专题08 直线、射线、线段与角、余角、补角 8大高频考点（期末真题汇编，河南专用）七年级数学上学期新教材人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 直线、射线、线段与角、余角、补角 ☆8大高频考点概览 考点01两点确定一条直线 考点02两点之间线段最短 考点03画直线、射线、线段 考点04线段中点的有关计算 考点05求一个角的余角、补角 考点06角平分线的有关计算 考点07三角板中角度计算问题 考点08与余角、补角、角平分线有关的角的综合问题 考点01 两点确定一条直线 1.(24-25七上·河南平顶山期末)墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具.如图，木工师傅锯木料时， 一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨 线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是：一· 2.(24-25七上河南驻马店泌阳县期末)体育课上，为了让队列站成一条直线，体育委员先让前两位同学站 好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方，且只能看到各自前面的一个同学的后脑勺，这种做法的数 学依据是」 3.(2425七上河南禹州期末)射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证 瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是() 缺口 准星 瞄准点 1/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,线段有两个端点 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.经过一点有无数条直线 目目 考点02 两点之间线段最短 4.(24-25七上河南郑州登封期末)如图，A,B两个村庄在公路1（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路1 旁建一个货物中转站，使它到A,B两个村庄的距离之和最小，图中的点C(l与AB的交点)即为所建的货物 中转站的位置，这样做的理由是() B A,两直线相交只有一个交点 B,两点确定一条直线 C.两点之间的所有连线中，线段最短D.经过一点有无数条直线 5.(24-25七上河南郑州郑州高新技术产业开发区期末)生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短” 来解释的现象是（) A,打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C,把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D,把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 6.(24-25七上河南安阳期末)如图，西山隧道段是上庄路南延工程的一部分，将穿越西山山脉，隧道全长 约4k隧道贯通后，往来海淀山前山后地区较之前路程有望缩短一半，其主要依据是() A.两点确定一条直线 B,两条直线相交于一点 C,直线比曲线短 D.两点之间，线段最短 7.(24-25七上河南郑州期末)在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路 径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务，外卖小哥这样做的依据是一、 2/14 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25七上河南安阳林州期末)修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为 9.“景莫妙于曲”故如图园林中的桥多做成折角，以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效 果.其中蕴含的数学道理是：两点之间， 目目 考点03 画直线、射线、线段 10.(24-25七上河南漯河期末)如图，平面上有A,B,C,D四个点. A B D C (I)画直线AC、射线CD、线段AD与线段BC相交于点O. (2)数一数，在（1)的作图下，图中线段共有 条。 11.(24-25七第05讲直线、射线、线段(2个知识点5类热点题型讲练习题巩固)-)如图，在平面内有A, B,C三点， B C· I)画直线AB,射线AC,线段BC; (2)在线段BC上任取一点D(不同于B,C),连接AD,并延长AD至E,使DE=AD; (3)数一数，此时图中线段共有 条 12.(22-23七上湖北武汉黄陂区部分学校期末)如图，平面上有A,B,C,D4个点，根据下列语句面 图 3/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A (I)画射线AD、BC交于点F; (②)连接AC,并将其反向延长； (3)取一点P,使点P既在直线AB上又在直线CD上： (4)取一点Q,使点Q到A,B,C,D四点的距离之和最小， 考点04 线段中点的有关计算 13.(24-25七上·河南周口商水县期末)如图，线段AB上有两点C,D,AC,BD的中点分别为E,F,若 AB=18,AD=13,BC=15,则EF的长为 A它0 D F B 14.(24-25七上·河南郑州河南实验中学·期末)若线段上的一个点把这条线段分成1：2两部分，则称这个点是 这条线段的三等分点.如图，AB=9,C、D两点分别从A、B同时出发，以相同的速度沿射线AB运动，在 C,D出发的同时，点E也从B出发，以某一速度沿相同方向运动在运动过程中，当点C为AE的三等分点时， 点E恰好为BD中点，此时EB的长为一· A(C) B(D)(E) 15,(24-25七上河南洛阳嵩县·期末)如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE 的中点，若AB=15,CE=4.5,线段AD的长度为· 11 A DC E B 16.(24-25七上河南商丘民权县双塔镇初级中学·期末)如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且 AD =13cm,BD =3cm C B D (1)图中共有条线段. (2)求AC的长. (3)若点E在直线AD上，且EA=4cm,求BE的长. 4/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25七上河南商丘永城期末)己知点C在射线AB上，M,N分别是线段AC,CB的中点. AM C N BA B 备用图 (1)如图，当点C在线段AB上时，若AC=4,CB=8,求线段MN的长 (2)当点C在线段AB的延长线上时，AC=a,BC=b,求线段MN的长（用含a,b的式子表示). 18,(24-25七上·河南商丘睢县县城中学联考期末)(1)如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中 点，若AB=4cm,则线段CD的长度为； (2)已知线段AB=5cm,C是直线AB上一点，若BC=2cm,则线段AC的长为 有七D B 19.(24-25七上河南南阳多校期末)如图，线段MN=10,A是线段MN的中点，B是线段MA的中点. M B A N (I)求线段BN的长. (②)若线段MN上存在一点C位于点A的右侧，且AC=AN,求CN的长. 考点05 求一个角的余角、补角 20,(24-25七下·河南郑州新郑期中)一个角比它的余角少10°，则这个角的度数为 21.(24-25七上河南三门峡陕州区·期末)下列图形中∠1和∠2互为余角的是() A. B 90° 22.(24-25七上河南周口扶沟县期末)若LQ的余角是35°27'，则La的补角为 23.(24-25七上河南濮阳期末)如果∠a=31°45'，那么∠a的余角的度数是度， 24.(24-25七上河南安阳林州·期末)如果LA=35°29，那么LA的余角的度数等于 25,(24-25七上河南新乡·期末)一副三角板按如图所示的方式摆放（顶点A重合，A,D,C三点在一条直线 上)，则∠BAE的余角度数为() 5/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A.15 B.45° C.65° D.75 26.(24-25七下·河南郑州中牟县·期末)如果∠1与∠2互补，∠1=30°，则∠2的度数是() A.50° B.60° C.120° D.150 目目 考点06 角平分线的有关计算 27.(24-25七上·河南驻马店新蔡县·期末)已知点0在直线AB上，OC是∠AOD的平分线. B ① ② (1)如图①，若LC0E=90°，LA0D=60°，求LB0E的度数； (2)如图②，若LD0E:LB0D=2:5,且∠C0E=80°，求∠B0E的度数. 28.(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，已知LA0B=60°，射线0C在∠A0B的内部，且 ∠AOC=2∠BOC. 备用图 (1)LB0C的度数为 (2)射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠C0D: ①若射线OD在∠AOC的内部，且∠EOC+∠BOD=65°，求LCOE的度数； ②若∠AOD=a(0<a<40),直接写出∠B0E的度数（用含a的式子表示)· 29.(24-25七上河南郑州二七区期末)一副三角板按如图方式摆放，点B,C,D在同一条直线上， ∠A=45°，LE=30°.现将三角板DCE绕点C逆时针旋转一周，当AC所在直线恰好平分∠DCE时，三角板DCE 转过的角度为 6/14 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 30.(24-25七上河南南阳社旗县·期末)如图，点O是直线AB上的一点，∠A0C=55°，画出LB0C的平分线 OD,并计算∠AOD的度数. A B 31.(24-25七上·河南安阳安阳县·期末)己知A0B+∠B0C=180°，0D平分∠B0C. B B O 图1 图2 (1)如图1，若∠A0B=80°，求∠A0D的度数； (2)如图2，若∠A0B=140°，求∠A0D的度数. 32.(24-25七上·河南周口川汇区·期末)如果射线0C在LAOB的内部，并且与角的两边0A、0OB构成LAOB, ∠AOC,∠B0C共3个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称射线0C是∠A0B的“倍分线”， M M B 图1 图2 备用图 (1)一个角的角平分线 这个角的“倍分线”.（填“是”或“不是”） (2)在图1中，若LA0B=60°，且射线0C是∠A0B的“倍分线”，求LAOC的度数； (3)如图2，若∠MPN=a,射线PQ是∠MPN的倍分线”，则∠MPQ= (用含a的式子表示所有可能 的结果) 33.(24-25七上河南南阳南召县·期末)如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之 7/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片 进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点， 定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 CO 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，∠A0C=∠B0C,则LA0C=°， (2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且∠A0C=108°，∠B0C=72°，D0平分∠B0C,求LA0D的大 小 (3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线0E平分LC0D,且 LC0D=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为每 秒50°，OB旋转速度为每秒25°，当0B旋转到与0D重合时运动停止(OE是竖直方向的一条射线) ①运动停止时，∠AOD=_; ②请帮助美美写出在0~2s运动过程中LA0C与LB0E的数量关系为· 34.(24-25七上河南驻马店驿城区期末)已知O为直线AB上一点，∠C0D=90°，OE平分∠A0D, B 图1 图2 (1)当∠C0D在如图1所示的位置时， ①若LCOE=20°，求∠B0D的度数； ②若LCOE=a,请直接写出∠BOD的度数（用含a的式子表示）； (2)当∠COD在如图2所示的位置时，试探究∠BOD和∠COE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由. 35.(24-25七上河南焦作武陟县·期末)【概念学习】定义：从∠a(45°<∠α<90)的顶点出发，在角的内部 作一条射线，若该射线将Lα分得的两个角中有一个角与La的和为90°，则称该射线为Lα的“分余线”. 【深入思考】 8/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B O 图1 图2 (1)如图1，∠A0B=80°，∠A0C=70°，则射线0C ∠AOB的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若0C平分LAOB,且OC为LA0B的“分余线”，求LAOB的度数； (3)如图2，∠A0B=160°，在LAOB内部作射线OC,OM,使0M为LA0C的平分线，在∠B0C的内部作射线 ON,使∠B0N=2∠CON.当OC为∠MON的分余线”时，∠BOC= 度 目目 考点07 三角板中角度计算问题 36.(24-25七上·河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级期末)如图，将一副三角板如图放置， ∠C0D=25°，则LA0B的度数为( A.125° B.135° C.145° D.155° 37.(24-25七上·河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级期末)(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角 板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是. (填序号) (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种，如图，他先用三角板画出了直线E℉， 然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角(LA0B)的顶点与60°角(LC0D)的顶点互相重合，且边0A、0C 都在直线EF上，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度a,当边OB与射线OF 第一次重合时停止 (1) (2) ①当OB平分∠EOD时，求旋转角度a; ②是否存在∠BOC=2LAOD?若存在，直接写出旋转角度α；若不存在，请说明理由. 9/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(2425七上·河南驻马店正阳县期末)如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O处， 且∠B0D,∠A0C均小于180°. 图1 图2 图3 (1)当两三角尺的位置是图(1)位置时，请填写： ①LA0D∠B0C(填>”或“<”或“=”). ②LAOC和∠BOD的数量关系是：· (2)当两三角尺的位置是图(2)位置时，第(1)问中： ①LAOD和∠B0C的大小关系是否成立（填“是”或“否”）， ②LA0C和∠B0D的数量关系是否成立（填“是”或“否”）， (3)当两三角尺的位置是图(3)位置时，若LB0D=140°，OE、OF分别是∠A0D、∠B0C的平分线，求LE0F 的度数 39.(24-25七上·河南洛阳宜阳县期末)用一套三角板不能拼出(） A.40°角 B.15°角 C.75°角 D.105°角 40.(24-25七上·河南驻马店确山县期末)如图1所示，将一副三角尺的直角顶点叠放在一起， E D A D 图1 图2 (1)若LDCE=38°，求LACB的度数， (2)猜想LDCE与LACB的数量关系，并说明理由 (3)如图2所示，若将一副三角尺的45°角和60°角的顶点叠放在一起，则∠DEC与∠AEB之间的数量关系是 41.(24-25七上河南开封兰考县期末)如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合. 10/14 专题08 直线、射线、线段与角、余角、补角 8大高频考点概览 考点01 两点确定一条直线 考点02 两点之间线段最短 考点03 画直线、射线、线段 考点04 线段中点的有关计算 考点05 求一个角的余角、补角 考点06 角平分线的有关计算 考点07 三角板中角度计算问题 考点08 与余角、补角、角平分线有关的角的综合问题 地 城 考点01 两点确定一条直线 1．(24-25七上·河南平顶山·期末)墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 2．(24-25七上·河南驻马店泌阳县·期末)体育课上，为了让队列站成一条直线，体育委员先让前两位同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方，且只能看到各自前面的一个同学的后脑勺，这种做法的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 【详解】解：由题意可知：这种做法依据的几何知识应是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 3．(24-25七上·河南禹州·期末)射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是（   ） A．线段有两个端点 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行判断即可． 【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故选：C． 地 城 考点02 两点之间线段最短 4．(24-25七上·河南郑州登封·期末)如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 5．(24-25七上·河南郑州郑州高新技术产业开发区·期末)生活中有下列现象，其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 B．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线 C．把弯曲的河道改直，可以缩短航程 D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线 【答案】C 【分析】本题考查了经过两点有且只有一条直线、两点之间线段最短、点动成线，据此相关性质内容逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：A.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； B.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“经过两点有且只有一条直线”，故该选项不符合题意； C.把弯曲的河道改直，可以缩短航程，利用了“两点之间线段最短”，故该选项符合题意； D.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，利用了“点动成线”， 故该选项不符合题意； 故选C． 6．(24-25七上·河南安阳·期末)如图，西山隧道段是上庄路南延工程的一部分，将穿越西山山脉，隧道全长约隧道贯通后，往来海淀山前山后地区较之前路程有望缩短一半，其主要依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两条直线相交于一点 C．直线比曲线短 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】此题主要考查了线段的性质，是需要识记的内容．根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：西山隧道段是上庄路南延工程的一部分，将穿越西山山脉，隧道全长约．隧道贯通后，往来海淀山前山后地区较之前路程有望缩短一半，其主要依据是两点之间，线段最短， 故选：D． 7．(24-25七上·河南郑州·期末)在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务．外卖小哥这样做的依据是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务．外卖小哥这样做的依据是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 8．(24-25七上·河南安阳林州·期末)修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，两点之间的所有连线中，可以有无数连法，如折线、曲线、线段等，这些所有线中，线段最短；解题的关键是灵活运用线段的性质． 利用线段的性质即可得出结论． 【详解】解：修高速公路时，经常化弯道为直道，其蕴含的数学知识为：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 9．“景莫妙于曲”故如图园林中的桥多做成折角，以形成一条折线，达到延长风景线，扩大景观画面的效果．其中蕴含的数学道理是：两点之间， ． 【答案】线段最短 【分析】本题考查线段的性质，掌握两点之间，线段最短，是解题的关键． 【详解】由题意，可知，蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：线段最短． 地 城 考点03 画直线、射线、线段 10．(24-25七上·河南漯河·期末)如图，平面上有A，B，C，D四个点． (1)画直线、射线、线段与线段相交于点O． (2)数一数，在（1）的作图下，图中线段共有______条． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查直线、射线和线段，熟练掌握直线、射线和线段的定义是解题的关键． （1）根据直线、射线和线段的定义进行画图即可； （2）根据线段的特点进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：直线、射线、线段与线段相交于点O即为所求． （2）解：线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段， 故答案为：． 11．(24-25七·第05讲直线、射线、线段（2个知识点5类热点题型讲练习题巩固）-·)如图，在平面内有A，B，C三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点D（不同于B，C），连接，并延长至E，使； (3)数一数，此时图中线段共有 ___________条． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)8 【分析】本题主要考查了作直线，线段，射线， 对于（1），依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，线段，射线； 对于（2），依据在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段，再作即可； 对于（3），根据图中的线段为，即可得到图中线段的条数． 【详解】（1）解：如图，直线，线段，射线即为所求； （2）如图，线段和线段即为所求； （3）由题可得，线段为， 图中线段的条数为8． 故答案为：8． 12．(22-23七上·湖北武汉黄陂区部分学校·期末)如图，平面上有A，B，C，D4个点，根据下列语句面图． (1)画射线、交于点F； (2)连接，并将其反向延长； (3)取一点P，使点Р既在直线上又在直线上； (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据射线的定义画射线、即可； （2）先连接，再画射线即可； （3）画直线和直线，交点即为点P； （4）连接与的交点即为点Q． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示，点P即为所求， （4）如图所示，点Q即为所求， 【点睛】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，比较简单，要求同学们一定要认真作图，特别是直线向两方无限延伸，不需要延长，射线向一方无限延伸，不需延长，但可以反向延长；而线段不延伸，既可以延长，也可以反向延长． 地 城 考点04 线段中点的有关计算 13．(24-25七上·河南周口商水县·期末)如图，线段上有两点，的中点分别为．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出的长，再由线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(24-25七上·河南郑州河南实验中学·期末)若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 15．(24-25七上·河南洛阳嵩县·期末)如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查线段中点的有关计算．根据中点的定义可得，进而可得，，再根据点D为线段的中点，即可求解． 【详解】解： ，点C为线段的中点， ， ， ， ， 点D为线段的中点， ， 故答案为：6． 16．(24-25七上·河南商丘民权县双塔镇初级中学·期末)如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)的长是 (3)的长是或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， 答：的长是或． 17．(24-25七上·河南商丘永城·期末)已知点C在射线上，M，N分别是线段的中点． (1)如图，当点C在线段上时，若，求线段的长； (2)当点C在线段的延长线上时，，求线段的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）由点M是的中点，点N是的中点，可得，，再进一步求解即可； （2）根据点C在的延长线上，则点N在之间时，画出图形，进一步求解即可． 【详解】（1）解：因为点是线段的中点，点是线段的中点，且， 所以． 所以． （2）解：根据题意，如图所示： 因为是线段的中点，是线段的中点，， 所以． 所以． 18．(24-25七上·河南商丘睢县县城中学联考·期末)（1）如图，点D是线段的中点，点C是线段的中点，若，则线段的长度为 ； （2）已知线段，C是直线上一点，若，则线段的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查线段的中点的有关计算及线段的和差． （1）由点D是线段的中点，C是线段的中点，可得，即可求得答案； （2）分两种情况：当点C在线段上时或当点C在线段延长线上时，根据线段的和差计算即可． 【详解】解：（1）∵点D是线段的中点， ∴， ∵C是线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当点C在线段上时，如图： ，， ； 当点C在线段延长线上时，如图： ，， ； 故答案为：或． 19．(24-25七上·河南南阳多校·期末)如图，线段，A是线段的中点，B是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若线段上存在一点C位于点A的右侧，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，算出的长，由即可求解； （2）先算出的长，再由即可求解． 【详解】（1）解：，A是的中点， ． ∵B是的中点， ， ； （2）解：，， ． ∵点C在点A的右边，， ∴的长为． 地 城 考点05 求一个角的余角、补角 20．(24-25七下·河南郑州新郑·期中)一个角比它的余角少，则这个角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．设这个角的度数为，表示它的余角，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 21．(24-25七上·河南三门峡陕州区·期末)下列图形中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角定义，根据余角定义对各选项分析判断即可得解，熟记概念并准确识图是解题的关键． 【详解】解：A、，和不是互为余角，故选项不符合题意； B、，和不是互为余角，故选项不符合题意； C、和不是互为余角，故选项不符合题意； D、，和互为余角，故选项符合题意； 故选：D． 22．(24-25七上·河南周口扶沟县·期末)若的余角是，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角的定义先求出，进而根据补角的定义即可求解，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴的补角， 故答案为：． 23．(24-25七上·河南濮阳·期末)如果，那么的余角的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角的定义（如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角）即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． 24．(24-25七上·河南安阳林州·期末)如果，那么的余角的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了余角的定义：相加为的两个角互为余角，熟记余角定义是解题的关键． 根据余角定义解答． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为：． 25．(24-25七上·河南新乡·期末)一副三角板按如图所示的方式摆放（顶点重合，，，三点在一条直线上），则的余角度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角板中角的度数及余角的计算，解答的关键是知道三角板中各个角的度数．由题意可得，再求出余角的度数． 【详解】解：由题意知：， 所以， 所以的余角的度数为 故选：D． 26．(24-25七下·河南郑州中牟县·期末)如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 地 城 考点06 角平分线的有关计算 27．(24-25七上·河南驻马店新蔡县·期末)已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，弄清角之间的和差关系是解题的关键． （1）由及角平分线定义得出的度数，再由为直角及平角的定义，即可得出的度数； （2）由，设，则，，再由平角的定义列出方程，求解方程，进而即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ． 是的平分线，， ． ； （2） ， 设，则． ． 是的平分线，， ． 由， 得， 解得， ． 28．(24-25七上·河南郑州中原区·期末)如图，已知，射线在的内部，且． (1)的度数为______； (2)射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． ①若射线在的内部，且，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的和差关系． （1）根据题意，结合，即可求解； （2）①根据角平分线的定义可得：，由，即可求解；②由，可得，分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）① 平分， ， ， ； ② ， ， 当射线在的内部时， ， ， 平分， ， ； 当射线在的外部时， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或． 29．(24-25七上·河南郑州二七区·期末)一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 30．(24-25七上·河南南阳社旗县·期末)如图，点O是直线上的一点，，画出的平分线，并计算的度数． 【答案】图见解析，∠AOD的度数为117.5°． 【分析】本题考查了画图，角平分线的有关计算，由点是直线上的一点，得到再得出，根据平分线的定义得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 点是直线上的一点 ， 的平分线， ， 的度数为． 31．(24-25七上·河南安阳安阳县·期末)已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据，可得的度数；再根据角平分线的定义得，进而根据可得的度数； （2）根据题意画出图形，先求出，再根据角平分线的定义求出，进而根据可得的度数； 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：如图1，当在内部时， ，， ， 平分， ， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分， ， ； 综上，的度数为或． 32．(24-25七上·河南周口川汇区·期末)如果射线在的内部，并且与角的两边、构成，，共3个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称射线是的“倍分线”．     (1)一个角的角平分线________这个角的“倍分线”．（填“是”或“不是”） (2)在图1中，若，且射线是的“倍分线”，求的度数； (3)如图2，若，射线是的“倍分线”，则________（用含的式子表示所有可能的结果） 【答案】(1)是 (2)的度数为或或 (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“倍分线”的定义是解题的关键． （1）根据“倍分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答； （2）根据“倍分线”定义，分、、，三种情况求解即可； （3）根据“倍分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴, ∴根据倍分线定义可得是这个角的“倍分线”． 故答案为：是． （2）解：①当时，则, 解得：； ②当时，则 解得：； ③当时，则． 综上，的度数为或或． （3）解：①当时，则； ②当，则， 解得：； ③当，则， 解得：． 综上，可以为． 33．(24-25七上·河南南阳南召县·期末)如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，，则 ． (2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且，，平分，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助美美写出在运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) ； ，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由A、O、B三点在同一条直线上，得出，再根据，即可求解； （2）由角平分线的性质得到，再根据角的和差即可求解； （3）算出运动停止时间，求出运动的角度，即可求出的度数； 由的运动过程可知，当时，，，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵A、O、B三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，平分， ∴， ∴， 设运动时间为，当旋转到与重合时运动停止， ∴， ∴， 运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴； 当三点共线时， ， ∴当时，，， ∴， 故答案为：． 34．(24-25七上·河南驻马店驿城区·期末)已知O为直线上一点，，平分． (1)当在如图1所示的位置时， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的式子表示）； (2)当在如图2所示的位置时，试探究和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角平分线的定义是解题的关键． （1）①先求出，再由角平分线的定义可得，再求得，可得答案； 根据平角的定义可求，再由角平分线的定义可求解的度数，进而可求解； ②可利用（1）的方法求解即可求解； （2）设，仿照（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， 平分， ， ， ； ②，， ， 平分， ， ， ； （2）解：． 理由：设， ，， ， 平分， ， ， ； ． 35．(24-25七上·河南焦作武陟县·期末)【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 地 城 考点07 三角板中角度计算问题 36．(24-25七上·河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级·期末)如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角板中的余角和补角的计算，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 依据题意，由，从而，进而可得解． 【详解】解：， ，即， ， 故选：． 37．(24-25七上·河南商丘商丘工学院附属兴华学校七年级·期末)（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 38．(24-25七上·河南驻马店正阳县·期末)如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若 分别是 的平分线，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是；②是 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟练进行角度的转换，进行计算是解题的关键． （1）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （2）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （3）根据角平分线的定义，进行角度的计算即可． 【详解】（1）解：①因为, 所以,即； ②因为， 所以， 所以； 故答案为：；； （2）解：①是，理由如下： 因为, 所以,即； ②是，理由如下： 因为, 所以, 所以； （3）解：根据(1)可知， 分别是的平分线， ， ， ， ． 39．(24-25七上·河南洛阳宜阳县·期末)用一套三角板不能拼出（   ） A．角 B．角 C．角 D．角 【答案】A 【分析】本题主要考查角度的运算，熟练掌握一套三角板的度数是解题的关键；由题意可知一套直角三角板的度数分别为和，然后依此进行排除选项即可 【详解】解：由题意可知：一套直角三角板的度数分别为和， ∴A、角不能由这套三角板拼成，故符合题意； B、可由拼成，故不符合题意； C、可由拼成，故不符合题意； D、可由拼成，故不符合题意； 故选A 40．(24-25七上·河南驻马店确山县·期末)如图1所示，将一副三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若，求的度数． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图2所示，若将一副三角尺的角和角的顶点叠放在一起，则与 之间的数量关系是_____． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角板中的角度计算，角的和差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出的度数； （2）根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （3）根据图形利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵； （2）解：猜想，，理由： ∵，， ∴，． ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴． 41．(24-25七上·河南开封兰考县·期末)如图，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题题主要考查了几何图形中角度的计算，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）由，求出的度数，由即可得出； （2）由，求出的度数，由即可求出； （3）由于，即可得，所以． 【详解】（1）由题可知：，， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴． 42．(24-25七上·河南商丘永城·期末)如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为______； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线的情况出现了几次？分别求出作为角平分线时t的值． 【答案】(1) (2) (3)3次；和 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决动角问题以及角平分线的定义和角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，再根据角的和差求解即可； （2），则，再由角平分线的定义求出，再根据平分，表示出，建立方程求解即可； （3）分平分，即，平分时，即时，到达，即平分时，三种情况讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：设，则， 平分， ， ， 平分， ， ， ， 解得：，即； （3）解：3次，的值分别为和， 理由如下： ①当平分时，即， ∵， ∴． ． ②当平分时，即， 由（1）可知， ∴． ． ③当到达，即平分时， 由（1）可知，， ． 综上，作为角平分线的情况出现了3次，的值分别为和． 地 城 考点08 与余角、补角、角平分线有关角的综合问题 43．(24-25七上·河南周口川汇区·期末)如图，是直线上的一点，是直角，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角，补角，角平分线的定义，熟练掌握这个知识点是解题的关键. 根据余角的定义求出，再根据补角的定义求出，根据角平分线的定义得到. 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 故选：A. 44．(24-25七上·河南济源·期末)如图，已知在直线上有一点，和互补． (1)是的角平分线吗？为什么？ (2)在（1）的基础上，若，以为边画，求的度数． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据等角的补角相等可得，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得出,进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线 ∵和互补，即 又∵ ∴， ∴是的角平分线； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∵， 当在的内部时， ∴ 当在的内部时， ∴， 综上所述，或 45．(24-25七上·河南商丘柘城县·期末)如图，与互为补角，与位于异侧，与互为余角，与位于异侧，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角和补角，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系． （1）根据和平角的定义即可求解； （2）根据与互为余角，求出，再根据平分，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ． （2）解：， ， 平分， ， ． 46．(24-25七上·河南安阳滑县·期末)数学活动兴趣小组的同学遇到这样一个问题：如图，已知，请利用直尺和量角器画射线，使与互补，并计算的度数． 小明说，通过分析首先可以得到射线在的外部； 小红说，这样的射线有两条，求出来的两个还是互补的； 小志说，反向延长射线得到射线，利用量角器画出的平分线，则为所求的射线之一． 请根据他们的讨论思考并解答下列问题： (1)若，请在图1中画出符合题目要求的射线，并直接写出 度； 度； (2)如图2，，是按照小志的方法画出的一条射线，说明和互补的理由； (3)如图3，，和互补，平分，射线平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)画图见解析，105；75 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，进行求解即可； （2）根据角平分线定义得出，，得出，即可证明结论； （3）设，根据角平分线定义得出，，根据和互补，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：当在内部时，如图所示： 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴； 当在外部时，如图所示： 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）证明：根据题意可得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； （3）解：设， ∵平分，射线平分， ∴，， ∴， ∵和互补， ∴， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线定义，补角定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握补角的定义． 47．(24-25七上·河南南阳方城县·调研)如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)当时，求的度数．（用含α的式子表示） (3)请根据（1）（2）的计算结果，直接写出和的数量关系．（不说明理由）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，掌握互余，互补，角平分线的概念是解题的关键． （1）根据互余，求出，再根据角平分线求出，最后根据互补可求； （2）同样根据互余，求出，再根据角平分线求出，最后根据互补可求； （3）由特殊到一般，利用角的和差倍分关系可转化得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由：， ，   平分， ， ． 48．(24-25七上·河南郑州·期末)数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【答案】(1)45° (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键． （1）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （2）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （3）画出图形，同（2）的方法，结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 49．(24-25七上·河南焦作·期末)如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的交点处，并使两条直角边分别落在射线、上，将直角三角尺绕着点顺时针旋转． (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线， ①直角三角尺旋转到图3的位置，若，求的度数； ②直角三角尺在旋转过程中，若，直接写出此时的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题考查了旋转、垂直的定义、与角平分线有关的计算，较难的是题（2）②，分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据角的和差求解即可得； （2）①先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据求解即可得； ②先根据垂直的定义和角平分线的定义可得，，再分两种情况：和，根据角的和差求出的度数，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴ ， 故答案为：；． （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴． 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $