专题09 利用数学思想解决线段与角的计算问题 4大高频考点（期末真题汇编，河南专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题09 利用数学思想解决线段与角的计算问题 4大高频考点概览 考点01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 考点02 分类讨论思想在角的计算中的应用 考点03 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 考点04 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 地 城 考点01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，，点为线段上一点，点为的中点，．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键．分当点在线段上和点在线段的延长线上，两种情形求解即可． 【详解】解：当点在线段上时， 点为的中点，， ，， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ； 综上所述的长为或， 故选：D． 2．(24-25七上·河南南阳邓州·期末)已知线段，点是的中点，点是直线上一点，且，则的长为（   ） A．12 B．6 C．6或12 D．9或12 【答案】C 【分析】本题主要考查两点间的距离和线段中点的定义．根据题意画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案． 【详解】解：∵线段，点是的中点， ∴， ∵点是直线上一点，且， ∴， ①当点在点左侧时， ∴； ②当点在点右侧时， ∴； 综上，的长为6或12． 故选：C． 3．(24-25七上·河南安阳滑县·期末)点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键．分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点在点左边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； ②当点在点右边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 故答案为：5或9． 4．(24-25七上·河南漯河召陵区·期末)如图，点为线段上一点，点为线段的中点，若，，且． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长； (3)若点在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的数量问题，线段中点的性质以及线段的和差计算，掌握线段的计算方法是解题的关键． （1）根据线段的定义数出结果即可； （2）根据非负数的性质，先求得．，再求，根据，即可求解； （3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可． 【详解】（1）解：解：图中共有，共6条线段， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴． 因为点为线段的中点， ∴， ∵， ∴ （3）解：∵，， ， 当点在点 的右侧时，， 当点在点的左侧时，， 综上所述，或． 5．(24-25七上·河南漯河·期末)如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【答案】(1) (2)①；②12或14 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，分类讨论是解题的关键． （1）根据得到，即可求出的长； （2）①由中点的定义得到，则．由得到；②分两种情况讨论：点F在点C的左侧和点F在点C的右侧，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵D为的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②分两种情况讨论： （ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为12或14． 6．(24-25七·河南郸城县第六实验中学·期末)如图，已知直线，点C在直线上，线段，，，分别是，的中点，求线段的长．    【答案】线段的长为cm或cm 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的性质．根据题意，分两种情况分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．先根据线段的和差，可得的长，再根据线段中点的性质，可得、的长，最后根据线段的和差，可得的长．． 【详解】解：根据题意，可分两种情况： ①如图所示，当点在点的左侧时，      ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的中点， ∴由线段的中点定义可得：， 又∵是的中点， ∴， ∴ ； ②如图所示，当点在点的右侧时，      ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的中点， ∴由线段的中点定义可得：， 又∵E是AC的中点， ∴， ∴ ， 综上所述，线段的长为cm或cm． 地 城 考点02 分类讨论思想在角的计算中的应用 7．(24-25七上·河南驻马店正阳县·期末)已知：，以O为端点作射线，使，则的度数是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算．分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出． 【详解】解：当射线在外部， ； 当射线在内部， ， 所以的度数是或． 故选：B． 8．(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，已知，射线在的内部，且． (1)的度数为______； (2)射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． ①若射线在的内部，且，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的和差关系． （1）根据题意，结合，即可求解； （2）①根据角平分线的定义可得：，由，即可求解；②由，可得，分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）① 平分， ， ， ； ② ， ， 当射线在的内部时， ， ， 平分， ， ； 当射线在的外部时， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或． 9．(24-25七上·河南南阳镇平县·期末)如图①，射线在内部，图中共有三个角．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 10．(24-25七上·河南安阳安阳县·期末)已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据，可得的度数；再根据角平分线的定义得，进而根据可得的度数； （2）根据题意画出图形，先求出，再根据角平分线的定义求出，进而根据可得的度数； 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：如图1，当在内部时， ，， ， 平分， ， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分， ， ； 综上，的度数为或． 11．(24-25七上·河南济源·期末)如图，已知在直线上有一点，和互补． (1)是的角平分线吗？为什么？ (2)在（1）的基础上，若，以为边画，求的度数． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据等角的补角相等可得，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得出,进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线 ∵和互补，即 又∵ ∴， ∴是的角平分线； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∵， 当在的内部时， ∴ 当在的内部时， ∴， 综上所述，或 12．(24-25七上·河南南阳邓州·期末)如图，，平面内有一射线，且，若平分，则 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的平分线，角的计算, 熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 分射线在内部和外部，两种情况讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴. ， ∴； 当射线在外部时，如图， ∵，. ， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或． 13．(24-25七上·河南焦作武陟县·期末)【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 地 城 考点03 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14．(24-25七上·河南南阳新野县·期末)学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据线段的中点求出和长，根据即可求出答案； （2）根据线段的中点求出和长，即可求出答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ （2）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ 15．(24-25七上·河南南阳镇平县·期末)如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）根据题意分析，列出方程，解方程，求出t的值即可． （2）选①，由中点定义得，， 然后根据即可求解； 选②，，由中点定义得，进而可求出． 【详解】（1）解：设出发x秒后， ，，， 由题意得，， 解得：； 故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点， ，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 16．(24-25七上·河南南阳南召县·期末)点A、B、C的同一条直线上，线段，点C为线段的中点，在直线上作出点D，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形， ∵，点C为线段的中点， ∴ ， ∴ ． 小欢说：我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)根据小欢的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时CD的长； (3)有两根木条，一根长，一根长．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，那么这两根木条的中点间的距离是 ． 【答案】(1)，2，10； (2)图见详解，6 (3)或 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （2）根据题意画出画出另一种情况对应的示意图，根据题意得出，由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （3）分两种情况：当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为，的中点为；当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为；分别利用线段的中点、线段的和差计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图为所作图形，， ∵，点C为线段的中点， ∴， ∴ 故答案为：，2，10； （2）解：如图，点D即为所求， ∵， ∴， ∵，点C为线段的中点， ∴， ∴． （3）解：如图，当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为， 由题意得：，，点为的中点，D为的中点， ， ； 如图，当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为， 由题意得：，， ，， ； 综上所述，如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是或， 故答案为：或． 地 城 考点04 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 17．(24-25七上·河南郑州郑州高新技术产业开发区·期末)如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动． (1)如图2，若平分，则的值为_____，此时_____； (2)当三角板转动到如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与的数量关系（数量关系中不含），并说明理由； (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①求为何值时，； ②在转动过程中，请直接写出与的数量关系（数量关系中不含）． 【答案】(1)， (2)； (3)①当t为10或20时，；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）由题意得：，，根据角平分线定义得，建立方程求解可求得，进而求得； （2）由题意得：，，可得，进而可得； （3）①分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别建立方程求解即可； ②由题意得：，，，从而，进而可得． 【详解】（1）解：如图，当平分时， 由题意得：，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴， 故答案为：，； （2）解：猜想：；理由如下： 如图，当、同时在直线的右侧时， 由题意得：，， ∴， ∴； （3）解：①当在内部时，如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当在外部时，如图， 则， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当t为10或20时，； ②，理由如下： 依题意得：， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动， ∴每秒增加， ∴， ∴． 18．(24-25七上·河南南阳社旗县·期末)综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程． （1）【探索发现】 课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是华华同学根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段 已知线段 …… 因为C，D分别是线段，中点， 所以 ， 所以， ， ， 因为， 所以 ． 线段中点的定义， 线段的和、差， 等式的性质 （2）【知识迁移】 华华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，求的度数．请同学们尝试解决该问题． （3）【拓展延伸】 华华又编出这样一个问题：已知在内的位置如图3所示，， ，且，，请你用含有和代数式表示，不必说明理由． 【答案】（1）；；；6；（2）；（3） 【分析】（1）按照步骤作答即可； （2）由对角线可得，，根据，计算求解即可； （3）先根据，，得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：因为，分别是线段，的中点， 所以，， 所以， ， 因为， 所以； （2）∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了线段中点，线段的和与差，角平分线，角度的和与差．明确线段之间的数量关系，角度之间的数量关系是解题的关键． 19．(24-25七上·河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级·期末)（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 20．(24-25七上·河南南阳邓州·期末)综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】（1）“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为____________，图②中的的度数为_____________； 【操作发现2】（2）“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为______________． 【操作发现3】（3）“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】（4）①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是_____________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】此题考查了角平分线的计算，几何图形中角度的和差计算， （1）由角平分线的定义表示出和，即可求解； （2）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解； （3）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解； （4）由角平分线的定义表示出有关的角，即可求解． 【详解】（1）如图①，∵，分别平分， ∴， ∴ ∴； 如图②，∵，分别平分， ∴， ∴ ∴； （2）根据题意得， ； （3）∵平分 ∴ ∵平分 ∴ ∴； （4）①根据题意得，当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时， 这两个角的平分线的夹角的度数是； ②根据题意得，当有公共顶点的两个角和其中一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时， 这两个角的平分线的夹角的度数是． 21．(24-25七上·河南濮阳·期末)【新知学习】 分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解． 例如：若，，求的值． 情况①：若时，； 情况②：若时，； 情况③：若时，； 情况④：若时，； 所以，的值为 填空：，则______． 【知识应用】 几何的学习过程中也有类似的情况： （1）已知点A，B，C在一条直线上，若，则长为多少？ 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种： 第一种情况：如图1，当点C在点B的右侧时，此时， ______； 第二种情况：如图2，当点C在点B的左侧时，此时， ______． 通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好地进行分类． （2）如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是和1，点C是数轴上一点，且，则点C表示的数是多少？ 仿照（1）的方法，画出图形，结合图形写出分类方法和结果． （3）点O是直线上一点，以O为端点作射线，使，，求的度数．直接写出结果． 【答案】新知学习：12或0；知识应用：（1）8，2；（2）7或；（3）或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，垂线的定义以及角的计算，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用． 新知学习：去绝对值符号，得的值，再代入计算即可； 知识应用：（1）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算； （2）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据进行计算； （3）分两种情况进行讨论：①当在的同侧时，②当在的异侧时，分别依据角的和差关系进行计算． 【详解】解：新知学习：∵， ∴， 解得或； 当时，； 当时，； 故答案为：12或0； 知识应用： （1）满足题意的情况有两种： ①当点C在点B的右侧时，如图1，； ②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，； 故答案为：8，2； （2）满足题意的情况有两种： ①当点C在点B的右侧时，如图， ∴， ∴点C表示的数为； ②当点C在点B的左侧时，如图，此时，， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为7或； （3）满足题意的情况有两种： ①当在的同侧时，如图，； ②当在的异侧时，如图，； 22．(24-25七上·河南郑州·期末)数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【答案】(1)45° (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键． （1）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （2）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （3）画出图形，同（2）的方法，结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 23．(24-25七上·河南郑州航空港区·期末)【问题情境】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，将直角三角板如图摆放．其中，，直角边与直线重合，另一边在直线上方，过点在直线上方作射线，，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒． 【初探发现】当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时______； 【深入探究】（1）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在值，使，若不存在，请说明理由；若存在，直接写出的值． 【答案】初探发现：；（1），；（2）存在，或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程，掌握分类讨论思想是关键． 初探发现：先根据补角的定义求出的度数，再根据角平分的定义求出的度数，最后根据余角的定义即可求出的度数； （1）分两种情况讨论，①当平分时；②当平分时，可分别求出的值； （2）分情况讨论：当重合时，当时，如图，当时，如图，当时，如图，再进一步利用建立方程求解即可． 【详解】解：初探发现：， ， 平分， ， ， ； （1）存在，理由如下： ∵最长旋转时间为：， ①如图，当平分时， ， ∴， 解得； ②如图，当平分时， ， ∴， 解得； 综上所述，，； （2）当重合时，， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：； 当重合时，， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，或. 24．(24-25七上·河南信阳平桥区·期末)综合与探究 已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点上，并在内部作射线．（注：） (1)如图，三角板的一边与射线重合，的余角是____，补角是____； (2)将三角板按照如图的方式放置，仅满足平分，请求出与之间的数量关系； (3)如图，若，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了余角的定义、补角的定义、角的和与差，解决本题的关键是根据余角和补角的定义得到角之间的关系． 根据余角的定义、补角的定义判断即可； 根据角平分线的定义可知，根据可得，等量代换可得，化简可得； 根据始终在的内部，可知，根据可知，把这两个等式两边同时相减，可得． 【详解】（1）解：， ， 的余角是， ， 的补角是； 故答案为：；； （2）解：， 理由如下： 证明：平分， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： 始终在的内部时， ，， ， ； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09利用数学思想解决线段与角的计算问题 ☆4大高频考点概览 考点01分类讨论思想在线段的计算中的应用 考点02分类讨论思想在角的计算中的应用 考点03整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 考点04整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 考点01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，AD=16cm,点C为线段AD上一点，点B为CD的中点， BD=4cm.若点E在直线AD上，且AE=6cm,则BE的长为() y CB D A.6cm B.9cm或3cm C.18cm或9cm D.18cm或6cm 2.(24-25七上·河南南阳邓州期末)己知线段AB=18,点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且 BD=号BC,则CD的长为() A.12 B.6 C.6或12 D.9或12 3.(24-25七上·河南安阳滑县·期末)点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，点E是线段AD的中 点，若AB=14,AD=4,则线段CE的长为一· 4.(24-25七上·河南漯河召陵区·期末)如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，若AC=acm, BD=bcm,且a-6+b-22=0. C B D (1)图中共有条线段： (2)求线段AD的长： (3)若点E在直线AD上，且EA=2cm,求线段BE的长. 1/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25七上-河南漯河期末)如图，点C在线段AB上，AC=10,BC=AB: 3 U 备用图 (I)求AB的长. (2)若DE=8,线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧 ①当D为AC的中点时，求BE的长。 ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上，且AF=2AD,CF=2,求出AE的长. 6.(24-25七河南郸城县第六实验中学期末)如图，已知直线AB,点C在直线AB上，线段AB=10cm, BC=三AC,D,E分别是AB,AC的中点，求线段DE的长 A B 考点02 分类讨论思想在角的计算中的应用 7.(24-25七上·河南驻马店正阳县·期末)已知：∠AOB=58°32'，以O为端点作射线OC,使 ∠AOC=42°41，则∠BOC的度数是() A.15°51 B.101°13或15°51 C.101°13 D.105°51 8.(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，已知∠AOB=60°，射线OC在∠AOB的内部，且 ∠AOC=2∠BOC. 备用图 (I)∠BOC的度数为； (2)射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠COD. ①若射线OD在∠AOC的内部，且∠EOC+∠BOD=65°，求∠COE的度数： 2/11 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ②若∠AOD=a0<a<40,直接写出∠BOE的度数（用含a的式子表示）· 9.(24-25七上河南南阳镇平县·期末)如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角 ∠AOB,∠AOC,∠BOC.若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”.如 图②，若∠MON=150°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是一 B N 图① 图② 10.(24-25七上河南安阳安阳县·期末)已知∠AOB+∠BOC=180°，OD平分∠BOC. B D B 0 图1 图2 (1)如图1，若∠AOB=80°，求∠AOD的度数： (2)如图2，若∠AOB=140°，求∠AOD的度数 11.(24-25七上·河南济源·期末)如图，已知在直线AD上有一点O,∠AOC和∠BOC互补. D (1)OC是∠BOD的角平分线吗？为什么？ (2)在(1)的基础上，若∠AOB=40°，以OC为边画∠COE=30°，求∠EOD的度数， 12.(24-25七上·河南南阳邓州·期末)如图，∠AOB=36°，平面内有一射线OM,且∠AOM=2∠BOM, 若ON平分∠BOM,则∠AON=i_°. B 13.(24-25七上·河南焦作武陟县·期末)【概念学习】定义：从∠a45°<∠a<90°)的顶点出发，在角的内 3/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α的和为90°，则称该射线为∠a的“分余 线”. 【深入思考】 B O 图1 图2 (1)如图1，∠AOB=80°，∠AOC=70°，则射线OC ∠AOB的“分余线”；（填：“是”或“不 是”) (2)若OC平分∠AOB,且OC为LAOB的“分余线”，求∠AOB的度数； (3)如图2，∠AOB=160°，在∠AOB内部作射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线，在∠BOC的 内部作射线ON,使∠BON=2∠CON.当OC为∠MON的“分余线”时，∠BOC=i度， 考点03 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14.(24-25七上·河南南阳新野县·期末)学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引 导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯.下面是张老师在“线段”主题下设 计的问题，请你解答 如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点 DC 【尝试求解】 (1)当AC=10,BC=8时，求线段DE的长度； 【类比探究】 (2)当AC=m,BC=nm>n时，求线段DE的长度 15.(24-25七上·河南南阳镇平县·期末)如图，线段AB=28,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向 点B运动，M为AP的中点，N为BP的中点. AM P (1)点P出发秒后，PB=2AM. (2)在点P的运动过程中，有如下两个结论：①MN的长度不变：②2BM-BP的长度不变，请选择一个正 4/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 确的结论，并求出其值. 16.(24-25七上·河南南阳南召县·期末)点A、B、C的同一条直线上，线段AB=4,点C为线段AB的中点， 在直线AB上作出点D,使得BD=2AB,并求CD的长度 ACB D ACB 备用图 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形， BD=2AB=8 小欢说：我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的 ,AB=4,点C为线段AB的中 情况… 点， ..CB=iAB=_ ∴.CD=CB+BD=( ()请将小乐的解答过程补充完整： (2)根据小欢的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时CD的长： (3)有两根木条，一根长6cm,一根长10cm.如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，那么 这两根木条的中点间的距离是_ 考点04 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 17.(24-25七上·河南郑州郑州高新技术产业开发区·期末)如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两 三角板顶点重合于点O,∠AOB=45°，∠OCD=60°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针 方向转动，设转动时间为t秒，当OC旋转至射线ON上时，三角板停止转动. 0 图 图2 图3 备用图 (1)如图2，若OC平分∠MOB,则t的值为，此时∠DOB-∠MOC=d; (2)当三角板COD转动到如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC的 数量关系（数量关系中不含t)，并说明理由： (3)若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3的速度顺时针转动，当OC旋 5/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 转至射线ON上时，两三角板同时停止运动： ①求t为何值时，∠BOC=15°； ②在转动过程中，请直接写出∠DOB与∠MOC的数量关系（数量关系中不含t)· 18.(24-25七上河南南阳社旗县·期末)综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移.下面是某节课的学习片段，请完成探 索过程 (1)【探索发现】 课上，老师提出问题：如图1，点O是线段AB上一点，C,D分别是线段OA,OB的中点，当AB=12时， 求线段CD的长度.下面是华华同学根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： A D B 未知线 图1 因为 段 C,D分别是线段OA,OB中点， 所以0C=0A,0D=2 线段中点的定义， 线段的和、差， 转 所以CD=OC+OD, 化 等式的性质 已 2 1 知线段 因为AB=12, 所以CD=(· (2) 【知识迁移】 华华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化.如图2，己知∠AOC=80°，OB是 角内部的一条射线，OD,OE分别是∠AOB,∠BOC的平分线，求∠DOE的度数.请同学们尝试解决 该问题. 6/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B B E C 图2 图3 (3)【拓展延伸】 华华又编出这样一个问题：已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB=a,∠COD=B,且 ∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON,请你用含有a和B代数式表示∠MON,不必说明理由. 19.(24-25七上河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级期末)(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角 板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是·（填序 号) (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF, 然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB)的顶点与60°角（∠COD)的顶点互相重合，且 边OA、OC都在直线EF上，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α， 当边OB与射线OF第一次重合时停止. (1) (2) ①当OB平分∠EOD时，求旋转角度a: ②是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在，直接写出旋转角度a;若不存在，请说明理由. 20.(24-25七上河南南阳邓州·期末)综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如15°、75的角等.七年级(1)班 数学学习小组又进行了如下实践操作： 7/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D BD 图① 图② 图③ 图④ 【操作发现1】(1)“探索组”用一副三角尺进行拼角.所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼 的图形中分别作出∠AOB的平分线OE和∠COD的平分线OF.如图①，把30°和90°的角拼在一起，如 图②，把60°和90°的角拼在一起.则图①中的∠EOF的度数为 图②中的∠EOF的度数 为 【操作发现2】(2)“智慧组”把图①中的三角尺AOB绕点O顺时针90°旋转到图③的位置，使O,D, B三点在同一条直线上，并求出了∠EOF的度数为 【操作发现3】(3)“挑战组”把图②中的三角尺绕点O顺时针旋转90到图④的位置，使O,B,D三 点在同一条直线上.请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中∠EOF的度数： 【归纳概括】(4)①当有公共顶点的两个角α和B有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个 角的平分线的夹角的度数是 (用含a,B的代数式表示)： ②当有公共顶点的两个角Q和β其中a>阝一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线 的夹角的度数是 (用含a,B的代数式表示). 21.(24-25七上河南濮阳·期末)【新知学习】 分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论 来求解， 例如：若x=2,y=3,求x+y的值 情况①：若x=2,y=3时，X+y=5: 情况②：若x=2,y=-3时，X+y=-1; 情况③：若x=-2,y=3时，x+y=1: 情况④：若X=-2,y=-3时，X+y=-5: 所以，x+y的值为1，-1,5，-5. 填空：a-1=3,则a2-4=d 【知识应用】 几何的学习过程中也有类似的情况： 8/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)己知点A,B,C在一条直线上，若AB=5,BC=3,则AC长为多少？ 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种： 第一种情况：如图1，当点C在点B的右侧时，此时，AC=乙： A B C 图1 第二种情况：如图2，当点C在点B的左侧时，此时，AC=乙 A C 图2 通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好地进行分类 (2)如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是-2和1，点C是数轴上一点，且BC=2AB,则点C表示 的数是多少？ -6-5-4-3-2-1012345678 图3 仿照(1)的方法，画出图形，结合图形写出分类方法和结果. (3)点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD,使∠AOC=60°，∠BOD=90°，求 ∠DOC的度数.直接写出结果 22.(24-25七上·河南郑州·期未)数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动. M B B (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板COD的直角顶点O放在直线AB上且三角板可以绕点O旋转， 接着小明分别作出了∠AOD和∠BOC的角平分线OM和ON. 若∠AOC=30°，则∠MON的度数为： (2)迁移探究 小明将三角板COD绕点O顺时针旋转到如图2所示位置，若∠AOC=a30°<a<90°，OM平分∠AOD, ON平分∠BOC,则∠MON的度数是否与(1)中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求 9/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 出∠MON的度数. (3)拓展延伸 小明继续将三角板COD绕点O顺时针旋转，当∠AOC=B90°<B<180°，OM平分∠AOD,ON平分 ∠BOC时，直接写出∠MON的度数.（本题中的角均指小于180的角） 23.(24-25七上·河南郑州航空港区·期末)【问题情境】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践 活动中，将直角三角板AOB如图摆放.其中∠AOB=90°，∠BAO=30°，直角边OA与直线DE重合， 另一边OB在直线DE上方，过点O在直线DE上方作射线OC,∠COE=140°，将直角三角板绕着点O按 每秒20°的速度逆时针旋转180°，设旋转时间为t秒. 图1 图2 【初探发现】当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD,此时∠BOC=: 【深入探究】(1)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA,OC,OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在， 请说明理由； (2)是否存在t值，使∠AOC=】∠BOE,若不存在，请说明理由：若存在，直接写出t的值. 24.(24-25七上·河南信阳平桥区·期末)综合与探究 己知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O上，并在∠MON内部作射线OC. (注：∠MON=90°) M AM B 0 B 图1 图2 图3 (1)如图1，三角板的一边OM与射线OA重合，∠AOC的余角是，补角是； (2)将三角板按照如图2的方式放置，仅满足OC平分∠MOB,请求出∠AOM与∠NOC之间的数量关系： (3)如图3，若∠AOC=68°，将直角三角板MON绕点O任意转动，如果OM始终在∠AOC的内部，请 10/11