2025-2026学年沪教版（上海）七年级数学上册 期末总复习 05 分式 讲义

该初中数学分式期末复习讲义通过知识框架系统梳理了分式的完整知识体系，从分式的定义、基本性质到乘除加减及混合运算，再到分组分解法，用要点列表呈现各知识点的核心内容，如分式值为0的条件、最简分式判定等，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于练习设计分层且贴近上海期末考情，基础题如分式有无意义辨析，中档题如约分通分，综合题如化简求值，培养运算能力与推理意识。易错点警示（如多项式乘方漏展开）帮助学生规避错误，支持分层提升，助力教师实施精准复习教学。

第5课 分式期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点01——分式 知识点02——分式的基本性质 知识点03——分式的乘法与除法 知识点04——分式的加法与减法 知识点05——分式的混合运算 知识点06——分组分解法及灵活因式分解 知识点01 分式 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为-1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 常考题型： 题型1：分式的辨识 题型2：分式有无意义 题型3：分式的值为0，，正负数、整数 例题讲解 例1（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D． 例2（24-25七年级上·上海闵行·期末）当 时，分式无意义． 例3（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当 时，分式的值为零． 5．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当x 时，分式有意义． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 7．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 9．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，分子分母同除整式），二者依据均为分式的基本性质. 常考题型： 题型1：正确使用分式的基本性质将分式变形 题型2：利用分式的基本性质将分式变号、系数化整； 题型3：讨论分子分母分式的值之间扩大缩小的关系 题型:4：最简分式的辨析 题型:5：利用分式的基本性质约分 题型6：通分 例1（23-24七年级上·上海松江·期末）下列分式化简正确的是（ 　 ）例题讲解 A． B． C． D． 例2（19-20七年级上·上海浦东新·月考）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 例3（23-24八年级上·山东威海·期中）若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大3倍 D．扩大9倍 例4（24-25七年级上·上海·期末）下列分式中是最简分式的为（   ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·上海·期末）约分： ． 例6（25-26七年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 课后练习 1．（24-25七年级上·上海浦东新·月考）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．10．（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 10.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 知识点03 分式的乘法与除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 常考题型： 1.分式的乘法、除法、乘方计算 2.分式的乘除法、乘方混合计算 例1（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简：（    ）例题讲解 A．1 B． C． D． 例2（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算:（ 例3（24-25七年级上·上海杨浦·期末） 计算:（1）（2） 易错点警示: 错误1：（多项式乘方漏展开，正确为 错误2： 错误3：（顺序正确，但需强调“先乘方再除”不可颠倒）。 课后练习 一、单选题 1．计算的结果是（  ） A．﹣y B． C． D． 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简下列各式，结果不为整式的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 7．化简1得 . 8．（）3•（）2÷（）4= ． 三、解答题 9．计算： 10．计算：（）2÷（﹣）×． 11．计算：． 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 14．给定一列分式：，…，其中，用任意一个分式去除它后面一个分式得到的结果是什么？根据你发现的规律，试写出第9个分式． 15．先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 知识点04 分式的加法与减法 1.同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳提醒： ①分子是多项式，相加减时需添加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2.异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 常考题型 题型1：同分母或简单的异分母分式加减计算 题型2：含符号问题或多分式的复杂加减计算 题型3：区分分式计算与解分式方程的区别 例题讲解 例1（24-25七年级上·上海闵行·月考）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 例2（25-26七年级上·上海徐汇·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 例3（1）计算： （2）解方程： 课后练习 1．化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 2．已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 3.已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．计算：＝ ． 6．化简的结果是 ． 7.计算： ． 8．已知，则 ． 9.对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 11．（1）化简：；           （2）解分式方程： ． 12．探究规律： (1)填空：①         ② ③ (2)根据（1）中的填空猜想______（n为整数） (3)受上述规律启蒙，计算：． 13，,定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 知识点05 分式的混合运算 1.不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 2.含括号的混合运算——从内到外，分步计算. 3.分式与整式的混合运算——整式→分母为 1 的分式 如：()——可以看成要与通分才能加减. 常考题型： 题型1：分式的混合运算 题型2：分式的化简求值 题型3：运用分式的逆运算化简求值 例题讲解 例1（24-25七年级上·上海嘉定·期末）化简： （1）        （2）． 例2（24-25七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 例3（24-25七年级上·上海·期末）已知，则 ． 课后练习 一、单选题 1．下列式子，分式有（    ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．若分式有意义，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．下列各分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 5．下列式子从左到右的变形一定正确的是 (   ) A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、填空题 7．分式与的最简公分母为 ． 8． ； ； ． 9．若，则= 10.（18-19七年级下·全国·课后作业）已知一个分式乘所得的结果是，那么这个分式是 . 11．定义新运算：，则化简的结果是 ． 12．（）3•（）2÷（）4= ．________ 三、解答题 13．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 17．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）先化简，再求值：，其中． 18．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 19．（23-24七年级上·上海金山·期末）先化简再求值：，其中． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5课 分式期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点01——分式 知识点02——分式的基本性质 知识点03——分式的乘法与除法 知识点04——分式的加法与减法 知识点05——分式的混合运算 知识点06——分组分解法及灵活因式分解 知识点01 分式 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为-1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 常考题型： 题型1：分式的辨识 题型2：分式有无意义 题型3：分式的值为0，，正负数、整数 例题讲解 例1（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一检查每个代数式即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，属于分式的有，，，共个， 故选：B． 例2（24-25七年级上·上海闵行·期末）当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，先根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：． 例3（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 课后练习 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义及分式的基本性质和分式值为零的条件，熟练掌握相关定义，性质是解题的关键．直接根据因式分解的定义，分式值为零的条件及分式的基本性质逐项判断即可得解． 【详解】根据将一个多项式化为几个整式积的形式的过程为因式分解，左边为多项式，右边是整式积的形式可判断①不是因式分解；②不是整式积的形式，是分式积的形式，也不是因式分解；根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式，分式值不变，可知③正确；④不正确，分子不为零，分式值不可能为零． 因此正确的只有1个， 故选：B 4．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当 时，分式的值为零． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分母不为0，分子为0．先令分子等于0得到或，再分别代入分母进行计算得到当时，，当时，，由此得到． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴当时，分式的值为零． 故答案为：3． 5．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当x 时，分式有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；根据分母，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：且； 故答案为：且． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于0．根据分式有意义的条件解得即可． 【详解】解：根据题意，当分式有意义时，， 解得x， 故答案为：， 7．（24-25七年级上·上海·期末）当的值为 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴， 即当x的值为时，分式的值为零， 故答案为： 8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，分子分母同除整式），二者依据均为分式的基本性质. 常考题型： 题型1：正确使用分式的基本性质将分式变形 题型2：利用分式的基本性质将分式变号、系数化整； 题型3：讨论分子分母分式的值之间扩大缩小的关系 题型:4：最简分式的辨析 题型:5：利用分式的基本性质约分 题型6：通分 例1（23-24七年级上·上海松江·期末）下列分式化简正确的是（ 　 ）例题讲解 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的混合运算．首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、不能约分，故本选项不符合题意； 故选：B． 例2（19-20七年级上·上海浦东新·月考）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 例3（23-24八年级上·山东威海·期中）若把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，根据题意，得出将该分式中x和y都扩大3倍后的分式，再化简，即可解答． 【详解】解：把分式中的x，y的值都扩大3倍为， ∴把分式中的x，y的值都扩大3倍，分式的值缩小， 故选：B． 例4（24-25七年级上·上海·期末）下列分式中是最简分式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式，分式的化简过程，理解最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、，故原式不是最简分式，不符合题意； C、，故原式是最简分式，符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 例5（24-25七年级上·上海·期末）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 例6（25-26七年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 课后练习 1．（24-25七年级上·上海浦东新·月考）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 3．（24-25七年级上·上海·期末）下列从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的性质和多项式除以单项式，根据分式的性质和多项式除以单项式运算法则分别计算出各选项结果，再进行判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项A从左到右变形错误，不符合题意； B、 ，故选项B从左到右变形错误，不符合题意； C、 ，故选项C从左到右变形错误，不符合题意； D、，故选项D从左到右变形正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 根据最简分式的定义求解即可． 【详解】解：．，不符合题意； B．是最简分式，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意. 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 9．10．（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 10.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 知识点03 分式的乘法与除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 常考题型： 1.分式的乘法、除法、乘方计算 2.分式的乘除法、乘方混合计算 例1（24-25七年级上·上海杨浦·期末）化简：（    ）例题讲解 A．1 B． C． D． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，一定要按顺序计算，千万不能先做乘法． 例2（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算:（ 【详解】解：（ 【点睛】计算多项式的乘除及乘方时一定要先因式分解。 例3（24-25七年级上·上海杨浦·期末） 计算:（1）（2） 解：（1）原式（先乘方，后乘除，再约分）； （2）原式（一定要注意符号）. 易错点警示: 错误1：（多项式乘方漏展开，正确为 错误2： 错误3：（顺序正确，但需强调“先乘方再除”不可颠倒）。 课后练习 一、单选题 1．计算的结果是（  ） A．﹣y B． C． D． 【答案】B 【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘除混合运算．分式的乘除运算实际就是分式的约分，在计算过程中需要注意的是运算顺序． 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方．利用分式的乘方法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 4．化简下列各式，结果不为整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘法和除法计算法则分别计算出四个选项中的结果，再根据整式的定义判断即可． 【详解】解：A、 ，是整式，不符合题意； B、 ，是整式，不符合题意； C、 ，不是整式，符合题意； D、 ，是整式，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法和除法计算，整式的定义，正确计算是解题的关键． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 二、填空题 6．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 7．化简1得 . 【答案】 【分析】在分式乘除混合计算中，一般情况下是按照从左到右的顺序进行运算，如果有括号，那么应先算括号内的，再算括号外的． 【详解】1÷=1÷=. 故答案为：. 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 8．（）3•（）2÷（）4= ． 【答案】 【详解】解：原式=．故答案为． 三、解答题 9．计算： 【答案】 【分析】根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是对分子分母进行因式分解，准确进行计算． 10．计算：（）2÷（﹣）×． 【答案】 【分析】先乘方，把除法转化为乘法后，再约分化简，结果要化为最简分式． 【详解】解：()2÷(﹣)× =×× = 11．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： 当 上式 【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键． 13．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式或当时，原式 【分析】根据分式乘除运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则且且且， ∴a不能为0，a可取2或， 当时，原式． 或当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 14．给定一列分式：，…，其中，用任意一个分式去除它后面一个分式得到的结果是什么？根据你发现的规律，试写出第9个分式． 【答案】用任意一个分式去除它后面一个分式得到的结果为，第9个分式为． 【分析】用后面的分式去除以它前面一个分式即可求出结果，进而可得规律，然后根据分式的排列规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ……， 所以用任意一个分式去除它后面一个分式得到的结果一样，均为． 由给定分式的排列规律可得第9个分式为． 【点睛】本题考查了分式的除法运算和规律探求，正确理解题意、熟练掌握分式的除法法则是解题关键． 15．先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【分析】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 知识点04 分式的加法与减法 1.同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳提醒： ①分子是多项式，相加减时需添加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2.异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 常考题型 题型1：同分母或简单的异分母分式加减计算 题型2：含符号问题或多分式的复杂加减计算 题型3：区分分式计算与解分式方程的区别 例题讲解 例1（24-25七年级上·上海闵行·月考）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1），再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 例2（25-26七年级上·上海徐汇·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 例3（1）计算： （2）解方程： 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解． 【点睛】解分式方程是去分母，不要通分. 课后练习 1．化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． 原式通分计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：C． 2．已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 5．计算：＝ ． 【答案】1 【分析】先把第二个分式变形，然后根据同分母分式加减法法则计算． 【详解】解：原式= = =1． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 6．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的加减法，根据分式的加减法运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7.计算： ． 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9.对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11．（1）化简：；           （2）解分式方程： ． 【答案】（1） （2）方程无实数解 【分析】本题考查分式的混合运算以及解分式方程，熟练掌握分式加减混合运算法则和分式方程的解法和步骤是解题的关键． （1）先根据分式减整理式法则计算括号内的，再运用分式加法法则计算即可． （2）根据解分式方程的方法和步骤进行计算即可． 【详解】解（1）原式 ． （2）两边都乘以得， ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无实数解． 12．探究规律： (1)填空：①         ② ③ (2)根据（1）中的填空猜想______（n为整数） (3)受上述规律启蒙，计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）用异分母分式减法法则计算即可； （2）根据（1）进行猜想即可得到答案，然后用分式减法法则计算即可说明理由； （3）运用（2）得到的规律解答即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：，理由如下： ． 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的减法运算、归纳规律以及运用规律，根据分式的加减过程、归纳出规律是解答本题的关键． 13，,定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 知识点05 分式的混合运算 1.不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 2.含括号的混合运算——从内到外，分步计算. 3.分式与整式的混合运算——整式→分母为 1 的分式 如：()——可以看成要与通分才能加减. 常考题型： 题型1：分式的混合运算 题型2：分式的化简求值 题型3：运用分式的逆运算化简求值 例题讲解 例1（24-25七年级上·上海嘉定·期末）化简： （1）        （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的减法运算法则计算即可求出答案． （2）根据分式的混合运算法则计算即可求出答案． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = = 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解题的关键． 例2（24-25七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 例3（24-25七年级上·上海·期末）已知，则 ． 【分析】本题考查了因式分解的应用、分式的值，解决本题的关键是将式子进行变形，利用整体代入思想解决问题． 【详解】解：因为， 方程两边同时除以x，得： ， 移项可得：， ； 课后练习 一、单选题 1．下列式子，分式有（    ）个． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：； 分式有：．共有5个， 故选：B 2．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 3．若分式有意义，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分式的分母不等于0时，分式有意义，可列出不等式，解之即可得出答案. 解：因为分式有意义， 所以， 解得， 故选C. 点睛：本题考查了分式的定义.牢记分式的概念是解题的关键. 4．下列各分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的标准：分子，分母中不含有公因式，不能再约分逐一判断即可. 【详解】的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故A选项符合题意. =m-n，故B选项不符合题意·， = ，故C 选项不符合题意·， = ，故D 选项不符合题意·， 故选A. 【点睛】本题考查了最简分式的知识，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．最简分式的标准：分子，分母中不含有公因式，不能再约分，熟练掌握最简分式的标准是解题关键. 5．下列式子从左到右的变形一定正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A、当a≠b时原式左右两边不相等，故此选项错误； B、当c＝0时原式不成立，故此选项错误； C、根据分式的基本性质，分子、分母同除以3分式的值不变，故此选项正确； D、当a、b异号时原式不成立，故此选项错误． 故选C． 6．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 二、填空题 7．分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：与的最简公分母为． 故答案为：． 8． ； ； ． 【答案】 【分析】根据整式的除法法则计算：单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． 【详解】解： 故答案为：， ， 【点睛】本题考查了整式的除法以及负整指数幂，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，但计算时一定要细心． 9．若，则= 【答案】4 【分析】根据得 代入，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】根据得 故答案为4. 【点睛】考查了分式的基本性质，根据得是解题的关键. 10.（18-19七年级下·全国·课后作业）已知一个分式乘所得的结果是，那么这个分式是 . 【答案】 【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】∵一个分式乘以所得结果是， ∴这个分式是：-÷=-×=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 11．定义新运算：，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，可得，根据多项式乘法法则计算化简，即可使问题得解． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是定义新运算的题目，正确理解定义新运算的意义是解题的关键，在解答此问题时严格按照新定义的运算规则，把已知数代入，按照基本运算过程、规律进行运算． 12．（）3•（）2÷（）4= ． 【答案】， 【详解】解：原式=．故答案为． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，原式括号中两项通分，然后把除法转化为乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，分式的混合运算，把原式化为，再计算分式的混合运算即可． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）化简：并在，2，三个数中选取两个求这个代数式的值． 【答案】；当时，值为25，当时，值为 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的利用分配律进行简便运算是解本题的关键， 先把能够分解因式的地方分解因式，再利用分配律计算乘法，再合并即可，然后从选取一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答． 【详解】解：原式 ， ∵当是，分式无意义， ∴x可以取2和， 当时，原式； 当时，原式． 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后进行同分后进行同分母的加法运算． 【详解】解：原式• • • ． 17．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将a的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定整数x的值，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式； 当时，原式． 19．（23-24七年级上·上海金山·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号里面的加减，再计算括号外面的除法，即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式=． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简原分式，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $