第四讲 百分数应用题（知识梳理+7个考点讲练+实战演练 共36题）-2025-2026学年苏教版数学六年级上册初等奥数培优讲义

第四讲 百分数应用题 【知识梳理+7个考点讲练+实战演练 共36题】 （原卷版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：百分数的简单应用 2 知识点梳理02：稍复杂的百分数实际问题 2 知识点梳理03：折扣、纳税、利息 3 知识点梳理04：常考易错点提示 4 重点难点 考点讲练 4 重难点考点1 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 4 重难点考点2 求一个数比另一个数多/少百分之几 6 重难点考点3 求一个数的百分之几是多少 7 重难点考点4 比一个数多/少百分之几的数是多少 8 重难点考点5 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 10 重难点考点6 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 11 重难点考点7 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 12 能力提升 实战演练 13 百分数应用题是小学数学“数与代数”领域的关键内容，承接分数、比例知识，为初中代数、函数等高级概念奠定基础。它既是分数知识的延伸（如百分数与分数的互化），也是比例思想的深化（如百分比变化问题）。 百分数广泛存在于折扣、利率、税率、增长率等现实场景中，是学生理解数学与生活联系的重要窗口，体现数学的工具性价值。 知识点梳理01：百分数的简单应用 1.求一个数是另一个数的百分之几： （1）关键：确定单位“1”的量（另一个数）和比较量（一个数）。 （2）方法：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% （3）例如：六（1）班有男生25人，女生20人，男生人数是女生人数的百分之几？ 25 ÷ 20 × 100% = 1.25 × 100% = 125% 2.求一个数的百分之几是多少： （1）关键：确定单位“1”的量（已知）和所求量对应的百分率。 （2）方法：单位“1”的量 × 百分率 （3）例如：果园里有苹果树200棵，梨树的棵数是苹果树的80%，梨树有多少棵？ 200 × 80% = 200 × 0.8 = 160（棵） 3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数： （1）关键：确定单位“1”的量（未知）和已知量对应的百分率。 （2）方法：已知量 ÷ 对应百分率 （或用方程解答：设单位“1”的量为x，x × 百分率 = 已知量） （3）例如：小明看一本故事书，已经看了60页，正好是全书的40%，这本书一共有多少页？ ①算术法：60 ÷ 40% = 60 ÷ 0.4 = 150（页） ②方程法：解：设这本书一共有x页。40% x = 60，x = 60 ÷ 40%，x = 150。 知识点梳理02：稍复杂的百分数实际问题 1.求一个数比另一个数多（或少）百分之几： （1）关键：找准单位“1”的量和两个量的相差量。 （2）方法：相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% （3）例如：甲数是50，乙数是40。甲数比乙数多百分之几？乙数比甲数少百分之几？ ①甲数比乙数多：(50 - 40) ÷ 40 × 100% = 10 ÷ 40 × 100% = 25% ②乙数比甲数少：(50 - 40) ÷ 50 × 100% = 10 ÷ 50 × 100% = 20% 2.已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数： （1）关键：确定单位“1”的量（已知或未知）和所求量对应的百分率。 （2）方法一（算术法）： ①单位“1”的量已知：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 百分率 = 所求量 ②单位“1”的量未知：已知量 ÷ (1 ± 百分率) = 单位“1”的量 （3）方法二（方程法）：设单位“1”的量为x。 ①x ± x × 百分率 = 已知量 或 x × (1 ± 百分率) = 已知量 （4）例如：一件商品原价200元，现在涨价10%，现价多少元？ ①200 + 200 × 10% = 200 + 20 = 220（元） 或 200 × (1 + 10%) = 200 × 1.1 = 220（元） （5）例如：一件商品现价180元，比原价降低了10%，原价多少元？ ①算术法：180 ÷ (1 - 10%) = 180 ÷ 0.9 = 200（元） ②方程法：解：设原价x元。x - 10% x = 180 或 (1 - 10%)x = 180，0.9x = 180，x = 200。 知识点梳理03：折扣、纳税、利息 1.折扣： （1）意义：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。 （2）例如：打九折出售，就是按原价的90%出售。打八五折出售，就是按原价的85%出售。 （3）常见数量关系：原价 × 折扣 = 现价； 现价 ÷ 原价 = 折扣； 现价 ÷ 折扣 = 原价。 2.纳税： （1）意义：根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 （2）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。 （3）税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率叫做税率。 （4）数量关系：应纳税额 = 收入额 × 税率； 税率 = 应纳税额 ÷ 收入额 × 100%； 收入额 = 应纳税额 ÷ 税率。 3.利息： （1）本金：存入银行的钱叫做本金。 （2）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 （3）利率：利息与本金的比率叫做利率（通常指年利率，按年计算的利率）。 （4）时间：存款的时间。 （5）数量关系：利息 = 本金 × 利率 × 时间 （注意：利率和时间的单位要对应，如年利率对应年数） （6）到期取回总钱数 = 本金 + 利息 知识点梳理04：常考易错点提示 1.百分数的意义理解错误： 误认为百分数可以表示具体数量，在百分数后面加上单位。例如：“一段绳子长50%米”是错误的。 2.百分数与小数、分数互化时出错： （1）小数化百分数，小数点移动方向或位数错误。 （2）百分数化小数，忘记去掉百分号或小数点移动错误。 （3）分数化百分数，除不尽时保留位数不当或四舍五入错误；百分数化分数，没有约成最简分数或把分子是小数的百分数化成分数时处理不当。 3.单位“1”判断失误： 在解决“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”或“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题时，找错单位“1”的量，导致列式错误。通常“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量是单位“1”。 4.计算错误： 涉及百分数的混合运算时，计算粗心，或对小数、分数的四则运算不熟练。 5.折扣、利率、税率的实际应用混淆： 对这些概念的实际意义理解不清，或将计算公式记混。例如，利息计算忘记乘时间，或混淆“几折”和“百分之几”的对应关系。 6.“多百分之几”与“少百分之几”的基数混淆： A比B多20%，不代表B比A少20%，因为单位“1”不同。 7.审题不清： 没有仔细阅读题目要求，如“保留几位小数”、“用百分数表示”还是“用分数表示”等。 8.列方程解决问题时，等量关系找不准或解方程过程出错。 重难点考点1 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【母题精讲】（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）习总书记提出：“绿水青山就是金山银山｡”同学们到某森林公园参加植树活动，两种树的总棵数在50－60棵之间，已知柏树的棵数是松树的，则同学们种了( )棵松树｡这些树最后成活了49棵，成活率是( )。 【演练1】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【演练2】（24-25六年级上·广东佛山·期中）金山银山不及我们的绿水青山。据资料显示我国森林覆盖率从新中国成立之初的8.6%，增长到目前的23.04%。第九次森林资源清查数据显示，我国天然林面积达1.4亿公顷，人工林面积达0.8亿公顷。改革开发40多年来，我国平均每年新增森林面积2500平方公里以上。 （1）我国目前森林覆盖率比新中国成立之初多百分之几？ （2）淘气学校也积极参与了绿化植树活动，学校去年植树活动种了200棵树，成活率是80%，去年的成活棵数比今年少，今年植树活动淘气学校一共种了190棵树，今年的成活率是多少？（百分号前保留一位小数） （3）今年淘气班原来参加植树活动的有36名，其中女生占，后来又有几名女生加入，这时女生人数占总人数的，后来加入了几名女生？ 重难点考点2 求一个数比另一个数多/少百分之几 【母题精讲】（2023·四川·小升初真题）某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%；第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%。则a的值为（    ）。 A．8 B．6 C．3 D．2 【演练1】（23-24六年级上·河南南阳·期末）六一班铭铭同学原来重45千克，放假一段时间他的体重增加了10%，后来他坚持体育锻炼，体重又减轻了10%。锻炼后的体重与原来相比，是增了还是减了？增减幅度是多少？ 【演练2】甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一；最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，请问：最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？ 重难点考点3 求一个数的百分之几是多少 【母题精讲】（25-26六年级上·河北邯郸·期中）民间有一种说法叫“豆腐是包水，魔芋是个鬼”，实实在在地道出了一个数学本质——豆腐、魔芋的含水率极高！王奶奶做了50千克的魔芋，含水率是96%。搁置一段时间后，含水率下降到了95%。这时，水减少了多少千克？ 【演练1】（25-26六年级上·广东佛山·期中）某药品公司今年以每吨1000元的价格收购了100吨药材，经过加工后再出售。加工工艺分为粗加工和精加工，相关信息如下表： 工艺 每天可加工药材的吨数/吨 出品率 售价（元/吨） 粗加工 10 80% 2000 精加工 4 60% 6000 出品率是指：加工后药材成品占用来加工成品的药材原料的百分比。加工后的废品不产生效益。 （1）利用粗加工工艺，该公司每天加工药材成品能卖多少钱？ （2）该公司的客户要求将100吨药材进行加工，其中要求粗加工的占，剩余的进行精加工，并在20天内交付（因各种因素，粗加工和精加工工艺不能同时进行）。该公司是否能按时完成？请计算说明。 （3）如果该公司按照上面的方案加工，并最后以上表价格全部售出。该公司获得利润多少元？ 【演练2】（2024·河南郑州·小升初真题）有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的块数是第二包的；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？ 重难点考点4 比一个数多/少百分之几的数是多少 【母题精讲】（2025·四川遂宁·小升初真题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是6∶5，相遇后，甲的速度减少了25%，乙的速度提高了20%，这样，当乙到达A地时，甲离B地还有25千米。求A、B两地的距离是多少千米？ 【演练1】（24-25六年级下·广东东莞·期末）某市公共自行车系统实行“分段计费”：30分钟内免费，超过30分钟后，每15分钟收费1元（不足15分钟按15分钟计）。为优化运营，工作人员统计了某站点4月份的借还数据如下： 周一至周五：日均借车120次，其中单次骑行时间在10～30分钟的占60%，31～45分钟的占25%，46～60分钟的占15%； 周末：日均借车次数比工作日多50%，其中单次骑行时间在10～30分钟的占50%，31～45分钟的占15%，46～60分钟的占35%。 （1）计算工作日该站点日均骑行收费金额。 （2）若每次骑行的运营成本为0.5元（无论时间长短），计算周末该站点日均利润（利润＝收费金额－运营成本）。 （3）为鼓励短时间骑行，政府计划调整计费规则：30分钟内免费，超过30分钟后，前15分钟收费1元，之后每10分钟收费1元（不足10分钟按10分钟计）。假设骑行时间分布不变，分析调整后工作日日均收费金额的变化，并提出一条优化公共自行车运营的建议。 【演练2】（25-26六年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在A、B间的公路上做跑步训练，他们同时从A、B两地出发，相向而跑，每人跑完一个全程之后，立即回头变速跑第二个全程，起初乙的速度为甲的速度的；甲跑第二个全程时的速度比跑第一个全程时减慢了，乙跑第二个全程时的速度比跑第一个全程时加快了50%，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点257米，求A、B两地间的距离。 重难点考点5 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 【母题精讲】（2025六年级上·广东·专题练习）六（1）班组织联欢会，用气球布置会场，其中红色气球占气球总数的40%，当红色气球增加15%，其他颜色的气球共减少42个时，红色气球与其他颜色气球总数相同，则布置会场共用了多少个气球？ 【演练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）某校六年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的人数占竞赛总人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛总人数的，两项竞赛都参加的有21人，该校六年级共有 名学生。 【演练2】（2024六年级下·全国·专题练习）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”“复兴号”），中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车的运行速度信息。 信息1：普通列车运行的速度是120千米/时。     信息2：普通列车运行的速度是“和谐号”列车的40%。 信息3：快速列车运行的速度是普通列车的，“复兴号”列车运行的速度是快速列车的。 （1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题，并解答。 提出的问题： 解答过程： （2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息（    ）和信息（    ）（填序号）。“复兴号”列车的运行速度是多少？ 重难点考点6 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【母题精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）某水果店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克0.86元，从产地到水果店的距离为200千米，运费为每吨货物每运1千米收1.4元。如果在运输及销售过程中的损耗是，商店想要实现的利润率，零售价应是每千克多少元？ 【演练1】（25-26六年级上·全国·单元测试）某厂甲车间有工人180人，乙车间有工人120人，从两个车间共调出50名工人支援新厂，余下的工人因工作量增加，每人每天增加工资20%，因工种不同，现在甲车间工人每人每天工资60元，乙车间工人每人每天工资48元，已知甲、乙两个车间每天所发工资总额与以前相同，求甲车间现有工人多少人？ 【演练2】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 重难点考点7 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【母题精讲】（23-24六年级上·全国·单元测试）书店里有男生和女生共90人，其中女生占60%，走了一部分女生后，女生占现在总数的28%，走了多少个女生？ 【演练1】（23-24六年级上·全国·单元测试）陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%；第二次植树成活率为90%。第一次植树比第二次植树多死了8棵。第二次植树多少棵？ 【演练2】（23-24六年级下·福建莆田·期末）随着国产榴莲的兴起，今年榴莲的价格比往年更为便宜。鲜果水果店进了一批广西榴莲，第一次运了总数的30%，如果再运150千克，这时已运的与剩下的质量之比是2∶3，这批榴莲共有多少千克？ 1．（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面说法错误的是（    ）。 A．已知a和b互为倒数，则 B．甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69% C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×π D．，这是乐乐计算“”的过程，他是运用了统一“分数单位”来计算的。先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果 2．（2025·四川凉山·小升初真题）电影票15元1张，降价后观众增加了，售票总收入增加了二成，则每张电影票降价（    ）元。 A．7.5 B．5 C．3 D．无法计算 3．（24-25六年级上·广东惠州·期中）《九章算术》是中国古代最早的数学专著，书中记载了一个问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用所余米的20%纳税；过内关时，用剩下的纳税，最后还剩下6斗米。这个人过外关后还剩多少斗米？可以列式为（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）希望小学六（1）班女生人数比男生人数少，下面说法正确的有（    ）个。 ①男生人数比女生人数多； ②男生人数占全班的60%； ③男生人数比女生人数多25%； ④男生人数和女生人数的比是3∶2。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·四川遂宁·小升初真题）下列判断中正确的是（    ）。 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等； ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，和成反比例。 ④一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．③④⑤ 6．（2025六年级上·广东·专题练习）十一黄金周，某品牌笔记本电脑搞促销活动。其中一款降价了8%，在此基础上，商家又返还折后价的5%。售出这款笔记本电脑，商家实际降价了( )%。 7．（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）梦幻影城为了增加票房的上座率，票价打八折出售，这样出售的票数增加30%，总收益增加( )%。 8．（2025·重庆·小升初真题）某商品有76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件，买1件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算平均每件恰好按原价的85%出售，那么买三件的顾客有 人。 9．（2022六年级下·全国·专题练习）甲桶中装有10升纯酒精，乙桶中装有6升纯酒精与8升水的混合物，丙桶中装有10升水，现在先从甲桶向乙桶倒入一定量的酒精，并搅拌均匀；然后从乙桶向丙桶倒入一定量的液体，并搅拌均匀；接着从丙桶向甲桶倒入一定量的液体，最后各桶中的酒精浓度分别为：甲桶75%，乙桶50%，丙桶25%，那么此时丙桶中有混合液体 升。 10．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 11．（2025·河南郑州·小升初真题）学校要买48个一样的排球，甲、乙、丙三个商店出售这种排球，每个都是40元，但每个商店的促销方法不同：甲店买十送二；乙店每个优惠；丙店每100元返还现金15元，不足百元部分不返还。请问：到哪家商店购买最省钱？为什么？ 12．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下表是东东今年10月份在网上搜索了诺巴曼X36和诺巴曼X14两款儿童航拍无人机部分飞行参数和售价。 款式 飞行时长 传图距离 遥控器距离 售价 诺巴曼X36 42分钟 2千米 4千米 735元 诺巴曼X14 21分钟 1千米 2千米 480元 注：1.传图距离是指无人机能够将拍摄到的图像或视频数据传输回地面接收设备的最远距离。 2.遥控距离是指无人机能够接收到遥控器遥控信号的最远距离，即无人机飞行最远距离。 （1）请你算一算，诺巴曼X14无人机的最大飞行区域所覆盖的范围比诺巴曼X36小多少平方千米？ （2）下图是诺巴曼无人机专卖店2024年11、12月份营销计划。12月份与11月份之前相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ （3）东东和明明两人商量计划在11月份合买一架诺巴曼X36无人机，东东出的钱的等于明明的。东东和明明各出了多少钱？ （4）请你根据东东和明明两人出资情况，设计一套使用方案，并说说你的理由。 13．（25-26六年级上·陕西西安·期中）阅读材料，回答问题。 材料一：正常成年人在安静状态下，每100g脑组织的血流量为50~60毫升/分，脑循环总血流量约为750毫升/分，相当于心输出量的15%；而脑的质量仅占体重的2%左右。 材料二：由于脑组织代谢水平高，能量消耗几乎全部来源于糖的有氧氧化，故耗氧量很大，安静时每100g脑组织耗氧3~3.5毫升/分，脑的总耗氧量约为50毫升/分，约占全身总耗氧量的20%。 （1）安静时全身总耗氧量约为（    ）毫升/分。 （2）正常成年人在安静状态下的心输出量是多少毫升/分？ （3）材料一中的“正常成年人”体重的范围是多少？ 14．（24-25六年级下·广东东莞·期末）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 15．（25-26六年级上·全国·单元测试）A地、B地、C地、D地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进，当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地。已知乙出发的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是多少？A、D两地间的路程是多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 百分数应用题 【知识梳理+7个考点讲练+实战演练 共36题】 （解析版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：百分数的简单应用 2 知识点梳理02：稍复杂的百分数实际问题 2 知识点梳理03：折扣、纳税、利息 3 知识点梳理04：常考易错点提示 4 重点难点 考点讲练 4 重难点考点1 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 4 重难点考点2 求一个数比另一个数多/少百分之几 8 重难点考点3 求一个数的百分之几是多少 11 重难点考点4 比一个数多/少百分之几的数是多少 15 重难点考点5 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 20 重难点考点6 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 22 重难点考点7 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 25 能力提升 实战演练 27 百分数应用题是小学数学“数与代数”领域的关键内容，承接分数、比例知识，为初中代数、函数等高级概念奠定基础。它既是分数知识的延伸（如百分数与分数的互化），也是比例思想的深化（如百分比变化问题）。 百分数广泛存在于折扣、利率、税率、增长率等现实场景中，是学生理解数学与生活联系的重要窗口，体现数学的工具性价值。 知识点梳理01：百分数的简单应用 1.求一个数是另一个数的百分之几： （1）关键：确定单位“1”的量（另一个数）和比较量（一个数）。 （2）方法：比较量 ÷ 单位“1”的量 × 100% （3）例如：六（1）班有男生25人，女生20人，男生人数是女生人数的百分之几？ 25 ÷ 20 × 100% = 1.25 × 100% = 125% 2.求一个数的百分之几是多少： （1）关键：确定单位“1”的量（已知）和所求量对应的百分率。 （2）方法：单位“1”的量 × 百分率 （3）例如：果园里有苹果树200棵，梨树的棵数是苹果树的80%，梨树有多少棵？ 200 × 80% = 200 × 0.8 = 160（棵） 3.已知一个数的百分之几是多少，求这个数： （1）关键：确定单位“1”的量（未知）和已知量对应的百分率。 （2）方法：已知量 ÷ 对应百分率 （或用方程解答：设单位“1”的量为x，x × 百分率 = 已知量） （3）例如：小明看一本故事书，已经看了60页，正好是全书的40%，这本书一共有多少页？ ①算术法：60 ÷ 40% = 60 ÷ 0.4 = 150（页） ②方程法：解：设这本书一共有x页。40% x = 60，x = 60 ÷ 40%，x = 150。 知识点梳理02：稍复杂的百分数实际问题 1.求一个数比另一个数多（或少）百分之几： （1）关键：找准单位“1”的量和两个量的相差量。 （2）方法：相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% （3）例如：甲数是50，乙数是40。甲数比乙数多百分之几？乙数比甲数少百分之几？ ①甲数比乙数多：(50 - 40) ÷ 40 × 100% = 10 ÷ 40 × 100% = 25% ②乙数比甲数少：(50 - 40) ÷ 50 × 100% = 10 ÷ 50 × 100% = 20% 2.已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数： （1）关键：确定单位“1”的量（已知或未知）和所求量对应的百分率。 （2）方法一（算术法）： ①单位“1”的量已知：单位“1”的量 ± 单位“1”的量 × 百分率 = 所求量 ②单位“1”的量未知：已知量 ÷ (1 ± 百分率) = 单位“1”的量 （3）方法二（方程法）：设单位“1”的量为x。 ①x ± x × 百分率 = 已知量 或 x × (1 ± 百分率) = 已知量 （4）例如：一件商品原价200元，现在涨价10%，现价多少元？ ①200 + 200 × 10% = 200 + 20 = 220（元） 或 200 × (1 + 10%) = 200 × 1.1 = 220（元） （5）例如：一件商品现价180元，比原价降低了10%，原价多少元？ ①算术法：180 ÷ (1 - 10%) = 180 ÷ 0.9 = 200（元） ②方程法：解：设原价x元。x - 10% x = 180 或 (1 - 10%)x = 180，0.9x = 180，x = 200。 知识点梳理03：折扣、纳税、利息 1.折扣： （1）意义：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。 （2）例如：打九折出售，就是按原价的90%出售。打八五折出售，就是按原价的85%出售。 （3）常见数量关系：原价 × 折扣 = 现价； 现价 ÷ 原价 = 折扣； 现价 ÷ 折扣 = 原价。 2.纳税： （1）意义：根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 （2）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。 （3）税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率叫做税率。 （4）数量关系：应纳税额 = 收入额 × 税率； 税率 = 应纳税额 ÷ 收入额 × 100%； 收入额 = 应纳税额 ÷ 税率。 3.利息： （1）本金：存入银行的钱叫做本金。 （2）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 （3）利率：利息与本金的比率叫做利率（通常指年利率，按年计算的利率）。 （4）时间：存款的时间。 （5）数量关系：利息 = 本金 × 利率 × 时间 （注意：利率和时间的单位要对应，如年利率对应年数） （6）到期取回总钱数 = 本金 + 利息 知识点梳理04：常考易错点提示 1.百分数的意义理解错误： 误认为百分数可以表示具体数量，在百分数后面加上单位。例如：“一段绳子长50%米”是错误的。 2.百分数与小数、分数互化时出错： （1）小数化百分数，小数点移动方向或位数错误。 （2）百分数化小数，忘记去掉百分号或小数点移动错误。 （3）分数化百分数，除不尽时保留位数不当或四舍五入错误；百分数化分数，没有约成最简分数或把分子是小数的百分数化成分数时处理不当。 3.单位“1”判断失误： 在解决“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”或“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的问题时，找错单位“1”的量，导致列式错误。通常“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量是单位“1”。 4.计算错误： 涉及百分数的混合运算时，计算粗心，或对小数、分数的四则运算不熟练。 5.折扣、利率、税率的实际应用混淆： 对这些概念的实际意义理解不清，或将计算公式记混。例如，利息计算忘记乘时间，或混淆“几折”和“百分之几”的对应关系。 6.“多百分之几”与“少百分之几”的基数混淆： A比B多20%，不代表B比A少20%，因为单位“1”不同。 7.审题不清： 没有仔细阅读题目要求，如“保留几位小数”、“用百分数表示”还是“用分数表示”等。 8.列方程解决问题时，等量关系找不准或解方程过程出错。 重难点考点1 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【母题精讲】（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）习总书记提出：“绿水青山就是金山银山｡”同学们到某森林公园参加植树活动，两种树的总棵数在50－60棵之间，已知柏树的棵数是松树的，则同学们种了( )棵松树｡这些树最后成活了49棵，成活率是( )。 【答案】 35 87.5% 【思路引导】根据分数与比的关系，分数的分子相当于比的前项，分数线相当于比号，分母相当于比的后项，把转化为比3∶5，由此可知，柏树和松树一共分成（3＋5）份，即8份，求出在50－60之间的8的倍数，8×7＝56（棵），即一共种了56棵树，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用56×即可求出种松树的棵数。再根据成活率＝成活的棵数÷种的总棵数×100%，代入数据，求出成活率，即可解答。 【规范解答】＝3∶5 3＋5＝8 8×7＝56 56×＝7×5＝35（棵） 49÷56×100% ＝0.875×100% ＝87.5% 习总书记提出：“绿水青山就是金山银山｡”同学们到某森林公园参加植树活动，两种树的总棵数在50－60棵之间，已知柏树的棵数是松树的，则同学们种了35棵松树｡这些树最后成活了49棵，成活率是87.5%。 【考点剖析】根据分数与比的关系，按比例分配问题以及求一个数占另一个数的百分之几（百分率问题）的知识进行解答。 【演练1】（24-25六年级上·广东佛山·期中）农场有一块靠墙长12米，宽8米的长方形空地。张叔叔想在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，剩下的空地改造成白菜地。 （1）玉米地的半径是（    ）。 （2）白菜地的面积是多少平方米？ （3）现在张叔叔想扩建这块地，其中宽不变，长比原来增加。此时正好可以沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），扩建后剩下的空地种白菜，求扩建后的白菜地面积是原来的百分之几？（百分号前保留一位小数） 【答案】（1）6米；（2）39.48平方米；（3）88.8%。 【思路引导】（1）在这块空地靠墙处设计出一个最大的半圆形空地改造成玉米地，则以墙长为直径，因为墙长12m，所以半径是6米，6米＜8米，合理； （2）因为白菜地面积是空地面积－玉米地面积，即长方形面积－半圆面积即可求解； （3）长比原来增加，即现在的长为12×（1＋）＝14（米），沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修），即现在玉米地的半径比原来的半径多1米，求出扩建后的长方形面积与半圆面积再相减，然后求出的扩建后的白菜地面积÷原来白菜地面积，再把结果算到至少第四位小数，保留三位小数并转化成百分数即可求解。 【规范解答】（1）12÷2＝6（米） 6米＜8米，合理， 所以玉米地的半径为6米。 （2）12×8＝96（平方米） 3.14×6×6× ＝3.14×36× ＝3.14×18 ＝56.52（平方米） 96－56.52＝39.48（平方米） 答：白菜地的面积是39.48平方米。 （3）12×（1＋）＝14（米） 14×8＝112（平方米） 6＋1＝7（米） 3.14×7×7× ＝153.86× ＝76.93（平方米） 112－76.93＝35.07（平方米） 35.07÷39.48≈0.888＝88.8% 答：扩建后的白菜地面积是原来的88.8%。 【考点剖析】半圆面积是圆的面积一半，记得×；重点理解题目中的条件“沿着玉米地外沿修一条宽1米的小路（靠墙处不修）”意思是原来半圆的半径增加1米。 【演练2】（24-25六年级上·广东佛山·期中）金山银山不及我们的绿水青山。据资料显示我国森林覆盖率从新中国成立之初的8.6%，增长到目前的23.04%。第九次森林资源清查数据显示，我国天然林面积达1.4亿公顷，人工林面积达0.8亿公顷。改革开发40多年来，我国平均每年新增森林面积2500平方公里以上。 （1）我国目前森林覆盖率比新中国成立之初多百分之几？ （2）淘气学校也积极参与了绿化植树活动，学校去年植树活动种了200棵树，成活率是80%，去年的成活棵数比今年少，今年植树活动淘气学校一共种了190棵树，今年的成活率是多少？（百分号前保留一位小数） （3）今年淘气班原来参加植树活动的有36名，其中女生占，后来又有几名女生加入，这时女生人数占总人数的，后来加入了几名女生？ 【答案】（1）167.9% （2）94.7% （3）2名 【思路引导】（1）一个数比另一个数多百分之几：（另一个数－一个数）÷另一个数×100%，代入题中数据即可。 （2）根据成活棵树＝总数×成活率，可求得去年的成活棵树。已知比一个数少几分之几是另一个数，单位“1”未知，用除法，一个数＝另一个数÷（1－几分之几），可求得今年成活棵树，最后利用成活率＝成活棵树÷总棵树×100%，即可求得今年的成活率。 （3）求一个数的几分之几，单位“1”已知，用乘法，即可求得女生人数，用总数减去女生人数，可求得男生人数。已知一部分量占总量的几分之几即另一部分量，求总量，单位“1”未知，用除法，总量＝另一部分量÷（1－几分之几）。用现在的总人数减去增加前的总人数，即可求得增加了几名女生。 【规范解答】（1）（23.04%－8.6%）÷8.6%×100% ＝14.44%÷8.6%×100% ＝167.9% 答：我国目前森林覆盖率比新中国成立之初多167.9%。 （2）200×80%＝160（棵） 160÷（1－） ＝160÷ ＝ ＝180（棵） 180÷190×100%≈94.7% 答：今年的成活率是94.7%。 （3）（名） 36－14＝22（名） 22÷（1－） ＝22÷ ＝22× ＝38（名） 38－36＝2（名） 答：后来加入了2名女生。 【考点剖析】本题第三问加入女生，男生的总人数没有发生改变，利用加入女生后，男生占的分率，即可求得总人数，进而可求得加入了几名女生。 重难点考点2 求一个数比另一个数多/少百分之几 【母题精讲】（2023·四川·小升初真题）某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%；第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%。则a的值为（    ）。 A．8 B．6 C．3 D．2 【答案】D 【思路引导】假设第一季度共销售10000辆，已知第二季度该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，则把第一季度的总销售额看作单位“1”，第二季度的总销售额是第一季度的（1＋12%），根据百分数乘法的意义，用10000×（1＋12%）即可求出第二季度的总销售额；又已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，根据百分数乘法的意义，用10000×56%即可求出甲型车在第一季度的销售额；已知第二季度甲型车的销售额比第一季度增加了23%，第二季度甲型车的销售额是第一季度的（1＋23%），则把甲型车在第一季度的销售额看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用甲型车在第一季度的销售额×（1＋23%）即可求出第二季度甲型车的销售额；然后用第一季度的总销售额减去第一季度甲型车的销售额，即可求出第一季度乙、丙型车的销售额；用第二季度的总销售额减去第二季度甲型车的销售额，即可求出第二季度乙、丙型车的销售额；再根据求一个数比另一个数多（少）百分之几，用相差数除以另一个数再乘100%，则用第一季度乙、丙型车的销售额减去第二季度乙、丙型车的销售额的差，除以第一季度乙、丙型车的销售额再乘100%，即可求出第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了百分之几，进而求出a的值。 【规范解答】设第一季度共销售10000辆， 则第二季度共销售：10000×（1＋12%） ＝10000×112% ＝11200（辆） 第一季度甲型车销量：10000×56%＝5600（辆） 第二季度甲型车销量：5600×（1＋23%） ＝5600×123% ＝6888（辆） 第一季度乙、丙两种型号车销量：10000－5600＝4400（辆） 第二季度乙、丙两种型号车销量：11200－6888＝4312（辆） （4400－4312）÷4400×100% ＝88÷4400×100% ＝2% 第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了2%，所以a的值为2。 故答案为：D 【考点剖析】本题可用假设法解决问题，明确每个百分数对应的单位“1”不同是解答本题的关键。 【演练1】（23-24六年级上·河南南阳·期末）六一班铭铭同学原来重45千克，放假一段时间他的体重增加了10%，后来他坚持体育锻炼，体重又减轻了10%。锻炼后的体重与原来相比，是增了还是减了？增减幅度是多少？ 【答案】减了；减少了1% 【思路引导】把铭铭原来的体重看作单位“1”，体重先增加了10%，则增加后的体重是原来的（1＋10%），单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出铭铭增加后的体重； 后来他坚持体育锻炼，体重又减轻了10%，是把铭铭增加后的体重看作单位“1”，则锻炼后的体重是增加后体重的（1－10%）；单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出铭铭锻炼后的体重； 然后把铭铭锻炼后的体重与原来的体重作比较，如果大于原来的体重，则增了；如果小于原来的体重，则减了； 最后求增减幅度，就是求增加或减少了原来体重的百分之几，先用减法求出铭铭锻炼后的体重与原来体重的差值，再除以原来的体重即可。 【规范解答】45×（1＋10%）×（1－10%） ＝45×1.1×0.9 ＝49.5×0.9 ＝44.55（千克） 44.55＜45，体重减了； （45－44.55）÷45×100% ＝0.45÷45×100% ＝0.01×100% ＝1% 答：锻炼后的体重与原来相比，是减了，减少了1%。 【考点剖析】本题考查百分数乘除法的应用，区分两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答；求一个数比另一个数多或少的百分之几，用两数的差值除以另一个数。 【演练2】甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一；最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，请问：最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？ 【答案】甲20%，乙32% 【思路引导】先求出甲乙原有多少质量，设甲原有质量y千克水，乙原 有质量x千克酒精，分别写出每次混合甲、乙两桶内的水 和酒精的质量，最后根据“最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量”，求出x与y的关系，根据浓度 的计算公式，求出甲、乙两桶中液体的浓度即可。 【规范解答】解：设甲原有y千克水，乙原有x千克酒精。 第一次倒水后： 甲为：千克水， 乙为：千克水，千克酒精； 第二次倒完后： 甲为：水千克，酒精千克， 乙为：水千克，酒精千克； 第三次倒完后： 甲为：水千克，酒精千克， 乙为：水千克，酒精千克； 根据题意有： 解得 甲桶中酒精的浓度： 乙桶中酒精的浓度： 答：最后甲桶浓度为20%，乙桶浓度为32%。 【考点剖析】此题属于较难的浓度问题，根据浓度的变化，求出甲乙最后各有多少质量的酒精，是解答此题的关键。 重难点考点3 求一个数的百分之几是多少 【母题精讲】（25-26六年级上·河北邯郸·期中）民间有一种说法叫“豆腐是包水，魔芋是个鬼”，实实在在地道出了一个数学本质——豆腐、魔芋的含水率极高！王奶奶做了50千克的魔芋，含水率是96%。搁置一段时间后，含水率下降到了95%。这时，水减少了多少千克？ 【答案】10千克 【思路引导】已知50千克的魔芋含水率是96%，把魔芋的总质量看作单位“1”，水的质量占总质量的96%，则不含水部分的质量占总质量的（1－96%），单位“1”已知，用总质量乘（1－96%），求出不含水部分的质量； 搁置一段时间后，含水率下降到了95%，把此时魔芋的总质量看作单位“1”，水的质量占总质量的95%，那么不含水部分的质量占总质量的（1－95%），单位“1”未知，用不含水部分的质量除以（1－95%），求出此时魔芋的总质量； 最后用原来魔芋的总质量减去搁置一段时间后魔芋的总质量，即是水减少的质量。 【规范解答】50×（1－96%） ＝50×（1－0.96） ＝50×0.04 ＝2（千克）     2÷（1－95%） ＝2÷（1－0.95） ＝2÷0.05 ＝40（千克） 50－40＝10（千克） 答：水减少了10千克。 【考点剖析】抓住魔芋中不含水部分的质量不变是解题的关键。先把魔芋原有的总质量看作单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出魔芋原有的总质量；再把搁置一段时间后魔芋的总质量看作单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出后来魔芋的总质量，魔芋搁置一段时间前后总质量的变化，即是水减少的量。 【演练1】（25-26六年级上·广东佛山·期中）某药品公司今年以每吨1000元的价格收购了100吨药材，经过加工后再出售。加工工艺分为粗加工和精加工，相关信息如下表： 工艺 每天可加工药材的吨数/吨 出品率 售价（元/吨） 粗加工 10 80% 2000 精加工 4 60% 6000 出品率是指：加工后药材成品占用来加工成品的药材原料的百分比。加工后的废品不产生效益。 （1）利用粗加工工艺，该公司每天加工药材成品能卖多少钱？ （2）该公司的客户要求将100吨药材进行加工，其中要求粗加工的占，剩余的进行精加工，并在20天内交付（因各种因素，粗加工和精加工工艺不能同时进行）。该公司是否能按时完成？请计算说明。 （3）如果该公司按照上面的方案加工，并最后以上表价格全部售出。该公司获得利润多少元？ 【答案】（1）16000元 （2）能 （3）180000元。 【思路引导】（1）先用100乘80%求出成品药材是多少，再乘2000就是卖出的钱数。 （2）先用100乘得出粗加工药材的质量40，再除以10就是需要的时间，用药材的总质量减去粗加工药材的质量，求出精加工药材的质量即，再用精加工药材的质量除以4求出精加工需要的天数，再求出总天数，最后与20比较即可； （3）首先计算收购药材需要的成本，然后计算粗加工成品卖出的钱数，接着计算精加工成品卖出的钱数，最后根据利润＝总销售额－总成本，计算利润即可。 【规范解答】（1）10×80%＝8（吨） 8×2000＝16000（元） 答：公司每天加工药材成品能卖16000元。 （2）10010 ＝40÷10 ＝4（天） （100－40）÷4 ＝60÷4 ＝15（天） 15＋4＝19（天） 20＞19 答：公司是能按时完成。 （3）100×1000＝100000（元） 40×80%×2000 ＝32×2000 ＝64000（元） 60×60%×6000 ＝36×6000 ＝216000（元） 64000＋216000－100000 ＝280000－100000 ＝180000（元） 答：该公司获得利润180000元。 【考点剖析】关键是紧扣出品率公式、分步骤规划加工时间并围绕“利润＝总销售额－总成本”，依次解决销售额、加工时间和利润问题。 【演练2】（2024·河南郑州·小升初真题）有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：①第一包糖的块数是第二包的；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的2倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？ 【答案】44% 【思路引导】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，那么第一包糖数量与第二包糖数量的比为2∶3，把两包糖的总数看作2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝；因为巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的2倍，设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x，那么在第一包糖中所占百分比为2x，第一包糖中巧克力糖占总数的比为2x×，第二包糖中巧克力糖占总数的比为x×，所以第一包糖中巧克力糖占总数的比与第二包糖中巧克力糖占总数的比为（2x×）∶（x×）＝4∶3；又因为两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，即0.28，所以第一包糖中巧古力糖占总数的比为0.28×＝0.16，也就是16%；已知第一包糖中巧克力糖占总数的比为16%，第一包糖占总数的，那么巧克力糖在第一包糖中所占的百分比16%÷＝0.4＝40%，把第一包糖看作单位“1”，那么水果糖在第一包糖中所占的百分比为100%－25%－40%＝35%；求两包糖合在一起时水果糖所占的百分比，第一包糖占总数的，其中水果糖占35%，所以第一包糖中的水果占总数的35%×，第二包糖占总数的，其中水果糖占50%，所以第二包糖中的水果糖中的水果占总数的50%×，据此把第一包糖中的水果占总数的分率加上第二包糖中的水果糖中的水果占总数的分率相加即可解答。 【规范解答】已知第一包糖的粒数是第二包糖的，2＋3＝5份，所以第一包糖占总数的，第二包糖占总数的1－＝； 设巧克力糖在第二包糖中所占百分比为x。 （2x×）∶（x×） ＝x∶x ＝∶ ＝（×5）∶（×5） ＝4∶3 28%× ＝0.28× ＝0.16 ＝16% 16%÷＝0.16×＝0.4＝40% （1－25%－40%）×＋50%× ＝（75%－40%）×＋30% ＝35%×＋30% ＝14%＋30% ＝44% 答：水果糖所占的百分比是44%。 【考点剖析】根据分数与比的关系，分数与百分数的关系、分数除法、分数乘法的意义求出第一包糖中的水果占总数的分率和第二包糖中的水果糖中的水果占总数的分率是解题的关键。 重难点考点4 比一个数多/少百分之几的数是多少 【母题精讲】（2025·四川遂宁·小升初真题）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是6∶5，相遇后，甲的速度减少了25%，乙的速度提高了20%，这样，当乙到达A地时，甲离B地还有25千米。求A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】550千米 【思路引导】同时出发，相遇时，时间相同，速度之比就是路程之比，甲、乙两人所行的路程比为6∶5；甲的速度减少了25%，即变为原速度的（1－25%），乙的速度提高了20%，即变为原速度的（1＋20%），则相遇后甲速度：乙速度＝[6×（1－25%）]∶[5×（1＋20%）]＝3∶4，当乙到达A地时，甲离B地还有25千米，甲、乙时间相同，路程之比即为速度之比；乙从相遇点到达A时，行了甲所走过的路程，即全程的，则甲行了全程的（×＝），进一步计算出甲离B地的25千米是全程的（1－－），据此根据已知数÷对应分率＝单位“1”，求出A、B两地的距离。 【规范解答】[6×（1－25%）] ∶[5×（1＋20%）] ＝[6×75%]∶[5×120%] ＝4.5∶6 ＝（4.5÷1.5）∶（6÷1.5） ＝3∶4 × ＝ ＝ 25÷（1－－） ＝25÷（1－－） ＝25÷（－） ＝25÷ ＝25×22 ＝550（千米） 答：A、B两地的距离是550千米。 【考点剖析】理解“时间相同时，速度之比＝路程之比”是解题关键，能够灵活运用，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 【演练1】（24-25六年级下·广东东莞·期末）某市公共自行车系统实行“分段计费”：30分钟内免费，超过30分钟后，每15分钟收费1元（不足15分钟按15分钟计）。为优化运营，工作人员统计了某站点4月份的借还数据如下： 周一至周五：日均借车120次，其中单次骑行时间在10～30分钟的占60%，31～45分钟的占25%，46～60分钟的占15%； 周末：日均借车次数比工作日多50%，其中单次骑行时间在10～30分钟的占50%，31～45分钟的占15%，46～60分钟的占35%。 （1）计算工作日该站点日均骑行收费金额。 （2）若每次骑行的运营成本为0.5元（无论时间长短），计算周末该站点日均利润（利润＝收费金额－运营成本）。 （3）为鼓励短时间骑行，政府计划调整计费规则：30分钟内免费，超过30分钟后，前15分钟收费1元，之后每10分钟收费1元（不足10分钟按10分钟计）。假设骑行时间分布不变，分析调整后工作日日均收费金额的变化，并提出一条优化公共自行车运营的建议。 【答案】（1）66元 （2）63元 （3）见详解 【思路引导】（1）把工作日该站点日均借车120次看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，分别求出工作日不同骑行时间区间的借车次数，再根据收费规则计算各区间的收费，最后求和得到工作日该站点日均骑行收费金额。 （2）已知周末日均借车次数比工作日多50%，把工作日日均借车次数看作单位“1”，则周末日均借车次数是工作日的（1＋50%），单位“1”已知，用工作日日均借车次数乘（1＋50%），求出周末日均借车次数。 把周末该站点日均借车次数看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，分别求出周末不同骑行时间区间的借车次数，再根据收费规则计算各区间的收费，最后求和得到周末日均收费金额。 若每次骑行的运营成本为0.5元（无论时间长短），用周末该站点日均借车次数乘0.5，求出运营成本，再用周末该站点日均收费金额减去运营成本，求出周末该站点日均利润。 （3）先根据新收费规则，重新计算工作日不同骑行时间区间的收费，在与原收费比较，最后提出运营建议合理即可。 【规范解答】（1）120×60%＝72（次） 120×25%＝30（次） 120×15%＝18（次） 工作日日均借车120次，各骑行时长占比及收费： 10～30分钟（60%）：72次，免费； 31～45分钟（25%）：30次，超过30分钟1～15分钟，按1个15分钟计费，每次收费1元，共30×1＝30（元）； 46～60分钟（15%）：18次，超过30分钟16～30分钟，按2个15分钟计费，每次收费2元，共18×2＝36（元）。 日均收费金额：30＋36＝66（元） 答：工作日该站点日均骑行收费金额为66元。 （2）周末日均利润计算如下： 周末日均借车次数： 120×（1＋50%） ＝120×1.5 ＝180（次） 180×50%＝90（次） 180×15%＝27（次） 180×35%＝63（次） 各骑行时长占比及收费： 10～30分钟（50%）：90次，免费； 31～45分钟（15%）：27次，每次收费1元，共27×1＝27（元） 46～60分钟（35%）：63次，每次收费2元，共63×2＝126（元） 日均收费金额：27＋126＝153（元） 运营成本：180×0.5＝90（元） 日均利润：153－90＝63（元） 答：周末该站点日均利润为63元。 （3）调整后工作日日均收费金额变化及建议： 新规则：30分钟内免费，超过30分钟后，前15分钟收费1元，之后每10分钟收费1元（不足10分钟按10分钟计）。 31～45分钟（30次）：超过30分钟1～15分钟，仍属前15分钟，收费1元，无变化； 46～60分钟（18次）：超过30分钟16～30分钟，前15分钟收费1元，剩余1～15分钟按每10分钟计费（如16分钟需额外1元，30分钟需额外2元），单次收费增至2～3元，整体收费增加。 答：调整后工作日日均收费金额将上升。优化建议：可通过APP推送短时间骑行奖励（如积分兑换），鼓励用户在30分钟内归还车辆，降低长时骑行比例，提升运营效率。（建议不唯一） 【考点剖析】本题考查百分数乘法的意义及应用，以及分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准是解题的关键。 【演练2】（25-26六年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在A、B间的公路上做跑步训练，他们同时从A、B两地出发，相向而跑，每人跑完一个全程之后，立即回头变速跑第二个全程，起初乙的速度为甲的速度的；甲跑第二个全程时的速度比跑第一个全程时减慢了，乙跑第二个全程时的速度比跑第一个全程时加快了50%，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点257米，求A、B两地间的距离。 【答案】680米 【思路引导】设全程为“1”，甲的初始速度为“1”，将抽象的速度和路程关系具象化，逐步分析甲、乙的运动过程，精准求出两次相遇地点距离占全程的分率，再结合已知的两次相遇点实际距离257米，最终算出A、B两地的距离。 首先，利用设定的全程和甲的初始速度，结合乙与甲初始速度的比例关系，求出两人第一次相遇的时间，进而得到第一次相遇时乙距离起点的路程；接着，计算乙跑完全程所需时间，以及在这段时间内甲从B地出发返回跑的路程；然后，分析乙从A地开始返回后，到与甲再次相遇的过程，求出此阶段的相遇时间；最后，综合前面的计算结果，求出两次相遇地点之间的距离占全程的分率，再根据实际距离与该分率的对应关系，求出A、B两地的全程长度。 【规范解答】设全程为“1”，甲的起始速度为“1”： 两人第一次相遇用时： 1÷（1＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 此时乙距起点为：×＝ 乙跑完全程时，甲从B地出发返回跑的路程： [（1－）÷－÷1]×（1－） ＝[÷－]×（1－） ＝[×－]× ＝[－]× ＝[－]× ＝× ＝ 乙从返回到再次相遇用时： （1－）÷[×（1＋50%）＋（1－）] ＝÷[×＋] ＝÷[＋] ＝÷[＋] ＝÷ ＝× ＝ 两次相遇地点相距： ×＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝ 全程：257÷ ＝257× ＝680（米） 答：两地相距680米。 【考点剖析】通过设定单位“1”简化速度和路程的表示，分阶段分析甲、乙运动过程，利用行程问题基本公式（速度、时间、路程关系）逐步推导，关键是准确求出两次相遇点距离占全程的分率，从而结合实际距离求出全程。 重难点考点5 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 【母题精讲】（2025六年级上·广东·专题练习）六（1）班组织联欢会，用气球布置会场，其中红色气球占气球总数的40%，当红色气球增加15%，其他颜色的气球共减少42个时，红色气球与其他颜色气球总数相同，则布置会场共用了多少个气球？ 【答案】300个 【思路引导】红色气球原来占总数的40%，增加15%后，增加后的数量是原来的（1＋15%），根据百分数乘法的意义，用原来的百分比乘（1＋15%）可得到增加后的百分比，即40%×（1＋15%）＝46%；其他颜色气球原来占总数的百分比为1―40%，当红色气球增加后与其他颜色气球数量相同时，其他颜色气球减少的数量对应的百分比等于原来其他颜色气球的百分比减去红色气球增加后的百分比，即1－40%－46%＝14%；已知其他颜色气球减少的数量是42个，且该数量对应的百分比是14%，根据“总数＝部分数量÷对应百分比”，用42除以14%可得到气球总数。 【规范解答】42÷[1－40%－40%×（1＋15%）] ＝42÷[1－40%－40%×1.15] ＝42÷[1－40%－0.46] ＝42÷[0.6－0.46] ＝42÷0.14 ＝300（个） 答：布置会场共用了300个气球。 【考点剖析】首先根据分数减法的意义求出其他颜色的气球数量占气球总数量的分率，然后求出减少的42个占总数的分率是完成本题的关键，然后根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法。 【演练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）某校六年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的人数占竞赛总人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛总人数的，两项竞赛都参加的有21人，该校六年级共有 名学生。 【答案】450 【思路引导】先用（）求出两项竞赛都参加的21人占参加竞赛人数的分率，再用21除以这个分率求出参加竞赛的人数，最后用参加竞赛的人数除以20%就是六年级学生总数。 【规范解答】 （名） （名） 则该校六年级共有450名学生。 【考点剖析】遇到 “两项都参加 / 都选” 的题目，先算重叠部分占总数的分率，再用 “具体人数 ÷ 对应分率” 算总数，这是解决这类题的常用方法。 【演练2】（2024六年级下·全国·专题练习）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”“复兴号”），中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车的运行速度信息。 信息1：普通列车运行的速度是120千米/时。     信息2：普通列车运行的速度是“和谐号”列车的40%。 信息3：快速列车运行的速度是普通列车的，“复兴号”列车运行的速度是快速列车的。 （1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题，并解答。 提出的问题： 解答过程： （2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息（    ）和信息（    ）（填序号）。“复兴号”列车的运行速度是多少？ 【答案】（1）见详解；（2）1；3；350千米/时 【思路引导】（1）提出的问题合理即可，例如：“和谐号”列车运行的速度是多少？已知普通列车运行的速度是“和谐号”列车的40%，则把“和谐号”列车的速度看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用120÷40%即可求出“和谐号”列车的速度； （2）根据题意可知，涉及“复兴号”列车和普通列车的信息有1和3，据此可知，普通列车运行的速度是120千米/时，快速列车运行的速度是普通列车的，把普通列车的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用120×即可求出快速列车运行的速度；又已知“复兴号”列车运行的速度是快速列车的，把快速列车运行的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用120××即可求出“复兴号”列车运行的速度。 【规范解答】（1）提出的问题是： “和谐号”列车运行的速度是多少？ 解答过程：120÷40%＝300（千米/时） 答：“和谐号”列车运行的速度是300千米/时。（答案不唯一） （2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息1和信息3。 120××＝350（千米/时） 答：“复兴号”列车的运行速度是350千米/时。 重难点考点6 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【母题精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）某水果店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克0.86元，从产地到水果店的距离为200千米，运费为每吨货物每运1千米收1.4元。如果在运输及销售过程中的损耗是，商店想要实现的利润率，零售价应是每千克多少元？ 【答案】1.50元 【思路引导】根据每运1千米收1.4元，从产地到水果店的距离为200千米，先求出每吨苹果的运费，再根据1吨＝1000千克，求出每千克的运费； 用每千克的收购价加上每千克的运费，算出每千克的总成本； 运输损耗5%，实际剩余（1－5%），用总成本除以实际剩余的百分之几，求出实际成本； 利润率是25%，根据零售价＝实际成本×（1＋25%），求出零售价。 【规范解答】每千克的运费：1.4×200÷1000 ＝280÷1000 ＝0.28（元/ 千克） 每千克的总成本：0.86＋0.28＝1.14（元/ 千克） 每千克的实际成本：1.14÷（1－5%） ＝1.14÷95% ＝1.20（元/ 千克） 零售价：1.20×（1＋25%） ＝1.20×1.25 ＝1.50（元/ 千克） 答：零售价应是每千克1.50元。 【考点剖析】理顺解题思路：首先计算每千克苹果的运费，再结合收购价得到总成本。考虑运输损耗后，将总成本分摊到剩余苹果上，最后根据利润率计算零售价。 【演练1】（25-26六年级上·全国·单元测试）某厂甲车间有工人180人，乙车间有工人120人，从两个车间共调出50名工人支援新厂，余下的工人因工作量增加，每人每天增加工资20%，因工种不同，现在甲车间工人每人每天工资60元，乙车间工人每人每天工资48元，已知甲、乙两个车间每天所发工资总额与以前相同，求甲车间现有工人多少人？ 【答案】150人 【思路引导】设甲车间现有工人人，则乙车间现有工人：人，现在的工资总额为元；每人每天增加工资20%后，甲车间工人每人每天60元，乙车间工人每人每天48元，则之前甲车间每人每天为元，算得50元；乙车间每人每天为元，算得40元，之前工资总额为元。根据“工资总额不变”列方程：，求解即可算出甲车间现有工人多少人。 【规范解答】 （元） （元） 解：设甲车间现有工人人，则乙车间现有工人： 人 答：甲车间现有工人150人。 【考点剖析】解题关键在于先通过“现在工资是原来的（1＋20%）”求出甲、乙车间原来的每人每天工资，再依据“工资总额不变”这一等量关系，设未知数、列方程求解。 【演练2】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 【答案】48人 【思路引导】由题意可知，原一班和原二班出去的人数都占本班人数的（＋），那么新三班的30人占原来两个班总人数的（1－－），把原来两个班的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出原来两个班的总人数； 然后用原来两个班的总人数减去新三班的30人，求出新一班和新二班的人数之和； 已知新一班的人数比新二班的人数多10%，把新二班的人数看作单位“1”，则新一班的人数是新二班的（1＋10%），那么新一班和新二班的人数和占新二班的（1＋1＋10%）；单位“1”未知，用新一班和新二班的人数之和除以（1＋1＋10%），求出新二班的人数； 再用新一班和新二班的人数和减去新二班的人数，求出新一班的人数； 已知原一班的与原二班的组成新一班，那么新一班与新二班的人数差占原一班与原二班人数差的（－），把原一班与原二班的人数差看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出原来两个班的人数差； 最后根据和差问题的计算方法，用原来两个班的人数和加上原来两个班的人数差，再除以2，求出原来一班的人数即可。 【规范解答】原来两个班的总人数： 30÷（1－－） ＝30÷（1－－） ＝30÷ ＝30× ＝72（人） 新一班和新二班的人数之和：72－30＝42（人） 新二班的人数： 42÷（1＋1＋10%） ＝42÷（1＋1＋0.1） ＝42÷2.1 ＝20（人） 新一班的人数：42－20＝22（人） 原一班与原二班人数之差： （22－20）÷（－） ＝2÷ ＝2×12 ＝24（人） 原一班人数： （72＋24）÷2 ＝96÷2 ＝48（人） 答：原一班有48人。 【考点剖析】本题考查分数、百分数除法的应用，抓住总人数不变，理清复杂的数量关系，根据条件中的数量关系和逻辑关系，逐步解答。 重难点考点7 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【母题精讲】（23-24六年级上·全国·单元测试）书店里有男生和女生共90人，其中女生占60%，走了一部分女生后，女生占现在总数的28%，走了多少个女生？ 【答案】40个 【思路引导】根据“男生和女生共90人，其中女生占60%”，可以列式90－90×60%得出男生人数。再根据“走了一部分女生后，女生占现在总数的28%”，得出男生的人数占走一部分女生后现在人数的（1－28%），由此求出现在人数，再用原来的总人数减去现在人数即可求出走了多少个女生。据此解答。 【规范解答】（90－90×60%）÷（1－28%） ＝（90－54）÷72% ＝36÷0.72 ＝50（个） 90－50＝40（个） 答：走了40个女生。 【考点剖析】解答此题的关键是根据题意，判断出男生人数不变，再找出对应量，列式解答即可。 【演练1】（23-24六年级上·全国·单元测试）陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%；第二次植树成活率为90%。第一次植树比第二次植树多死了8棵。第二次植树多少棵？ 【答案】220棵 【思路引导】陈大爷第一次植树200棵，成活率为85%，则死亡的棵数是第一次植树的，用第一次植树棵数乘死亡棵数占第一次植树棵数的分率，求出第一次植树的死亡棵数；用第一次植树的死亡棵数减去8棵，求出第二次植树死亡棵数，用第二次植树死亡棵数除以第二次植树死亡棵数占第二次植树棵数的分率，求出第二次植树棵数。 【规范解答】第二次死亡棵数： （棵） 第二次植树棵数： （棵） 答：第二次植树220棵。 【考点剖析】本题考查百分数，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。 【演练2】（23-24六年级下·福建莆田·期末）随着国产榴莲的兴起，今年榴莲的价格比往年更为便宜。鲜果水果店进了一批广西榴莲，第一次运了总数的30%，如果再运150千克，这时已运的与剩下的质量之比是2∶3，这批榴莲共有多少千克？ 【答案】1500千克 【思路引导】鲜果水果店进了一批广西榴莲，第一次运了总数的30%，如果再运150千克，这时已运的与剩下的质量之比是2∶3，则两次运的数量占总数的，再减去第一次运了总数的30%，求出第二次运的150千克占总数的分率，用150千克除以它占总数的分率，求出这批榴莲共有多少千克即可。 【规范解答】总数： （千克） 答：这批榴莲共有1500千克。 【考点剖析】本题考查按比分配、百分数，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。 1．（2025六年级上·广东广州·专题练习）下面说法错误的是（    ）。 A．已知a和b互为倒数，则 B．甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69% C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×π D．，这是乐乐计算“”的过程，他是运用了统一“分数单位”来计算的。先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果 【答案】C 【思路引导】A．互为倒数的两个数乘积为1，根据比与除法的关系，可以将比转化为除法计算。 B．根据题意，把丙的价格看作单位“1”，乙的价格比丙高30%，则乙的价格是丙价格的（1＋30%），甲的价格比乙价格高30%，用乙价格乘（1＋30%），得到甲价格，求甲比丙价格高的百分数，用甲和丙的价格差除以丙的价格，求出甲的价格比丙高百分之几即可。 C．相邻跑道之间起跑线相差距离等于相邻跑道的半径差乘2乘π。跑道宽就是相邻跑道的半径差。 D．分数的基本性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。利用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算。 【规范解答】A．已知a和b互为倒数，ab＝1，则 ＝ ＝ ＝ 把ab＝1代入可得，。原题正确。 B．[1×（1＋30%）×（1＋30%）－1]÷1 ＝[1×（1＋0.3）×（1＋0.3）－1]÷1 ＝[1×1.3×1.3－1]÷1 ＝[1.69－1]÷1 ＝0.69÷1 ＝0.69 ＝69% 甲的价格比乙高30%，乙的价格比丙高30%，那么甲的价格比丙高69%。原题正确。 C．400m标准跑道，如果跑一圈，相邻起跑线相差：跑道宽×2×π。原题错误。 D．乐乐先运用分数的基本性质把两个分数单位进行统一，然后用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。计算方法是正确的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查分数的基本性质，分数除法以及比与分数、除法的关系。 2．（2025·四川凉山·小升初真题）电影票15元1张，降价后观众增加了，售票总收入增加了二成，则每张电影票降价（    ）元。 A．7.5 B．5 C．3 D．无法计算 【答案】C 【思路引导】设原来的观众人数为单位“1”。根据题意可知：原来的总收入为：151＝15（元）；总收入增加二成后为：15（1＋20%）＝151.2＝18（元）；降价后观众人数为：1（1＋）＝1.5（人）。再求降价后的票价：降价后的票价＝降价后的总收入降价后的观众人数，即181.5＝12（元），最后求每张票降价的金额：原价15元，降价后12元，降价金额为：15－12＝3（元）。 【规范解答】设原来的观众人数为单位“1”，为1人 原来的总收入：151＝15（元） 总收入增加二成后：15（1＋20%）＝151.2＝18（元） 降价后观众人数：1（1＋）＝1.5人 降价后的票价：181.5＝12（元） 每张票降价的金额：15－12＝3（元） 故答案为：C 【考点剖析】道题的难点在于：没有给出观众人数，得把原来的观众数设为单位“1”才能计算；同时牵扯到成数要转百分数，“二成”要先换成20%，不然没法算总收入的变化；还要注意的是这道题步骤多，按“原收入→新收入→新观众数→新票价→降价金额”的顺序算，一步错就会全错。 3．（24-25六年级上·广东惠州·期中）《九章算术》是中国古代最早的数学专著，书中记载了一个问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用所余米的20%纳税；过内关时，用剩下的纳税，最后还剩下6斗米。这个人过外关后还剩多少斗米？可以列式为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－20%），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过外关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过外关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过外关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【规范解答】过内关时剩余米的斗数＝， 过中关时剩余米的斗数＝过外关后还剩米的斗数＝。 故答案为：C 【考点剖析】关键是确定两句话的单位“1”，理解分数除法及百分数除法的意义，利用逆推法，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 4．（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）希望小学六（1）班女生人数比男生人数少，下面说法正确的有（    ）个。 ①男生人数比女生人数多； ②男生人数占全班的60%； ③男生人数比女生人数多25%； ④男生人数和女生人数的比是3∶2。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】女生人数比男生人数少，那男生人数为单位“1”，即将男生人数平均分成3份，女生人数占其中的2份。 ①那男生比女生多3－2＝1份，要想求男生人数比女生人数多几分之几，就用男生比女生多的份数除以女生的份数即可。 ②男生占3份，女生占2份。那全班就是3＋2＝5份，所以求男生占全班的百分之几就是用男生的份数除以全班的份数即可。 ③根据①中所得的答案，将分数化成百分数即可。 ④男生人数和女生人数的比就是：男生人数∶女生人数，即男生所占的份数∶女生所占的份数。 【规范解答】女生人数比男生人数少，那男生人数为单位“1”，即将男生人数平均分成3份，女生占其中的2份。 ①男生人数比女生人数多几分之几： （3－2）÷2 ＝1÷2 ＝ 所以男生人数比女生人数多，①说法不正确； ②全班总份数：3＋2＝5（份） 3÷5＝60% 所以男生人数占全班的60%，②说法正确； ③由①中可知男生人数比女生人数多 ＝50% 所以男生人数比女生人数多50%，③说法不正确； ④男生人数和女生人数的比为3∶2，④说法正确 所以说法正确的有2个。 故答案为：B 【考点剖析】本题要求掌握已知一个数比另一个数多（或少）几分之几，求另一个数比这个数少（或多）几分之几的方法。另外需要理解比的意义。 5．（2025·四川遂宁·小升初真题）下列判断中正确的是（    ）。 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等； ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，和成反比例。 ④一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【思路引导】①根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2（r是半径）可知，圆的周长相等，则圆的半径就相等，那么圆的面积也就相等； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，举例数值代入，据此判断出长方形周长相等，面积是否相等； ②等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此判断； ③判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此判断； ④设圆的半径为1，增加后圆的半径是原来半径的（1＋10%），据此求出增加后圆的半径；然后根据圆的面积＝πr2（r是半径），求出原来圆的面积和增加半径后圆的面积；再根据“半径增加后圆的面积增加的百分比＝（增加后的面积－原来圆的面积）÷原来圆的面积×100%”计算即可； ⑤设乙数是1，则甲数是乙数的（1＋），用1乘（1＋）计算出甲数；再根据“乙数比甲数少的分率＝（甲数－乙数）÷甲数”计算即可； 据此解答。 【规范解答】①圆的周长相等，则圆的半径也相等，圆的面积一定相等； 设一个长方形的长是5，宽是2；另一个长方形的长是4，宽是3。 （5＋2）×2 ＝7×2 ＝14 （3＋4）×2 ＝7×2 ＝14 两个长方形周长相等。 5×2＝10 4×3＝12 10≠12 所以两个长方形面积不相等。 所以长方形周长相等，但是面积不一定相等。 因为周长相等的两个圆，面积一定相等，周长相等的两个长方形，面积不一定相等；原说法错误。 ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的。原说法正确。 ③＝＋5.4（＋5.4≠0），当一定时，＋5.4的值也一定，即的乘积一定，所以和成反比例。原说法正确。 ④设原来圆的半径为1。 1×（1＋10%） ＝1×1.1 ＝1.1 （1.12π－12π）÷（12π）×100% ＝（1.21π－π）÷π×100% ＝0.21π÷π×100% ＝0.21×100% ＝21% 一个圆的半径增加10%，它的面积增加21%。原说法正确。 ⑤设乙数是1。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 甲数比乙数多，乙数比甲数少。原说法正确。 所以②③④⑤说法正确。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了对圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积的掌握情况；对反比例的意义的掌握情况；对“求比一个数多/少几分之几的数”的运算能力。掌握“求比一个数多/少几分之几的数”的运算；了解反比例的意义及辨识；熟练运用圆的面积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。 6．（2025六年级上·广东·专题练习）十一黄金周，某品牌笔记本电脑搞促销活动。其中一款降价了8%，在此基础上，商家又返还折后价的5%。售出这款笔记本电脑，商家实际降价了( )%。 【答案】12.6 【思路引导】设笔记本电脑原价为单位“1”。第一步，降价8%后的售价为原价的（1－8%＝92%）；第二步，返还此时售价5%的现金，相当于实际支付价格为降价后售价的（1－5%＝95%），因此实际支付价格是原价的（92%×95%＝87.4%）。那么相当于降价的比例为1－87.4%，据此解答。 【规范解答】1－8%＝92% 1－5%＝95% 92%×95%＝87.4% 1－87.4%＝12.6% 所以商家实际降价了12.6%。 7．（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）梦幻影城为了增加票房的上座率，票价打八折出售，这样出售的票数增加30%，总收益增加( )%。 【答案】4 【思路引导】本题可通过设数的方式分别求出原来的总收益和打折后的总收益，再根据公式计算总收益增加的百分比。 总收益＝单价（票价）×数量（售票数）； 打几折，就是现价是原价的百分之几（如：八折就是现在的票价是原来的80%）； 增加后的数量，即数量×（1＋增长率）； 收益增加百分之几，即（打折后的总收益－原来的总收益）÷原来的总收益×100%。 【规范解答】设原来的票价为100元，原来的售票数量为100张。 原来的总收益：100×100＝10000（元） 打折后的票价：100×80%＝80（元） 打折后的售票数量：100×（1＋30%） ＝100×1.3 ＝130（张） 打折后的总收益：80×130＝10400（元） 总收益增加的百分比：（10400－10000）÷10000×100% ＝400÷10000×100% ＝0.04×100% ＝4% 总收益增加4%。 【考点剖析】此类题的通用解法：新收益=（原价×折扣率）×［原数量×(1+增长率）］，增长率=（新收益－原收益）÷原收益×100%，直接设数代入，即可快速求解。 8．（2025·重庆·小升初真题）某商品有76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件，买1件按原定价，买两件降价10%，买三件降价20%，最后结算平均每件恰好按原价的85%出售，那么买三件的顾客有 人。 【答案】14 【思路引导】假设每件商品1元，已知有76件商品，原总价为1×76＝76元；平均每件按原价的85%出售，那么现总售价是76×85%＝76×0.85＝64.6。所以总优惠金额是76－64.6＝11.4元。 买1件：没有优惠，优惠金额为0。买2件：每件降价10%，也就是每件优惠1×10%＝1×0.1＝0.1，2件优惠0.1×2＝0.2元。买3件：每件降价20%，也就是每件优惠1×20%＝1×0.2＝0.2，3件优惠0.2×3＝0.6元。 设买1件的有x人，买2件的有y人，买3件的有z人。顾客人数是33人，可得：x＋y＋z＝33。 商品数量是76件，可得：x＋2y＋3z＝76。用x＋2y＋3z＝76减x＋y＋z＝33得：x＋2y＋3z－（x＋y＋z）＝76－33，即：y＋2z＝43，所以y＝43－2z。 买2件的优惠金额是0.2y；买3件的优惠金额是0.6z；总优惠金额是0.2y＋0.6z＝11.4。把y＝43－2z代入可得：0.2×（43－2z）＋0.6z＝11.4，然后解方程即可。 【规范解答】假设每件商品1元。 1×76＝76（元） 76×85% ＝76×0.85 ＝64.6（元） 76－64.6＝11.4（元） 买2件优惠： 1×10%×2 ＝1×0.1×2 ＝0.2（元） 买3件优惠： 1×20%×3 ＝1×0.2×3 ＝0.6（元） 解：设买1件的有x人，买2件的有y人，买3件的有z人。 x＋y＋z＝33 x＋2y＋3z＝76 0.2y＋0.6z＝11.4 用x＋2y＋3z＝76减x＋y＋z＝33得： x＋2y＋3z－（x＋y＋z）＝76－33 x＋2y＋3z－x－y－z＝43 y＋2z＝43 y＝43－2z 把y＝43－2z代入0.2y＋0.6z＝11.4可得： 0.2×（43－2z）＋0.6z＝11.4 8.6－0.4z＋0.6z＝11.4 8.6＋0.2z＝11.4 0.2z＝11.4－8.6 0.2z＝2.8 z＝2.8÷0.2 z＝14 所以买三件的顾客有14人。 【考点剖析】本题主要考查列方程解决复杂的问题，根据人数和商品数量的关系列方程。先计算出总优惠金额，再根据人数和商品数的关系应用优惠的金额解答。 9．（2022六年级下·全国·专题练习）甲桶中装有10升纯酒精，乙桶中装有6升纯酒精与8升水的混合物，丙桶中装有10升水，现在先从甲桶向乙桶倒入一定量的酒精，并搅拌均匀；然后从乙桶向丙桶倒入一定量的液体，并搅拌均匀；接着从丙桶向甲桶倒入一定量的液体，最后各桶中的酒精浓度分别为：甲桶75%，乙桶50%，丙桶25%，那么此时丙桶中有混合液体 升。 【答案】16 【思路引导】①原先乙桶的水比酒精多2升，由于第一次混合后乙桶中的浓度为50%，也就是说酒精与水的质量相等，因此从甲桶中倒入的酒精就是2升； ②第二次混合，从乙桶中倒入若干浓度为50%的混合液体到丙里面，与10升水混合，得到的混合液体浓度为25%。对于倒入的那部分混合液体，酒精的量不变，浓度变成一半说明混合液体总量增加，新倒入的混合液体的量与水的量相等，均为10升。 ③第三次混合，甲桶内还剩8升酒精，与一部分浓度为25%的混合液体混合，最终浓度为75%，因此，从丙桶向甲桶倒入混合液体4升。那么，最后丙桶中有混合液体（10＋10－4）升。 【规范解答】①第一次混合，乙桶中的浓度为50%，则从甲桶中倒入的酒精的质量是： 8－6＝2（升） ②第二次混合，是一部分浓度为50%的混合液体与10升水混合，最终浓度为25%，因此向乙桶倒入混合液体10升； ③此时甲桶中尚有酒精：10－2＝8（升） 第三次混合，从丙中倒入若干浓度为25%的混合液体后，浓度变为75%； 原来酒精与水的比是25%∶（1－25%）＝0.25∶0.75＝1∶3 现在酒精与水的比是75%∶（1－75%）＝0.75∶0.25＝3∶1＝9∶3 由于水的量没变，所以酒精的量增加了：9－1＝8（份） 从丙中倒入混合液体的酒精是：8÷8＝1（升） 则倒入的混合液体是：1÷25%＝4（升） 丙中剩下混合液体：10＋10－4＝16（升） 【考点剖析】在多次混合中，要抓住每次混合中的不变量，有时是水不变，有时是酒精不变；通过不变量，利用比的关系，解决问题。 10．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 【答案】6千米 【思路引导】设比赛的全程为x千米。根据时间相同时，路程之比等于速度之比。由前后两次速度不变且同时进行，可知两次的路程之比相等，第一次陈老师和王老师的路程分别为，第二次陈老师和王老师的路程分别为，二者的比相等，利用比例的基本性质，即可解比例，求得比赛的全程。 【规范解答】解：设比赛的全程为x千米。 x＝6 答：比赛的全程为6千米。 【考点剖析】本题重点在于前后两次路程之比相等，设全程为x千米，将陈老师和王老师两次的路程分别表示出来，列出比例，解比例即可。 11．（2025·河南郑州·小升初真题）学校要买48个一样的排球，甲、乙、丙三个商店出售这种排球，每个都是40元，但每个商店的促销方法不同：甲店买十送二；乙店每个优惠；丙店每100元返还现金15元，不足百元部分不返还。请问：到哪家商店购买最省钱？为什么？ 【答案】甲店；因为到甲店购买只要付1600元就可以购得48个排球。 【思路引导】甲店：买10个送2个，每（10＋2）个需付10个的钱。需购买组数：48÷12＝4（组），实际付款个数：4×10＝40（个），总费用：40×40＝1600（元）； 乙店：每个优惠15%，单价为：40×（1－15%），计算为34元，总费用：48×34＝1632（元）； 丙店：原总价：48×40＝1920（元），满100元返还次数：1920÷100＝19（次）……20（元），返还金额：19×15＝285（元），实际总费用：1920－285＝1635（元）。 再比较去甲、乙、丙店分别需要的总费用即可知道去哪个店购买最省钱。 【规范解答】甲店：10＋2＝12（个） 48÷12＝4（组） 4×10＝40（个） 40×40＝1600（元） 乙店： 40×（1－15%） ＝40×（1－0.15） ＝40×0.85 ＝34（元） 48×34＝1632（元） 丙店：48×40＝1920（元） 1920÷100＝19（次）……20（元） 19×15＝285（元） 1920－285＝1635（元） 1600元＜1632元＜1635元 答：到甲店购买最省钱。因为到甲店购买只要付1600元就可以购得48个排球。（答案不唯一） 【考点剖析】解题关键是清晰理解各店促销规则，依据规则准确计算出在每个店购买的实际花费，进而对比找出最省钱的方案。 12．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下表是东东今年10月份在网上搜索了诺巴曼X36和诺巴曼X14两款儿童航拍无人机部分飞行参数和售价。 款式 飞行时长 传图距离 遥控器距离 售价 诺巴曼X36 42分钟 2千米 4千米 735元 诺巴曼X14 21分钟 1千米 2千米 480元 注：1.传图距离是指无人机能够将拍摄到的图像或视频数据传输回地面接收设备的最远距离。 2.遥控距离是指无人机能够接收到遥控器遥控信号的最远距离，即无人机飞行最远距离。 （1）请你算一算，诺巴曼X14无人机的最大飞行区域所覆盖的范围比诺巴曼X36小多少平方千米？ （2）下图是诺巴曼无人机专卖店2024年11、12月份营销计划。12月份与11月份之前相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ （3）东东和明明两人商量计划在11月份合买一架诺巴曼X36无人机，东东出的钱的等于明明的。东东和明明各出了多少钱？ （4）请你根据东东和明明两人出资情况，设计一套使用方案，并说说你的理由。 【答案】（1）37.68平方千米 （2）涨了；40% （3）350元；385元 （4）见详解 【思路引导】（1）最大飞行区域是个圆，遥控距离相当于圆的半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别计算出诺巴曼X14无人机和诺巴曼X36无人机的最大飞行区域，求差即可。 （2）假设10月份营销计划是100架，将10月份营销计划看作单位“1”，11月份营销计划是10月份的（1－40%），10月份营销计划×11月份对应百分率＝11月份营销计划；再将11月份营销计划看作单位“1”，12月份营销计划是11月的（1＋40%），11月份营销计划×12月份对应百分率＝12月份营销计划。比较即可确定涨了还是降了；11月份和12月份营销计划的差÷11月份营销计划＝变化幅度。 （3）求一个数的几分之几是多少用乘法，假设东东出的钱×＝明明出的钱×＝1，根据积÷因数＝另一个加数，分别计算东东和明明出的钱，根据比的意义，写出两人出的钱数比，化简，将比的前后项看成份数，一架诺巴曼X36无人机的钱数÷总份数＝一份数，一份数分别乘东东和明明的对应份数，即可求出东东和明明出的钱数。 （4）答案不唯一，合理即可，根据两人出的钱数比，遵循出钱多的多使用，出钱少的少使用即可。 【规范解答】（1）3.14×42－3.14×22 ＝3.14×16－3.14×4 ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（平方千米） 答：诺巴曼X14无人机的最大飞行区域所覆盖的范围比诺巴曼X36小37.68平方千米。 （2）假设10月份营销计划是100架。 100×（1－40%） ＝100×0.6 ＝60（架） 60×（1＋40%） ＝60×1.4 ＝84（架） 84＞60 （84－60）÷60 ＝24÷60 ＝0.4 ＝40% 答：12月份与11月份之前相比是涨了，变化幅度是40%。 （3）假设东东出的钱×＝明明出的钱×＝1 东东：1÷＝1×＝ 明明：1÷＝1×＝ 东东和明明出的钱数比：∶＝（×6）∶（×6）＝10∶11 735÷（10＋11） ＝735÷21 ＝35（元） 35×10＝350（元） 35×11＝385（元） 答：东东和明明各出了350元、385元钱。 （4）东东和明明出的钱数比是10∶11，每个月可以让明明多使用1天，因为明明出资比东东稍微多一些。 【考点剖析】本题较为综合，既要掌握并灵活运用圆的面积公式，又要理解百分数和比的意义，要综合运用所学知识。 13．（25-26六年级上·陕西西安·期中）阅读材料，回答问题。 材料一：正常成年人在安静状态下，每100g脑组织的血流量为50~60毫升/分，脑循环总血流量约为750毫升/分，相当于心输出量的15%；而脑的质量仅占体重的2%左右。 材料二：由于脑组织代谢水平高，能量消耗几乎全部来源于糖的有氧氧化，故耗氧量很大，安静时每100g脑组织耗氧3~3.5毫升/分，脑的总耗氧量约为50毫升/分，约占全身总耗氧量的20%。 （1）安静时全身总耗氧量约为（    ）毫升/分。 （2）正常成年人在安静状态下的心输出量是多少毫升/分？ （3）材料一中的“正常成年人”体重的范围是多少？ 【答案】（1）250；（2）5000毫升/分；（3）62.5~75千克 【思路引导】（1）安静时脑的总耗氧量是50毫升/分，占全身总耗氧量的20%，把安静时全身的总耗氧看作是单位“1”，则安静时脑的总耗氧量＝全身总耗氧量×20%，即全身总耗氧量＝安静时脑的总耗氧量÷20%，据此解答。 （2）脑循环总血流量约为750毫升/分，相当于心输出量的15%，把正常成年人在安静状态下的心输出量看作是单位“1”，则脑循环总血流量＝心输出量×15%，即正常成年人在安静状态下的心输出量＝脑循环总血流量÷15%，据此解答。 （3）每100g脑组织的血流量为50~60毫升/分，脑循环总血流量约为750毫升/分，先计算出750毫升中有多少个100克脑组织，用计算出的个数乘100克就可以计算出脑的质量，脑的质量仅占体重的2%左右，则脑的质量＝体重×2%，即体重＝脑的质量÷2%。当每100克脑组织的血流量为50毫升/分时，体重为：750÷50×100÷2%；当每100克脑组织的血流量为60毫升/分时，体重为：750÷60×100÷2%，据此解答。 【规范解答】（1）50÷20% ＝50÷0.2 ＝250（毫升/分） 则安静时全身总耗氧量约为250毫升/分。 （2）750÷15% ＝750÷0.15 ＝5000（毫升/分） 答：正常成年人在安静状态下的心输出量是5000毫升/分。 （3）当每100克脑组织的血流量为50毫升/分时，体重是： 750÷50×100÷2% ＝15×100÷2% ＝1500÷0.02 ＝75000（克） 750÷60×100÷2% ＝12.5×100÷2% ＝1250÷0.02 ＝62500（克） 75000克＝75千克，62500克＝62.5千克 答：材料一中的“正常成年人”体重的范围是62.5~75千克。 【考点剖析】解决第1、2题的重点是先找出单位“1”，利用分数乘除法列算式解决。第3题根据每100g脑组织的血流量为50~60毫升/分，脑循环总血流量约为750毫升/分，需要先计算出750毫升中有多少个100克脑组织，用计算出的个数乘100克就可以计算出脑的质量，再根据体重＝脑的质量÷2%，计算出体重，注意分为两种血流量50毫升/升以及60毫升/升来计算。 14．（24-25六年级下·广东东莞·期末）某社区为改善老旧道路，计划用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道。工程队联系了搅拌站，混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5（每立方米混凝土总质量约2400千克）。搅拌站有一辆圆柱形搅拌车，罐体内部长（圆柱的高）5米、底面直径2米（π取3.14），每次搅拌需预留10%的空间防止溢出。 （1）铺设这条人行道需要多少立方米混凝土？按配比计算，需要水泥、沙子、石子各多少吨？（1吨＝1000千克） （2）搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是多少？若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要多少车次才能完成任务？（结果保留整数） 【答案】（1）混凝土120立方米；水泥57.6吨；沙子86.4吨；石子144吨 （2）14.13立方米；6车次 【思路引导】（1）已知用混凝土铺设一条长200米、宽4米、厚0.15米的人行道，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出混凝土的体积，再乘每立方米混凝土的质量，求出铺设这条人行道需混凝土的总质量，并根据进率“1吨＝1000千克”换算单位。 已知混凝土中水泥、沙子、石子的质量比为2∶3∶5，即水泥、沙子、石子的质量分别占混凝土总质量的、、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出铺设这条人行道需要水泥、沙子、石子的质量。 （2）已知圆柱形搅拌车的罐体内部长5米、底面直径2米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出搅拌车罐体的容积； 把搅拌车罐体的容积看作单位“1”，已知每次搅拌需预留10%的空间防止溢出，则每次实际可运输混凝土的体积是罐体容积的（1－10%），单位“1”已知，用罐体容积乘（1－10%），求出搅拌车每次实际可运输的混凝土体积。 若每天需铺设80立方米混凝土，求完成任务至少需要的车次，用每天需铺设混凝土的体积除以搅拌车每次实际可运输的混凝土体积即可，计算结果根据“进一法”保留整数。 【规范解答】（1）混凝土体积：200×4×0.15＝120（立方米） 总质量：120×2400＝288000（千克） 288000千克＝288吨 水泥：288× ＝288× ＝57.6（吨） 沙子：288× ＝288× ＝86.4（吨） 石子：288× ＝288× ＝144（吨） 答：铺设这条人行道需要120立方米混凝土。按配比计算，需要水泥57.6吨，沙子86.4吨，石子144吨。 （2）圆柱的底面半径：2÷2＝1（米） 搅拌车罐体的容积： 3.14×12×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方米） 实际可运输： 15.7×（1－10%） ＝15.7×0.9 ＝14.13（立方米） 至少需要运： 80÷14.13≈6（车次） 答：搅拌车每次实际可运输的混凝土体积是14.13立方米。若每天需铺设80立方米混凝土，至少需要6车次才能完成任务。 【考点剖析】（1）本题考查长方体体积公式的应用以及按比分配问题，把比转化成分数，再根据分数乘法的意义求解。 （2）先根据圆柱的容积公式求出搅拌车罐体的容积，再把它看作单位“1”，得出实际运输混凝土的体积是罐体容积的（1－10%），根据百分数乘法意义求出实际运输混凝土的体积；最后计算运输车次时要根据“进一法”保留整数。 15．（25-26六年级上·全国·单元测试）A地、B地、C地、D地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进，当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地。已知乙出发的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是多少？A、D两地间的路程是多少米？ 【答案】125米；1880米 【思路引导】由于同时到达，所以甲追上丙后二者速度相等，乙追上丙后二者速度相等。乙出发时的速度是每分钟60米，遇到丙后速度变为45米/分，所以丙的速度为45米/分，可以推知甲在追上丙后的速度变为45米/分，在追上乙后追上丙之前速度为75米/分，甲出发时的速度为125米/分，甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，则在乙追上丙时也追上了甲，此时甲走的路程为（75t＋45×9）米，乙走的路程为60×（t＋9）米，甲乙走的路程相等，据此列出方程求解，即可知道C，D的距离，甲从C地花了9分钟追上丙，所以此时丙到C地的距离为270米，据此可以算出甲从A地到C地，丙走的时间，AC的距离，最后AC，CD相加即为AD的距离。 【规范解答】解：甲→丙速度相同，乙→丙速度相同， 乙遇到丙后速度变为：60×（1－25%）＝60×0.75＝45（米/分） 甲在追上乙后追上丙之前速度为：45÷（1－40%）＝45÷0.6＝75（米/分） 甲出发时的速度为：75÷（1－40%）＝75÷0.6＝125（米/分） 甲在C 地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，得 75t＋45×9＝60×（t＋9） 解得t＝9 C、D的距离为：75t＋45×9＋50 ＝75×9＋405＋50 ＝1130（米） 甲从C地花了9分钟追上丙，所以此时丙到C地的距离为75×9－45×9＝270（米） 甲从A地到C地，丙走了：270÷45＝6（分钟） 那么A、C的距离：125×6＝750（米） A、D的距离：1130＋750＝1880（米） 答：甲出发时的速度是每分钟125米，A，D两地间的路程是1880米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $