17.2 用公式法分解因式 同步练习 2025--2026学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册数学同步精练：17.2用公式法分解因式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。 1.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应六个字：华、爱、我、中、大、美．现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是  (    ) A. 大中华 B. 大美中华 C. 爱我中华 D. 美我中华 2.对于两个非零的实数，，定义新运算“”：将的结果分解因式，得  (    ) A. B. C. D. 3.下列因式分解中，结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列因式分解的结果中，正确的是  (    ) A. B. C. D. 5.已知：，，则等于(    ) A. B. C. D. 6.把多项式分解因式，得，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.已知三个实数，，满足，，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.已知能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数的个数有(    ) A. B. C. D. 9.已知，，求代数式的值为(    ) A. B. C. D. 10.若为任意整数，则的值总能  (    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知，，则          ． 12.如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为            ． 13.有下列说法：不论取何实数，多项式总能分解为两个一次因式积的形式；关于的分式方程无解，则；关于，的方程组将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为其中正确的是          填序号 14.分解因式：          ． 15.计算：           ，反之          ；           ，反之          ． 16.分解因式，甲看错了值，分解的结果是，乙看错了值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果应该是          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 解决问题： 分解因式：          ； 分解因式：； 求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 18.本小题分 已知实数满足． 求证：为非负数； 若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 19. 本小题分 已知，，求的值． 20.本小题分 先分解因式，再求值： ，其中，． 20. 本小题分 已知，，求的值． 21. 本小题分 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： 探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 拓展：若代数式，则的值 ______． 22. 本小题分 阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． 若，，直接写出，的“如意数”； 如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”恒小于等于； 已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示． 24.本小题分 阅读材料：若，求，的值。 解：， 。 ， ，。 ，。 根据你的观察，探究下面的问题： 已知，求的值。 已知，，求的值。 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：  ，  ，   ， 故选：． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握  是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了多项式的乘法和因式分解的概念，解题的关键是明确因式分解后两多项式相等运用多项式乘以多项式的法则求出的值，对比系数可以得到，的值． 【解答】 解：， ， ，． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出和的正负情况． 根据，，可以得到与、的关系，从而可以判断的正负和的正负情况，本题得以解决． 【解答】 解：，， ，， ， ， ， 即，， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：根据十字相乘法 ， ，，，，，， 即，，共个． 故选：． 根据十字相乘法分解因式，可以分解成，，，，，，等于分成的两个数的和，然后计算即可得解． 本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解的应用和代数式求值，先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】 解：， 将，代入得，． 故代数式的值为． 故选B． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】原式 ， ，， 原式． 12.【答案】  【解析】，由已知得，， ，． ． 【分析】 本题主要考查因式分解的应用，代数式求值，把所求代数式化为是解题的关键；由周长和面积可分别求得和的值，再利用因式分解把所求代数式可化为，代入可求得答案． 【解答】 解：长、宽分别为、的长方形，它的周长为，面积为， ，， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】当为负值时，多项式不能分解为两个一次因式积的形式，故不正确； 将关于的分式方程两边同时乘，得，解得． 原分式方程无解， ，即，解得． 故正确； 将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加， 得， 即， 解得 则当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为故正确． 综上所述，正确答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式“”进行因式分解即可。 【解答】解：原式 故答案为． 15.【答案】   【解析】解：反之； ，． 16.【答案】  【解析】解：分解因式，甲看错了值，分解的结果是， ， ， 乙看错了值，分解的结果是， ， ， ． 故答案为：． 根据已知分解因式，甲看错了值，分解的结果是，可得出的值，再根据乙看错了值，分解的结果是，可求出的值，进而因式分解即可． 此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出，的值是解决问题的关键． 17.【答案】【小题】 【小题】   【小题】 略   【解析】 略  略  略 18.【答案】证明见解析； 不可能都为整数，理由见解析．   【解析】【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． 根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； 分情况讨论，都为奇数；为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． 不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：都为奇数；为整数，且其中至少有一个为偶数． 当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 19.【答案】解： ， 又，， ．   【解析】本题考查代数式求值及分解因式的方法观察题目发现各项都含有，于是先提取公因式，然后再用完全平方公式的方法分解因式最后将，，代入化简后的式子中计算结果即可． 20.【答案】解： 当，时， 原式 ．  【解析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，原式提取变形后，将与的值代入计算即可求出值；由此解答即可． 21.【答案】解： ， 当，时，原式．   【解析】略 22.【答案】；   或  【解析】 ； ， 或， 或， 故答案为：或． 用配方法分解因式即可； 用因式分解法解方程即可． 本题考查因式分解法十字相乘法，关键是掌握十字相乘法分解因式的方法． 23.【答案】解：由“如意数”的定义可得， ； 故答案为：． 证明：由“如意数”的定义可得， ， ， ， “如意数”恒小于等于； ， ， ， ， ， ， ．  【解析】【分析】本题以新概念“如意数”为背景考查了因式分解，关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答． 利用“如意数”的定义可直接求得； 利用“如意数”的定义求出的值，再判断； 利用“如意数”的定义表示出，把与的值代入即可． 24.【答案】【小题】 解：， 。 ． ，。 ，． 。 【小题】 ，， 。 ． ，。 ，，。 。   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $