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。 (4)向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 2.“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3.人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。  ③高度固定不变，h＝3.6×107 m。 ④运行速率约为v＝3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。 31．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，为地球近地卫星，为地球同步卫星，、两卫星的轨道均为圆周轨道。卫星轨道在近地点与卫星轨道相切，在远地点与卫星轨道相切。已知卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，则下列关于、、卫星运动的说法正确的是（    ） A．卫星的运动方向与地球自转方向可相同也可相反 B．卫星的周期约为 C．卫星的周期约为 D．两卫星相邻两次相距最近的时间间隔为 【答案】BC 【详解】A．为地球同步卫星，所以卫星的运动方向与地球自转方向一定相同，故A错误； BC．设地球半径为，根据开普勒第三定律可得 由于为地球同步卫星，周期为，解得， 故BC正确； D．设两卫星相邻两次相距最近的时间间隔为，则有 解得，故D错误。 故选BC。 32．（2025·安徽合肥·模拟预测）我国近地小行星防御系统通过“监测—评估—干预”三位一体架构，力图避免小行星影响地球，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为和。下列说法正确的是（　　） A． B．卫星在轨道Ⅱ上b点的线速度小于在轨道Ⅲ上c点运行的线速度 C．卫星在轨道Ⅰ运行的周期约为24h D．卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能 【答案】D 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知同步轨道的角速度小于近地轨道的角速度，而地球自转的角速度和同步轨道的角速度相同，则有 故A错误； B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知卫星在轨道Ⅰ运行的线速度大于在轨道Ⅲ运行的线速度，又由于卫星在轨道Ⅰ上b点需要点火加速进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅱ上b点的线速度大于在轨道Ⅲ上c点运行的线速度，故B错误； C．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知卫星在轨道Ⅰ运行的周期小于同步轨道Ⅲ的运行周期，即卫星在轨道Ⅰ运行的周期小于24h，故C错误； D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在b点点火加速，卫星的机械能增加；卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在c点点火加速，卫星的机械能增加；所以卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能，故D正确。 故选D。 33．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，赤道平面上靠近地表的某轨道上有一颗遥感卫星，其轨道半径为地球自转的周期为，遥感卫星绕地心转动的周期为T，卫星每隔时间经过赤道上同一点上方。已知卫星转动方向与地球自转方向相同。同步卫星轨道半径为、地球半径为则下列关系式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．根据 可得 地球自转周期也为同步轨道周期，则同步轨道卫星与近地卫星满足， 故A错误，B正确； CD．卫星连续两次经过赤道上某点的时间间隔满足 即，故D正确，C错误。 故选BD。 34．（2025·天津河西·二模）太空电梯是一种设想中的交通工具，能够将人员和货物从地球表面直接运送到太空。如图是太空电梯的示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转；电梯轿厢可以沿着超级缆绳往返于空间站和基地之间。已知配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高。此时电梯轿厢正停在处。下列说法正确的是（　　） A．轿厢中的货物处于平衡状态 B．与天津广播电视塔相比，同步空间站绕地球运动的线速度更小 C．超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离的平方成反比 D．若从配重空间站脱落一个小物块，该物块脱落后做离心运动 【答案】D 【详解】A．轿厢停在P处，则轿厢相对于地球表面是静止的，即轿厢及其中的货物随地球同步旋转，则轿厢中的货物所受合力提供货物做圆周运动的向心力，轿厢中的货物不是平衡状态，故A错误； B．同步空间站位于地球同步轨道上，天津广播电视塔与同步空间站具有共同的角速度，同步空间站轨道高度远高于天津广播电视塔，根据线速度公式 ，由于同步空间站的轨道半径更大，则其线速度也更大，故B错误； C．根据向心加速度公式 ，则加速度与轨道半径成正比，即超级缆绳上各点的加速度与该点到地球球心的距离成正比，故C错误； D．配重空间站的轨道比静止卫星的轨道更高，则其轨道绕转速度小于地球同步轨道的绕转速度，而此时配重空间站随地球同步旋转，其速度大于其所在轨道的绕转速度，如果物块从配重空间站脱落，因此会做离心运动，故D正确； 故选D。 35．（2025·山东·二模）我国近地小行星防御系统通过“监测—评估—干预”三位一体架构，力图避免小行星影响地球，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的点拦截小行星进行干预，已知地球自转的角速度为，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为和，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的点、点运行的线速度分别为、、、。下列说法正确的是（　　） A． B． C．卫星在轨道Ⅰ运行的周期约为24h D．卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能 【答案】D 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知同步轨道的角速度小于近地轨道的角速度，而地球自转的角速度和同步轨道的角速度相同，则有 故A错误； B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知；又由于卫星在c点加速后进入轨道Ⅲ，则有；又由于卫星在b点加速后进入轨道Ⅱ，则有；综上分析可知，故B错误； C．卫星绕地球做匀速圆周运动，由 可得 可知卫星在轨道Ⅰ运行的周期小于同步轨道Ⅲ的运行周期，即卫星在轨道Ⅰ运行的周期小于24h，故C错误； D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在b点点火加速，卫星的机械能增加；卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在c点点火加速，卫星的机械能增加；所以卫星在轨道Ⅲ的机械能大于在轨道Ⅰ的机械能，故D正确。 故选D。 36．（2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故AB错误； CD．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故C错误，D正确。 故选D。 37．（11-12高一下·河南信阳·期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行；c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有（　　） A．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g B．b在相同时间内转过的弧长最长 C．c在4h内转过的圆心角是 D．d的运行周期有可能是20h 【答案】B 【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a=ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由万有引力产生向心加速度 解得 由此式可知，b的向心加速度近似等于g，且卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误； B．根据 可得 可知bcd中b的线速度最大，ac比较根据v=ωr，可知c的线速度大于a，四个卫星中b线速度最大，可知b在相同时间内转过的弧长最长，选项B正确； C．因c的周期为24h，则c在4h内转过的圆心角是 选项C错误； D．由开普勒第三定律得可知：卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，故D错误。 故选B。 38．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　）    A．卫星B的速度大小小于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为 C．B、C的向心加速度大小关系为 D．A、B、C周期大小关系为 【答案】AD 【详解】A．第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大的环绕速度，由于卫星B的轨道半径大于地球的半径，则卫星B的速度小于地球的第一宇宙速度，故A正确； B．A、C具有相等的角速度，根据，可得 对于B、C，根据万有引力提供向心力有 则 所以 故 故B错误； C．对于B、C，根据万有引力提供向心力有 可得 故C错误； D．A、C的角速度相等，则A、C的周期相等，根据万有引力提供向心力有，可得 故 故D正确。 故选AD。 39．（24-25高三下·湖北·阶段练习）2024年9月19日，我国在西昌卫星发射中心计划发射第五十九颗、第六十颗北斗导航卫星，至此北斗系统中已有多颗各种轨道的卫星。若卫星①为放在地球赤道上相对于地面静止的还未发射的卫星，卫星②为墨子号量子通信卫星（近似为圆轨道，高度约为500千米），卫星③为地球同步圆轨卫星，卫星④为四川省西昌市卫星发射中心卫星发射架上的卫星。若卫星①②③④相对于地心的线速度分别为，，，，运动的周期分别为，，，，角速度分别为，，，；动能为，，，；则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】ABC．依题意，这四颗卫星的轨道半径关系为 卫星①③④的角速度、周期与地球自转角速度、正确相同，即， 由 可得 卫星②③均为地球卫星，根据 可得，， 即轨道半径越大，角速度和线速度越小，周期越长，则有，， 综上所述，可得，， 故AB错误；C正确； D．卫星动能 由于卫星质量未知，所以四颗卫星的动能关系不确定，故D错误。 故选C。 40．（2024·云南·模拟预测）我国于2024年11月9日11时39分在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将航天宏图卫星发射升空。示意图中a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近运行的航天宏图卫星，c为地球静止卫星。若A、B、C的运动均可看作匀速圆周运动，则（    ） A．向心加速度的大小关系为 B．向心加速度的大小关系为 C．角速度关系为 D．角速度关系为 【答案】A 【详解】AB．因a，c有相同的角速度，由 得 对b和c，由万有引力提供向心力，有 得 因为 可知 即 A正确，B错误； CD．卫星c为地球静止卫星，所以 则 对于b和c，由万有引力提供向心力，有 得 因为 可知 即 CD错误。 故选A。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $