专题03 概率的进一步认识 2大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期北师大版

专题03 概率的进一步认识 2大高频考点概览 考点01 列表法或树状图法求概率 考点02 由频率估计概率 地 城 考点01 列表法或树状图法求概率 1．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 利用列表法找到点数之和为几的次数最多，选择那个数获胜的概率就越大． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 掷两次质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果， 点数之和为7的有6种，最多， 故选择7获胜的可能性大， 故选B 2．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)暑假期间，语文老师要求全班同学阅读四大名著．并从中选取两种书来写阅读心得．请你用列表法或者树状图法求小明选取的恰好是《西游记》和《水浒传》的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或者树状图法求概率，概率所求情况数与总情况数之比，正确掌握方法是解题的关键．记四大名著分别为：A：《西游记》、B：《水浒传》、C：《三国演义》、D：《红楼梦》，再根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中A：《西游记》和B：《水浒传》的情况，再利用概率公式即可求得答案； 【详解】解：记四大名著分别为：A：《西游记》、B：《水浒传》、C：《三国演义》、D：《红楼梦》， 如图，用表格列出所有可能的结果： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中同时选中A和B的情况有2种， ∴同时选中A：《西游记》和B：《水浒传》的概率为 ． 3．(24-25九上·河南郑州郑东新区·期末)郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. (1)小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； (2)用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：明从自然景点中选中“郑州之林”的概率 ； 故答案为： ； （2）解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为，所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 4．(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区·期末)某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法以及概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用列表法求出所有等可能的结果，再从表中找出两位同学选择同一个书院进行讲解的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位同学选择同一个书院进行讲解的结果有种， 两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为， 故选：B． 5．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉和牛牛手中存有的棋子分别为虎、猫和狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．根据题意列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下：     莉莉 牛牛 虎 猫 狮 狮、虎 狮、猫 豹 虎、豹 豹、猫 由表格可知，总共有4种情况数，其中莉莉获胜的情况数为1种， 莉莉获胜的概率为， 故选：A． 6．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ (2)小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是． （2）画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是B和C的结果有2种，     ∴抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率为，即． 7．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号“H”“C”“”“”．若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的卡片上面书写的符号恰好都是金属元素的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查画树状图法求概率，掌握画树状图求解概率的方法及概率公式是解题关键．利用树状图把所有可能情况一一画出，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：记“H”“C”“”“”分别为，，，； 画树状图如解图所示： 由树状图可知共有12种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上都是金属元素的有2种，所以所求的概率是． 故选：A 8．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)小明将8张点数分别为1~8的扑克牌，全部放入A、B两个不透明的盒子中，每个盒子至少要放一张扑克牌，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为这一事件的概率记为，若将点数为1~4的扑克牌放入A盒子，其余的牌放入B盒子，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，求等于多少? 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 两个盒子分别记为A盒子和B盒子，列表找出从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中点数之和为8(这一事件的概率记为)的结果有3种，即可求解概率． 【详解】解：两个盒子分别记为A盒子和B盒子，列表如下： 由上表可以看出，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌可能出现的结果有16种，并 且它们出现的可能性相等，其中点数之和为8(这一事件的概率记为)的结果有 3种， ∴． 9．(24-25九上·河南驻马店西平县·期末)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从中任取一个球，球上的汉字是“西”的概率为______． (2)从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率相关知识，涉及概率公式和树状图或列表法， （1）根据题意可知，从中取出一个球，共有4种不同取法，每一种取法的可能性大小相同，而摸出球上的汉字刚好是“西”的占其中的一种，利用概率公式即可求得答案； （2）画出树状图，即可知总的结果，再求得两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的数量，结合概率公式即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可知，从中取出一个球，共有4种不同取法，每一种取法的可能性大小相同，而摸出球上的汉字刚好是“西”的占其中的一种， 则取到球上的汉字是“西”的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如下， 由树状图可知，一共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相同，而取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的结果有4种， 则． 10．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”分别记为A，B，C，D， 列表如图： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数为4种，小明和小颖恰好选到同一个志愿服务项目的概率是， 故选：B． 11．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的鄙禀送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解：设绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案分别为A、B、C、D，小亮抽到的邮票的所以情况见下表： A B C D A B C D ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2两种， 故小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率， 故答案为：． 12．(24-25九上·河南方城县六校联考·期末)不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“淮”、“安”，每次摸球前先摇匀． (1)随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为______； (2)随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次摸到的球上的汉字，一个是“淮”，一个是“安”的概率是多少？（列表或画树状图） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单概率计算，根据树状图计算概率等． （1）根据题意可直接得到解答； （2）画出树状图，将可能性一一列举出来再计算概率即可． 【详解】（1）解：从袋子随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，“最”、“美”、“淮”、“安”4个小球分别用A，B，C，D表示， 如图所示： ， 由上可得共有12种情况，而一个是“淮”，一个是“安”的情况有2种情况， ． 13．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 ． 【答案】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设《周髀算经》用A表示、《算学启蒙》用B表示、《测圆海镜》用C表示、《四元玉鉴》用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种， ∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率． 故答案为：． 14．(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算即可求解． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据题意得到龙门石窟和白马寺的结果，运用概率公式即可求解． 【详解】解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，用表示龙门石窟，应天门，白马寺，洛阳博物馆， 共有12种等可能结果，其中是龙门石窟和白马寺的有2种，即， ∴抽取龙门石窟和白马寺的概率是， 故答案为： ． 15．(24-25九上·河南濮阳·期末)星期天，李明与张浩相约去游玩，他们从“龙湖，濮上园、班家小镇”三个景点随机选择其中一个景点去游玩，他俩选中相同景点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用画树状图和列表法求概率，解题的关键是理解题意掌握树状图或列表法求概率．将龙湖，濮上园、班家小镇3个著名旅游景点分别记作A、B、C，画树状图得共由9种等可能结果，李明与张浩选择的景点相同的有3种结果，即可得． 【详解】解：将龙湖，濮上园、班家小镇3个著名旅游景点分别记作A、B、C， 画树状图如下： 共由9种等可能结果，李明与张浩选择的景点相同的有3种结果， ∴李明与张浩选择的景点不相同的概率为：， 故选：D． 16．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)为庆祝党的二十大顺利召开，学校推荐了四部影片；《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》，九年级一班用抽卡片的方式决定本班观看哪部影片，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上． (1)从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是_________； (2)从4张卡片中任意抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是． 故答案为：． （2）解：四部影片《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》可分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲和丙的结果有2种， ∴恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率为． 地 城 考点02 由频率估计概率 17．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为． 设袋子中红球有x个， 根据题意，得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为45个， 故答案为：45． 18．(2025·河南省郑州市·)下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果： 每批粒数（） 发芽的频数（） 发芽的频率（）（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：从表中的数据发现，当实验次数越来越多时，种子发芽的频率越来越接近， 这种绿豆发芽的概率的估计值为． 故答案为： ． 19．(24-25九上·河南周口西华县·期末)在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，二维码的面积约为， 故选：B． 20．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 21．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)（1）解方程： （2）在一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的个黑球、个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球的个数． 【答案】（1），；（2）个 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用频率估计概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【详解】解：（1）， ， ，； （2）由题意得：摸到黑球和白球的频率之和为， 总的球数为（个）， 故估计袋中红球的个数为（个）． 22．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 23．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 【答案】5 【分析】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：由题意得，不规则区域的面积是， 故答案为：5． 24．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为 . 【答案】 【分析】本题考查频率与概率、已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，据此计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右， 可估计红球的数量为：（个）， 故答案为：． 25．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（    ） A．80个 B．98个 C．100个 D．120个 【答案】A 【分析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率，据此计算即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故袋中黑球有80个． 故选：A． 26．(24-25九上·河南洛阳·期末)袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解分式方程，设袋子中黑球的个数为，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设袋子中黑球的个数为，依题意， ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴估计袋子里黑球数量大约为个， 故选：D． 27．(24-25九上·河南洛阳·期末)数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（   ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字比3大的小球 C．摸出标记数字比2小的小球 D．摸出标记数字为奇数的小球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示信息，根据频率估算概率的方法是解题的关键． 根据图示可得频率稳定在，根据概率的计算进行判定即可． 【详解】解：由图示可得频率稳定在， 不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球， ∴摸出偶数的概率为，摸出奇数的概率为， A、摸出标记数字为偶数的小球，故原选项不符合题意； B、摸出标记数字比3大的小球的概率为，故原选项不符合题意； C、摸出标记数字比2小的小球的概率为，符合题意； D、摸出标记数字为奇数的小球，故原选项不符合题意； 故选：C ． 28．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是． 故选：C． 29．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 30．(24-25九上·河南封丘县金瀚学校·期末)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 (1)当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、列表法求概率等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意列表，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． （2）解：根据题意列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的进一步认识 2大高频考点概览 考点01 列表法或树状图法求概率 考点02 由频率估计概率 地 城 考点01 列表法或树状图法求概率 1．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 2．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)暑假期间，语文老师要求全班同学阅读四大名著．并从中选取两种书来写阅读心得．请你用列表法或者树状图法求小明选取的恰好是《西游记》和《水浒传》的概率． A B C D A B C D 3．(24-25九上·河南郑州郑东新区·期末)郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. (1)小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； (2)用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 4．(24-25九上·河南郑州高新技术产业开发区·期末)某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动．两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个书院进行讲解的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉和牛牛手中存有的棋子分别为虎、猫和狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（   ） A． B． C． D．0     莉莉 牛牛 虎 猫 狮 狮、虎 狮、猫 豹 虎、豹 豹、猫 6．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？ (2)小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率． 7．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)有大小与材质完全相同的四张卡片，在它们的正面分别书写化学元素符号“H”“C”“”“”．若将四张卡片放在一个暗箱内摇匀后随机抽取两张（不放回），则抽取的卡片上面书写的符号恰好都是金属元素的概率为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)小明将8张点数分别为1~8的扑克牌，全部放入A、B两个不透明的盒子中，每个盒子至少要放一张扑克牌，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为这一事件的概率记为，若将点数为1~4的扑克牌放入A盒子，其余的牌放入B盒子，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，求等于多少? 9．(24-25九上·河南驻马店西平县·期末)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)从中任取一个球，球上的汉字是“西”的概率为______． (2)从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的概率． 10．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（   ） A． B． C． D． A B C D A B C D 11．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如醉”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的鄙禀送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ． A B C D A B C D 12．(24-25九上·河南方城县六校联考·期末)不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“淮”、“安”，每次摸球前先摇匀． (1)随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为______； (2)随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次摸到的球上的汉字，一个是“淮”，一个是“安”的概率是多少？（列表或画树状图） 13．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 ． 14．(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是 ． 15．(24-25九上·河南濮阳·期末)星期天，李明与张浩相约去游玩，他们从“龙湖，濮上园、班家小镇”三个景点随机选择其中一个景点去游玩，他俩选中相同景点的概率是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)为庆祝党的二十大顺利召开，学校推荐了四部影片；《我和我的祖国》、《万里归途》、《建党伟业》、《建军大业》，九年级一班用抽卡片的方式决定本班观看哪部影片，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同，将这四张卡片背面朝上． (1)从4张卡片中任意抽取1张，则恰好抽到《万里归途》的概率是_________； (2)从4张卡片中任意抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到《我和我的祖国》和《建党伟业》的概率． 地 城 考点02 由频率估计概率 17．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 18．(2025·河南省郑州市·)下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果： 每批粒数（） 发芽的频数（） 发芽的频率（）（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 19．(24-25九上·河南周口西华县·期末)在大数据时代，二维码应用广泛．为方便顾客扫码，某商场将注册会员使用的二维码打印在面积为的正方形牌子上．为了估计二维码部分的面积，小明将该牌子水平放在地上，然后在牌子内随机掷点，经过大量的重复试验，发现点落入二维码部分的频率越来越稳定于，据此可以估计二维码的面积约为（   ） A． B． C． D． 20．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 21．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)（1）解方程： （2）在一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的个黑球、个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球的个数． 22．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 23．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，现向长方形内随机投掷小石子（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 ． 24．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为 . 25．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（    ） A．80个 B．98个 C．100个 D．120个 26．(24-25九上·河南洛阳·期末)袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 27．(24-25九上·河南洛阳·期末)数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（   ） A．摸出标记数字为偶数的小球 B．摸出标记数字比3大的小球 C．摸出标记数字比2小的小球 D．摸出标记数字为奇数的小球 28．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（   ） A． B． C． D． 29．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 30．(24-25九上·河南封丘县金瀚学校·期末)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 (1)当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $