广东省佛山市顺德实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省佛山市顺德实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，且，则AE的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知，则的值为(    ) A. 2 B. C. D. 3.某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为(    ) A. B. C. D. 4.在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是(    ) A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 5.在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为(    ) A. B. C. D. 6.下列表格是关于代数式在x取部分值时的对应情况.请根据表格判断，关于方程的一个正根x的范围是(    ) x A. B. C. D. 7.如图所示：正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，若正方形ABCD的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为(    ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点H，已知，，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接CE，，F是AE的中点，连接OF，，，则线段OF的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，点E，F，P在正方形ABCD的边上，EF垂直平分AP交BD于N，连接PN，，，则BN的长度为(    ) A. B. 3 C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.学校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等、如果设彩纸的宽度为x cm，根据题意，可以列出方程      . 12.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，点P为AB的黄金分割点，如果AP的长度为2cm，那么BP的长度为      结果保留根号 13.已知m是方程的一个根，则的值为      . 14.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，若，，则BC的长为      . 15.如图，是等边三角形，D、M分别是AB、BC中点，连接AM且，在AM上找一点P，则当最短时，      . 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题12分 解方程： ； ； ； 17.本小题5分 如图，D是的边AC上的一点，连接BD，已知 求证：∽ 若，，求线段CD的长． 18.本小题6分 已知：都不为 求代数式的值； 当时，求a，b，c的值. 19.本小题7分 已知，，是关于x的一元二次方程的两个实数根. 求m的取值范围； 当时，求m的值. 20.本小题9分 每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极——青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传.今年夏天雪豹玩偶深受欢迎.某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个. 求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率. 为刺激消费，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 21.本小题9分 如图，平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的边AB在x轴上，顶点A，B，C的坐标分别为，，，E为AB的中点，DC交y轴于点动点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度，顺时针沿长方形ADFO的边运动一周后回到点设点P运动时间为t秒，连接PD， 点D的坐标为______，点 E的坐标为______； 当点P在线段AO上时，求的面积用含有t的式子表示； 在点P运动过程中，当时，请直接写出t的值． 22.本小题12分 如图，在中，，，D为AB的中点，E是射线CD上的一点，连接EB，EA，F是BC上一点，且满足， 求的度数； 求证：； 若，求的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ，即， 解得：， 故选： 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：设， 故选： 根据比例关系设参数，代入目标表达式直接计算． 此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3.【答案】B  【解析】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 故选： 观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值． 4.【答案】A  【解析】解：摸到红球的频率稳定在， 摸到红球的概率为， 袋子里红球、白球的总数为， 袋子里红球的个数估计是 故选： 根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解． 本题主要考查了频率估计概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：由题意，得： 故选： 根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：当时，， 当时，， 一个根的范围是 故选： 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．熟练掌握该知识点是关键． 7.【答案】C  【解析】解：如图，过点O作，，AB和的交点为F，BC和的交点为E， ， 四边形ABCD和是正方形， ，，， 四边形BMON是矩形， ，，，， ，， 四边形BMON是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ≌， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选： 过点O作，，AB和的交点为F，BC和的交点为E，根据正方形的性质可证，四边形BMON是正方形，得到，再证明≌，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． 8.【答案】A  【解析】解：， ， 即， ， ， 在菱形ABCD中，， 在中，， ， ， 故选： 由菱形的性质可得，从而根据三角形的面积公式求得，进而根据勾股定理在中求得，根据的面积即可求的 本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式．充分利用菱形的面积与三角形面积的关系是解答本题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：设， 四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，且，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点F是AE的中点，， 是的中位线， ， 即线段OF的长为 故选： 设，则，在中，由勾股定理得，即，由此解得，证明OF是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出线段OF的长． 此题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：点E，F，P在正方形ABCD的边上，EF垂直平分AP交BD于N，连接PN，过N作于G，连接AN， ，，，， ， ，，即， ，， ， ， ， ，， 垂直平分AP， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选： 过N作于G，连接AN，利用正方形的性质可判定是等腰直角三角形，求出，证明四边形BCHG是矩形可得出，则，利用HL证明，得出，，从而可证明是等腰直角三角形，进而可求出，利用含角的直角三角形性质得出，即可求解． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设彩纸的宽度为x cm， 则由题意列出方程为： 设彩纸的宽度为x cm，则镶上宽度相等的彩纸后长度为，宽为，它的面积等于原来面积的2倍，由此列出方程． 本题主要考查一元二次方程的应用，变形后的面积是原来的2倍，列出方程即可． 12.【答案】  【解析】解：设，则， 为AB的黄金分割点， ， ， 解得或不合题意，舍去， 故答案为： 设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 本题考查黄金分割，正确列式进行计算是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：是方程的一个根， ， ， 故答案为： 先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形，， ，，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为： 根据矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求出AC，利用勾股定理即可解答． 本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 15.【答案】2  【解析】解：是等边三角形， ， 、M分别是AB、BC中点， 是的对称轴，，， 作点D与点E是关于AM的对称点，连接DE，BE，PE， 是DE的垂直平分线， ， 点E是AC的中点， ， ， 当B、P、E三点共线时，有最小值BE， 点E是AC的中点，MBC中点， 点P为的重心， 故答案为： 根据等边三角形的性质可得AM是的对称轴，，，；再说明当B、P、E三点共线时，有最小值BE，易得点P为的重心，最后根据重心的性质即可解答． 本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、三角形重心的性质等知识点，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 16.【答案】  ，  ，    【解析】解：， ， 或， 解得； ， ， ， ，； ， ， 或， ，； ， ， 或， 用直接开平方法求解即可； 用公式法求解即可； 用因式分解法求解即可； 移项后用因式分解法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 17.【答案】解：在和中， ，， ∽； ∽， ， ，， ， 则  【解析】根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； 由相似得比例，求出AC即可得到CD的长． 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 18.【答案】  ，，  【解析】解：设，则，，， ； 当时， 由可知， 解得：， ，， 设，则，，代入可求； 把，，代入中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 19.【答案】解：，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ， 解得：； ，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， 又， ， ， 解得或， ，   【解析】根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可； 根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根与系数的关系：， 20.【答案】；   2元  【解析】设日平均增长率x， 则，即， 解得，舍去， 答：日平均增长率为； 设每个玩偶降价y元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个元，可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或舍去， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为x，得到，再解方程即可； 设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】  ； 当P在线段AE上时，由题意知，， ， 当点P在线段OE上时，， ， 综上所述，点P在线段AO上时，的面积为3t或 的值为1或或5或  【解析】解：长方形ABCD中，，，， ，， 为AB的中点， ， ， 故答案为：，； 见答案； ，， ，， ， 分五种情况： 当点P在线段AE上时，由知， ； 当点P在线段AD上时，， ， ； 当点P在DF上时，， ， ； 当点P在FO上时，，， ， ， ， 点P不在线段FO上，不合题意舍去， 当点P在线段OE上时， ， ， 综上所述，t的值为1或或5或 根据长方形可求出答案； 当P在线段AE上时，由题意知，，当点P在线段OE上时，，由三角形面积公式可求出答案； 先求出长方形OBCF的面积，再分五种情况，当点P在线段AE上或线段AD上或线段DF上或线段FO上或线段OE上，由三角形面积公式可求出答案． 本题主要考查了一元一次方程的解法，三角形面积的计算，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 22.【答案】  ，，D为AB的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， ，， ，     【解析】解：，，D为AB的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ； 证明：，，D为AB的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， ，， ， ； 解：， ， ，， ， ， ， 由知， ， ， ∽， ， ，， ， 又， ∽， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即H为EF的黄金分割点， 先证明≌，得到，然后根据等腰三角形的性质，可得，进一步推得，最后根据四边形的内角和等于，即得答案； 先证明∽，得到，即，根据，，即得答案； 先证明，进一步推得，从而∽，得到；另一方面，证明∽，得到，再证明，可得H为EF的黄金分割点，由此可的答案． 本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，黄金分割，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $