【解题模型】专题12火车转弯模型和圆锥摆模型-2026高考物理

专题12火车转弯模型和圆锥摆模型 模型总结 模型1 常见的三种传动方式 1 模型2 火车转弯模型 9 模型3 圆锥摆模型 19 模型4 离心现象 31 模型1 常见的三种传动方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 1．（2025·湖北恩施·一模）如图所示，汽车转弯时，四个车轮的轮轴延长线交于同一点。已知四个车轮的规格完全相同，且转弯时车轮不打滑，则汽车转弯时，四个车轮的（　　） A．轮轴绕点运动的线速度大小相等 B．轮轴绕点运动的角速度大小相等 C．边缘绕轮轴转动的线速度大小相等 D．边缘绕轮轴转动的角速度大小相等 【答案】B 【详解】AB．汽车转弯时，四个车轮轮轴绕点做圆周运动，属于同轴转动，同轴转动的各点角速度大小相等，四个车轮轮轴绕点运动的半径不同，根据，角速度相等时，半径不同则线速度大小不相等， A错误，B正确； C．由于四个车轮规格完全相同且不打滑，但它们绕点运动的半径不同，线速度不同，所以边缘绕轮轴转动的线速度大小不相等，故 C错误； D．根据这里是车轮边缘相对轮轴的线速度，线速度不同，半径相同车轮规格相同，所以边缘绕轮轴转动的角速度大小不相等， 故D错误。 故选B。 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）图（a）为古代战争中使用的一种投石机。图（b）为投石机的简化模型，长臂末端的弹袋与转轴相距，短臂末端处有质量很大的重物，其重心与点相距。在一次投石过程中，将一块可视为质点的石块放在弹袋中，短臂端重物在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。取。在转动过程中，石块与重物线速度大小之比为，角速度大小之比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．石块与重物属于同轴转动，角速度相同，故石块与重物线速度大小之比，故A错误，B正确； CD．由以上分析可知石块与重物的角速度相同，故二者角速度大小之比，故CD错误。 故选B。 3．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示为自行车传动装置的简易图，a为大齿轮边缘的点，c为小齿轮边缘的点，b为后轮辐条上的点。已知a、b、c三点做圆周运动的半径之比为2:2:1，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为1:2:1 B．a、b、c三点的角速度之比为2:1:1 C．a、b、c三点的周期之比为1:2:2 D．a、b、c三点的向心加速度之比为1:4:1 【答案】A 【详解】AB．b、c两点同轴转动，角速度相等，即 a、c两点链条传动，线速度大小相等，即 根据线速度与角速度的关系 可得， 所以a、b、c三点的线速度之比为1:2:1，角速度之比为1:2:2，故A正确，B错误； C．根据角速度与周期的关系 可得，a、b、c三点的周期之比为2:1:1，故C错误； D．根据向心加速度与角速度的关系 可得，a、b、c三点的向心加速度之比为1:4:2，故D错误。 故选A。 4．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，半径为R的圆盘在竖直平面内绕O轴匀速转动，角速度为ω。圆盘表面粘有A、B两小球，圆心O和A、B位置三点共线，且OA=AB=。当B球运动至最低位置时，两球会同时脱落，调节圆心O离地的高度H，发现两球落到水平地面上同一点P。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若仅增大角速度ω，两球一定落到P右侧水平地面上的同一点 B．若同时增大角速度ω和增大高度H，两球可能落到P右侧水平地面上的同一点 C．若同时增大角速度ω和减小高度H，两球可能落到P左侧水平地面上的同一点 D．若同时增大角速度ω和减小高度H，两球可能都落到P点 【答案】A 【详解】由题知，A、B两球同轴转动，具有相同的角速度，设抛出时A球的线速度为v，则B球的线速度为2v，平抛时间分别为tA和tB，水平位移为x，对A、B两球，根据平抛运动规律有，，， 联立解得 故两球落到同一点对应的H是确定的，水平位移为x正比于角速度，故若仅增大角速度，两球一定落到P右侧水平地面上的同一点。 故选A。 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示为星系齿轮的机构图，一半径为的中心齿轮和四个半径均为的卫星齿轮嵌套在半径为的轨道圆环内，在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动，带动卫星齿轮和轨道圆环转动，下列说法正确的是（　　） A．中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等 B．中心齿轮自转一圈，卫星齿轮也刚好自转一圈 C．中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘各点的向心加速度的比值为 D．卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈 【答案】AC 【详解】A．中心齿轮与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等，A项正确； B．由可得中心齿轮与卫星齿轮的角速度与各自半径成反比，不能同时自转一圈，B项错误； C．向心加速度，相同，则，C项正确； D．设卫星齿轮自转圈才绕轨道圆环转动一圈，应有 解得，D项错误。 故选AC。 6．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，跷跷板转动时，跷跷板上的P、Q两点的角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AC．点P、Q绕着同一个点转动，故相同时间转过的角度相等，则角速度相等，即 故A正确，C错误； BD．由于转动半径大小关系未知，所以不能确定线速度大小关系，故BD错误。 故选A。 7．（24-25高一下·广东佛山·期中）无级变速汽车变速箱的工作原理可以简化为如图所示的装置，两个相同锥体A、B水平放置，它们的中心轴分别与动力输入端和动力输出端连接，动力输入端的中心轴带动锥体A转动，锥体A带动钢带转动的同时，钢带在锥体上前后移动，带动动力输出端B转速改变，实现汽车变速。a、b是锥体上与钢带接触的两动点，不计钢带的形变且钢带所在的平面始终与两中心轴垂直，若保持动力输入端中心轴转速不变，则钢带由后向前运动的过程中（　　） A．动点a、b的线速度相等且逐渐减小 B．锥体B的转速增大 C．汽车在减速 D．任意时刻动点a、b的向心加速度都相同 【答案】B 【详解】A．根据题意有动点a、b的线速度相等，有 钢带由后向前运动的过程中 增大，可得 增大，A错误； BC．由于有 解得 增大， 减小，可得 增大，汽车在加速，B正确，C错误； D．a、b两点向心加速度方向不同，则加速度不同，所以D错误。 故选B。 8．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）物理课堂上老师带来了一个可控制转速的游乐设施“大摆锤”简化模型，如题图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在不可伸长的摆臂两端，并可绕摆臂上过O点垂直于纸面的转轴在纸面内做匀速圆周运动。若a、b到O的距离之比为5:2，则做匀速圆周运动过程中摆锤a和配重锤b（　　） A．转速之比 B．周期之比 C．线速度之比 D．向心加速度之比 【答案】C 【详解】a、b两点同轴转动，角速度大小相等，由于a、b到O的距离之比为5:2，根据，，， 可得，，， 故选C。 9．（24-25高二上·陕西西安·期末）机动车故障检测时，车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，主动轮沿前进方向转动一段时间。过程简化图中：车轮A的半径为ra，滚动圆筒B的半径为rb，A与B间不打滑。当A以恒定转速n（单位为r/s）运行时，下列说法正确的是（　　） A．B的边缘线速度大小为2πnrb B．A的角速度大小为2πn，且A沿顺时针方向转动，B沿逆时针方向转动 C．A、B的角速度大小不相等，但A、B均沿顺时针方向转动 D．A、B的角速度之比为 【答案】B 【详解】A．两轮不打滑，两轮边缘的线速度大小相等，即v＝2πnra＝2πnbrb≠2πnrb 故A错误； B．车轮A是主动轮，A的角速度大小ωa＝2πn A沿顺时针方向转动，B沿逆时针方向转动，故B正确； CD．两轮边缘的线速度相等，v＝ωara＝ωbrb 角速度之比 由于两轮的半径不相等，则两轮的角速度大小不相等，A沿顺时针方向转动，B沿逆时针方向转动，故CD错误。 故选B。 10．（2025·陕西汉中·二模）陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台匀速转动时，关于粗坯上的P、Q两点，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的加速度大小相等 B．P、Q两点的加速度均指向转轴OO′ C．相同时间内P点转过的角度比Q点大 D．一个周期内P点通过的位移比Q点大 【答案】B 【详解】AB．P、Q两点的角速度相同，半径不同，根据可知向心加速度大小不相等，但向心加速度均指向圆心，故A错误，B正确； C．由于P、Q两点的角速度相同，根据得相同时间内P点转过的角度和Q点转过的角度相等，故C错误； D．一个周期内P点和Q点通过的位移均为0，故D错误。 故选B。 模型2 火车转弯模型　 火车转弯模型 模型特点 运动模型 向心力的来源图示 1．火车车轮的结构特点 火车的车轮上有突出的轮缘，火车行驶时，有轮缘的一侧在轨道内．(如图所示) 作用：有助于固定运动轨迹． 2．弯道的特点： 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)． 3．速度与轨道压力的关系 (1)当火车在弯道行驶速度v＝v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用． (2)当火车在弯道行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力． (3)当火车在弯道行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力． 火车转弯 飞机水平转弯 匀速圆周运动与变速圆周运动中合力、向心力的特点 (1)匀速圆周运动的合力：提供向心力． (2)变速圆周运动的合力(如图) ①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动． ②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向． 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 11．（2025·全国·模拟预测）沈佳高铁是我国新建八纵八横铁路网中重要组成部分，其中沈阳至长白山段的沈白高铁将于2025年9月底开通，该段全长约为430km，共设9座客运车站，列车设计最高运营时速350km/h，以下说法错误的是（　　） A．若要实时监测列车所处位置，可将列车视为质点 B．全长430km指的是列车行驶全长的实际路程 C．列车高速行驶途中，若需向右转弯，则需轨道向右倾斜 D．列车设计时速350km/h指的是列车运行的平均速率 【答案】D 【详解】A．若要实时监测列车所处位置，列车的形状可忽略，可将列车视为质点，故A正确，不符合题意； B．全长430km，指的是轨迹长度，是路程，故B正确，不符合题意； C．列车高速行驶途中，若需向右转弯，则需轨道向右倾斜，列车自身重力与支持力的合力提供向心加速度，故C正确，不符合题意； D．设计时速350km/h，指的是列车运行时允许的最大瞬时速率，不是平均速率，故D错误，符合题意。 本题选择错误选项，故选D。 12．（2025·广西南宁·模拟预测）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．运动员转弯时速度的大小为 B．运动员转弯时速度的大小为 C．若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角 D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变 【答案】BC 【详解】AB．运动员受力如图：根据合力提供向心力可得 可知运动员转弯时速度的大小为，故A错误，B正确； C．根据，可知若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角，故C正确； D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力大小保持不变，但是方向不断变化，故D错误。 故选BC。 13．（2025·江西南昌·二模）如图为火车某节车厢在匀速转弯时的情形，此时该节车厢的向心力由（　　） A．车厢重力及轨道摩擦力的合力提供 B．可能由车厢重力及轨道弹力的合力提供 C．轨道对车轮的侧向挤压产生的弹力提供 D．重力沿轨道斜面的分力提供 【答案】B 【详解】火车在倾斜轨道上转弯时，如果速度等于设计速度，则向心力由火车受到的重力和轨道对它的支持力的合力提供，故B正确，ACD错误。 故选B。 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图为衢州某卡丁车运动基地，几辆卡丁车正急速通过一个大圆弧形弯道，弯道内侧比外侧低，当卡丁车在此路段以理论时速转弯时，恰好没有向弯道内外两侧滑动的趋势。下列说法正确的是（   ） A．卡丁车质量越大，对应理论时速越大 B．当冬天路面结冰时，与未结冰时相比，值保持不变 C．卡丁车行驶过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力、向心力 D．卡丁车以某一恒定速率转弯时，在赛道外侧所需的向心力大 【答案】B 【详解】A．当卡丁车在此路段以理论时速转弯时，恰好没有向弯道内外两侧滑动的趋势，此时重力和弹力的合力恰好提供向心力，设弯道倾角为，则 质量可以约去，所以理论速度与质量无关，故A错误； B．根据以上分析可知，理论速度与动摩擦力因数无关，当冬天路面结冰时，与未结冰时相比，值保持不变，故B正确； C．卡丁车行驶过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力作用，向心力不是物体实际受力，故C错误； D．卡丁车所需的向心力为，以某一恒定速率转弯时，在赛道外侧半径大，所需的向心力小，故D错误。 故选B。 15．（2024·河北保定·二模）如图所示，铁路拐弯处内、外轨有一定的高度差，当质量一定的火车以设计的速率在水平面内转弯时，轨道对车轮的支持力大小为，当火车以实际速率在此弯道上转弯时，轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧压力F，下列说法正确的是（　　） A．若，侧压力F方向由外轨指向内轨 B．若，侧压力F方向由内轨指向外轨 C．若，轨道对车轮的支持力等于 D．若，轨道对车轮的支持力大于 【答案】AB 【详解】设拐弯处的轨道半径为R，内、外轨形成的倾角为θ，则有 设当火车以实际速率v转弯时，轨道对车轮的支持力大小为，有 当，侧压力F方向由外轨指向内轨，，当，侧压力F方向由内轨指向外轨，。 故选AB。 16．（2025·广东湛江·一模）下图可视为室内自行车比赛场地的模型图，自行车选手在近似球面的曲面上的一定高度处进行匀速圆周运动，且曲面边界的切线与水平地面夹角θ=37°，水平面半径R为0.3m，自行车选手与自行车及装备总质量为200kg，自行车和曲面之间动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。关于该运动，下列说法正确的有（　　） A．若自行车恰好不受沿竖直曲面切线的摩擦力，则速度最大值为2m/s B．自行车能保持在曲面运动的最大速度为3.6m/s C．自行车手在同一高度处匀速骑行一周，摩擦力的冲量方向竖直向上 D．自行车手可以在不同高度上以相同速率在曲面上做匀速圆周运动 【答案】D 【详解】A．当自行车恰好不受沿竖直曲面切线的摩擦力时，自行车做匀速圆周运动的向心力由曲面的支持力的水平分力提供，此时有 解得，故A错误； B．自行车加速将会有离心的趋势，定性判断可知自行车将要完全脱离曲面时速度有最大值。假设此时静摩擦力完全沿着曲面向下，则沿着圆心方向有 竖直方向有 联立解得 实际上由于摩擦力的分量恰好抵消了运动切线方向所受力，方向不能完全沿着曲面向下，即静摩擦力沿曲面向下的分量一定不是，故最大速度小于m/s，故B错误； C．由上述分析，在运动一个圆周的过程中，沿曲面向下的摩擦力分量的冲量在水平方向上抵消，只在竖直方向上积累，由于摩擦力方向不确定，同时运动轨迹切向分量完全抵消，故相应冲量是否竖直向上不确定，故C错误； D．由于存在摩擦力，可满足相同的向心力需求，自行车手可以在不同高度上以相同速率在曲面上做匀速圆周运动，此时自行车手所受摩擦力一定不相同，故D正确。 故选D。 17．（2025·云南贵州·二模）小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物块底部。当小车以恒定速率通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对静止，下列说法错误的是（　　） A．细线与竖直方向的夹角变大 B．细线对小球的拉力变大 C．横杆对物块的摩擦力变大 D．横杆对物块的支持力变大 【答案】D 【详解】D．令小铁球质量为m，物块与小球保持相对静止，对物块与小铁球整体进行分析，如图甲所示 则有 可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的支持力不变，故D错误，符合题意； C．火车转弯过程，将车内物体的转弯半径可以近似认为相同，令为R，结合上述分析有 可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的摩擦力变大，故C正确，不符合题意； A．对小球进行受力分析，如图乙所示 则有， 解得 可知，转弯速度变大，则细线与竖直方向夹角变大，故A正确，不符合题意； B．结合上述解得 由于细线与竖直方向夹角变大，则细线对小球的拉力变大，故B正确，不符合题意。 故选D。 18．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，摩托车手在水平弯道上匀速转弯时（　　） A．车手身体各处的加速度大小都相等 B．车和人的总重力与地面对车的支持力是一对平衡力 C．车对地面的压力与地面对车的作用力是一对作用力与反作用力 D．地面对车的作用力不大于车和人的总重力 【答案】B 【详解】A．根据 可知，车手身体各处的加速度大小不相等，故A错误； B．车和人的总重力与地面对车的支持力是一对平衡力，故B正确； C．车对地面的压力与地面对车的支持力是一对作用力与反作用力，但地面对车的作用力既有支持力也有摩擦力，故C错误； D．地面对车的作用力，即支持力和摩擦力的合力，大于支持力，而支持力等于车和人的总重力，所以地面对车的作用力大于车和人的总重力，故D错误。 故选B。 19．（24-25高三上·贵州·阶段练习）图为“S”形单行盘山公路示意图。弯道1、2可看作两个不同高度的水平圆弧，圆心分别为、，弯道2比弯道1高，两弯道中心虚线对应的半径分别为、，倾斜直道AB与两弯道平滑连接。一质量的汽车沿着中心虚线从弯道1经过倾斜直道AB进入弯道2，已知汽车在AB段做匀加速直线运动，加速时间，汽车在两个弯道运动时，路面对轮胎的径向摩擦力始终等于汽车所受重力的，取重力加速度大小，求： (1)汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能E； (2)汽车在AB段运动时受到的支持力大小。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）汽车在弯道上做匀速圆周运动，设汽车在弯道1、2上运动时的速度大小分别为、，有 汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能 解得 （2）设AB段的长度为x，倾角为，有 则 20．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图甲所示，电影飞驰人生中的巴音布鲁克赛道以弯多凶险著称，某段赛道俯视图如图乙所示，其中A、B、C、D四个弯道处地面均水平，半径分别为2r、3r、4r、r。赛车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当赛车匀速率地通过圆弧形路段时，赛车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度。赛车可视为质点，在赛车通过A、B、C、D四个弯道处时，下列说法正确的是（　　） A．赛车所受的合力为零 B．赛车在C处弯道行驶时，其临界速度最大 C．若赛车从A处匀速率运动D处，则在C处最容易发生事故 D．若赛车均以临界速度通过各处弯道，则赛车在D处的机械能一定大于A处的 【答案】B 【详解】A．汽车做曲线运动，合力不为零，故A错误； B．根据 最大静摩擦力不变，则行驶弯道半越大，临界速度越大，故赛车在C处弯道行驶时，其临界速度最大，在D处弯道行驶时，其临界速度最小，故B正确； C．由于在D处弯道行驶时，其临界速度最小，故在D处最容易发生事故，故C错误； D．赛车在D处临界速度小于在A处临界速度，则EkA＞EkD，而重力势能EpA＜EpD，故无法比较赛车在两处的机械能大小，故D错误。 故选B。 模型3 圆锥摆模型 圆锥摆模型 模型特点 运动模型 向心力的来源图示 圆锥摆问题的特点： (1)转动平面：水平面． (2)向心力：F合＝mgtan α. (3)圆周运动的半径： r＝lsin α. (4)动力学方程： mgtan α＝mω2lsin α. (5)角速度ω＝， 周期T＝2π. (6)特点：悬绳与中心轴的夹角跟角速度和绳长有关，与球的质量无关，在绳长一定的情况下，角速度越大，绳与中心轴的夹角也越大(小于90°)． 圆锥摆 飞车走壁 21．（2025·四川·一模）“飞椅”是游乐场中常见的游乐项目。钢绳一端固定在转轴上，另一端系着座椅，座椅同时乘坐甲、乙两人，当座椅随着转轴匀速转动时（　　） A．甲的转动周期等于乙的转动周期 B．甲的向心加速度小于乙的向心加速度 C．甲的线速度等于乙的线速度 D．甲的角速度大于乙的角速度 【答案】A 【详解】AD．甲、乙两人同轴转动周期和角速度相同，故A正确，D错误； BC．甲、乙两人距离转轴的水平距离，即转动半径，根据 可知，故BC错误。 故选A。 22．（2025·四川绵阳·一模）“飞椅”是游乐场常见的游乐项目，结构示意图如图所示，长为的钢绳一端系着“飞椅”的座椅，另一端固定在长为的水平横臂上，横臂可以沿竖直轴上下移动，还可以绕轴转动。开始时，座椅静止在地面附近，横臂位于处，入坐上座椅后，横臂一边转动一边上升，到处时人和座椅稳定地绕竖直轴做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。已知间的高度差为，人与座椅的总质量为。忽略竖直轴自身的半径，不计空气阻力。则（　　） A．横臂在处，人和座椅的角速度为 B．横臂在处，人和座椅的角速度为 C．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 D．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 【答案】AD 【详解】AB．人和座椅做匀速圆周运动，向心力由重力和钢绳拉力的合力提供。圆周运动的轨道半径 对人和座椅受力分析，竖直方向 水平方向 解得，故A正确，B错误 CD．根据动能定理，钢绳做功等于重力做功的负值与动能变化之和，即 线速度 动能 代入动能定理公式得，故C错误，D正确。 故选AD。 23．（2025·广东深圳·一模）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（　　） A．转台的角速度不一定等于 B．物块的线速度大小可能等于 C．物块所受合力的大小一定等于 D．陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg 【答案】AB 【详解】AB．小物块绕轴做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩擦力为0，由牛顿第二定律得 解得 线速度大小为 当小物块所受摩擦力不为0时，角速度不等于，小物块的线速度也不等于，A、B正确； CD．当小物块所受摩擦力为0时，其所受合力的大小为 所受弹力大小等于 当所受摩擦力不为0时不成立，CD错误。 故选AB。 24．（2025·广东肇庆·一模）如图所示，游乐场的旋转飞椅装置共有4条吊臂，每条吊臂长均为r，吊绳长均为L，每名游客与座椅的总质量均为m。吊臂绕O点的竖直轴匀速转动，游客在水平面内做匀速圆周运动，吊绳与竖直方向的夹角为θ。重力加速度为g，不计空气阻力和吊绳的质量。下列说法正确的是（　　） A．游客的线速度大小为 B．游客的角速度大小为 C．游客的向心加速度大小为 D．吊绳上的拉力大小为 【答案】BD 【详解】A．游客做匀速圆周运动的半径 向心力大小 可得，故A错误； B．角速度大小，故B正确； C．由 可得向心加速度大小，故C错误； D．竖直方向有 可得，故D正确。 故选BD。 25．（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的玩具转盘在转盘中心点固定了一竖直杆，质量为的小球用轻绳和轻杆一起连接在竖直杆上，轻绳与竖直杆上的点相连，轻杆用铰链连接在竖直杆上的点（可绕点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳与竖直方向夹角，轻杆与竖直方向夹角，，，不计摩擦阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当绳上恰好无弹力时，小球的角速度 B．当小球角速度时，杆上弹力 C．当上恰好无弹力时，小球角速度 D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度，小球不会触碰到圆盘 【答案】A 【详解】A．当轻绳上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿杆方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故A正确； B．设轻绳AC的弹力为，轻杆BC的弹力为，当小球的角速度时，小球的受力如图所示： 则竖直方向有 水平方向有 联立解得，，故B错误； C．当上恰好无弹力时，对小球进行受力分析可知，小球受重力和沿绳方向的拉力的作用做匀速圆周运动，则在水平方向对小球列牛顿第二定律方程有 解得此时小球的角速度为，故C错误； D．假设小球脱离前，轻杆和细绳对小球都有力的作用，小球脱离后做平抛运动，且恰好没有碰到圆盘，则由平抛运动的性质可知，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得小球平抛运动的初速度为 则圆盘转动的角速度为 故假设成立，所以小球在转动过程中忽然脱离，若小球不能碰到圆盘，则圆盘转动的角速度的取值范围为，故D错误。 故选A。 26．（2025·山东·模拟预测）高空旋转秋千设施如图甲所示，其简化模型如图乙所示，水平圆盘绕竖直中心立柱匀速转动。一名游客连同座椅的总质量为，通过长度为的轻绳悬挂在点，点到立柱的距离为。当游客匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为，游客和座椅可视为质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．游客做匀速圆周运动的向心加速度大小为 B．游客做匀速圆周运动的角速度大小为 C．轻绳拉力大小为 D．游客做圆周运动的线速度大小为 【答案】B 【详解】AC．以游客和座椅整体为研究对象，竖直方向受力平衡有 水平方向由牛顿第二定律，得 联立解得，故AC错误； B．由几何关系可知，游客做匀速圆周运动的半径为 游客做匀速圆周运动时，由向心加速度公式 解得角速度大小，故B正确； D．由 解得线速度大小，故D错误。 故选B。 27．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的向心力大小相等 B．甲、乙的线速度大小相等 C．乙、丙的角速度大小相等 D．乙、丙的线速度大小相等 【答案】D 【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得向心加速度大小为 由于乙对应的较大，所以甲的向心力小于乙的向心力；甲的运动半径小于乙的运动半径，根据可知甲的线速度小于乙的线速度。 故AB错误； CD．乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为轴，水平向左为轴，则抛物线方程为 设乙、丙的坐标分别为（，）、（，），则有 根据牛顿第二定律可得 其中， 可得， 由于，，则有， 故C错误，D正确。 故选D。 28．（2025·辽宁·二模）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点。当轻杆绕轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成角，b绳沿水平方向且长为L，重力加速度为g。求： (1)当轻杆绕轴角速度时，b绳保持水平且拉力刚好为零。 (2)当角速度时，求a绳的拉力和b绳的拉力分别是多少？ 【答案】(1) (2)， 【详解】（1） 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，由水平方向上的合力提供向心力，当b绳拉力为零时，有 解得 （2）可知当角速度时，此时b绳有拉力，故， 解得， 29．（2025·湖南·模拟预测）如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 【答案】B 【详解】A．物体沿圆锥筒内壁下滑时，物体受重力、支持力和沿圆锥筒内壁向上的滑动摩擦力，由力的平衡条件得， 又 解得，A错误； B．当圆锥筒做匀速圆周运动，物体只受重力和支持力作用时，有 又 代入数据解得rad/s，B正确； C．rad/s时，圆锥筒的角速度大于，物体有沿圆锥筒内壁向上滑动的趋势，则物体所受的静摩擦力沿内壁向下，竖直方向上有 水平方向上有 代入数据解得N，C错误； D．当物体开始沿圆锥筒内壁上滑时，物体与圆锥筒内壁的摩擦力达到最大静摩擦力，竖直方向上有 水平方向上有 又 解得rad/s，D错误。 故选B。 30．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，小明用不可伸长的轻绳穿过一段亚克力管制作了一款玩具，绳两端系小球A、B，两球质量关系为为管的上端，小明握住亚克力管，使球A绕管中心轴在水平面内匀速转动，不计空气和摩擦阻力。下列说法正确的是（　　） A．与球A相连的绳与水平方向夹角 B．与球A相连的绳与水平方向夹角 C．间绳长越大，球A的角速度越大 D．间绳长越大，球A的加速度越小 【答案】B 【详解】AB．对A球分析可知， 解得，A错误，B正确； C．根据 可得可知，间绳长越大，球A的角速度越小，C错误； D．根据 可得 可知球A的加速度与OA间绳长无关，D错误。 故选B。 模型4 离心现象 1.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 31．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动 B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大 C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大 D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率 【答案】C 【详解】A．转动时细胞做圆周运动需要向心力为 由于a、b两种细胞的ω、r均相同，而ρa<ρ0，细胞a所需的向心力比相同体积的血浆所需的向心力小，则细胞a做向心运动，细胞a相对试管向内侧运动，而ρb>ρ0，细胞b所需的向心力比相同体积的血浆所需的向心力大，则细胞b做离心运动，细胞b相对试管向外侧运动，故A错误； B．“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，细胞b相对试管向外侧运动，“模拟重力”做正功，“模拟重力势能”变小，细胞a相对试管向内侧运动，“模拟重力”做负功，“模拟重力势能”变大，故B错误； C．“模拟重力”大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比，根据 可知，“重力加速度”与其到转轴距离成正比，所以沿转动半径方向向外侧逐渐变大，故C正确； D．根据P=Fvcosθ，若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，由于无法确定a、b细胞的“模拟重力”大小关系，则“模拟重力”对a、b细胞做功的功率大小无法确定，故D错误。 故选C。 32．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（　　） A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 【答案】B 【详解】AB．在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，当拉力消失，物体所受合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动，即小球将沿轨迹Pa做离心运动，故B正确，A错误； CD．故当拉力突然变小时，将沿Pb轨道做离心运动，故CD错误。 故选B。 33．（2025·河北保定·一模）滚筒洗衣机的实物图片如图所示。脱水时，滚筒绕水平轴高速匀速转动，附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法中正确的是（　　） A．水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等 B．在与转轴等高的位置，水受到的衣物附着力指向转轴 C．水在最低点更容易被甩出 D．水在最高点更容易被甩出 【答案】C 【详解】ACD．滚筒洗衣机的脱水筒匀速旋转，衣服在最高点和最低点时附着在潮湿衣服上的水的重力和衣服与水之间的附着力的合力提供向心力，在最高点 在最低点 可得 所以在最低点时，所需要附着力较大，更容易被甩出，故AD错误，C正确； B．在与转轴等高的位置，水的重力和衣物附着力的合力提供向心力，向心力方向指向转轴，由于重力向下，所以衣物附着力不指向转轴，故B错误。 故选C。 34．（2024·新疆·一模）滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。如图所示，湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，已知滚筒的半径为0.625m，重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．衣服通过任意点时线速度和加速度均相同 B．脱水过程中衣服受到的合力始终指向圆心 C．增大滚筒转动的周期，脱水效果更好 D．为了保证衣服在脱水过程中能做完整的圆周运动，滚筒转动的角速度至少为8rad/s 【答案】B 【详解】A．衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，在任意点的线速度大小相同、方向不同，加速度大小相同、方向不同，故A错误； B．滚筒对衣服的作用力与重力的合力大小不变且始终指向圆心，故脱水过程中衣物受到的合力始终指向圆心，故B正确； C．当衣服做匀速圆周运动时，由于衣服上的水所受合外力不足以提供向心力而做离心运动，因此需要的向心力越大，脱水效果越好，又有 因此周期越小，水越容易被甩出，脱水效果越好，故C错误； D．为了保证衣服在脱水过程中能做完整的圆周运动，则在最高点重力提供向心力，即 可知滚筒转动的角速度至少为 故D错误。 故选B。 35．（2024·浙江·三模）2022年3月23日，航天员王亚平、叶光富在中国空间站开设“天宫课堂”，课堂中演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳一端系住装有水和油的瓶子，叶光富手持细绳另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，已知水的密度大于油的密度。在飞船参考系中，下列说法错误的是（   ） A．只要瓶子速度大于0就能通过圆周运动的最高点 B．瓶子的角速度一定时，油和水分离的难易程度与绳长无关 C．油水分离后，油在内侧，水在外侧 D．瓶子的角速度一定时，油水分离后，绳子张力大小不变 【答案】B 【详解】A．瓶子所受万有引力全部用来提供围绕地球做圆周运动的向心力，瓶子在空间站中处于完全失重状态，瓶子在空间站内做圆周运动的向心力由绳子拉力提供，无论瓶子速度多大都能做完整的圆周运动，故A正确，不符合题意； B．根据，可知瓶子的角速度一定，绳子越长，所需向心力越大，油和水越容易分离，故B错误，符合题意； C．水的密度大于油的密度，在混合液体中取半径相同处体积相等的水和油的液体小球，水球的质量大，根据Fn = mω2r可知，水球需要的向心力更大，故当向心力不足时，水球更容易做离心运动水会向瓶底移动，圆周运动让试管里的水和油产生了离心现象，密度较大的水将集中于外部，故C正确，不符合题意； D．根据Fn = mω2r，可知瓶子的角速度一定时，油水分离后，绳子张力大小不变，故D正确，不符合题意。 故选B。 36．（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6m。下列说法正确的是（　　） A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向 B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向 C．杯子在旋转时的角速度大小为 D．杯子在旋转时的线速度大小约为 【答案】D 【详解】AB．由图乙水做离心运动的轨迹可知，泼水时杯子的旋转方向为逆时针方向，P位置飞出的小水珠初速度沿2方向，故AB错误； C．杯子在旋转时的角速度大小为 故C错误； D．杯子在旋转时的线速度大小约为 故D正确。 故选D。 37．（22-23高一下·广西玉林·期末）气嘴灯是安装在自行车气嘴上的饰物，骑行时会自动发光。一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触时，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（    ）    A．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 B．停车时也会发光，只是灯光较暗 C．骑行达到一定速度值时灯才会亮 D．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 【答案】C 【详解】A．离心现象是指做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，感应装置的原理正是利用离心现象，使两触点接触而点亮LED灯，故A错误； B．停车时，车轮未转动，重物不能做离心运动，从而使M点与N点不接触，不能发光，故B错误； C．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当骑行达到一定速度值时，转速达到一定值，触点M与触点N接触，气嘴灯可以发光，故C正确； D．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当转速足够大时，触点M可以始终与触点N接触，气嘴灯可以一直发光，故D错误。 故选C。 38．（2023·河北张家口·三模）如图所示，足够大光滑的桌面上有个光滑的小孔O，一根轻绳穿过小孔两端各系着质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以O、O′点为圆心以相同角速度做匀速圆周运动，半径分别是r1、r2，m1和m2到O点的绳长分别为l1和l2，下列说法正确的是（　　）    A．m1和m2做圆周运动的所需要的向心力大小相同 B．剪断细绳，m1做匀速直线运动，m2做自由落体运动 C．m1和m2做圆周运动的半径之比为 D．m1和m2做圆周运动的绳长之比为 【答案】D 【详解】 A．设绳子的拉力为，则做圆周运动所需要的向心力大小等于；做圆周运动所需要的向心力大小等于沿水平方向的分量，故A错误； CD．对，由牛顿第二定律得 对，设绳子与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律得 联立可得和做圆周运动的半径之比为 和做圆周运动的绳长之比为 故C错误，D正确； B．剪断细绳后在桌面上沿线速度方向做匀速直线运动，做平拋运动，故B错误。 故选D。 39．（20-21高一下·福建泉州·期中）雨天在野外骑车时，在自行车的后轮胎上常会粘附一些泥土。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面，然后匀速摇动脚踏板，使后轮快速转动，泥土就会被甩下来。如图所示，a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则（　　） A．泥土在a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度 B．泥土在b、d位置时最容易被甩下来 C．泥土在c位置时最容易被甩下来 D．泥土在a位置时最容易被甩下来 【答案】C 【详解】A．a、b、c、d共轴转动，角速度相等，半径也相等，根据公式 分析知它们的向心加速度大小都相等，故A错误； BCD．泥块做圆周运动，合力提供向心力，根据 知：泥块在车轮上每一个位置的向心力相等，最低点，重力向下，附着力向上，向心力等于附着力减去重力；最高点，重力向下，附着力向下，向心力为重力加上附着力；在线速度竖直向上或向下时，向心力等于附着力；所以在最低点c处附着力最大最容易飞出去，故BD错误C正确。 故选C。 40．（2022·宁夏石嘴山·三模）如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量为m，衣服和器壁的动摩擦因数约为，甩衣桶的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．衣服（带水）做匀变速曲线运动 B．电动机的角速度至少为时，衣服才掉不下来 C．当时，水滴下落高度打到外筒上 D．当时，水滴下落高度打到外筒上 【答案】BD 【详解】A．衣服（带水）做变速曲线运动，因为其向心加速度也是变化的，A错误； B．竖直方向，根据平衡条件有 由于弹力提供向心力，由牛顿第二定律有 联立解得 B正确； CD．当时，水滴打到外筒上，则水滴下落高度为h，根据平抛运动规律有 联立解得 C错误，D正确。 故选BD。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12火车转弯模型和圆锥摆模型 模型总结 模型1 常见的三种传动方式 1 模型2 火车转弯模型 9 模型3 圆锥摆模型 19 模型4 离心现象 31 模型1 常见的三种传动方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比： 向心加速度与半径成反比： 1．（2025·湖北恩施·一模）如图所示，汽车转弯时，四个车轮的轮轴延长线交于同一点。已知四个车轮的规格完全相同，且转弯时车轮不打滑，则汽车转弯时，四个车轮的（　　） A．轮轴绕点运动的线速度大小相等 B．轮轴绕点运动的角速度大小相等 C．边缘绕轮轴转动的线速度大小相等 D．边缘绕轮轴转动的角速度大小相等 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）图（a）为古代战争中使用的一种投石机。图（b）为投石机的简化模型，长臂末端的弹袋与转轴相距，短臂末端处有质量很大的重物，其重心与点相距。在一次投石过程中，将一块可视为质点的石块放在弹袋中，短臂端重物在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。取。在转动过程中，石块与重物线速度大小之比为，角速度大小之比为，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示为自行车传动装置的简易图，a为大齿轮边缘的点，c为小齿轮边缘的点，b为后轮辐条上的点。已知a、b、c三点做圆周运动的半径之比为2:2:1，下列说法正确的是（　　） A．a、b、c三点的线速度之比为1:2:1 B．a、b、c三点的角速度之比为2:1:1 C．a、b、c三点的周期之比为1:2:2 D．a、b、c三点的向心加速度之比为1:4:1 4．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，半径为R的圆盘在竖直平面内绕O轴匀速转动，角速度为ω。圆盘表面粘有A、B两小球，圆心O和A、B位置三点共线，且OA=AB=。当B球运动至最低位置时，两球会同时脱落，调节圆心O离地的高度H，发现两球落到水平地面上同一点P。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．若仅增大角速度ω，两球一定落到P右侧水平地面上的同一点 B．若同时增大角速度ω和增大高度H，两球可能落到P右侧水平地面上的同一点 C．若同时增大角速度ω和减小高度H，两球可能落到P左侧水平地面上的同一点 D．若同时增大角速度ω和减小高度H，两球可能都落到P点 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示为星系齿轮的机构图，一半径为的中心齿轮和四个半径均为的卫星齿轮嵌套在半径为的轨道圆环内，在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动，带动卫星齿轮和轨道圆环转动，下列说法正确的是（　　） A．中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等 B．中心齿轮自转一圈，卫星齿轮也刚好自转一圈 C．中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘各点的向心加速度的比值为 D．卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈 6．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，跷跷板转动时，跷跷板上的P、Q两点的角速度大小分别为，线速度大小分别为，则（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东佛山·期中）无级变速汽车变速箱的工作原理可以简化为如图所示的装置，两个相同锥体A、B水平放置，它们的中心轴分别与动力输入端和动力输出端连接，动力输入端的中心轴带动锥体A转动，锥体A带动钢带转动的同时，钢带在锥体上前后移动，带动动力输出端B转速改变，实现汽车变速。a、b是锥体上与钢带接触的两动点，不计钢带的形变且钢带所在的平面始终与两中心轴垂直，若保持动力输入端中心轴转速不变，则钢带由后向前运动的过程中（　　） A．动点a、b的线速度相等且逐渐减小 B．锥体B的转速增大 C．汽车在减速 D．任意时刻动点a、b的向心加速度都相同 8．（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）物理课堂上老师带来了一个可控制转速的游乐设施“大摆锤”简化模型，如题图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在不可伸长的摆臂两端，并可绕摆臂上过O点垂直于纸面的转轴在纸面内做匀速圆周运动。若a、b到O的距离之比为5:2，则做匀速圆周运动过程中摆锤a和配重锤b（　　） A．转速之比 B．周期之比 C．线速度之比 D．向心加速度之比 9．（24-25高二上·陕西西安·期末）机动车故障检测时，车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，主动轮沿前进方向转动一段时间。过程简化图中：车轮A的半径为ra，滚动圆筒B的半径为rb，A与B间不打滑。当A以恒定转速n（单位为r/s）运行时，下列说法正确的是（　　） A．B的边缘线速度大小为2πnrb B．A的角速度大小为2πn，且A沿顺时针方向转动，B沿逆时针方向转动 C．A、B的角速度大小不相等，但A、B均沿顺时针方向转动 D．A、B的角速度之比为 10．（2025·陕西汉中·二模）陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台匀速转动时，关于粗坯上的P、Q两点，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的加速度大小相等 B．P、Q两点的加速度均指向转轴OO′ C．相同时间内P点转过的角度比Q点大 D．一个周期内P点通过的位移比Q点大 模型2 火车转弯模型　 火车转弯模型 模型特点 运动模型 向心力的来源图示 1．火车车轮的结构特点 火车的车轮上有突出的轮缘，火车行驶时，有轮缘的一侧在轨道内．(如图所示) 作用：有助于固定运动轨迹． 2．弯道的特点： 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)． 3．速度与轨道压力的关系 (1)当火车在弯道行驶速度v＝v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用． (2)当火车在弯道行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力． (3)当火车在弯道行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力． 火车转弯 飞机水平转弯 匀速圆周运动与变速圆周运动中合力、向心力的特点 (1)匀速圆周运动的合力：提供向心力． (2)变速圆周运动的合力(如图) ①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动． ②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向． 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 11．（2025·全国·模拟预测）沈佳高铁是我国新建八纵八横铁路网中重要组成部分，其中沈阳至长白山段的沈白高铁将于2025年9月底开通，该段全长约为430km，共设9座客运车站，列车设计最高运营时速350km/h，以下说法错误的是（　　） A．若要实时监测列车所处位置，可将列车视为质点 B．全长430km指的是列车行驶全长的实际路程 C．列车高速行驶途中，若需向右转弯，则需轨道向右倾斜 D．列车设计时速350km/h指的是列车运行的平均速率 12．（2025·广西南宁·模拟预测）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．运动员转弯时速度的大小为 B．运动员转弯时速度的大小为 C．若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角 D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变 13．（2025·江西南昌·二模）如图为火车某节车厢在匀速转弯时的情形，此时该节车厢的向心力由（　　） A．车厢重力及轨道摩擦力的合力提供 B．可能由车厢重力及轨道弹力的合力提供 C．轨道对车轮的侧向挤压产生的弹力提供 D．重力沿轨道斜面的分力提供 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图为衢州某卡丁车运动基地，几辆卡丁车正急速通过一个大圆弧形弯道，弯道内侧比外侧低，当卡丁车在此路段以理论时速转弯时，恰好没有向弯道内外两侧滑动的趋势。下列说法正确的是（   ） A．卡丁车质量越大，对应理论时速越大 B．当冬天路面结冰时，与未结冰时相比，值保持不变 C．卡丁车行驶过程中受到重力、支持力、摩擦力、牵引力、向心力 D．卡丁车以某一恒定速率转弯时，在赛道外侧所需的向心力大 15．（2024·河北保定·二模）如图所示，铁路拐弯处内、外轨有一定的高度差，当质量一定的火车以设计的速率在水平面内转弯时，轨道对车轮的支持力大小为，当火车以实际速率在此弯道上转弯时，轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧压力F，下列说法正确的是（　　） A．若，侧压力F方向由外轨指向内轨 B．若，侧压力F方向由内轨指向外轨 C．若，轨道对车轮的支持力等于 D．若，轨道对车轮的支持力大于 16．（2025·广东湛江·一模）下图可视为室内自行车比赛场地的模型图，自行车选手在近似球面的曲面上的一定高度处进行匀速圆周运动，且曲面边界的切线与水平地面夹角θ=37°，水平面半径R为0.3m，自行车选手与自行车及装备总质量为200kg，自行车和曲面之间动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。关于该运动，下列说法正确的有（　　） A．若自行车恰好不受沿竖直曲面切线的摩擦力，则速度最大值为2m/s B．自行车能保持在曲面运动的最大速度为3.6m/s C．自行车手在同一高度处匀速骑行一周，摩擦力的冲量方向竖直向上 D．自行车手可以在不同高度上以相同速率在曲面上做匀速圆周运动 17．（2025·云南贵州·二模）小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物块底部。当小车以恒定速率通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对静止，下列说法错误的是（　　） A．细线与竖直方向的夹角变大 B．细线对小球的拉力变大 C．横杆对物块的摩擦力变大 D．横杆对物块的支持力变大 18．（2024·浙江·模拟预测）如图所示，摩托车手在水平弯道上匀速转弯时（　　） A．车手身体各处的加速度大小都相等 B．车和人的总重力与地面对车的支持力是一对平衡力 C．车对地面的压力与地面对车的作用力是一对作用力与反作用力 D．地面对车的作用力不大于车和人的总重力 19．（24-25高三上·贵州·阶段练习）图为“S”形单行盘山公路示意图。弯道1、2可看作两个不同高度的水平圆弧，圆心分别为、，弯道2比弯道1高，两弯道中心虚线对应的半径分别为、，倾斜直道AB与两弯道平滑连接。一质量的汽车沿着中心虚线从弯道1经过倾斜直道AB进入弯道2，已知汽车在AB段做匀加速直线运动，加速时间，汽车在两个弯道运动时，路面对轮胎的径向摩擦力始终等于汽车所受重力的，取重力加速度大小，求： (1)汽车从弯道1运动到弯道2增加的机械能E； (2)汽车在AB段运动时受到的支持力大小。 20．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图甲所示，电影飞驰人生中的巴音布鲁克赛道以弯多凶险著称，某段赛道俯视图如图乙所示，其中A、B、C、D四个弯道处地面均水平，半径分别为2r、3r、4r、r。赛车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当赛车匀速率地通过圆弧形路段时，赛车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度。赛车可视为质点，在赛车通过A、B、C、D四个弯道处时，下列说法正确的是（　　） A．赛车所受的合力为零 B．赛车在C处弯道行驶时，其临界速度最大 C．若赛车从A处匀速率运动D处，则在C处最容易发生事故 D．若赛车均以临界速度通过各处弯道，则赛车在D处的机械能一定大于A处的 模型3 圆锥摆模型 圆锥摆模型 模型特点 运动模型 向心力的来源图示 圆锥摆问题的特点： (1)转动平面：水平面． (2)向心力：F合＝mgtan α. (3)圆周运动的半径： r＝lsin α. (4)动力学方程： mgtan α＝mω2lsin α. (5)角速度ω＝， 周期T＝2π. (6)特点：悬绳与中心轴的夹角跟角速度和绳长有关，与球的质量无关，在绳长一定的情况下，角速度越大，绳与中心轴的夹角也越大(小于90°)． 圆锥摆 飞车走壁 21．（2025·四川·一模）“飞椅”是游乐场中常见的游乐项目。钢绳一端固定在转轴上，另一端系着座椅，座椅同时乘坐甲、乙两人，当座椅随着转轴匀速转动时（　　） A．甲的转动周期等于乙的转动周期 B．甲的向心加速度小于乙的向心加速度 C．甲的线速度等于乙的线速度 D．甲的角速度大于乙的角速度 22．（2025·四川绵阳·一模）“飞椅”是游乐场常见的游乐项目，结构示意图如图所示，长为的钢绳一端系着“飞椅”的座椅，另一端固定在长为的水平横臂上，横臂可以沿竖直轴上下移动，还可以绕轴转动。开始时，座椅静止在地面附近，横臂位于处，入坐上座椅后，横臂一边转动一边上升，到处时人和座椅稳定地绕竖直轴做匀速圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。已知间的高度差为，人与座椅的总质量为。忽略竖直轴自身的半径，不计空气阻力。则（　　） A．横臂在处，人和座椅的角速度为 B．横臂在处，人和座椅的角速度为 C．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 D．横臂从到的过程中，钢绳对人和座椅做功 23．（2025·广东深圳·一模）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（　　） A．转台的角速度不一定等于 B．物块的线速度大小可能等于 C．物块所受合力的大小一定等于 D．陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg 24．（2025·广东肇庆·一模）如图所示，游乐场的旋转飞椅装置共有4条吊臂，每条吊臂长均为r，吊绳长均为L，每名游客与座椅的总质量均为m。吊臂绕O点的竖直轴匀速转动，游客在水平面内做匀速圆周运动，吊绳与竖直方向的夹角为θ。重力加速度为g，不计空气阻力和吊绳的质量。下列说法正确的是（　　） A．游客的线速度大小为 B．游客的角速度大小为 C．游客的向心加速度大小为 D．吊绳上的拉力大小为 25．（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的玩具转盘在转盘中心点固定了一竖直杆，质量为的小球用轻绳和轻杆一起连接在竖直杆上，轻绳与竖直杆上的点相连，轻杆用铰链连接在竖直杆上的点（可绕点自由转动）。已知圆盘静止时轻绳与竖直方向夹角，轻杆与竖直方向夹角，，，不计摩擦阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．当绳上恰好无弹力时，小球的角速度 B．当小球角速度时，杆上弹力 C．当上恰好无弹力时，小球角速度 D．若转动过程中小球突然脱离，则当圆盘角速度，小球不会触碰到圆盘 26．（2025·山东·模拟预测）高空旋转秋千设施如图甲所示，其简化模型如图乙所示，水平圆盘绕竖直中心立柱匀速转动。一名游客连同座椅的总质量为，通过长度为的轻绳悬挂在点，点到立柱的距离为。当游客匀速转动时，轻绳与竖直方向的夹角为，重力加速度为，游客和座椅可视为质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．游客做匀速圆周运动的向心加速度大小为 B．游客做匀速圆周运动的角速度大小为 C．轻绳拉力大小为 D．游客做圆周运动的线速度大小为 27．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　） A．甲、乙的向心力大小相等 B．甲、乙的线速度大小相等 C．乙、丙的角速度大小相等 D．乙、丙的线速度大小相等 28．（2025·辽宁·二模）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点。当轻杆绕轴以某一角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成角，b绳沿水平方向且长为L，重力加速度为g。求： (1)当轻杆绕轴角速度时，b绳保持水平且拉力刚好为零。 (2)当角速度时，求a绳的拉力和b绳的拉力分别是多少？ 29．（2025·湖南·模拟预测）如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 30．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，小明用不可伸长的轻绳穿过一段亚克力管制作了一款玩具，绳两端系小球A、B，两球质量关系为为管的上端，小明握住亚克力管，使球A绕管中心轴在水平面内匀速转动，不计空气和摩擦阻力。下列说法正确的是（　　） A．与球A相连的绳与水平方向夹角 B．与球A相连的绳与水平方向夹角 C．间绳长越大，球A的角速度越大 D．间绳长越大，球A的加速度越小 模型4 离心现象 1.离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 31．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）无偿献血、救死扶伤的崇高行为，是文明社会的标志之一。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。血液在这个“模拟重力”环境中，也具有“模拟重力势能”。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞a、b，其密度分别为ρa和ρb，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρa<ρ0<ρb。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．细胞a相对试管向外侧运动，细胞b相对试管向内侧运动 B．细胞a的“模拟重力势能”变小，细胞b的“模拟重力势能”变大 C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大 D．若某时刻a、b两种细胞沿垂直于转轴方向的速率相等，则“模拟重力”对细胞a做功的功率等于对细胞b做功的功率 32．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（　　） A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 33．（2025·河北保定·一模）滚筒洗衣机的实物图片如图所示。脱水时，滚筒绕水平轴高速匀速转动，附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法中正确的是（　　） A．水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等 B．在与转轴等高的位置，水受到的衣物附着力指向转轴 C．水在最低点更容易被甩出 D．水在最高点更容易被甩出 34．（2024·新疆·一模）滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。如图所示，湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，已知滚筒的半径为0.625m，重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．衣服通过任意点时线速度和加速度均相同 B．脱水过程中衣服受到的合力始终指向圆心 C．增大滚筒转动的周期，脱水效果更好 D．为了保证衣服在脱水过程中能做完整的圆周运动，滚筒转动的角速度至少为8rad/s 35．（2024·浙江·三模）2022年3月23日，航天员王亚平、叶光富在中国空间站开设“天宫课堂”，课堂中演示了“水油分离”实验。如图所示，用细绳一端系住装有水和油的瓶子，叶光富手持细绳另一端，使瓶子在竖直平面内做圆周运动，已知水的密度大于油的密度。在飞船参考系中，下列说法错误的是（   ） A．只要瓶子速度大于0就能通过圆周运动的最高点 B．瓶子的角速度一定时，油和水分离的难易程度与绳长无关 C．油水分离后，油在内侧，水在外侧 D．瓶子的角速度一定时，油水分离后，绳子张力大小不变 36．（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6m。下列说法正确的是（　　） A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向 B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向 C．杯子在旋转时的角速度大小为 D．杯子在旋转时的线速度大小约为 37．（22-23高一下·广西玉林·期末）气嘴灯是安装在自行车气嘴上的饰物，骑行时会自动发光。一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触时，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（    ）    A．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 B．停车时也会发光，只是灯光较暗 C．骑行达到一定速度值时灯才会亮 D．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 38．（2023·河北张家口·三模）如图所示，足够大光滑的桌面上有个光滑的小孔O，一根轻绳穿过小孔两端各系着质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以O、O′点为圆心以相同角速度做匀速圆周运动，半径分别是r1、r2，m1和m2到O点的绳长分别为l1和l2，下列说法正确的是（　　）    A．m1和m2做圆周运动的所需要的向心力大小相同 B．剪断细绳，m1做匀速直线运动，m2做自由落体运动 C．m1和m2做圆周运动的半径之比为 D．m1和m2做圆周运动的绳长之比为 39．（20-21高一下·福建泉州·期中）雨天在野外骑车时，在自行车的后轮胎上常会粘附一些泥土。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面，然后匀速摇动脚踏板，使后轮快速转动，泥土就会被甩下来。如图所示，a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则（　　） A．泥土在a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度 B．泥土在b、d位置时最容易被甩下来 C．泥土在c位置时最容易被甩下来 D．泥土在a位置时最容易被甩下来 40．（2022·宁夏石嘴山·三模）如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量为m，衣服和器壁的动摩擦因数约为，甩衣桶的半径为r，洗衣机的外桶的半径为R，当角速度达到时，衣服上的水恰好被甩出，假设滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．衣服（带水）做匀变速曲线运动 B．电动机的角速度至少为时，衣服才掉不下来 C．当时，水滴下落高度打到外筒上 D．当时，水滴下落高度打到外筒上 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $