3.5.1 专题 动态平衡与临界极值问题 讲义 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦高中物理动态平衡与临界极值问题核心知识点，通过基础回顾梳理动态平衡类型（如一力恒定另一力方向不变、两力方向均变化等）及临界极值问题分类，经必备知识深化处理方法，拓展延伸经典模型，再以解析法、图解法等题型分类的巩固强化形成递进学习支架。 该资料特色在于按题型分类设计例题，结合晾衣杆等经典模型培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，情境化例题（如吊运空调）渗透科学态度与责任。课中辅助教师分层教学，课后精练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026高一上学期物理同步讲义与课时精练 3.5.1专题 动态平衡与临界极值问题 【基础回顾】 一、动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 二、平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【必备知识】 1．临界问题 (1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。 (2)临界问题的两种情况 ①与最大静摩擦力相关的临界平衡问题。此类问题应注意：一是最大静摩擦力的值，要么已知，要么题设会说明最大静摩擦力约等于滑动摩擦力；二是静摩擦力的大小和方向会随外力的改变而改变。 ②与绳、杆最大承受力相关的临界平衡问题。解决此类问题的主要方法是极值假设法，即通过恰当地选取某个物理量，将其推向极值，得到一个新的已知条件，然后求解。 2．极值问题 (1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 (2)处理方法 ①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 【拓展延伸】 提升点1 动态平衡问题 1．动态平衡 平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类题型。 2．基本思路 化“动”为“静”，“静”中求“动”。 3．常用方法：解析法、图解法和相似三角形法 提升点2 动态平衡问题的经典模型——晾衣架模型 问题特点：如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 (1)因为挂钩是光滑的，是“活结”，所以TOa＝TOb。 (2)α＝β。 证明：以结点O为研究对象，因为衣服处于静止状态，所以TOa、TOb在水平方向的合力为0，即TOasin α＝TObsin β，又因为TOa＝TOb，所以α＝β。 (3)设两端点a、b的水平距离为d，绳长为l，则sin α＝。 证明：由几何知识可知△ObO′与△OcO′全等，所以Ob＝Oc，ac即为绳长，所以sin α＝。 【巩固强化】 题型1 解析法 【例题精讲】 1．如图所示，一物块A静止在水平传送带上，一轻滑轮P用轻绳悬挂于O点，另一轻绳一端连接在物块A上，另一端绕过滑轮P后挂一物块B。现启动传送带，传送带顺时针转动，带动物块A缓慢运动，把物块B缓缓吊起，物块B上升过程中绳PB始终在竖直方向上，且物块B不会碰到滑轮P，物块A与传送带之间始终没有发生相对滑动，固定滑轮的轻绳和连接两物块的轻绳均不可伸长，轻绳与滑轮之间的摩擦力不计，此过程中下列相关说法正确的是（　　） A．悬挂轻滑轮的轻绳上的弹力逐渐减小 B．连接两物块的轻绳上的弹力逐渐增大 C．悬挂轻滑轮的轻绳与竖直方向的夹角不变 D．传送带对滑块A的摩擦力逐渐减小 2．图1是工人师傅们在给高层住户安装空调时吊运空调室外机的情景。为安全起见，要求吊运过程中空调室外机与竖直墙壁保持一定的距离，其工作原理如图2所示：一人在高处拉住绳子P，另一人站在水平地面上拉住另一绳子Q，两根绳子均系在室外机上。吊运过程中，地面上的人缓慢后退同时缓慢放绳，楼上的人缓慢收绳，使室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角不变。室外机可视为质点，绳子质量忽略不计，则在这段时间内（　　） A．绳子P对室外机的拉力先增大后减小 B．绳子Q对室外机的拉力逐渐增大 C．地面对人的摩擦力逐渐减小 D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力逐渐减小 3．如图所示，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态，左侧绳与水平方向的夹角为θ。若将绳子左端从P点缓慢移到Q点，下列说法正确的是（　　） A．绳子拉力变小 B．绳子拉力变大 C．夹角θ变大 D．夹角θ不变 （多选）4．在修建乡村住房时，工人用上了简易机械如图所示，甲站在地面上通过支架上的定滑轮拉着OA绳把建筑材料缓慢提升到楼顶后，乙再在楼顶水平拉着OB绳把建筑材料缓慢移到楼顶平台上，在乙缓慢移动建筑材料的过程中，下列说法正确的是（　　） A．地面对甲的支持力变小 B．地面对甲的摩擦力变小 C．楼层对乙的作用力变大 D．OA绳子上的拉力先增大后减小 （多选）5．如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小球施加一水平拉力F，使小球从图示位置缓慢移动到最高点B。下列说法正确的是（　　） A．拉力F逐渐增大 B．拉力F逐渐减小 C．小球对圆环的压力逐渐增大 D．小球对圆环的压力逐渐减小 题型2 图解法 【例题精讲】 1．如图所示，两根细绳AO和BO连接于O点，O点下方用细绳CO悬挂一重物，并处于静止状态，绳AO拉力为F1，绳BO拉力为F2。保持A、O点位置不变，而将绳BO缓慢向B1O、B2O移动直至水平。对于此过程，下列选项正确的是（　　） A．F1逐渐变小 B．F1可能先减小后增大 C．F2可能一直增大 D．F1、F2的合力逐渐变小 2．如图所示，绳子一端系在天花板上，另一端O悬挂一个重物，有一拉力F作用于O点且与水平方向成α角（0°＜α＜90°），保持绳子拉力T与竖直方向夹角θ不变，当α角从0°开始缓慢增大时，重物始终处于平衡状态，以下说法正确的是（　　） A．拉力T先减小后增大 B．拉力T先增大后减小 C．拉力F先增大后减小 D．当α＝θ时，拉力F最小 3．如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞90°），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．OM上的弹力一直增大 B．MN上的弹力先减小后增大 C．水平面对物块的支持力一直变小 D．水平面对物块的摩擦力先变大再变小 （多选）4．如图所示，斜面倾角为α，用挡板将光滑球挡在斜面上，使之处于静止状态，现使挡板与斜面的夹角β从图示位置缓慢增大，直至挡板水平，关于球在此过程中的受力说法正确的是（　　） A．挡板对球的弹力一直变大 B．挡板对球的弹力先变小后变大 C．斜面对球的弹力变小 D．斜面对球的弹力先变小后变大 （多选）5．如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态。现在从球心O处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动少许。设乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，甲对乙的支持力大小为F3，在此过程中下列说法正确的是（　　） A．F1缓慢减小，F3缓慢减小 B．F1缓慢增大，F2缓慢减小 C．F1缓慢减小，F2保持不变 D．F1缓慢减小，F2缓慢增大 题型3 相似三角形法 【例题精讲】 1．如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N，则N，F的变化情况是（　　） A．N变大 B．N变小 C．F变大 D．F变小 2．如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架。BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA＞90°，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA＝30°。（不计一切阻力）在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．杆BC所受力的大小保持不变 B．杆BC所受力的大小先减小后增大 C．绳子AB的张力大小先增大后减小 D．绳子AB的张力大小逐渐增大 3．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，沿着岩壁缓缓下移。下移过程中可以把运动员近似看作一根轻杆，整体简化如图所示，A点是运动员的脚所在位置，B点是山顶的固定点，C点是人的重心位置。某时刻腿部与崖壁成60°角，绳与竖直方向也成60°角（图中实线），则下列说法正确的是（　　） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员的重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力与运动员的重力大小相等 C．当运动员的重心下降到虚线位置时，绳子对运动员的拉力减小 D．当运动员的重心下降到虚线位置时，绳子对运动员的拉力不变 （多选）4．如图所示，木板B放置在粗糙的水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到O′的正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．轻杆对小球的作用力大小不变 B．力F逐渐增大 C．地面对木板的支持力逐渐增大 D．地面对木板的摩擦力逐渐增大 （多选）5．为了研究力学平衡问题，某同学设计了一个实验装置：在竖直墙壁上固定一个轻质弹簧的端点A，弹簧另一端连接小球B；同时用一根轻质橡皮筋将B球绕过光滑细钉C悬挂于O点，O、C、A三点在同一竖直线上，如图所示。初始时B球静止，此时OC的长度恰好等于橡皮筋的原长，橡皮筋的拉力遵循胡克定律。现减小B球的质量，同时调整弹簧端点A在竖直墙壁上的位置，使整个系统能再次处于静止状态（B球仍在OCA直线右侧）。则与初始时相比，AC间的距离h及弹簧弹力大小F的变化情况是（　　） A．h变小 B．h变大 C．F不变 D．F变小 题型4 辅助圆法 【例题精讲】 1．如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（　　） A．FT1一直增大 B．FT1先减小后增大 C．FT2一直增大 D．FT2最终变为零 2．如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（　　） A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 （多选）3．如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力F1的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　） A．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，则F逐渐增大、F1逐渐减小 B．保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，则F先减小后增大 C．保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，则F逐渐增大 D．保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，F、F1都增大 （多选）4．如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，绳OB与绳OA成α＝120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为（　　） A．F1一直增大 B．F1先增大后减小 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 （多选）5．如图，在水平桌面上叠放着两个物块B和C，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与C相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′的夹角为α＝120°且保持不变，将OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是（　　） A．绳子OO′的拉力先增大后减小 B．C对B的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先减小后增大 D．桌面对B的摩擦力先增大后减小 题型5 晾衣杆模型 【例题精讲】 1．如图所示，悬挂衣服的绳子两端A、B分别固定在两根竖直杆上，A点高于B点，无风状态下衣服静止。一阵横风吹来，衣服受到水平向右的恒力而滑动，并在新的位置保持静止。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，绳子不可伸长。现将A点下移至与B点等高，则此过程中，细绳上的张力（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小 2．灯笼是中国传统节庆的重要象征，每逢农历新年，家家户户都会挂起红彤彤的灯笼，营造出喜庆祥和的节日氛围。如图所示，一个直角支架固定于竖直平面内。一根长度为2.5m的轻质细绳两端分别固定在支架上的A、B两点，已知A、B两点高度相同，且间距为l＝1.5m。将一质量为1.2kg的灯笼用光滑的挂钩悬挂在细绳上，不计空气阻力对灯笼的影响，已知重力加速度为g＝10m/s2，关于该系统的平衡状态，下列说法正确的是（　　） A．轻质细绳上的张力大小为10N B．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力变小 C．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力不变 D．若将细绳的端点从B移到D，细绳的弹力变小 3．抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小 B．沿虚线b向上移动，细线的拉力减小 C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大 （多选）4．如图所示，在竖直平面内一根不可伸长的柔软轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物。轻绳一端固定在墙壁上的A点，墙壁BC段竖直，CD段水平，不计一切摩擦，关于轻绳的拉力F的变化情况，下列说法正确的是（　　） A．绳端由B点移动至C点的过程中F一直不变 B．绳端由B点移动至C点的过程中F一直增大 C．绳端由C点移动至D点的过程中F一直不变 D．绳端由C点移动至D点的过程中F一直变大 （多选）5．某同学将一条轻质柔软细绳两端分别固定在水平直杆上的A、B两点，一个下端带挂钩的光滑轻质圆环O穿过细绳，在挂钩下挂一个重力大小为G的灯笼。该同学担心细绳断裂，下列做法一定能防止细绳断裂的是（　　） A．保持B点不动，将A点缓慢向左移动一段距离 B．保持A、B两点距离不变，将水平杆缓慢倾斜 C．保持A、B两点距离不变，对灯笼施加一个与水平方向成30°斜向左上方、大小为G的拉力 D．保持A、B两点距离不变，对灯笼施加一个沿平向左、大小为G的拉力 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，半圆形容器固定在地面上，容器内壁光滑，两个完全相同且质量分布均匀的光滑小球A、B放在容器内，处于静止状态。现用水平力作用在球A上，则在球A由P点缓慢移动到Q点的过程中（　　） A．球A对球B的弹力逐渐增大 B．球A对球B的弹力先增大后减小 C．容器对球B的弹力逐渐增大 D．容器对球B的弹力先减小后增大 2．如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大 B．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力增大 C．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力减小 D．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力大小不变 3．如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 4．铲车是常见的生产工具。某次生产过程中，铲车的铲斗中装载一个球形石块，此时的铲斗简化为图（a），铲斗的A板和B板内壁视为光滑，顶角∠AOB为锐角，∠AOB的角平分线竖直。铲车卸载石块的过程，铲斗缓慢顺时针旋转，直至铲斗的B板水平，如图（b）所示。下列说法正确的是（　　） A．A板受到的压力一直减小，B板受到的压力先增大后减小 B．A板受到的压力一直减小，B板受到的压力一直增加 C．A板受到的压力先增大后减小，B板受到的压力一直减小 D．A板受到的压力先减小后增大，B板受到的压力一直增大 5．已知通电直导线在其周围某点产生的磁场的磁感应强度大小与导线中的电流大小成正比，与到导线的距离成反比。如图所示，细直导体棒P通过两根等长、绝缘细线悬挂在竖直光滑绝缘墙面上等高的A、B两点正下方，另一细直导体棒Q也通过两根等长、绝缘细线悬挂在A、B两点，并在两棒中通以反向电流。两棒均静止时，悬挂Q的两细线与墙面间有一定夹角，然后缓慢减小P中的电流。则下列说法正确的是（　　） A．悬挂Q的细线拉力先减小后增大 B．悬挂Q的细线拉力逐渐减小 C．悬挂P的细线拉力大小不变 D．悬挂P的细线拉力逐渐减小 6．如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L0的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为θ，已知k，L0R，则下列选项正确的是（　　） A．θ＝45° B．弹簧的长度为2L0 C．小环受到大环的支持力为mg D．弹簧弹力大小是 7．如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球B，小球B与固定在O点正下方的A球用劲度系数为k1的轻弹簧相连。平衡时，细绳拉力为T1，弹簧弹力为F1；现仅把弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2（k2＞k1）的另一轻弹簧，重新平衡后，细绳拉力为T2，弹簧弹力为F2。下列说法正确的是（　　） A．T1＜T2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．F1＞F2 8．如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为θ，细线对小球的拉力大小为T。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列T随θ变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐增大 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐增大 D．地面对木板B的作用力减小 （多选）10．如图所示，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力F的作用，使得小球A沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心O的正上方，已知OC的长度为2R，半球面的半径为R。小球A向上移动到D的过程中，下列说法正确的是（　　） A．光滑半球面对小球A的支持力大小N不变 B．轻绳的张力T增大 C．地面对物体B的摩擦力增大 D．地面对半球面的作用力减小 （多选）11．如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，M与桌面的动摩擦因数为μ1，m与M之间的动摩擦因数为μ2，一根轻绳一端与M相连，另一端绕过光滑的定滑轮A系在竖直杆上的B点，现将另一个物体G用光滑轻质挂钩挂在轻绳上AB之间的O点，已知整个装置处于静止状态时，竖直杆与绳OB的夹角为α，则（　　） A．m所受的摩擦力为μ2mg B．M所受的摩擦力为 C．将绳的B端向上缓慢移动一小段距离时绳的张力增大 D．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离时绳的张力增大 三．解答题（共3小题） 12．春节到了，小明家门口的小弄堂墙壁不方便悬挂灯笼，于是小明设计了如图甲所示的悬挂方式，先把灯笼a和灯笼b用轻绳连接，另一根不可伸长的轻绳穿过灯笼a上端的光滑轻质小圆环，两端A、B分别固定在弄堂两壁等高位置，如图甲所示，无风静止时轻绳AB的张角为106°。起风时，灯笼a、b受到相等且恒定的水平风力而保持静止，此时场景侧视图如图乙所示，两只灯笼连线与竖直方向的夹角为30°，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ（未知）。已知灯笼a的质量为2m，灯笼b的质量为m，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求： （1）无风静止时，轻绳AB中张力的大小； （2）若仅将轻绳A端固定点位置略微抬高，判断该拉力大小如何变化（无需写出证明过程）； （3）有风静止时，一只灯笼所受恒定风力的大小及两灯笼之间绳子的拉力； （4）有风静止时，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ的正切值，以及轻绳AB中张力的大小。 13．如图所示，将一个质量为m的光滑铅球放在倾角为α的斜面上，并用挡板挡住。挡板与斜面夹角为θ，挡板由图示位置（θ＝α）绕斜面上的固定转轴O逆时针缓慢转动，直至挡板水平。重力加速度为g，求缓慢转动挡板过程中： （1）挡板竖直时所受的压力； （2）挡板对铅球支持力的最小值Fmin及此时夹角θ的值； （3）铅球受斜面支持力的最大值Fmax及此时夹角θ的值。 14．如图所示，粗糙水平面上放置一半径为R的四分之一圆柱体，圆柱体只有圆弧表面光滑，其他部分粗糙。光滑轻滑轮C（可视为质点）用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过滑轮连接质量为的小球（可视为质点），小球置于四分之一圆柱体圆弧表面上D点，CD＝R，且CD与竖直方向成30°角，物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向成60°角，此时圆柱体恰处于平衡状态。已知A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10m/s2。 （1）求物块B的质量m1； （2）若地面与四分之一圆柱体之间的动摩擦因数为0.5，调整细线长度使小球从D处移至E处（CE与圆柱表面相切），整个系统仍然保持静止，求四分之一圆柱体的质量M的最小值（结果可保留根式）。 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高一上学期物理同步讲义与课时精练 3.5.1专题 动态平衡与临界极值问题 【基础回顾】 一、动态平衡问题 动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 (1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 (2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：＝＝。 3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 二、平衡中的临界、极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【必备知识】 1．临界问题 (1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。 (2)临界问题的两种情况 ①与最大静摩擦力相关的临界平衡问题。此类问题应注意：一是最大静摩擦力的值，要么已知，要么题设会说明最大静摩擦力约等于滑动摩擦力；二是静摩擦力的大小和方向会随外力的改变而改变。 ②与绳、杆最大承受力相关的临界平衡问题。解决此类问题的主要方法是极值假设法，即通过恰当地选取某个物理量，将其推向极值，得到一个新的已知条件，然后求解。 2．极值问题 (1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 (2)处理方法 ①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 【拓展延伸】 提升点1 动态平衡问题 1．动态平衡 平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类题型。 2．基本思路 化“动”为“静”，“静”中求“动”。 3．常用方法：解析法、图解法和相似三角形法 提升点2 动态平衡问题的经典模型——晾衣架模型 问题特点：如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。 (1)因为挂钩是光滑的，是“活结”，所以TOa＝TOb。 (2)α＝β。 证明：以结点O为研究对象，因为衣服处于静止状态，所以TOa、TOb在水平方向的合力为0，即TOasin α＝TObsin β，又因为TOa＝TOb，所以α＝β。 (3)设两端点a、b的水平距离为d，绳长为l，则sin α＝。 证明：由几何知识可知△ObO′与△OcO′全等，所以Ob＝Oc，ac即为绳长，所以sin α＝。 【巩固强化】 题型1 解析法 【例题精讲】 1．如图所示，一物块A静止在水平传送带上，一轻滑轮P用轻绳悬挂于O点，另一轻绳一端连接在物块A上，另一端绕过滑轮P后挂一物块B。现启动传送带，传送带顺时针转动，带动物块A缓慢运动，把物块B缓缓吊起，物块B上升过程中绳PB始终在竖直方向上，且物块B不会碰到滑轮P，物块A与传送带之间始终没有发生相对滑动，固定滑轮的轻绳和连接两物块的轻绳均不可伸长，轻绳与滑轮之间的摩擦力不计，此过程中下列相关说法正确的是（　　） A．悬挂轻滑轮的轻绳上的弹力逐渐减小 B．连接两物块的轻绳上的弹力逐渐增大 C．悬挂轻滑轮的轻绳与竖直方向的夹角不变 D．传送带对滑块A的摩擦力逐渐减小 【答案】A 【解答】解：B、物块A缓慢运动，物块B缓缓吊起，A、B时刻受力平衡，连接两物块的轻绳上的弹力T大小始终等于B的重力，则连接两物块的轻绳上的弹力大小不变，故B错误； AC、由滑轮处于平衡状态，悬挂轻滑轮的轻绳上的弹力与连接两物块的轻绳上拉滑轮的弹力的合力等大反向，随着A向右缓慢移动，绳PB与绳PA夹角逐渐变大，合力变小，合力方向与竖直方向的夹角变大，故悬挂轻滑轮的轻绳上的弹力逐渐减小，与竖直方向的夹角变大，故A正确，C错误； D、对A，根据平衡条件可知，传送带对滑块A的摩擦力大小为f＝Tsinθ＝mBgsinθ，θ是绳PA与竖直方向的夹角，随着A向右缓慢移动，θ逐渐增大，则传送带对滑块A的摩擦力始逐渐增大，故D错误。 故选：A。 2．图1是工人师傅们在给高层住户安装空调时吊运空调室外机的情景。为安全起见，要求吊运过程中空调室外机与竖直墙壁保持一定的距离，其工作原理如图2所示：一人在高处拉住绳子P，另一人站在水平地面上拉住另一绳子Q，两根绳子均系在室外机上。吊运过程中，地面上的人缓慢后退同时缓慢放绳，楼上的人缓慢收绳，使室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角不变。室外机可视为质点，绳子质量忽略不计，则在这段时间内（　　） A．绳子P对室外机的拉力先增大后减小 B．绳子Q对室外机的拉力逐渐增大 C．地面对人的摩擦力逐渐减小 D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力逐渐减小 【答案】B 【解答】解：AB．对室外机受力分析，如图所示， 室外机缓慢竖直上升，由平衡条件可得F1sinα＝F2sinβ、F1cosα＝F2cosβ+mg 联立可得、，且β＞α 在吊运室外机过程中β不变，楼上的人缓慢收绳，可知α增大，所以两根绳的拉力F1、F2都不断变大，故A错误，B正确； C．对地面上的人受力分析可知，人受到的摩擦力大小为f＝F2sinβ，结合AB项分析可知f不断变大，故C错误； D．室外机缓慢竖直上升，处于动态平衡状态，则两根绳对室外机拉力的合力与室外机的重力是一对平衡力，故绳子P、Q给室外机的拉力的合力恒定，故D错误。 故选：B。 3．如图所示，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态，左侧绳与水平方向的夹角为θ。若将绳子左端从P点缓慢移到Q点，下列说法正确的是（　　） A．绳子拉力变小 B．绳子拉力变大 C．夹角θ变大 D．夹角θ不变 【答案】D 【解答】解：AB、对B受力分析，根据B始终平衡，可知B受到绳子的拉力大小始终与B的重力相等，即：T＝mBg，即绳子拉力不变，故AB错误； CD、对A受力分析，如下图： 根据A始终平衡，由图可知：2Tsinθ＝mAg，拉力T不变，mAg不变，故夹角θ不变，故C错误，D正确。 故选：D。 （多选）4．在修建乡村住房时，工人用上了简易机械如图所示，甲站在地面上通过支架上的定滑轮拉着OA绳把建筑材料缓慢提升到楼顶后，乙再在楼顶水平拉着OB绳把建筑材料缓慢移到楼顶平台上，在乙缓慢移动建筑材料的过程中，下列说法正确的是（　　） A．地面对甲的支持力变小 B．地面对甲的摩擦力变小 C．楼层对乙的作用力变大 D．OA绳子上的拉力先增大后减小 【答案】AC 【解答】解：D．设建筑材料的重力为G，OA绳对建筑材料的拉力为FOA，乙对OB绳的拉力大小为FOB，如图所示： 根据平衡条件有FOA，θ增大，则FOA增大，故D错误； AB．对甲受力分析，竖直方向由平衡条件可知，N+FOAsinα＝m甲g，由于OA绳对甲的拉力逐渐增大且OA绳与水平方向夹角不变，可知地面对甲的支持力变小；水平方向由平衡条件可知，甲与地面之间的摩擦力大小等于OA绳对甲的拉力在水平方上的分力，即f＝FOAcosα，所以可得甲与地面之间的摩擦力逐渐增大，故A正确、B错误； C．对乙受力分析，如图所示： 乙受到的支持力与自身重力大小相等，摩擦力与OB绳上的拉力大小相等，由于OB绳上的拉力变大，所以摩擦力变大，摩擦力与支持力的合力变大，由平行四边定则合力方向变化，则楼层对乙的作用力方向变化，大小变大，故C正确。 故选：AC。 （多选）5．如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小球施加一水平拉力F，使小球从图示位置缓慢移动到最高点B。下列说法正确的是（　　） A．拉力F逐渐增大 B．拉力F逐渐减小 C．小球对圆环的压力逐渐增大 D．小球对圆环的压力逐渐减小 【答案】BD 【解答】解：以小球为研究对象，受力情况如图所示： AB、根据平衡条件可得：F，小球从图示位置缓慢移动到最高点B的过程中，θ逐渐增大，tanθ增大，则F逐渐减小，故A错误、B正确； CD、根据平衡条件可得：N，小球从图示位置缓慢移动到最高点B的过程中，θ逐渐增大，sinθ增大，则N逐渐减小，所以小球对圆环的压力逐渐减小，故C错误、D正确。 故选：BD。 题型2 图解法 【例题精讲】 1．如图所示，两根细绳AO和BO连接于O点，O点下方用细绳CO悬挂一重物，并处于静止状态，绳AO拉力为F1，绳BO拉力为F2。保持A、O点位置不变，而将绳BO缓慢向B1O、B2O移动直至水平。对于此过程，下列选项正确的是（　　） A．F1逐渐变小 B．F1可能先减小后增大 C．F2可能一直增大 D．F1、F2的合力逐渐变小 【答案】C 【解答】解：ABC、对结点O受力分析如图： 现将细绳BO的悬点缓慢地向B1O、B2O，移动过程中，分别画出平行四边形，从平行四边形中我们可以看出： F1一直在变大，F2可能先变小后变大、也可能一直增大（关键是看F2初始时是否和F1垂直），故AB错误、C正确； D、根据共点力平衡的条件可知，F1、F2的合力F等于重物的重力，保持不变，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，绳子一端系在天花板上，另一端O悬挂一个重物，有一拉力F作用于O点且与水平方向成α角（0°＜α＜90°），保持绳子拉力T与竖直方向夹角θ不变，当α角从0°开始缓慢增大时，重物始终处于平衡状态，以下说法正确的是（　　） A．拉力T先减小后增大 B．拉力T先增大后减小 C．拉力F先增大后减小 D．当α＝θ时，拉力F最小 【答案】D 【解答】解：ABC、对结点O和小球受力分析，受到重力mg、拉力F和T，根据平衡条件可知，F和T的合力与mg等大反向，结合三角形定则作图如下 绳子拉力T与竖直方向夹角θ不变，当α角从0°开始缓慢增大时，会经历图中1→2→3的过程，由图可知，F先减小后增大，T逐渐减小，故ABC错误； D、当F与T垂直时，即α＝θ时，拉力F最小，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”型轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞90°），现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则（　　） A．OM上的弹力一直增大 B．MN上的弹力先减小后增大 C．水平面对物块的支持力一直变小 D．水平面对物块的摩擦力先变大再变小 【答案】D 【解答】解：设OM与竖直方向的夹角为θ，根据题意θ从0°缓慢增大到90°。 AB、以小球M为研究对象，受重力mg、OM绳的拉力F1和MN绳的拉力F2作用。根据正弦定理构建力三角形： 解得： 在θ增大的过程中，sinθ单调递增，故MN上的弹力F2一直增大；由于α＞90°，相位（α﹣θ）从α减小到α﹣90°，该区间跨越90°峰值（因α＜180°且α﹣90°＜90°），故sin（α﹣θ）先增大后减小，即OM上的弹力F1先增大后减小，故AB错误； CD、以“物块+轻杆+小球”整体为研究对象，系统受到外部拉力F2的作用。根据几何关系，F2与竖直向下方向的夹角为（α﹣θ）。水平方向摩擦力f平衡F2的水平分量： 利用积化和差公式变形： 当θ增大时，变量（2θ﹣α）从﹣α变为（180°﹣α），该区间包含0°，余弦值cos（2θ﹣α）先增大后减小，故摩擦力f先变大再变小，竖直方向支持力FN满足： FN＝G总+F2cos（α﹣θ） 代入F2并化简得： 变量（2θ﹣α）的变化区间包含﹣90°，正弦值先减小后增大，故支持力FN先变小后变大，故C错误，D正确。 故选：D。 （多选）4．如图所示，斜面倾角为α，用挡板将光滑球挡在斜面上，使之处于静止状态，现使挡板与斜面的夹角β从图示位置缓慢增大，直至挡板水平，关于球在此过程中的受力说法正确的是（　　） A．挡板对球的弹力一直变大 B．挡板对球的弹力先变小后变大 C．斜面对球的弹力变小 D．斜面对球的弹力先变小后变大 【答案】BC 【解答】解：以物体为研究对象，对其受力分析，受重力G、挡板对球的弹力F1和斜面对球的弹力F2，如图所示： 小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1和F2合成的合力F一定与重力G等值、反向、共线。 从图中可以看出，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，F1先变小，后变大；F2变小，故BC正确，AD错误。 故选：BC。 （多选）5．如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态。现在从球心O处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动少许。设乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，甲对乙的支持力大小为F3，在此过程中下列说法正确的是（　　） A．F1缓慢减小，F3缓慢减小 B．F1缓慢增大，F2缓慢减小 C．F1缓慢减小，F2保持不变 D．F1缓慢减小，F2缓慢增大 【答案】AC 【解答】解：先对物体乙受力分析，乙受重力Mg、挡板的支持力N1和甲物体的支持力F3，如图所示： 乙球的重力Mg不变，挡板的支持力N1方向不变，由平衡条件作图，由几何关系可知，F3最多只能与N1垂直，由图可知，甲对乙的支持力大小F3逐渐减小，挡板的支持力N1逐渐减小，由牛顿第三定律知，乙对挡板的压力大小F1逐渐减小； 设斜面倾角为θ，以甲、乙为整体，垂直斜面方向根据平衡条件可得N2＝（M+m）gcosθ，可知斜面对甲的支持力N2保持不变，即甲对斜面的压力F2不变，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 题型3 相似三角形法 【例题精讲】 1．如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N，则N，F的变化情况是（　　） A．N变大 B．N变小 C．F变大 D．F变小 【答案】D 【解答】解：由题意可知，人缓慢拉动细绳，即小球始终受力平衡； 对小球受力分析，如下图： 大球对小球的支持力沿半径方向，绳对小球的拉力沿绳方向， 根据小球的受力方向、几何三角形的角度特点，可得：，其中OA不变，OB不变，AB减小，故F减小，N不变，故ABC错误，D正确。 故选：D。 2．如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架。BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA＞90°，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA＝30°。（不计一切阻力）在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．杆BC所受力的大小保持不变 B．杆BC所受力的大小先减小后增大 C．绳子AB的张力大小先增大后减小 D．绳子AB的张力大小逐渐增大 【答案】A 【解答】解：对点B受力分析，由平衡条件可画出力的示意图，如图所示： 由相似三角形可得。使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA＝30°，此过程，AC、BC长度不变，AB长度缩短，则杆BC所受力的大小保持不变，绳子AB的张力大小逐渐减小。故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．某攀岩运动员到达山顶后采用如下方式下山，绳的一端固定在山顶，另一端拴在运动员的腰间，沿着岩壁缓缓下移。下移过程中可以把运动员近似看作一根轻杆，整体简化如图所示，A点是运动员的脚所在位置，B点是山顶的固定点，C点是人的重心位置。某时刻腿部与崖壁成60°角，绳与竖直方向也成60°角（图中实线），则下列说法正确的是（　　） A．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力比运动员的重力大 B．在图中实线位置时，绳子对运动员的拉力与运动员的重力大小相等 C．当运动员的重心下降到虚线位置时，绳子对运动员的拉力减小 D．当运动员的重心下降到虚线位置时，绳子对运动员的拉力不变 【答案】B 【解答】解：AB．将重力沿沿绳方向和杆方向进行分解，平移这两个分力与重力构成如图所示的矢量三角形，设BC绳上的拉力为F1，杆AC上的力为F2根据牛顿第三定律可知，F1与FBC大小相等，F2与FAC大小相等，由几何三角形与矢量三角形相似可得 解得 由于图中实现位置时，三角形是一个等边三角形，故 FBC＝G，故A错误，B正确； CD．当运动员的重心下降到虚线位置时，根据上述分析可知，此时 BC＞AB所以FBC＞G即绳子对运动员的拉力变大，故CD错误。 故选：B。 （多选）4．如图所示，木板B放置在粗糙的水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到O′的正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．轻杆对小球的作用力大小不变 B．力F逐渐增大 C．地面对木板的支持力逐渐增大 D．地面对木板的摩擦力逐渐增大 【答案】AC 【解答】解：AB、根据小球A缓慢转动，可知A时刻平衡，对A受力分析如下图： 根据受力方向特点、与几何三角形方向特点，可得：， 在A缓慢转动至O'正下方得过程中，OO'不变，AO不变，OO'变小，即杆的作用力N大小不变，绳上拉力F变小，故A正确，B错误； CD、对B受力分析，如下图： 根据AB选项分析，可知杆上的力大小不变，由相互作用力特点可知杆对B的力N'大小不变，在其转动过程，β角度减小； 由B受力平衡，可得：f＝N′sinβ，NB＝N′cosβ+m′g，可知地面对木板的支持力NB增大，地面对B的摩擦力变小，故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）5．为了研究力学平衡问题，某同学设计了一个实验装置：在竖直墙壁上固定一个轻质弹簧的端点A，弹簧另一端连接小球B；同时用一根轻质橡皮筋将B球绕过光滑细钉C悬挂于O点，O、C、A三点在同一竖直线上，如图所示。初始时B球静止，此时OC的长度恰好等于橡皮筋的原长，橡皮筋的拉力遵循胡克定律。现减小B球的质量，同时调整弹簧端点A在竖直墙壁上的位置，使整个系统能再次处于静止状态（B球仍在OCA直线右侧）。则与初始时相比，AC间的距离h及弹簧弹力大小F的变化情况是（　　） A．h变小 B．h变大 C．F不变 D．F变小 【答案】AC 【解答】解：对小球B受力分析如图所示： 由相似三角形可得： 弹簧原长为l0，有 由于减小B球的质量m，k1不变，AB不变，F不变，AC变小。故BD错误，AC正确。 故选：AC。 题型4 辅助圆法 【例题精讲】 1．如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（　　） A．FT1一直增大 B．FT1先减小后增大 C．FT2一直增大 D．FT2最终变为零 【答案】D 【解答】解：画小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，如图所示： 由于这个三角形中重力不变，FT1、FT2的夹角（180°﹣θ）保持不变，这类似于圆周角对应弦长的关系，作初始三角形的外接圆，然后让FT1、FT2的交点在圆周上按题中转动规律转动，力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆周，可知在顺时针转动过程中，FT1先变大到最大为圆周直径，然后再变小，FT2一直变小，转到90°时，CA绳沿竖直方向，此时FT2为零。故ABC错误，D正确。 故选：D。 2．如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（　　） A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】D 【解答】解：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示 F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，故ABC错误，D正确。 故选：D。 （多选）3．如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力F1的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　） A．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，则F逐渐增大、F1逐渐减小 B．保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，则F先减小后增大 C．保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，则F逐渐增大 D．保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，F、F1都增大 【答案】BC 【解答】解：B.对小球受力分析，结合题意可得下图 小球受重力G、外力F和细线拉力F1作用，保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，由图可知，外力F先减小后增大，故B正确； A.保持F水平，由前面分析，结合几何知识可知：F1cosθ＝G，F＝Gtanθ，逐渐缓慢增大θ角，则cosθ逐减小，tanθ逐渐增大，则F1、F都逐渐增大，故A错误； C.保持α角不变，增大θ角，直至悬线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图所示 由图可知，细线的拉力F1水平时，外力F最大，所以该过程外力F逐渐增大，故C正确； D.保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，结合前面分析可知，对F、F1没有影响，则F、F1都不变，故D错误。 故选：BC。 （多选）4．如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，绳OB与绳OA成α＝120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为（　　） A．F1一直增大 B．F1先增大后减小 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 【答案】AC 【解答】解：对节点O进行受力分析，受到三个平衡力作用，作出矢量三角形，如图所示 根据图示可知，顺时针转动前（实线）到转动后（虚线）过程中，F1一直增大，F2一直减小，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 （多选）5．如图，在水平桌面上叠放着两个物块B和C，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与C相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′的夹角为α＝120°且保持不变，将OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是（　　） A．绳子OO′的拉力先增大后减小 B．C对B的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先减小后增大 D．桌面对B的摩擦力先增大后减小 【答案】AD 【解答】解：A、对结点O受力分析，绳子拉力和F的夹角不变，合力与悬挂物体的重力等大反向，作出受力分析图如下， 分析发现，随着绳拉力T由竖直逐渐变为水平过程，绳拉力先增大，后减小，故A正确； B、对C分析，绳子的拉力与B对C的摩擦力为一对平衡力，等大反向。绳拉力先增大后减小，则B对C的摩擦力先增大后减小，根据牛顿第三定律，C对B的摩擦力先增大后减小，故B错误； D、对B和C整体，根据平衡条件，绳子的拉力与桌面对B的摩擦力为一对平衡力，等大反向，绳拉力先增大，后减小，则桌面对B的摩擦力先增大，后减小，故D正确； C、对B和C以及桌子、悬挂物及滑轮等物体整体，根据平衡条件，F的水平分力与地面对桌子的摩擦力等大反向，由图像可知，F的水平分力大小（图中F与T在圆上交点到G的距离）先增大后减小，则地面对桌子的摩擦力先增大后减小，故C错误。 故选：AD。 题型5 晾衣杆模型 【例题精讲】 1．如图所示，悬挂衣服的绳子两端A、B分别固定在两根竖直杆上，A点高于B点，无风状态下衣服静止。一阵横风吹来，衣服受到水平向右的恒力而滑动，并在新的位置保持静止。不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，绳子不可伸长。现将A点下移至与B点等高，则此过程中，细绳上的张力（　　） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小 【答案】B 【解答】解：当在有风的情况下，重力与风力的合力为恒力，则两细绳拉力的合力也为恒力，将A点下移至与B点等高，如图所示 根据图可以看出，两细绳之间的夹角变小，则细绳上的张力变小，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．灯笼是中国传统节庆的重要象征，每逢农历新年，家家户户都会挂起红彤彤的灯笼，营造出喜庆祥和的节日氛围。如图所示，一个直角支架固定于竖直平面内。一根长度为2.5m的轻质细绳两端分别固定在支架上的A、B两点，已知A、B两点高度相同，且间距为l＝1.5m。将一质量为1.2kg的灯笼用光滑的挂钩悬挂在细绳上，不计空气阻力对灯笼的影响，已知重力加速度为g＝10m/s2，关于该系统的平衡状态，下列说法正确的是（　　） A．轻质细绳上的张力大小为10N B．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力变小 C．若将细绳的端点从B移到C，细绳的弹力不变 D．若将细绳的端点从B移到D，细绳的弹力变小 【答案】C 【解答】解：A、设AB间距为d，设一边绳与竖直方向夹角为θ，根据受力分析有， 则2Tcosθ＝mg，代入数据解得T＝7.5N，故A错误； BC、若将细绳的端点从B移到C，d不变，夹角不变，细绳的弹力不变，故B错误，C正确； D、设绳总长为L，有Lsinθ＝d，若将细绳的端点从B移到D，d增大，夹角变大，拉力增大，故D错误。 故选：C。 3．抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小 B．沿虚线b向上移动，细线的拉力减小 C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大 【答案】A 【解答】解：A、设绳子长度为L，绳子与竖直方向的夹角为θ，AB两点水平间距为d，如图所示： 由几何关系可得： 根据平衡条件可得：2Fcosθ＝mgA．沿虚线a向左移动，d减小、θ减小、cosθ增大，则细线的拉力减小，故A正确； B．沿虚线b向上移动，d不变、θ不变、cosθ不变，细线的拉力不变，故B错误； C．沿虚线c斜向上移动，d增大、θ增大、cosθ减小，细线的拉力增大，故C错误； D．沿虚线d向右移动，空竹受力平衡，根据平衡条件可知，细线对空竹的合力与重力等大反向，所以细线对空竹的合力不变，故D错误。 故选：A。 （多选）4．如图所示，在竖直平面内一根不可伸长的柔软轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物。轻绳一端固定在墙壁上的A点，墙壁BC段竖直，CD段水平，不计一切摩擦，关于轻绳的拉力F的变化情况，下列说法正确的是（　　） A．绳端由B点移动至C点的过程中F一直不变 B．绳端由B点移动至C点的过程中F一直增大 C．绳端由C点移动至D点的过程中F一直不变 D．绳端由C点移动至D点的过程中F一直变大 【答案】AD 【解答】解：设绳子总长为L，绳子两端之间的水平距离为s，两段绳子之间的夹角为2θ，同一根绳子拉力相等，所以每根绳子与竖直方向的夹角均为θ，如图所示 根据平衡条件可得：2Fcosθ＝mg 由根据图中几何关系结合数学知识得到：sinθ 当轻绳的右端从B点移到C点时，L、s不变，则θ保持不变，则F不变； 当轻绳的右端从C点移到D点时，s增大，θ变大，cosθ变小，则F增大； 所以绳子拉力变化情况为先不变后增大，故BC错误，AD正确。 故选：AD。 （多选）5．某同学将一条轻质柔软细绳两端分别固定在水平直杆上的A、B两点，一个下端带挂钩的光滑轻质圆环O穿过细绳，在挂钩下挂一个重力大小为G的灯笼。该同学担心细绳断裂，下列做法一定能防止细绳断裂的是（　　） A．保持B点不动，将A点缓慢向左移动一段距离 B．保持A、B两点距离不变，将水平杆缓慢倾斜 C．保持A、B两点距离不变，对灯笼施加一个与水平方向成30°斜向左上方、大小为G的拉力 D．保持A、B两点距离不变，对灯笼施加一个沿平向左、大小为G的拉力 【答案】BC 【解答】解：A、设绳子的长度是2L，AO与水平方向之间的夹角为θ，挂钩受到的灯笼的拉力大小等于灯笼的重力，挂钩还受到两侧绳子的拉力则mg＝2Tsinθ，保持B点不动，将A点缓慢向左移动一段距离，则绳子AO与水平方向之间的夹角减小，可知绳子的拉力T一定增大，故A错误； B、保持AB两点距离不变，将水平杆缓慢倾斜的过程中，挂钩的运动轨迹为以A、B两点为焦点的椭圆，则∠AOB一直减小，根据平衡条件，绳子OB和绳子OA拉力大小始终相等且合力与F等大反向，绳子OB和绳子OA的夹角变小，则绳子OB和绳子OA拉力大小始终减小，故B正确； C、保持AB两点距离不变，对灯笼施加一个与水平方向成30°斜向左上方、大小为G的拉力，则两侧绳子的拉力的合力与重力和斜向左上方的拉力的合力大小相等，方向相反。此时重力和斜向左上方的拉力之间的夹角是120°，两个力大小相等，根据平行四边形定则可知它们的合力大小也等于G，方向指向左下方，此种情况与B的情况相似，绳子OB和绳子OA拉力大小减小，故C正确； D、保持AB两点距离不变，对灯笼施加一个水平向左、大小为G的拉力，根据平行四边形定则可知它们的合力大小等于G，方向指向左下方，绳子0B和绳子OA拉力大小不一定减小，故D错误。 故选：BC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，半圆形容器固定在地面上，容器内壁光滑，两个完全相同且质量分布均匀的光滑小球A、B放在容器内，处于静止状态。现用水平力作用在球A上，则在球A由P点缓慢移动到Q点的过程中（　　） A．球A对球B的弹力逐渐增大 B．球A对球B的弹力先增大后减小 C．容器对球B的弹力逐渐增大 D．容器对球B的弹力先减小后增大 【答案】A 【解答】解：对B球受力分析如图1所示： 缓慢推动A球由P点缓慢移动到Q点的过程中，N1和N2的夹角不变，根据三力平衡作出矢量三角形如图2所示， 从图2可以看出B球受到A球的弹力N1逐渐增大，容器对B球的支持力N2逐渐减小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大 B．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力增大 C．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力减小 D．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力大小不变 【答案】B 【解答】解：由于杆一直平衡，则两根细线的拉力的合力一定在杆的方向上，否则杆会转动，如图所示： 由于同一根绳子的张力处处相等，故两根细线的拉力一定相等且等于物体的重力G；故根据平行四边形定则，合力在角平分线上，由于两拉力的夹角不断减小，故两个拉力的合力不断变大，故杆受到的压力不断变大，故B正确，ACD错误。 故选：B。 3．如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 【答案】C 【解答】解：AB．对小蚂蚁受力分析如图所示 可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcosθ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，故AB错误； CD．选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。 故选：C。 4．铲车是常见的生产工具。某次生产过程中，铲车的铲斗中装载一个球形石块，此时的铲斗简化为图（a），铲斗的A板和B板内壁视为光滑，顶角∠AOB为锐角，∠AOB的角平分线竖直。铲车卸载石块的过程，铲斗缓慢顺时针旋转，直至铲斗的B板水平，如图（b）所示。下列说法正确的是（　　） A．A板受到的压力一直减小，B板受到的压力先增大后减小 B．A板受到的压力一直减小，B板受到的压力一直增加 C．A板受到的压力先增大后减小，B板受到的压力一直减小 D．A板受到的压力先减小后增大，B板受到的压力一直增大 【答案】A 【解答】解：对石块，受力分析如图所示 初始时α＝β，θ为锐角。铲斗顺时针转动的过程，θ不变，β先增大直90°，再变为钝角，α逐渐减小到0，在辅助圆中，可以得出F1先增大后减小，F2一直减小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．已知通电直导线在其周围某点产生的磁场的磁感应强度大小与导线中的电流大小成正比，与到导线的距离成反比。如图所示，细直导体棒P通过两根等长、绝缘细线悬挂在竖直光滑绝缘墙面上等高的A、B两点正下方，另一细直导体棒Q也通过两根等长、绝缘细线悬挂在A、B两点，并在两棒中通以反向电流。两棒均静止时，悬挂Q的两细线与墙面间有一定夹角，然后缓慢减小P中的电流。则下列说法正确的是（　　） A．悬挂Q的细线拉力先减小后增大 B．悬挂Q的细线拉力逐渐减小 C．悬挂P的细线拉力大小不变 D．悬挂P的细线拉力逐渐减小 【答案】D 【解答】解：AB、对导体棒Q受力分析，如图所示： 根据共点力平衡条件可知：，故悬挂Q的细线拉力FT大小不变，故AB错误； CD、对P受力分析，如图所示： 将两根导体棒视为整体受力分析，设悬挂Q的细线与竖直方向的夹角为θ，则有2FT'+2FTcosθ＝（mQ+mP）g由于θ逐渐减小，cosθ增大且FT大小不变，故悬挂P的细线拉力FT′逐渐减小，故C错误，D正确。 故选：D。 6．如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L0的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为θ，已知k，L0R，则下列选项正确的是（　　） A．θ＝45° B．弹簧的长度为2L0 C．小环受到大环的支持力为mg D．弹簧弹力大小是 【答案】C 【解答】解：对小环受力分析，如图所示。 根据平衡条件可知，弹簧的拉力F和大环支持力的合力与重力mg等大反向，由力的矢量三角形与几何三角形相似可得 结合AO＝BO，可得小环受到大环的支持力FN＝mg 设弹簧长度为AB＝L，由胡克定律有 k（L﹣L0）＝2mgcosθ 由几何关系有L＝2Rcosθ，联立方程解得θ＝30°， 弹簧弹力为F＝k（L﹣L0），解得Fmg，故ABD错误，C正确。 故选：C。 7．如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球B，小球B与固定在O点正下方的A球用劲度系数为k1的轻弹簧相连。平衡时，细绳拉力为T1，弹簧弹力为F1；现仅把弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2（k2＞k1）的另一轻弹簧，重新平衡后，细绳拉力为T2，弹簧弹力为F2。下列说法正确的是（　　） A．T1＜T2 B．T1＞T2 C．F1＜F2 D．F1＞F2 【答案】C 【解答】解：对B球受力分析并合成矢量三角形 根据图中结合关系可知： 可知绳子长度不变，绳子拉力不变，所以T1＝T2，故AB错误 根据可知 当换用另一个劲度系数较大的弹簧k2时，弹簧的压缩量减小，因此AB长度应该变大，则F也应该变大，则F1＜F2，故D错误，C正确。 故选：C。 8．如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔Q与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于P处。设小球的重力为G，细线与圆环竖直直径的夹角为θ，细线对小球的拉力大小为T。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列T随θ变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：令圆环的圆心为O，半径为R，对小球进行分析，小球受到重力、绳的拉力T与圆环的弹力N三个力的作用，则重力方向平行于图中虚线表示的直径，绳拉力方向沿绳，圆环弹力方向沿半径指向圆心，根据相似三角形有 根据几何关系有xPQ＝2Rcosθ 解得T＝2Gcosθ 可知，T随θ变化的图像为余弦曲线关系，且最大值为2G，故D正确，ABC错误。 故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐增大 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐增大 D．地面对木板B的作用力减小 【答案】ACD 【解答】解：A.对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示 根据几何关系可知两三角形相似，因此，缓慢运动过程O′A越来越大，则F逐渐增大，故A正确； B.由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小F′不变，故B错误； C.对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角θ越来越大，地面对木板B的摩擦力f＝F′sinθ逐渐增大，故C正确； D.木板B受重力、地面的支持力、杆的弹力和地面的摩擦力，根据力的合成与分解可知地面对木板B的作用力与木板B受重力和杆的弹力的合力等大反向，杆的作用力与竖直方向的夹角越来越大，则木板B受重力和杆的弹力的合力逐渐减小，所以地面对木板B的作用力减小，故D正确。 故选：ACD。 （多选）10．如图所示，一轻绳绕过定滑轮C（半径可忽略）一端连接小球A（可视为质点），另一端连接物体B。物体B放在粗糙水平地面上，受到水平向右的作用力F的作用，使得小球A沿光滑固定的半球面从图示位置缓慢向上移动，定滑轮C在半球面球心O的正上方，已知OC的长度为2R，半球面的半径为R。小球A向上移动到D的过程中，下列说法正确的是（　　） A．光滑半球面对小球A的支持力大小N不变 B．轻绳的张力T增大 C．地面对物体B的摩擦力增大 D．地面对半球面的作用力减小 【答案】AC 【解答】解：AB.小球A缓慢运动过程中，小球A受到重力、半球面对A的支持力N、轻绳的拉力T的作用，处于三力平衡状态，根据相似三角形法则知， 可得轻绳的拉力T逐渐减小，支持力N不变，故A正确，B错误； C.物体B向右运动，受到轻绳的张力T、重力、水平拉力F的作用、地面的支持力和滑动摩擦力f。因为轻绳的张力T减小，轻绳与竖直方向的夹角θ增大知张力的竖直分力Tcosθ减小，则地面对物体B的支持力增大，摩擦力f增大，故C正确； D..球A对半球面的压力大小不变，其方向与竖直方向夹角变小，则压力与半球面的重力的合力增大，此合力与地面对半球面的作用力为一对平衡力，故地面对半球面的作用力增大，故D错误。 故选：AC。 （多选）11．如图，在水平桌面上叠放着两个物块M和m，M与桌面的动摩擦因数为μ1，m与M之间的动摩擦因数为μ2，一根轻绳一端与M相连，另一端绕过光滑的定滑轮A系在竖直杆上的B点，现将另一个物体G用光滑轻质挂钩挂在轻绳上AB之间的O点，已知整个装置处于静止状态时，竖直杆与绳OB的夹角为α，则（　　） A．m所受的摩擦力为μ2mg B．M所受的摩擦力为 C．将绳的B端向上缓慢移动一小段距离时绳的张力增大 D．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离时绳的张力增大 【答案】BD 【解答】解：A．整个装置处于静止状态，根据受力平衡可知，m所受的摩擦力为0，故A错误； B．同一根绳可知O点两侧绳子拉力大小相等，两侧绳子与竖直方向的夹角相同，竖直杆与绳OB的夹角为α，根据受力平衡可得 2Tcosα＝G 解得 以M为对象，根据受力平衡可知，M所受的摩擦力为 ，故B正确； CD．设滑轮A和竖直杆之间的绳长为L，水平距离为d，根据几何关系可得 又 将绳的B端向上缓慢移动一小段距离时，由于d、L都不变，则α角不变，绳的张力不变；将竖直杆缓慢向右移动一小段距离时，由于d变大，L不变，则sinα增大，cosα减小，绳的张力增大，故C错误，D正确。 故选：BD。 三．解答题（共3小题） 12．春节到了，小明家门口的小弄堂墙壁不方便悬挂灯笼，于是小明设计了如图甲所示的悬挂方式，先把灯笼a和灯笼b用轻绳连接，另一根不可伸长的轻绳穿过灯笼a上端的光滑轻质小圆环，两端A、B分别固定在弄堂两壁等高位置，如图甲所示，无风静止时轻绳AB的张角为106°。起风时，灯笼a、b受到相等且恒定的水平风力而保持静止，此时场景侧视图如图乙所示，两只灯笼连线与竖直方向的夹角为30°，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ（未知）。已知灯笼a的质量为2m，灯笼b的质量为m，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求： （1）无风静止时，轻绳AB中张力的大小； （2）若仅将轻绳A端固定点位置略微抬高，判断该拉力大小如何变化（无需写出证明过程）； （3）有风静止时，一只灯笼所受恒定风力的大小及两灯笼之间绳子的拉力； （4）有风静止时，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ的正切值，以及轻绳AB中张力的大小。 【答案】（1）无风静止时，轻绳AB中张力的大小为2.5mg； （2）仅将A点移动，两根绳子之间的夹角不变，所以力大小也不变； （3）有风静止时，一只灯笼所受恒定风力的大小为，两灯笼之间绳子的拉力为； （4）有风静止时，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ的正切值为，轻绳AB中张力的大小为。 【解答】解：（1）当无风时，因为a灯笼上端用光滑圆环与绳相连，所以：FA＝FB 对灯笼整体受力分析，根据受力平衡在竖直方向上可得：FAcos53°+FBcos53°＝（2m+m）g 代入数据联立解得：FA＝FB＝2.5mg； （2）当A端固定点位置略微太高时，灯笼在绳上的位置也会发生变化，但两根绳子之间的夹角不发生变化，所以绳子上的力不变； （3）设风力为F′，灯笼a与b之间绳上的力为F″，对灯笼b受力分析，根据受力平衡可得：mg＝F″cos30°，F′＝F″sin30° 代入数据解得：，； （4）对整体受力分析，如图所示： 根据受力平衡可得：FABsinθ＝2F′，FABcosθ＝（2m+m）g， 代入数据联立解得：， 单根绳子上的力满足：FAcos53°+FBcos53°＝FAB 单根绳子上的力为： 答：（1）无风静止时，轻绳AB中张力的大小为2.5mg； （2）仅将A点移动，两根绳子之间的夹角不变，所以力大小也不变； （3）有风静止时，一只灯笼所受恒定风力的大小为，两灯笼之间绳子的拉力为； （4）有风静止时，轻绳AB所在平面与竖直方向夹角θ的正切值为，轻绳AB中张力的大小为。 13．如图所示，将一个质量为m的光滑铅球放在倾角为α的斜面上，并用挡板挡住。挡板与斜面夹角为θ，挡板由图示位置（θ＝α）绕斜面上的固定转轴O逆时针缓慢转动，直至挡板水平。重力加速度为g，求缓慢转动挡板过程中： （1）挡板竖直时所受的压力； （2）挡板对铅球支持力的最小值Fmin及此时夹角θ的值； （3）铅球受斜面支持力的最大值Fmax及此时夹角θ的值。 【答案】（1）挡板竖直时所受的压力的大小为mg•tanα，方向为水平向左； （2）挡板对铅球支持力的最小值Fmin为mg•sinα，此时夹角θ的值为90°； （3）铅球受斜面支持力的最大值Fmax为2mg•cosα，此时夹角θ的值为α。 【解答】解：（1）挡板竖直时，对铅球受力分析如下图1所示，铅球的重力为mg，挡板对铅球的弹力为F1，斜面对铅球的弹力为F2。 由平衡条件可得：F1＝mg•tanα 根据牛顿第三定律可得挡板竖直时所受的压力大小等于F1＝mg•tanα，方向为水平向左。 （2）设挡板对铅球支持力为F，斜面对铅球受支持力为F′，初始时对铅球受力分析如下图2所示， 将铅球的受到的三个力围成矢量三角形，如上图3所示，重力mg为恒力，F′的方向不变，F由初始位置逐渐向竖直向上的方向变化，当F的方向与F′垂直时F的值最小，可得： Fmin＝mg•sinα 此时挡板与斜面相互垂直，可知夹角θ＝90°。 （3）如上图3所示，F由初始位置逐渐向竖直向上的方向变化，F′的值逐渐减小到零，可知在初始位置F′的值最大，已知此时θ＝α，如上图2所示，根据平衡条件得： 在沿垂直于斜面方向有：Fmax＝mg•cosα+F•cosα 在沿平行于斜面方向有：mg•sinα＝F•sinα 解得：Fmax＝2mg•cosα 答：（1）挡板竖直时所受的压力的大小为mg•tanα，方向为水平向左； （2）挡板对铅球支持力的最小值Fmin为mg•sinα，此时夹角θ的值为90°； （3）铅球受斜面支持力的最大值Fmax为2mg•cosα，此时夹角θ的值为α。 14．如图所示，粗糙水平面上放置一半径为R的四分之一圆柱体，圆柱体只有圆弧表面光滑，其他部分粗糙。光滑轻滑轮C（可视为质点）用轻杆固定在圆心O的正上方，轻质细线一端固定在A点，另一端跨过滑轮连接质量为的小球（可视为质点），小球置于四分之一圆柱体圆弧表面上D点，CD＝R，且CD与竖直方向成30°角，物块B通过光滑轻质圆环悬挂在细线上静止于P点，AP与竖直方向成60°角，此时圆柱体恰处于平衡状态。已知A、P、C、D在同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10m/s2。 （1）求物块B的质量m1； （2）若地面与四分之一圆柱体之间的动摩擦因数为0.5，调整细线长度使小球从D处移至E处（CE与圆柱表面相切），整个系统仍然保持静止，求四分之一圆柱体的质量M的最小值（结果可保留根式）。 【答案】（1）物块B的质量m1为2kg； （2）四分之一圆柱体的质量M的最小值为。 【解答】解；（1）对小球进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有 水平方向 竖直方向 解得F拉＝20N 对圆环进行受力分析，如图所示 竖直方向2F拉cos60°＝F1 依题意物块B静止，有F1＝m1g 解得物块B质量m1＝2kg （2）对小球进行受力分析 绳对小球的拉力为F拉2，圆柱体对小球的弹力为F支2，设∠OCE＝α，由CD＝OD＝R，θ＝30°，可得 由于CE与圆弧面相切，可得， 则水平方向F拉2sinα﹣F支2cosα＝0 竖直方向F拉2cosα+F支2sinα﹣mg＝0 得 对小球和四分之一圆柱体整体分析 地面整体的摩擦力Ff3，对整体的支持力F支3，水平方向F拉2sinα﹣Ff3＝0 竖直方向F支3+F拉2cosα﹣（Mg+mg）＝0 整体静止，需满足μF支3≥Ff3 解得 则最小质量为 答：（1）物块B的质量m1为2kg； （2）四分之一圆柱体的质量M的最小值为。 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $