第三讲 工程问题（分数应用题专项-知识梳理+3个考点讲练+实战演练 共27题）-2025-2026学年苏教版数学六年级上册初等奥数培优讲义

第三讲 工程问题 【知识梳理+3个考点讲练+实战演练 共27题】 （原卷版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：工程问题在主要概念 1 知识点梳理02：解决工程问题的基本思路 2 知识点梳理03：划分工程问题的基本题型 2 知识点梳理04：重点难点解析 3 知识点梳理05：竞赛考点挖掘 3 重点难点 考点讲练 3 重难点考点1 有具体量的工程问题 3 重难点考点2 两人合作的工程问题 4 重难点考点3 较复杂的工程问题（竞赛类） 5 能力提升 实战演练 6 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。 知识点梳理01：工程问题在主要概念 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变， 即：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率； 在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=，即为所求，同时也是甲完成这项工作的速度，所以就是这道题中甲的工作效率。 在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。 知识点梳理02：解决工程问题的基本思路 (1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。 (2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“ 1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。 (3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。 知识点梳理03：划分工程问题的基本题型 (1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. (2) 工资问题 从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。 (3) 牛吃草问题 从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。 (4) 周期问题问题 从数学本质解法来看，同上。 知识点梳理04：重点难点解析 （1）. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向 （2）. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。 知识点梳理05：竞赛考点挖掘 （1）. 工程问题的基本数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。解题时，要抓住这一关系，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。 （2）. 抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要对应工作每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。 要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。 重难点考点1 有具体量的工程问题 【母题精讲】甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里的面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库里的面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库里的面粉搬完，同时还要个 工人。（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉。） 【演练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）灌满一个水池，只打开A管要8小时，只打开B管要10小时，只打开C管要15小时，开始时只打开A管和B管，中途关掉A、B两管，然后打开C管，前后共用了10小时15分钟，那么C管打开了 小时。 【演练2】（2025·重庆·小升初真题）电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【演练3】有两块草地，第一块比第二块大。现有一批工人去割草，上午的人去第一块草地割草，剩下的人去第二块草地割草；下午的人去第一块草地割草，剩下的人去第二块草地割草。结果傍晚时，第一块草地已经割完，第二块草地还需26名工人再割1天才完成则工人共有多少名？ 重难点考点2 两人合作的工程问题 【母题精讲】（25-26六年级上·江西上饶·月考）一项工程，甲、乙两人一起做需36天完成，乙、丙两人一起做需45天完成，甲、丙两人一起做需60天完成。甲、乙、丙三人分别单独做，各需多少天完成？ 【演练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成，先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路， 天可以完成。 【演练2】（25-26六年级上·江西九江·期中）甲、乙两人共同完成一项工程，甲、乙一起做6天完成了工程的，剩下的由甲单独做8天完成，按完成的工作量分配工资，甲获得工资2800元，乙应得工资( )元。 【演练3】（25-26六年级上·浙江台州·期中）小张和小陈合作完成一项任务，需要24天。如果这项任务先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天，最后只能完成这项任务的，那么小张和小陈单独完成这项任务各需要多少天？ 重难点考点3 较复杂的工程问题（竞赛类） 【母题精讲】（2021六年级·全国·竞赛）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天。已知甲单独完成这件工作需天。问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？ 【演练1】甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。那么，丙队与乙队合作了多少天？ 【演练2】一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 【演练3】（2021六年级·全国·竞赛）有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，天可以全部完工，共需要支付元，由乙、丙两队合作，天可以完工，共需要支付元，由甲、丙两队合作，天可以完成，共需要支付，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工 天。需要支付速度最快的队伍 元。 1．（2025六年级上·广东广州·专题练习）一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？下面是小伍解决这道题的思路，正确的是（    ）。 A．假设道路长为30km，列式解答合修天数：。 B．假设道路的长度不同，如1km或100km，则求出两队合修的时间也不同。 C．合修天数是（12＋18）÷2＝15（天）。 D．道路的总长度无论怎样改变，两队每天修的长度占总长度的几分之一不变。 2．（2025·吉林长春·小升初真题）有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6个小时，乙需7个小时，丙需14个小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完，则丙帮乙搬运了（    ）。 A．2小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（2025·河北石家庄·小升初真题）一项工作，乙单独做需要16小时做完，先甲、乙两人合作，甲的效率提高，乙的效率提高，合作5小时完成全部工作的，那么甲单独做需要（    ）小时完成。 A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2024五年级·全国·竞赛）小王和小张加工某零件，各需要完成400个，已知小王每分钟完成2个，每工作60分钟休息10分钟；小张每分钟完成1个，每工作50分钟后休息10分钟，他们同时开始工作，先完成任务者，接着帮助同伴一起完成余下工作，当总共800个零件完成时，小王共花费了（    ）分钟（包括休息时间）。 A．230 B．200 C．210 D．310 E．300 5．（2025·河南郑州·小升初真题）一项工程如由甲、乙合作需要8天完成，现由甲先做3天，乙再做5天，才完成工程的，那么由乙单独做需 天完成。 6．（2025·陕西西安·小升初真题）一项工程，甲、乙、丙合作需要15天完成，如果丙休息5天乙就要多做3天，或者由甲、乙合作多做2天，这项工程由甲单独做需要( )天。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）一项工程，甲单独完成需10天，乙单独完成需15天，丙单独完成需20天，三人合作3天后，甲有其它任务而退出，剩下乙、丙继续工作直至完工，完成这项工程共用( )天。 8．（23-24六年级上·全国·假期作业）农场里要给农田除草，A队单独做要4小时，B队单独做要6小时，两队合做2小时可以完成这项除草工作的。 9．（24-25六年级上·河南周口·期中）修一条水渠，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修6天后，剩下的由乙队单独修完，乙队一共修了多少天？ 10．（25-26六年级上·安徽淮北·期中）为迎接庆元旦活动，六（1）班和六（2）班的学生准备制作一批扎花作为装饰。如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，现由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成。已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，求这批扎花共有多少个？ 11．（24-25六年级上·四川凉山·期中）西昌邛海湿地国际马拉松赛于2014年开始举办，是四川举办的首个国际马拉松比赛，赛道沿途穿越美丽的邛海湿地，被国内外参赛选手誉为“中国最美马拉松赛道”。在2016—2018年连续三年获得中国田径协会认证最高殊荣“金牌赛事”。通常设马拉松42.195千米，半程马拉松21.0975千米和迷你马拉松5千米三个项目，2023年11月18日举办了第七届西昌邛海湿地马拉松赛，共计21000人参赛。为了保障今年赛事的顺利推进，给选手一个安全的赛道环境，计划由两个工程队对路面进行修复，甲乙两队合作12天完成任务，如果甲队先做3天，再由乙队接着做8天，这时完成这项工程的。乙队单独完成需要多少天？ 12．（2025·湖南长沙·小升初真题）一项工作，甲每天做8小时，30天能完成（不休息），乙每天做10小时，22天能完成（不休息）。甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合作，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了多少天？ 13．（24-25六年级上·湖北荆州·期末）鱼苗池中有池水，一个进水管10小时可以把空池注满，一个出水管16小时可以把整池水放完，为保证水的流动，按进水管先开1小时，出水管再开1小时的顺序轮流注、放水，几小时后水池的水第一次注满？（注意：将水池注满最后应该是轮到进水管） 14．甲、乙、丙丁四名打字员承担一项打字任务，若由这4人的某人单独完成打字任务，甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时． （1）如果按甲、乙、丙、丁四个人同时打字，那么需要多少小时完成？ （2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁、……的顺序轮流打字，每轮中每人打字各1小时，那么需要多少时间完成？ （3）能否把（2）题中所说的甲、乙、丙、丁的次序做适当的调整，其余不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半个小时？如果不能，请说明理由；如果能，至少说出一中轮流次序，并求出能提前多少小时完成打字任务？ 15．甲、乙一起完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了 ，乙的工作效率比单独做时提高了 ，甲、乙一起做8小时完成了这项工作。如果甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要几小时？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 工程问题 【知识梳理+3个考点讲练+实战演练 共27题】 （解析版） 学习定位 知识引入 1 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：工程问题在主要概念 1 知识点梳理02：解决工程问题的基本思路 2 知识点梳理03：划分工程问题的基本题型 2 知识点梳理04：重点难点解析 3 知识点梳理05：竞赛考点挖掘 3 重点难点 考点讲练 3 重难点考点1 有具体量的工程问题 3 重难点考点2 两人合作的工程问题 7 重难点考点3 较复杂的工程问题（竞赛类） 11 能力提升 实战演练 15 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。 知识点梳理01：工程问题在主要概念 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变， 即：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率； 在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=，即为所求，同时也是甲完成这项工作的速度，所以就是这道题中甲的工作效率。 在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。 知识点梳理02：解决工程问题的基本思路 (1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。 (2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。 (3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。 知识点梳理03：划分工程问题的基本题型 (1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. (2) 工资问题 从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。 (3) 牛吃草问题 从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。 (4) 周期问题问题 从数学本质解法来看，同上。 知识点梳理04：重点难点解析 （1）. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向 （2）. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。 知识点梳理05：竞赛考点挖掘 （1）. 工程问题的基本数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。解题时，要抓住这一关系，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。 （2）. 抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要对应工作每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。 要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。 重难点考点1 有具体量的工程问题 【母题精讲】甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里的面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库里的面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库里的面粉搬完，同时还要个 工人。（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉。） 【答案】36 【思路引导】设 1 个工人 1 小时搬的面粉量为 “1 份”，1 台输送机 1 小时搬的面粉量为 “x份”，每个仓库的面粉总量为 “总量”。通过甲、乙仓库面粉总量相等，建立方程，解得x值，再计算丙仓库工人2小时的工作量，即可求解。 【规范解答】甲仓库的面粉总量是5x＋12×5×1，即5x＋60， 乙仓库的面粉总量是3x＋28×3×1，即3x＋84， 因为甲、乙仓库总量相同，所以5x＋60＝3x＋84， 可化为2x＝24，解得x＝12， 甲、乙、丙仓库总量为5×12＋60＝120， 则丙仓库的工人完成的工作量为120－2×12×2＝72， 即丙仓库所需要工人数量为72÷2＝36（人）。 【演练1】（2025·重庆渝北·小升初真题）灌满一个水池，只打开A管要8小时，只打开B管要10小时，只打开C管要15小时，开始时只打开A管和B管，中途关掉A、B两管，然后打开C管，前后共用了10小时15分钟，那么C管打开了 小时。 【答案】8.25 【思路引导】将灌满水池的工作量看作单位“1”，则A管的工作效率为，B管的工作效率为，C管的工作效率为，根据1小时＝60分钟，将10小时15分钟转化为小时，设C管打开了小时，则A、B两管打开的时间为（）小时，根据工作量之和为1，可列方程：，先计算括号里的和，将10.25转化为分数，合并含的式子，根据等式的性质1，等式两边同时加上，再等式两边同时减去1，根据等式的性质2，等式两边同时除以，解出方程，即可求解。 【规范解答】15分钟＝小时 10小时15分钟＝10.25小时 解：设C管打开了小时， 因此灌满一个水池，只打开A管要8小时，只打开B管要10小时，只打开C管要15小时，开始时只打开A管和B管，中途关掉A、B两管，然后打开C管，前后共用了10小时15分钟，那么C管打开了8.25小时。 【考点剖析】把总工作量设为单位 1，通过 “时间” 反求各工具的工作效率；明确 “各阶段工作时间的关系”（ “总时间 ＝ A/B 时间＋C时间”）；根据 “各阶段工作量之和 ＝ 总工作量” 列方程，快速求解未知时间。 【演练2】（2025·重庆·小升初真题）电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【答案】1991元 【思路引导】要使经济损失最小，需将修复时间短的车辆优先分配给工人，减少总停开时间。将7辆车的修复时间从小到大排序为8、12、14、17、18、23、30分钟。分配给3名工人时，尽量均衡各组的总停开时间。最优分配为：工人①修8、14、18分钟的车，总停开时长为8＋8＋14＋8＋14＋18＝70分钟。工人②修17、23分钟的车，总停开时长为17＋17＋23＝57分钟。工人③修12、30分钟的车，总停开时长为12＋12＋30＝54分钟。把3名工人总停开时长相加后再与11相乘即可解答。 【规范解答】将修复时间排序：8、12、14、17、18、23、30分钟。 工人①：8、14、18分钟，停开时间总和：8＋8＋14＋8＋14＋18＝70（分钟） 工人②：17、23分钟，停开时间总和：17＋17＋23＝57（分钟） 工人③：12、30分钟，停开时间总和：12＋12＋30＝54（分钟） （70＋57＋54）×11 ＝181×11 ＝1991（元） 答：最少损失1991元。 【考点剖析】本题可根据要使经济损失降到最低，应让修复用时短的车辆优先维修，且使三名工人的工作时间尽量均匀的原则来安排维修顺序，进而计算出最少损失。 【演练3】有两块草地，第一块比第二块大。现有一批工人去割草，上午的人去第一块草地割草，剩下的人去第二块草地割草；下午的人去第一块草地割草，剩下的人去第二块草地割草。结果傍晚时，第一块草地已经割完，第二块草地还需26名工人再割1天才完成则工人共有多少名？ 【答案】144名 【思路引导】可以将这批工人一天的工作量看成1，则上午的工作量是，下午的工作量也是。第一块地上午的人，下午的割，正好在傍晚的时候割完，这时第一块地工作量为。将整个工作量看成1，则剩余的工作量为。第一块地比第二块地大，就是将第二块地看成单位“1”，则第二块地是，也就是的工作量可以割完的地，则1块地需要的工作量就是。即第一块地所需要的工作量是，剩余的工作量是，相差的工作量未完成，即需要26名工人1天的时间，已知一个数的几分之几，求这个数用除法。 【规范解答】设这批工人一天的工作量是1。 （人） 答：工人共有144名。 【考点剖析】合理的分析题目，找出题目中的突破口，本题中是将所有工人的工作量看成1份。这样得出相同时间内，工作量的分配。 重难点考点2 两人合作的工程问题 【母题精讲】（25-26六年级上·江西上饶·月考）一项工程，甲、乙两人一起做需36天完成，乙、丙两人一起做需45天完成，甲、丙两人一起做需60天完成。甲、乙、丙三人分别单独做，各需多少天完成？ 【答案】甲需90天；乙需60天；丙需180天 【思路引导】把这项工程看作单位“1”，则工作效率＝1÷工作时间，分别计算出甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率； 将甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率加起来后，再除以2即可求出甲、乙、丙三人合作一天的工作效率； 用甲、乙、丙合作一天的工作效率分别减去甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率即可求出甲、乙、丙各自的工作效率； 最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间分别计算出甲、乙、丙单独做各需要的时间，据此解答。 【规范解答】把这项工程看作单位“1” 甲、乙两人合作一天完成1÷36＝ 乙、丙两人合作一天完成1÷45＝ 甲、丙两人合作一天完成1÷60＝ 那么甲、乙、丙人合作一天完成 ＋＋ ＝＋＋ ＝ ＝ ÷2 ＝× ＝ 丙单独一天完成 － ＝－ ＝ 甲单独一天完成 － ＝－ ＝ ＝ 乙单独一天完成 － ＝－ ＝ ＝ 那么：甲、乙、丙单独做，各需要天数为： 甲：1÷＝1×90＝90（天） 乙：1÷＝1×60＝60（天） 丙：1÷＝1×180＝180（天） 答：甲、乙、丙单独做分别需要90天、60天、180天。 【考点剖析】此题主要考查了稍复杂的工程问题，解答此意的关键是把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝1÷工时，分别计算出甲、乙，乙、丙，甲、丙两人合作一天的工作效率，进而得出甲、乙、丙三人合作一天的工作效率，即可解题。 【演练1】（2025·重庆北碚·小升初真题）一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成，先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路， 天可以完成。 【答案】10 【思路引导】把这条公路设为单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，用1÷24可得到甲队的工作效率，即一天可完成这条公路的；用1÷30可得到乙队的工作效率，即一天可完成这条公路的； 根据“甲、乙两队合修4天”，可知甲乙合作4天；“再由丙队参加一起修7天后全部完成”，可知甲乙又继续工作了7天，合在一起相当于甲乙合作4＋7＝11天，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，用甲乙工作效率之和×11可求出甲乙的工作总量之和。 又因为丙总共工作了7天，用1－甲乙工作总量之和可求出丙的工作总量，再除以7，可得到丙的工作效率。最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，用1÷甲乙丙三人的工作效率之和，即可解答。 【规范解答】甲的工作效率：1÷24＝ 乙的工作效率：1÷30＝ （＋）×（4＋7） ＝×11 ＝ 丙的工作效率： （1－）÷7 ＝÷7 ＝ ＝ 1÷（＋＋） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1÷ ＝1×10 ＝10（天） 所以如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，10天可以完成。 【考点剖析】本题考查了工程问题的计算，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答问题。 【演练2】（25-26六年级上·江西九江·期中）甲、乙两人共同完成一项工程，甲、乙一起做6天完成了工程的，剩下的由甲单独做8天完成，按完成的工作量分配工资，甲获得工资2800元，乙应得工资( )元。 【答案】2000 【思路引导】把这项工程的工作总量看作单位“1”，甲、乙一起做6天完成了工程的，还剩下工程的，剩下的由甲单独做8天完成，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用，求出甲的工作效率，再求出甲工作6天和工作8天完成这项工程的分率。 把甲、乙获得工资的总钱数看作单位“1”，甲获得工资2800元，对应的是甲工作6＋8＝14天完成这项工程的分率，再用2800÷甲工作14天完成的这项工程的分率，求出甲、乙获得工资的总钱数，再减去甲获得工资的钱数，即可求出乙应获得的工资。 【规范解答】甲的工作效率： ＝2000（元） 甲、乙两人共同完成一项工程，甲、乙一起做6天完成了工程的，剩下的由甲单独做8天完成，按完成的工作量分配工资，甲获得工资2800元，乙应得工资2000元。 【考点剖析】工程问题，要找准单位“1”并熟练掌握工程问题的公式是解题的关键。 【演练3】（25-26六年级上·浙江台州·期中）小张和小陈合作完成一项任务，需要24天。如果这项任务先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天，最后只能完成这项任务的，那么小张和小陈单独完成这项任务各需要多少天？ 【答案】60天；40天 【思路引导】把这项任务总量看作是单位“1”，小张和小陈合作完成一项任务，需要24天，则两人合作一天，能够完成任务的1÷24＝。已知“先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天”相当于两人合作4天，两人合作4天完成任务的（），那么小张（6－4）天完成这项任务的（），用（）除以（6－4）就是小张的工作效率；用减去小张的工作效率就是小陈的工作效率，再用单位“1”分别除以两人的工作效率就是两人完成这项任务分别需要的时间。 【规范解答】1÷24＝ （）÷（6－4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （天） （天） 答：小张单独完成这项任务需要60天，小陈单独完成这项任务需要40天。 【考点剖析】解题关键是将特殊工作方式转化为合作与单独工作的组合，进而求出两人工作效率，最终算出单独完成任务的时间。 重难点考点3 较复杂的工程问题（竞赛类） 【母题精讲】（2021六年级·全国·竞赛）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天。已知甲单独完成这件工作需天。问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？ 【答案】天 【思路引导】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期＋1天，第二种可能是完整周期 ＋2天，分情况进行讨论。 【规范解答】如果是第一种可能，有，得。然而此时甲、乙、丙的效率和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。 再看第二种可能： 完整周期 不完整周期 完成总工程量 第一种情况 个周期 甲1天，乙1天 “1” 第二种情况 个周期 乙1天，丙1天，甲天 “1” 第三种情况 个周期 丙1天，甲1天，乙天 “1” 可得，所以，。因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为。 于是，一个周期内他们完成的工程量为。则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成。所以第二种可能是符合题意的。于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天。 答：完成工作要用天。 【考点剖析】本题考查的是轮流工作型的工程问题，此类问题通常与周期问题相结合。 【演练1】甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。那么，丙队与乙队合作了多少天？ 【答案】15天 【思路引导】先整体考虑，求出三人完成A，B两项工程所需要的时间，然后求出这段时间里乙完成的工程量，B剩下的一部分工程量是丙完成的，求出这部分的工程量是多少，除以工作效率即可。 【规范解答】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1＋＝； 而甲、乙、丙合作时的工作效率为＋＋＝，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷＝18（天） 在这18天，乙完成18×＝的工程量，则B工程中剩下的－＝的工程量是由丙帮助完成，即÷＝15（天） 答：丙队与乙队合作了15天。 【考点剖析】对于这种“帮忙型”的工程问题，整体考虑是解题的关键，先整体分析，再局部分析。 【演练2】一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 【答案】1100方土 【思路引导】先求出两队同时施工的工作效率之和，以及遇到地下水后的工作效率之和，求出47.25方土，占总的工程量的几分之几，然后根据量率对应求出总的工程量。 【规范解答】甲、乙合作时工作效率为： （＋）×（1＋20%） ＝ ＝ 则的工程量需÷＝（天） 则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10－＝（天） 则此时甲、乙合作的工作效率为÷＝ 遇到地下水前后工作效率的差为：－＝ 则总工作量为47.25÷＝1100（方） 答：整工程要挖1100方土。 【考点剖析】本题考查的是工程问题，需要注意的是施工过程中，工作效率是变化的。 【演练3】（2021六年级·全国·竞赛）有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，天可以全部完工，共需要支付元，由乙、丙两队合作，天可以完工，共需要支付元，由甲、丙两队合作，天可以完成，共需要支付，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工 天。需要支付速度最快的队伍 元。 【答案】 45 18375 【思路引导】从两方面来考虑问题，根据甲、乙，乙、丙，甲、丙合作的情况，可以求出每个队的工作效率，进而求出所需时间最少的；再结合每天所需要的费用，求出需要支付的费用。 【规范解答】甲、乙、丙的工效和为： 所以甲的工效为，乙的工效为，丙的工效为，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工天； 同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是： （元） 所以甲的每日费用为（元），乙的费用为（元），丙的费用为（元），所以需要支付速度最快的队伍（元）。 【考点剖析】本题考查的是工程问题，三个量两两相加的和再相加，得到的结果是这三个量的2倍。 1．（2025六年级上·广东广州·专题练习）一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？下面是小伍解决这道题的思路，正确的是（    ）。 A．假设道路长为30km，列式解答合修天数：。 B．假设道路的长度不同，如1km或100km，则求出两队合修的时间也不同。 C．合修天数是（12＋18）÷2＝15（天）。 D．道路的总长度无论怎样改变，两队每天修的长度占总长度的几分之一不变。 【答案】D 【思路引导】把这条道路的长度看作单位“1”，甲队单独12天能修完，乙队单独18天能修完。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出甲队每天完成1÷12＝，乙队每天完成1÷18＝，将两队的效率相加求出两队的效率总和，最后用工作总量除以工作效率总和即可求出两队合修需要的时间。据此逐一分析。 【规范解答】A．假设道路长为30km时，甲队效率应为“30÷12”，乙队效率应为“30÷18”，合修时间应列式为：30÷（30÷12＋30÷18）；而选项中用“（）”是把工作总量看作单位“1”的效率，与“30km”的假设不符，该选项错误； B．工程问题中，工作时间由工作效率决定，与工作总量的具体数值无关，无论总量是1km、100km还是单位“1”，合修时间是固定的，该选项错误； C．合修时间不是两队单独时间的平均数，因为两队效率不同，不能直接取平均，该选项错误； D．把这条道路的长度看作单位“1”，甲队每天修全长的，乙队每天修全长的，“两队每天修的长度占总长度的几分之一”是工作效率，与总长具体数值无关，该选项正确。 故答案为：D 【考点剖析】工程问题的核心是将工作总量看作单位“1”，用分率表示工作效率，两队的工作效率（每天修总长的几分之一）是固定的，与道路的实际长度无关，因此合修时间由效率总和决定，不受总量具体数值的影响。 2．（2025·吉林长春·小升初真题）有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6个小时，乙需7个小时，丙需14个小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完，则丙帮乙搬运了（    ）。 A．2小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【思路引导】据题意可以看作三个人一共完成了两个仓库的任务，假设完成一个仓库工作总量为1，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1分别除以每人的工作时间先算出每人的工作效率。那么因为三人自始至终都在工作，那么用的总时间是2÷（＋＋）＝小时，在这个时间乙完成了一个仓库的，那么丙运了这个仓库的，再除以丙的工作效率即为丙帮乙搬运了多长时间。 【规范解答】假设工作总量为1。 甲的工作效率：1÷6＝ 乙的工作效率：1÷7＝ 丙的工作效率：1÷14＝ ＋＋ ＝ ＝ ＝ （1＋1）÷ ＝ ＝（小时） ＝1－ ＝ ＝×14 ＝（小时） 丙帮乙搬运了小时。 故答案为：C 【考点剖析】将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键。 3．（2025·河北石家庄·小升初真题）一项工作，乙单独做需要16小时做完，先甲、乙两人合作，甲的效率提高，乙的效率提高，合作5小时完成全部工作的，那么甲单独做需要（    ）小时完成。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【思路引导】根据题意，把工作总量看作单位“1”，用工作总量除以乙的工作时间，求出乙原来的工作效率是，提高工作效率后是，用工作时间乘工作效率求出乙5小时完成的工作量是。用两个人完成的工作量减去乙的工作量求出甲5小时完成的工作量是，用甲的工作量除以甲工作时间求出甲提高后的工作效率是，甲原来的工作效率是。所以甲单独做需要1÷＝12（小时） 【规范解答】乙原来：1÷16＝ 乙效率提高后： ＝ 乙： 甲： 甲效率提高后： 甲原来： 甲单独做：1÷＝12（小时） 故答案为：D 【考点剖析】工作总量÷工作时间＝工作效率。先求乙原来的工作效率和提高后的工作效率，再求乙5小时完成的工作量，再求甲5小时完成的工作量，便可以求出甲提高后的工作效率，再求甲原来的工作效率，最后求甲的工作时间。 4．（2024五年级·全国·竞赛）小王和小张加工某零件，各需要完成400个，已知小王每分钟完成2个，每工作60分钟休息10分钟；小张每分钟完成1个，每工作50分钟后休息10分钟，他们同时开始工作，先完成任务者，接着帮助同伴一起完成余下工作，当总共800个零件完成时，小王共花费了（    ）分钟（包括休息时间）。 A．230 B．200 C．210 D．310 E．300 【答案】D 【思路引导】根据题意可知小王每70分钟加工的零件个数为：2×60＝120（个），小张每60分钟加工的零件个数为：1×50＝50（个），然后根据小王和小张的加工时间和休息时间计算出完成800个零件总用时即可。 【规范解答】由题意知： 小王每70分钟加工的零件个数为：2×60＝120（个） 小张每60分钟加工的零件个数为：1×50＝50（个） 400÷120＝3（组）……40（个） 120×3＝360（个） 70×3＝210（分） 即小王加工完360个零件需要的时间是210分。 400﹣360＝40（个） 40÷2＝20（分） 210＋20＝230（分） 即小王完成400个零件实际用时230分。 此时小王开始帮小张加工，在小王休息前可以加工的时间：60﹣20＝40（分），加工零件个数：40×2＝80（个） 即小王帮小张加工了40分80个零件后休息10分钟，此时小王合计用时230＋40＋10＝280（分） 280÷60＝4（组）……40（分） 50×4＋40×1＝240（个） 即在280分钟里面，小张自己加工零件的个数是240个。 小张的零件一共加工了80＋240＝320（个） 400﹣320＝80（个） 在剩下的80个零件中，小张在休息前可以继续加工时间：50﹣40＝10（分），可以加工的零件个数是10×1＝10（个） 小王在小张休息结束前20分钟帮小张加工的零件个数为：20×2＝40（个） 此时小王的加工时间为：280＋20＝300（分） 80﹣10﹣40＝30（个），即剩下的30个零件小王和小张一起完成， 30÷（2＋1）＝10（分） 300＋10＝310（分） 答：当总共800个零件完成时，小王共花费了310分钟（包括休息时间）。 故答案选：D 【考点剖析】本题考查了较复杂的工程问题的应用。找出每个周期内完成的零件个数是解题的关键。 5．（2025·河南郑州·小升初真题）一项工程如由甲、乙合作需要8天完成，现由甲先做3天，乙再做5天，才完成工程的，那么由乙单独做需 天完成。 【答案】32 【思路引导】把这项工程的总工作量看作单位“1”，甲乙合作需要8天完成，所以甲乙的工作效率和为：； 根据“甲先做3天，乙再做5天，才完成工程的”可以拆成甲乙合作3天＋乙单独做2天：先计算甲乙合作3天的工作量为，那么乙单独做2天的工作量就为； 再求出乙的工作效率，即； 最后在根据“工作时间 ＝ 总工作量 ÷ 工作效率”，求出乙单独做需要的时间为（天） 【规范解答】 （天） 因此，乙单独做需要32天。 【考点剖析】这道题的难点在于不会拆分工作过程，看到“甲做3天、乙做5天”，想不到把它拆成“甲乙合作3天＋乙单独做2天”，这是连接已知条件（甲乙合作8天）和未知量（乙的效率）的关键一步。 6．（2025·陕西西安·小升初真题）一项工程，甲、乙、丙合作需要15天完成，如果丙休息5天乙就要多做3天，或者由甲、乙合作多做2天，这项工程由甲单独做需要( )天。 【答案】63 【思路引导】工程问题一般都设总工作量为单位“1”，工作效率＝工作量÷工作时间。先求出甲乙丙工作效率的比，再进一步求出甲单独完成需要的天数。 根据题意，如果丙休息5天乙就要多做3天，或者由甲、乙合作多做2天，即5丙工作效率＝3乙工作效率＝2甲工作效率＋2乙工作效率，根据5丙工作效率＝3乙工作效率可得乙的工作效率∶丙的工作效率＝5∶3＝10∶6；根据3乙工作效率＝2甲工作效率＋2乙工作效率，可得乙工作效率＝2甲工作效率，即甲的工作效率∶乙的工作效率＝1∶2＝5∶10，所以甲、乙、丙的工作效率比是5∶10∶6，所以甲独做需要的天数即为15÷，据此解答。 【规范解答】乙的工作效率∶丙的工作效率＝5∶3＝10∶6 甲的工作效率∶乙的工作效率＝1∶2＝5∶10 甲、乙、丙的工作效率比是5∶10∶6 15÷ ＝15÷ ＝15× ＝63（天） 所以，这项工程由甲单独做需要63天。 【考点剖析】此题为工程问题，根据“工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例。”推出三人的工效比，按比分配可算出个人的工作效率。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）一项工程，甲单独完成需10天，乙单独完成需15天，丙单独完成需20天，三人合作3天后，甲有其它任务而退出，剩下乙、丙继续工作直至完工，完成这项工程共用( )天。 【答案】6 【思路引导】工作总量＝工作时间×工作效率，先分别求出甲、乙、丙各自的工作效率（1天完成的工作量），逆用此公式，用1除以10，即可求出甲的工作效率是，同理求出乙的工作效率是，丙的工作效率是，3人合作了3天，把3人的工作效率相加，再把这个和与3相乘，即可求出3人3天完成的工作量，最后用1减这个减，即可求出剩下的工作量，逆用此公式，用剩下的工作量除以乙、丙的工作效率和，这个商即为完成剩余工作量需要的时间，最后把这个商与题干中的3天相加，即为完成这项工程需要的天数。 【规范解答】1÷10＝ 1÷15＝ 1÷20＝ 1－3×（＋＋） ＝1－3×（＋） ＝1－3× ＝1－ ＝ ÷（＋） ＝÷ ＝3（天） 3＋3＝6（天） 一项工程，甲单独完成需10天，乙单独完成需15天，丙单独完成需20天，三人合作3天后，甲有其它任务而退出，剩下乙、丙继续工作直至完工，完成这项工程共用6天。 8．（23-24六年级上·全国·假期作业）农场里要给农田除草，A队单独做要4小时，B队单独做要6小时，两队合做2小时可以完成这项除草工作的。 【答案】 【思路引导】把这项工作看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知A队的工作效率为，B队的工作效率为，则两队的工作效率之和为（＋），再根据工作效率×工作时间＝工作总量，即用（＋）乘2即可求解。 【规范解答】（＋）×2 ＝×2 ＝ 则两队合做2小时可以完成这项除草工作的。 9．（24-25六年级上·河南周口·期中）修一条水渠，甲队单独修完要用15天，乙队单独修完要用20天，两队合修6天后，剩下的由乙队单独修完，乙队一共修了多少天？ 【答案】12天 【思路引导】将整条水渠看作单位“1”，甲队单独修完要用15天，则甲每天的工作效率为，乙队单独修完要用20天，乙每天的工作效率为； 用甲和乙的工作效率和乘合作的天数6天，即可求出两队合修6天的工作占比； 用单位“1”减去合作修的占比再除以乙每天的工作效率，即可求出乙还需要工作的天数； 用乙还需要的工作天数再加上合作的天数6天，即可求出乙队一共修了多少天。 【规范解答】 （天） 答：乙队一共修了12天。 【考点剖析】工程合作的问题关键在于找到单位“1”和每队的每天的工作效率。 10．（25-26六年级上·安徽淮北·期中）为迎接庆元旦活动，六（1）班和六（2）班的学生准备制作一批扎花作为装饰。如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，现由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成。已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，求这批扎花共有多少个？ 【答案】360个 【思路引导】把这批花的数量看作单位“1”， 如果（1）班和（2）班共同合作，24天能完成，根据工作总量÷工作时间＝工作效率和，可知两班的工作效率和是；已知由（1）班先做16天，（2）班再做12天，还剩下这批扎花的没有完成，说明两个班一共完成了这批花的（1－）；两个班完成的量相当于两个班合作12天，再由（1）班单独做（16－12）天，根据工作效率和×工作时间＝工作总量，代入数据即可求出两个班合作12天完成的量，再用这批花的（1－）减去两个班合作12天完成的分率，即可求出（1）班单独做（16－12）天完成的分率；再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可求出（1）班的工作效率；然后用两班的工作效率和减去（1）班的工作效率即可求出（2）班的工作效率；用减法求出两个班的工作效率差，又已知（1）班每天比（2）班多加工3个扎花，用3个除以对应分率，即可求出总量。 【规范解答】两个班的工作效率和： （1）班和（2）班完成了： （1）班和（2）班共同做12天完成几分之几： （1）班做4天完成几分之几： （1）班的工作效率： （2）班的工作效率： （1）班与（2）班效率差： 这批扎花数量： （个） 答：这批扎花共有360个。 【考点剖析】本题主要考查了较复杂的工程问题，根据对应的数量关系式求出两个班的工作效率是解答本题的关键。 11．（24-25六年级上·四川凉山·期中）西昌邛海湿地国际马拉松赛于2014年开始举办，是四川举办的首个国际马拉松比赛，赛道沿途穿越美丽的邛海湿地，被国内外参赛选手誉为“中国最美马拉松赛道”。在2016—2018年连续三年获得中国田径协会认证最高殊荣“金牌赛事”。通常设马拉松42.195千米，半程马拉松21.0975千米和迷你马拉松5千米三个项目，2023年11月18日举办了第七届西昌邛海湿地马拉松赛，共计21000人参赛。为了保障今年赛事的顺利推进，给选手一个安全的赛道环境，计划由两个工程队对路面进行修复，甲乙两队合作12天完成任务，如果甲队先做3天，再由乙队接着做8天，这时完成这项工程的。乙队单独完成需要多少天？ 【答案】30天 【思路引导】根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作效率。甲乙两队合作12天完成任务，这项任务为工作总量单位“1”，则甲乙两队合作的工作效率是：，即甲乙两队合作1天完成的工作量是。如果甲队先做3天，再由乙队接着做8天，这时完成这项工程的，可以理解为甲乙两队先合作3天，乙队接着做8－3＝5（天），完成工作量是，列算式是：，可得乙队5天完成的工作量是，接着用工作量除以工作时间5天，就可以得到乙队的工作效率，最后用工作总量单位“1”除以乙队的工作效率，就可以得到乙队单独完成需要的天数，据此解答。 【规范解答】 8－3＝5（天） （天） 答：乙队单独完成需要30天。 【考点剖析】先根据工作效率＝工作总量÷工作时间，计算出甲乙两队合作的工作效率是，再根据甲队先做3天，再由乙队接着做8天，完成这项工程的，理解为甲乙两队先合作3天，乙队接着做5天，完成工作量是，可得出乙队5天完成的工作量是，计算出乙队的工作效率，用工作总量单位“1”除以乙队的工作效率，就可以得到乙队单独完成需要的天数。 12．（2025·湖南长沙·小升初真题）一项工作，甲每天做8小时，30天能完成（不休息），乙每天做10小时，22天能完成（不休息）。甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合作，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了多少天？ 【答案】23天 【思路引导】先分别计算甲、乙单独完成这项工作所需的总时间，再确定合作时各自的工作天数，计算完成的工作量，接着求剩余的工作量，并考虑后来甲单独做时，甲也是每做6天要休息一天，算上甲休息的天数，最后求出总天数。 算甲、乙各自完成这项工作需要的时间，可求出甲、乙各自的工作效率。 甲、乙先合作13天，这13天里，甲每做6天要休息一天，7天是一个周期，甲实际做了两个6天，中间休息一天，共做了6＋6＝12（天）；乙每做5天要休息一天，6天是一个周期，乙实际做了两个5天和1个一天，中间休息了2天，共做了5×2＋1＝11（天）。 根据甲、乙的工作效率和做的时间，可以求出甲、乙合作时完成的工作量。 用总工作量减去已完成的工作量，可求出剩余的工作量，也就是合作13天后甲单独要完成的工作量。 用剩余的工作量除以甲的工作效率，可求出甲后来做的天数；然后根据甲每做6天要休息一天，计算出甲单独做需要多少天；再加上合作的天数，从而计算出总的用时天数。 【规范解答】甲每小时工效：1÷（30×8） ＝1÷240 ＝ 乙每小时工效：1÷（22×10） ＝1÷220 ＝ 合作13天甲的实际工作天数： 13÷（6＋1） ＝13÷7 ＝1……6 6＋6＝12（天） 合作13天乙的实际工作天数： 13÷（5＋1） ＝13÷6 ＝2……1 5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（天） 合作13天完成的工作总量： ×8×12＋×8×11 ＝×12＋×11 ＝＋ ＝ 剩余工作量：1－＝ 甲单独做需要的天数： ÷（×6） ＝÷ ＝8（天） 即甲单独做还要做8天。 甲乙合作13天后，甲要继续休息1天，然后再做6天，再休息1天，最后再做2天，最终完成这项工作。 13＋8＋2＝23（天） 答：完成这项工作共用了23天。 【考点剖析】合作期间，甲、乙各自实际做的天数要算对；要注意第14天时甲休息，后面的工作还是按每做6天要休息一天算。 13．（24-25六年级上·湖北荆州·期末）鱼苗池中有池水，一个进水管10小时可以把空池注满，一个出水管16小时可以把整池水放完，为保证水的流动，按进水管先开1小时，出水管再开1小时的顺序轮流注、放水，几小时后水池的水第一次注满？（注意：将水池注满最后应该是轮到进水管） 【答案】小时 【思路引导】把水池注满水的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出进水管的工作效率是，出水管的工作效率是； 按进水管先开1小时，出水管再开1小时的顺序轮流注、放水，把每两小时看作一个循环，即一个循环后水池中有－＝池水； 水池中原有池水，还需1－＝池水；看里面有几个，就循环几次，÷＝20次； 因为最后是放水，所以第19次循环完成后，池内有＋×19＝池水，还需注水1－＝，还需要注水的时间是÷＝小时； 前面19次循环用时（19×2）小时，再加上最后一次注水时间小时，即是水池注满水的总时间。 【规范解答】每小时注水：1÷10＝ 每小时出水：1÷16＝ 每两小时为一个循环，水池中水多了： － ＝－ ＝ 池内原有水，还需水：1－＝ 需循环： ÷ ＝× ＝20（次） 因为最后是开出水管，所以第19次循环完成后，池内有水： ＋×19 ＝＋ ＝＋ ＝ 此时还需要注水：1－＝ 还需要注水的时间： ÷ ＝×10 ＝（小时） 一共用时： 19×2＋ ＝38＋ ＝（小时） 答：小时后水池的水第一次注满。 【考点剖析】本题属于交替工作的工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系，关键是先求出进水管、出水管循环的总次数，最后一次循环是先注水后放水，因为此次循环的前半部分池内已经注满水，所以得到的循环总次数要减1，再求出注满最后剩下的水量需用的时间。 14．甲、乙、丙丁四名打字员承担一项打字任务，若由这4人的某人单独完成打字任务，甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时． （1）如果按甲、乙、丙、丁四个人同时打字，那么需要多少小时完成？ （2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁、……的顺序轮流打字，每轮中每人打字各1小时，那么需要多少时间完成？ （3）能否把（2）题中所说的甲、乙、丙、丁的次序做适当的调整，其余不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半个小时？如果不能，请说明理由；如果能，至少说出一中轮流次序，并求出能提前多少小时完成打字任务？ 【答案】(1) 小时 (2) 17小时 (3) 能按丁、丙、乙、甲的顺序能提前小时 【规范解答】（1）1÷（＋＋＋）＝1÷＝（小时） 答：四人同时打字需要小时． （2）1÷（＋＋＋）＝1÷＝4（个）＜需要4个周期> 1－×4＝     ＜还剩20的工作量> －＝     ＜甲打1小时后还剩的工作量> ÷＝（小时）  ＜乙再打小时> 4×4＋1＋＝17（小时）＜共用17小时> 答：轮流打字需要17小时． （3）÷＝（小时） 1＋－＝－＝（小时） ＞ 答：能按丁、丙、乙、甲的顺序能提前小时． 15．甲、乙一起完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了 ，乙的工作效率比单独做时提高了 ，甲、乙一起做8小时完成了这项工作。如果甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要几小时？ 【答案】45小时 【思路引导】将这项工作看成单位“1”，那么甲单独完成的效率=1÷甲单独做需要的时间，两人合作完成时甲的效率=甲单独完成的效率×（1+两人合作甲的工作效率比单独做时提高了几分之几），甲、乙合作的工作效率=1÷甲、乙合作完成这项工作需要的时间，那么两人合作完成时乙的效率=甲、乙合作的工作效率-两人合作完成时甲的效率，所以乙单独做需要的时间=1÷乙单独完成的效率，其中乙单独完成的效率=两人合作完成时乙的效率÷（1+两人合作乙的工作效率比单独做时提高了几分之几），据此代入数据作答即可。 【规范解答】 - ×（1+ ）=     1÷[ ÷（1+ ）]=45（小时） 答：乙单独做需要45小时。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $