专题07 期末复习压轴题综合（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题07 压轴题综合 一、单选题 1．(24-25八上·河南南阳镇平县·期末)如图，是平分线上的一点，于点，于点，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由角平分线的性质得，即得，得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是平分线上的一点，于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25八上·河南商丘虞城县·期末)如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米，而从A地运行至地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为千米/小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设提速的的车速为 千米/小时，则提速后的车速为 千米/小时，根据从A地运行至地的时长缩短了1小时，列出方程即可． 【详解】解：设提速的的车速为 千米/小时，则提速后的车速为 千米/小时， 由题意，得 ． 故选：A． 4．(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 5．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 6．(24-25八上·河南周口商水县商水县·期末)如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 7．(24-25八上·河南信阳平桥区·期末)如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中所对的边等于斜边的一半等知识点，将的最大值转化成最小是解此题的关键．过点作于，连接，设，则，结合含角的直角三角形的性质可得关于的不等式，计算可求解的最小值，进而可求得的最大值． 【详解】解：过点作于，连接，如图， ∵， ∴； 设，则， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 解得， ∴最小值为的最大值为． 故选：C． 8．(24-25八上·河南商丘夏邑县·期末)如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称—最短问题，等边三角形的性质等知识，连接交于点，，关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长，可得答案．解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵直线，且与关于直线对称，等边的边长为， ∴，，共线，与都是等边三角形且边长为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，关于直线对称， ∵为线段上的一个动点， ∴（点与点重合时取“”）， 即当点与点重合时，的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为． 故选：C． 二、填空题 9．(24-25八上·河南商丘虞城县·期末)如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）连接，过点作交与点，根据等腰三角形的性质可得出的最小值是的长，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：（1） ，是表上的中线， ，平分， ，， ， ； （2）连接，过点作交与点， 所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 的最小值是的长， ， ， 的最小值是， 故答案为：，． 10．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 11．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在中，，点是边上的动点，分别以为折痕折叠和，恰好边的对应边与的对应边重合于．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质以及折叠的性质．根据等腰三角形的性质以及折叠的性质，可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵ ． ， 由折叠的性质，得： ， ． 分两种情况进行讨论： ①如图 1，当 时， ，则 ， ， ； ②如图 2，当 时，则 ． ， ． ． ． 综上所述， 的度数为 或 ． 故答案为： 或 12．(24-25八上·河南驻马店正阳县·期末)已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 13．(24-25八上·河南漯河舞阳县·期末)如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 14．(24-25八下·河南周口沈丘县两校联考·期末)计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了异分母分式的加减法． 先根据完全平方公式和平方差公式变形后约分，再计算分式的加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，设，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 16．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ． 【答案】7或 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 分两种情况讨论，一是顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由是等边三角形，得，，可证明≌，得，，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点D与顶点C在直线异侧，在BC上截取，连接，可证明≌，得，，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接、， ，， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 于E， ， ， ， ； 如图2，顶点D与顶点C在直线异侧，在上截取，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 于E， ， ， ， ， 综上所述，的长为7或， 故答案为：7或． 三、解答题 17．(24-25八上·河南许昌长葛·期末)如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 【答案】(1)； (2) (3)C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键． （1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解； （2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可； （3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；． （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故． （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C． 18．(24-25八上·河南鹤壁·期末)如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查全等三角形与几何动态综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）利用证得，得到，即可得出结论； （2）由于点运动的速度快，根据点从点到点运动或点从点到点运动分两种情况讨论即可得到答案； （3）利用证明，得到，再分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时： ； 当点再从点到点运动时： ， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 19．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为（）；用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 请你结合活动记录完成以下任务： (1)①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； (2)③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； (3)的度数为 ． 【答案】(1)等角的余角相等；三角形的内角和等于 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，注意分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可； （2）结合光的反射，得，得得，，根据，得； （3）分三种情况画图讨论：①当时，可得，∴，，得，，得；②当时，根据， ，得．③当时,根据，解得，不成立． 【详解】（1）解：，， ∵，，，， ∴，，（等角的余角相等）． ∵，（三角形的内角和等于）， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于 （2）解：如图，为法线， 则， ∴， 在中， , ∴， 在中， ， 在四边形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：或．理由如下： ①当时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由内角和， 得； ②当时， 如果在边反射后与平行， 则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， ∵， ∴， 由， 可得， ∴， ∴； ③当时, ∵反射光线直接与平行，入射光线与平面镜的夹角， ∴， 解得， 此时与镜面垂直， 这与矛盾， 时不成立． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 20．(24-25八上·河南漯河召陵区·期末)下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题提出】 如图1，在中，，点在线段上，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形． 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点、点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，则即为所求作的三角形． 善思组：如图3，过点作于点，过点作于点相交于点，则即为所求作的三角形． （1）乐学组得出的依据是_____，善思组得出的依据是_____．（横线上填序号：①；②；③；④） 【问题再探】 （2）善思组的同学们证得后，在图3的基础上连接，通过几何画板测量发现和的面积相等，请你一起来探究． 如图4，延长线段、交于点．连接，．……把未完成的说理过程补充完整． （3）在（2）的条件下，已知，点是线段的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，③；（2）见解析；（3）或12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据作图方法，结合全等三角形的判定方法进行判断即可； （2）延长线段、交于点．连接，证明，得到根据中线平分面积，得到，证明，得到即可得证； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，求出结合（2）中结论即可得解． 【详解】解：（1）乐学组：由作图可知：， 又∵， ∴ ， 善思组：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：①，③ （2）如图4，延长线段、交于点．连接， ． ， ， 在与中，， ， ， ， ，即． 在和中， ， ； （3）或12． 点是线段的三等分点， 或， 由（2）可知： 或12． 21．(24-25八上·河南安阳滑县·期末)如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点D在线段上，连接，点O为的中点．连接，并延长交于点P． (1)如图1，写出线段与的数量关系： ； (2)如图1，写出直线与的位置关系： ； (3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为的中点．那么（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，证明见解析 【分析】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边上的中线，即可得到； （3）作交的延长线于，连接，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，理由如下：如图1， ，，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ，， ， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ； 故答案为：； （3）解：仍成立，理由如下： 如图2，作交的延长线于，连接，连接， ， 在与中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ． 22．(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 23．(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解． 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕构成四边形．判断四边形的形状_________筝形（填“是”或“不是”）； (2)拓展应用． 如图2，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点． ①四边形是箏形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； ②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是 (2)①是，见解析；②的度数为或或 【分析】本题属于四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据“筝形”的定义判断即可； （2）先证，再根据“筝形”的定义判断即可； （3）根据“筝形”的定义判断即可；②分三种情形：，，，分别求解可得结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 四边形是“筝形”． 故答案为：是； （2）①解：是，证明如下： 如图，连接， 根据折叠可得，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 四边形是四边形是“筝形”； ②当时，如图， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，同法可得． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或或． 24．(24-25八上·河南洛阳新安县·期末)（1）感知：如图1，平分，，，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）结论成立．如图②中，作于E，于F，只要证明即可； （3）如图③中，连接，作于F，首先证明，再证明即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （2）结论成立． 理由：如图中，作于E，于F． ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图中，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．(24-25八上·河南商丘夏邑县·期末)模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 26．(24-25八上·河南周口淮阳区·期末)如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动．它们运动的时间为 (当点P运动结束时，点Q运动随之结束)． (1)若P、Q的运动速度相同，当时．判断此时线段和线段的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），若“，”改为“”．点Q的运动速度为，其它条件不变．当点P、Q运动到何处时有与全等？求出相应的x的值． 【答案】(1)，详见解析 (2)1或 【分析】（1）利用，，可根据“SAS”证明；则，然后证明，从而得到； （2）讨论：①若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出x即可． 【详解】（1）解：， 理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①若，则，，可得：，，解得：，； ②若，则，，可得：，，解得：，． 综上所述，当与全等时x的值为1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 27．(24-25八上·河南南阳宛城区·期末)【教材呈现】如图为华东师大版八年级上册数学教材第65页的部分内容： 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ (1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）； (2)【探究证明】如图2，在和中，，， ．求证：． 小明的做法是，在BC上取一点G，使．通过证明，最终得到．其中，小明证明的依据是（   ） A．    B．    C．    D． (3)【拓展应用】已知在中，，点D在的延长线上，点E在射线上， ，连接交直线于点F． ①当点E在线段上时，如图3所示，求证：； ②过点E作交直线BC于点H，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)不一定； (2)B； (3)①见解析；②3或5． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）直接根据图形判断即可； （2）在BC上取一点G，使，则，，利用补角的性质证明，从而根据可证； （3）①过点E作交BC于点M，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； ②分点E在线段上和点E在线段的延长线上两种情况求解即可； 【详解】（1）解：通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等． 故答案为：不一定； （2）证明：在BC上取一点G，使， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选B． （3）①证明：过点E作交于点M， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ②如图，当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； 如图，当点E在线段的延长线上时， 同①可证，， ∴， ∴． ∵，， ∴ 综上可知，线段的长为3或5． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题07压轴题综合 一、单选题 1.(24-25八上·河南南阳镇平县·期末)如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA于点C,ED⊥OB 于点D,连接CD,∠ECD=25°，则∠AOB=(() B A.60° B.55° C.50° D.40° 2.(24-25八上·河南商丘虞城县·期末)如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC, D,E分别是AB,AC的中点，DM,EM是连接弹簧M和伞骨的支架，且DM=EM,在弹簧M向上滑 动的过程中，若∠MAD=30°，则∠DAE=(() A.60 B.50° C.40° D.30° 3.(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)A,B两地相距1600千米，技术突破后，列车运行时速提升了50千米， 而从A地运行至B地的时长缩短了1小时，若设提速前的车速为x千米/小时，则可列方程为() A.1600-1600 B. 1600_1600=1 Xx+50 X+50 X c.1600-1600=1 1600-1600=1 D. X x-50 X-50x 4.(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)如图，∠A=100°，∠D=80°，则∠1+∠2等于() 1/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.100° B.200° C.180° D.210° 73、m 5.(24-25八上·河南信阳羊山中学期末)若分式方程x, 的解为正整数，则整数m的值为( -x ) A.-3 B.1 C.-1或1 D.-1 6.(24-25八上·河南周口商水县商水县·期末)如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD, OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC、BD交于点M,连接OM,下列结论：①AC=BD;② ∠AMB=40°：③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC,其中正确的为() 0 B A.①②③④ B.②③④ C.①② D.①②④ O B E ∠OGC=∠OHD=90° G H M D 则 在△OCG和△ODH中， ∠OCA=∠ODB ∠OGC=∠OHD, OC=OD ∴.△OCG2△ODH AAS, ∴.OG=OH, ∴.MO平分∠BMC,④正确： 2/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 .∠AOB=∠COD, .当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC, 假设∠DOM=∠AOM, :∠AOB=∠COD,∠DOM=∠AOM, ∴.∠COM=∠BOM, .OM平分∠BMC, ∴.∠CMO=∠BMO, 在△COM和△BOM中， ∠COM=∠BOM OM=OM ∠CMO=∠BMO ∴.△COM≌△BOMASA, ∴.OB=OC, .OA=OB, ..OA=OC, 与OA>OC矛盾， .③错误 正确的有①②④： 7.(24-25八上·河南信阳平桥区·期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6.D为 BC上一动点，连接AD,AD的垂直平分线分别交AC,AB于点E,F,线段BF长的最大值是() A.12 B.10 C.8 D.6 8.(24-25八上·河南商丘夏邑县·期末)如图，等边△ABC的边长为1，过点B的直线！⊥AB,且△ABC与 △ABC关于直线对称，D为线段BC'上的一个动点，则AD+CD的最小值为() 3/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.1 B.3 C.2 D.3 二、填空题 9.24-25八上·河南商丘虞城县·期末)如图，在△ABC中，AC=BC=10,AB=12,CD=8,CD是边AB 上的中线. F D B (1)若∠A=a,则∠BCD的度数是·（用含a的式子表示） (2)若E是线段BC上的一个动点，F为线段CD上的一个动点，则EF+BF的最小值是一· 10。②425人上河南新乡获嘉县期末已知分式女分当X=1时，分式没有意义：当K=6时，分式的 值为零.则a2-b的值为· 11.(24-25八上河南新乡获嘉县·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=110°，点D,G是BC边 上的动点，分别以AD,AG为折痕折叠△ABD和△ACG,恰好边AB的对应边与AC的对应边重合于AF, 当△DFG为直角三角形时，∠BAD的度数为 12.425八士河南驻马店正阳县期未已知关于：的分式方程x产32+x名3无解，则长的值为一 X-3 13.(24-25八上·河南漯河舞阳县·期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直 平分线EF分别交AC,AB边于E,F点；若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为一· 4/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 14.(24-25八下·河南周口沈丘县两校联考期末)计算： -1x1-6 x-2x+1,2 15.(24-25八上河南安阳安阳县·期末)如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E,△ABC的面积 是30cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE=元_cm B 16.(24-25八上河南信阳羊山中学·期末)在△ABC中，∠ACB=60°，AC=3,BC=11,以AB为边， 作等边△ABD,过点D作DE⊥BC于E,则BE的长为_ 三、解答题 17.(24-25八上·河南许昌长葛·期末)如图，有三张边长分别为a,b,c的正方形纸片A,B,CA>B>C 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中.记图1中阴影部分周长为1，面积为S:图2 中阴影部分周长为l2,面积为S2. A B A B C B 图1 图2 (1)若a=5,b=3,c=2图1中阴影部分周长l1=式 图2中阴影部分周长12=(： (2)求图2中阴影部分面积S2与图1中阴影部分面积S的差（用含a,b,c的代数式表示）· 3若2=3S,-S1,那么b与C满足下列关系. A.3b=5c B.b=2c C.3b=7c D.6b=7c 18.(24-25八上河南鹤壁·期末)如图所示，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=5cm,点P 从点A出发，在线段AB上沿A→B→A以3c/s的速度运动，点Q从点D出发，在线段DE上沿DE以 1Cm/s的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P回到点A时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间 为ts. 5/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P B B B D D 备用图 备用图 (L)求证：AB‖DE: (2)写出线段AP的长（用含t的代数式表示）： (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，请直接写出t的值. 19.(24-25八上·河南郑州高新区·期末)受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活 动记录。 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 如图1，两个互相垂直的平面镜（∠α=90°），根据光的反射定律，入射角等于 反射角，即∠5=∠6，∠7=∠8， ,∠1+∠5=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠7=90°，∠4+∠8=90°， .∠1=∠2，∠3=∠4，（①_）. ,∠a=90°，∠+∠2+∠3=180°（②）， .∠2+∠3=∠1+∠4=90 项 :∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°， 目 ∴.∠5+∠6+∠7+∠8=180°. 背 ..mlln. 景 图1 实 如图2，在同一平面内，两块平面镜AB,BC的夹角为∠a《(0°<∠a<90): 验 用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB,BC两次反射后，进入光线 探 m与离开光线n形成的夹角为∠B;多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记 6/11 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 究 录，得到多组∠α和∠B的值，数据如下： 请你结合活动记录完成以下任务： (1)①的依据定理是_，②的依据定理是_； (2)③猜想∠β与∠α之间的关系为-，并说明理由： (3)∠BCD的度数为_ 20.(24-25八上·河南漯河召陵区·期末)下面是数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务. D 图1 图2 图3 图4 【问题提出】 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在线段AB上，在△ABC外侧，以BC为边能否构 造一个与△CAD全等的三角形. 【问题探究】 乐学组：如图2，分别以点B、点C为圆心，以AD、CD为半径画弧，两弧交于点E,连接BE、CE,则 △CBE即为所求作的三角形. 善思组：如图3，过点B作BM⊥AB于点B,过点C作CN⊥DC于点C,BM、CN相交于点E,则 △CBE即为所求作的三角形. (1)乐学组得出△CBE≌△CAD的依据是 ， 善思组得出△CBE≌△CAD的依据是·（横 线上填序号：①SSS;②SAS;③ASA;④AAS) 【问题再探】 (2)善思组的同学们证得△CBE≌△CAD后，在图3的基础上连接AE,通过几何画板测量发现△CAE 和△CDB的面积相等，请你一起来探究. 如图4，延长线段AC、BE交于点F.连接AE.·∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=∠CAB=45°. ,∠ACF=180°，∠ACB=90°…把未完成的说理过程补充完整. (3)在(2)的条件下，已知AC=6,点D是线段AB的三等分点，请直接写出△ACE的面积. 21.(24-25八上河南安阳滑县·期末)如图1，己知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，点D在线段AB上，连接EC,点O为EC的中点.连接BO,DO,并延长DO 交BC于点P. 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B 图1 图2 (I)如图1，写出线段CP与AD的数量关系：-； (2)如图1，写出直线BO与DO的位置关系：-： (3)将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为EC 的中点.那么(2)中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 22.(24-25八上·河南新乡封丘县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC沿着斜边AB 翻折，得到Rt△ABD,M,N分别是射线AC和射线DA上的点，且∠MBN=∠CBD 【初步探索】 (1)如图1，点M,N分别在线段AC和线段DA上，试探究线段MN,CM,DN之间的数量关系， 小明同学探究此问题的思路：延长AD至点E,使得DE=CM,连接BE,先证明△MCB≌△EDB,再 证明△MBN≌△EBN,即可得到MN,CM,DN之间的数量关系.请依照小明的思路，把过程补充完整. 【探索延伸】 (2)如图2，点M,N分别在线段AC,DA的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明： 若不成立，请探究线段MN,CM,DN之间新的数量关系，并说明理由. 【灵活运用】 (3)在R△ABC中，若BC=3,AC=4,AD=号AW,请直接写出△AMN的周长. M D B B M 图1 图2 23.(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践 8/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 探究活动。 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”· D G 图1 图2 (1)概念理解. 如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕构成四边形ABCD.判断 四边形ABCD的形状 筝形（填“是”或“不是”）； (2)拓展应用. 如图2，AD是锐角△ABC的高，将△ABD沿AB边翻折后得到△ABE,将△ACD沿AC边翻折后得到 △ACF,延长EB,FC交于点G ①四边形AEGF是箏形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由 ②若∠BAC=55°，当△BGC是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数. 24.(24-25八上·河南洛阳新安县·期末)(1)感知：如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°， ∠B=90°，易知DB,DC的数量关系为· (2)应用：如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°， 求证：DB=DC (3)在(2)的条件下，如图3，过点D作DE⊥AB于点E,试判断AB,AC,BE之间的数量关系， 并说明理由， 图1 图2 图3 25.(24-25八上河南商丘夏邑县·期末)模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角 形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手 模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图①，己知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B,C重合，连接CE, 9/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 易证△ABD≌△ACE,进而判断出AB与CE的位置关系是 模型应用 (2)如图②，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，连接CE,BD,若∠DEC=60°，试证明 ∠ADB+∠ADE=180°： 模型迁移 (3)如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE,BE,CE.若 ∠BEC=60°，AE=3,CE=2,请求出BE的长. D 图① 图② 图③ 26.(24-25八上河南周口淮阳区·期末)如图(1)，AB=8cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为 A、B,AC=6Cm.点P在线段AB上以1cm/S的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动.它 们运动的时间为ts(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)： D D 图(1) 图(2) (1)若P、Q的运动速度相同，当t=2时.判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由： (2)如图(2)，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”·点Q的运动速度为xcm/s,其 它条件不变.当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求出相应的x的值 27.24-25八上·河南南阳宛城区·期末)【教材呈现】如图为华东师大版八年级上册数学教材第65页的部分 内容： 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对 边，画一个三角形 2.5cm 3cm 45 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画 的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ ()【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 全 10/11