精品解析：浙江省温州实验中学2025-2026学年九年级上学期期中检测数学试卷

2025学年第一学期九年级（上）期中阶段性检测 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知半径为9，若点P在外，则线段的长可能是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），甲、乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，最低点，且经过点．下列结论中正确的有（ ） ①；②；③甲船的速度为；④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，则时刻对应的两船距离平方为． A. ②③④ B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 12. 一个不透明的布袋里装有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球______个． 13. 某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 14. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 15. 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 16. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，交于点G． （1）若，则的度数为______． （2）若设，则的值为______．（用含k的代数式表示） 三、解答题（本题有8小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c； （2）已知，求的值． 18. 某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为 ． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 19. 如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． （1）请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． （2）求运动员落水点E与点C的距离． 21. 如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． （1）小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． （2）请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且． （1）判断点是否在抛物线上，并说明理由． （2）若将抛物线向上平移5个单位后，抛物线与x轴恰好只有一个交点，求a的值． （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 23. 如图1，是的外接圆，，延长的角平分线交于点D． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，作交于点F，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级（上）期中阶段性检测 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 已知半径为9，若点P在外，则线段的长可能是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．点P在圆外，则的距离必须大于圆的半径． 【详解】解：∵的半径为9，点P在外， ∴， 选项中只有D符合， ∴线段的长可能是9.5． 故选：D． 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据求抛物线与y轴的交点，只需令，代入解析式计算y的值，即可解答． 【详解】解：∵ y 轴上的点横坐标为0， ∴令，代入， 得， ∴抛物线与 y 轴交点坐标为． 故选：D． 3. 中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．计算选到五仁月饼的概率，即五仁月饼数量与总月饼数的比值． 【详解】解：∵总月饼数，五仁月饼有2个， ∴选到五仁月饼的概率． 故选：A． 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例，可知，然后结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形的性质和圆周角定理，可知， ，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出位似比，再利用位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵与是位似图形，位似中心是原点O， ∴， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，用勾股定理解三角形，利用相似求坐标，求两个位似图形的相似比等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，对称轴为，顶点处y值最大；距离对称轴越远，y值越小． 【详解】解：∵ 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，取得最大值， ∵ 在对称轴上， ∴ 最大， 又∵和在抛物线上， 到对称轴的距离为， 到对称轴的距离为， ∵ 开口向下，距离对称轴越远，值越小， ∴ ， 因此． 故选：A． 8. 如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意先求得的半径，进而得到，然后利用勾股定理求得，根据垂径定理可知，据此即可求得答案． 【详解】解：∵为的直径，为的弦，于点E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，，可得，，进而可得． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. 为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），甲、乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，最低点，且经过点．下列结论中正确的有（ ） ①；②；③甲船的速度为；④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，则时刻对应的两船距离平方为． A. ②③④ B. ①③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，利用勾股定理得出甲、乙两船距离的平方y与t满足二次函数关系，再结合图象上已知点的坐标，利用图象性质逐一分析即可求解． 【详解】解：当时，甲船在点A处，乙船在点B处此时两船距离为， 已知函数图象与y轴交于点，即当时，， 因为y表示甲、乙两船距离的平方， 所以，即，故①正确； 设甲船的速度为，乙船的速度为，经过时间为，甲船航行的距离为，乙船航行的距离为， 根据勾股定理得， ∴y与t满足二次函数关系， ∵点，点， ∴根据二次函数图象性质得，最低点E的横坐标，故②错误； 根据题意，乙船航行的时间时，， 解得， ∵过点， ∴， 解得，故③正确； ∵存在2个时刻，对应的两船距离相等， ∴根据二次函数性质得， 又因为， 所以， ∵， 把，，代入得：，故④正确， 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 12. 一个不透明的布袋里装有6个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次试验的频率可估计概率是解题的关键．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定于，设红球个数为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设袋中红球个数为，则总球数为，摸到红球的概率为， 由题意得 ， 解方程：，即 ， 移项得 ， 所以 ． 故袋中约有红球12个． 故答案为：12． 13. 某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 14. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的性质，分两种情况讨论：当对称轴在区间内时，最小值为顶点纵坐标；当对称轴不在区间内时，最小值为边界值．分别求解方程得到m的值． 【详解】解：二次函数为 ，开口向上，对称轴为 ， 分以下两种情况讨论： 情况一：当时，对称轴在区间内，最小值在顶点处，顶点纵坐标为 ， 因最小值为3，则，满足； 情况二：当时，对称轴不在区间内，函数在上递减，最小值在处，代入得， 设最小值为3，则，即， 解得或， 其中 不满足，舍去；满足． 综上，或． 故答案为：3或． 16. 如图，在菱形中，点E为对角线上一点，将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上，交于点G． （1）若，则的度数为______． （2）若设，则的值为______．（用含k的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质可求得，，进而得到，推出，从而求得，最后利用三角形内角和定理即可求得的度数； （2）由（1）可推出，，，得到，然后由，，可证得，进而得到，推出，，据此进一步计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴，， ∵将沿折叠，使得点A的对应点F落在边上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）已知线段，，求线段a，b的比例中项线段c； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了比例线段和比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案； （2）根据比例的性质设，，代入计算，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 18. 某校文学社开展“与课本人物面对面”活动，学生通过抽取课本人物参与对应的“大咖对话”活动．现有三张人物卡片如下图所示，卡片背面都相同，现将卡片背面朝上，参与同学可从中任意抽取一张卡片再放回．其中七（3）班有甲和乙两名学生参加活动． （1）甲抽到“鲁迅”卡片的概率为 ． （2）请用画树状图法或列表法，求甲和乙抽到不同人物卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率计算，画树状图法或列表法求概率，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）由甲抽一张卡片，可能出现的人物有3种可能性，而且每张卡片出现的可能性相等，抽到的卡片上的人物为“鲁迅”的只有1种，然后直接利用概率公式求解即可得到答案； （2）先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果，以及甲和乙抽到不同人物卡片的事件数，再按照概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲抽一张卡片，可能出现的人物有3种可能性，而且每张卡片出现的可能性相等，抽到的卡片上的人物为“鲁迅”的只有1种， ∴甲抽到“鲁迅”卡片的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC ∵共有9种等可能的结果，甲和乙抽到不同人物卡片的有6种情况， ∴甲和乙抽到不同人物卡片的概率为． 19. 如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）1 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由，得，由，，推导出，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为1． 20. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． （1）请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． （2）求运动员落水点E与点C的距离． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）运动员落水点E与点C的距离为5米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可． 【小问1详解】 解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米． 21. 如图，三角板，角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用直尺和圆规求作该圆形纸片的直径． （1）小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O，连接并延长，交圆于点E，则就是所求作的直径．请说明理由． （2）请你在图2中作出圆形纸片的直径，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 由题意可知，， ∵分别以C，D两点为圆心，长为半径作弧，交圆内于点O， ∵， ∴， 连接，如图所示： ， ∴， 是直径． （2） 如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，90度圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知，，，那么，根据同弧所对的圆周角相等，可知，从而证明即可； （2）过点作交于点E，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且． （1）判断点是否在抛物线上，并说明理由． （2）若将抛物线向上平移5个单位后，抛物线与x轴恰好只有一个交点，求a的值． （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）点在抛物线上 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点，能够理解题意是解题的关键． （1）把点代入抛物线的解析式即可判断； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意顶点在x轴上，即顶点的纵坐标为0，据此即可求解； （3）利用抛物线的对称性已经对称轴公式得到，由，即可求得，根据题意时，，即抛物线与直线两交点间的距离为2，求得抛物线与直线的两个交点，即可得到，解得，则当满足题意． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴点在抛物线上； 【小问2详解】 解：∵， ∴将抛物线向上平移5个单位后得到， ∵抛物线开口向上，抛物线与x轴恰好只有一个交点， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，是抛物线上两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵时，恒成立， ∴时，恒成立， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 把代入得，， 即， 解得或， ∴， 解得， 故若时，恒成立，． 23. 如图1，是的外接圆，，延长的角平分线交于点D． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，作交于点F，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴； （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形的外角的性质解答即可； （2）证明，然后利用相似三角形对应边成比例，解答即可； （3）作的直径，连接，过点作于点，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，设，则，则，利用勾股定理求得，再证明，其对应边成比例求得，即可求得半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作的直径，连接，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $