专题07 期末复习压轴题综合（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期北师大版

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题07压轴题综合 一、单选题 1.(24-25九上·河南信阳新县·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形ABCD绕点A 按逆时针方向旋转得到矩形ABC'D,此时BC恰好经过点D,连接BB,则BB的长为() D C D B A.35 B.3 c.122 D.610 5 6 2.(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形 ABC'D,边BC与DC交于点O,则四边形ABOD的周长是() B A.6 B.62 C.3+32 D.32 3.(24-25九上·河南新乡延津县·期末)如图，在正方形ABCD中，E,F是对角线AC上两点， AE=CF=EF,DE,DF的延长线分别交AB,BC于点G,M,则G的值为() Ac D E G A. 3-5 B c D. 23 119 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 二、填空题 4.(24-25九上·河南南阳邓州期末)在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E为边AB上一点（不与点 A,B重合)，将矩形ABCD沿CE折叠，使点B的对应点F落在矩形ABCD的某条对称轴上时，则BE的 长为一 5.(24-25九上·河南周口商水县大武乡二中等校·期末)在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，M是对角 线BD的中点，点P从点A出发沿着边按A一D一C的路径运动，到达终点C停止.当以点P,M,D为 顶点的三角形与△ABD相似时，则线段AP的长为一· 6.(24-25九上·河南周口鹿邑县·期末)如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是(-2,1)，过 点A作AB‖OB,交x轴于B1,过点B作A1B1⊥x轴交直线AC于A1,过点A1作直线A1B2‖AB1,交x 轴于B2,过点B2作A2B2⊥x轴交直线AC于A2,…,则AB1=元一，A2025的坐标是一 7.(24-25九上·河南南阳方城县·期末)如图，点P是矩形ABCD的边BC上的动点，沿直线AP将△PAB折 叠，点B落在点B位置.己知：AB=6,BC=4,则当点B恰好落在矩形的对称轴上时，BP的长为· B 8.(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10,AB=6,折叠纸片，使点A 落在BC边上的点A处，折痕交AB边于点T,交AD边于点S,P为AT的中点，连接BP,则线段BP长度 的取值范围是一， 2/9 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B 9.(24-25九上·河南安阳北关区·期末)如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接 ED、EC,将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN,将EC绕点E逆时针旋转90°得到EM,连接MN,则线 段MN的最小值为一，最大值为一 M B 10.(24-25九上·河南郑州中原区·期末)已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A 重合)，点A关于直线BP的对称点为点E,连接PE,BE,CE,DE,当△CDE是以CE为腰的等腰三角 形时，AP的值为一· 11.(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，等边△ABC的边长为8，D为BC上的一 点，DC=3BD,P是线段AD上的一动点（点P不与点A,D重合）·若点P和△ABC中的一个顶点的 连线与PD的夹角为60°，则DP的长为一 3/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 12.(24-25九上·河南信阳固始县·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠C=60°，将菱形ABCD绕点 A逆时针旋转，当BC⊥CD时，CC的长度为一· 三、解答题 13.(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学.期末)综合与实践 如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在BC上取一点G,使得CG=3,以CG为边作正方形CEFG,连 接AF,DG. 【问题发现】 )DC的值是 AF ,直线DG,AF所夹锐角的度数是 【拓展探究】 (2)如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明：若不成 立，请说明理由. 【解决问题】 (3)如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为2时，请直接写出AF的长. 图 图2 图3 14.(24-25九上河南开封杞县高中附属中学.期末)综合与实践 4/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和 △兽i满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC=DF=DE=42cm.将两张纸片放置在同一平面内，点 F在AB边上，绕点F旋转△粤（纸片，使EF交AC边于点H,DF交BC边于点G. 下面是创新小组的探究过程， 操作发现 (1)如图1，当△（的顶点F与AB的中点O重合时，在旋转过程中，发现下列结论： ①∠AFH与∠BGF的数量关系为_； ②AH·BG=i, 类比探究 (2)如图2，当A=5时，判断（)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程：若不成立，请 BF 3 说明理由、 拓展延伸 (3)在(2)的条件下，连接HG,如图3.当△HFG为等腰三角形时，请直接写出AH的长. OF F 图1 图2 图3 15.(24-25九上·河南开封祥符区·期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形ABCD的点D和正方形EFGH的点E重合，并旋转正方形EFGH同时确保点H在正方形ABCD 内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向. D(E 图1 图2 图3 ()【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接AH、CF后，随着旋转，AH和CF有着一定的数量关系，请在图1中补全图形， 5/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 并证明AH和CF的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转EFGH,发现AHF三点共线时，可以由正方形ABCD和正方形EFGH的边长 求出AH的长，若AB=2V2,EH=2,请你思考并求AH的长. (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形EFGH时，发现并提出新的探究点：如图3，连接AG、BG,当正 方形EFGH旋转时，△ABG的形状和面积也随之改变，若AB=2V2,EH=2,直接写出△ABG的面 积的取值范围. 16.(24-25九上河南南阳淅川县·期末)问题背景 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世 纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展 出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波 大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理. 芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合.再将正方形ABCD展开， 得到折痕EF; 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN, B'E与AB交于点P. 则点P为AB的三等分点，即AP:PB=2:1 问题解决 如图1，若正方形ABCD的边长是2. E H B F C 图1 图2 (I)CM的长为 (2)请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点. (3)类比探究：将长方形纸片ABCD(AB>BC)按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P 619 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 也为AB的三等分点，请直接写出AD的值。 AB 17.(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手 拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题。 A D G E M B M 图1 图2 图3 (1)等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE如图1放置，∠C=90°，点M、N分别为AB、DE的中 点，则AD MN (2)将图1的等腰直角三角形DCE绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么AD的值是否发生改变？ MN' 说明理由： (3)正方形ABCD和正方形AEFG如图3放置，其中正方形AEFG的边长是正方形ABCD边长的一半，连 结CF、DG,请直接写出DG与CF之间的数量关系以及直线DG与直线CF所夹锐角的度数， 18.(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)(1)问题提出 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE,点M、N分 别是BC、DE的中点，猜想： ①MN与DB的数量关系是_ ②直线DB与MN的夹角是_· (2)继续探究 如图2，将(1)中的△ADE绕点A旋转，(1)中的结论是否仍然成立，请结合图2写出推理过程；若不 成立，请说明理由： (3)结论应用 在(2)的情况下，连接AM、AN,若AB=AC=2,D、E分别是AB、AC的中点，当B、D、E三点共 线时，请直接写出△AMN的面积. 719 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 E D N B B M M 图1 图2 19.(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)如图1，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，点 E,G分则在AB,AD上，AC,AF分别为两正方形的对角线 D D D H C F G E G A 图1 图2 图3 山)筛想：图1中FC的值为 EB (②)探究：将正方形AEFG绕点A旋转到图2位置，连接BE,FC,判断FC的值是否保持不变？并说明理 EB 由 (3)延伸：若将正方形AEFG绕点A旋转到图3位置，其中G,E,B三点在一条直线上，延长AF交边CD 于点H,若BE=32,FH=22,请直接写出正方形AEFG与正方形ABCD的边长. 20.(24-25九上·河南郑州第八中学·期末)如图1，在矩形ABCD中，AD=nAB,点M,P分别在边AB, AD上（均不与端点重合），且AP=AM,以AP和AM为边作矩形AMNP,连接AN,CN.矩形 AMNP绕点A顺时针旋转，如图2，连接PD, B 图1 图2 【问题探究】研究旋转过程中，CN与PD的数量关系. 819 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)特殊化. ①当n=1时，CN与PD的数量关系为 ； ②当n=2时，请仅就图2求出CN与PD之间的数量关系； (2)从特殊到一般。 旋转过程中，CN与PD的数量关系为： 【拓展延伸】在矩形ABCD中，AD=4,AP=2.若n=2,当矩形AMNP旋转至C,N,M三点共线 时，请直接写出线段CN的长. 919 专题07 压轴题综合 一、单选题 1．(24-25九上·河南信阳新县·期末)如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键． 2．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，把边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．由边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 【详解】解：连接， 旋转角，， 在对角线上， ， 在中，， ， ， 在等腰中，， 在直角三角形中，， ， 四边形的周长是：． 故选：B． 3．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)如图，在正方形中，E，F是对角线上两点，，的延长线分别交于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，结合正方形的性质、全等三角形的判定与性质求出，进而判定，再根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A，B重合），将矩形沿折叠，使点B的对应点F落在矩形的某条对称轴上时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、矩形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据矩形的性质可得，，，再分两种情况：①当点在横向对称轴上时，②当点在纵向对称轴上时，利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，然后在和中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，． ①如图，当点在横向对称轴上时，则垂直平分和，， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图，当点在纵向对称轴上时，则垂直平分和， 过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∵在中，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； 综上，的长为或， 故答案为：或． 5．(24-25九上·河南周口商水县大武乡二中等校·期末)在菱形中，，M是对角线的中点，点P从点A出发沿着边按的路径运动，到达终点C停止．当以点P，M，D为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， 在中，，，则， ①如图所示，当点在上时，当时， ∴，则， ∴； ②如图所示，当点在上时，当时， 连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形， ∴根据上述证明可得，点是的中点，且， ∴当时，点关于点对称， ∴， ∴点为的中点，且， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 6．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期末)如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标是，过点A作，交x轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交x轴于，过点作轴交直线于，……，则 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，应充分运用数形结合的思想方法，根据直线之间的垂直和平行关系推出相似三角形，并利用其性质进行求解，与此同时观察点的坐标特征，从中寻找规律． 根据矩形的性质及判定得到四边形是平行四边形，从而推出，由勾股定理即可求解，再由直线之间的垂直和平行关系利用相似三角形的判定定理得到，，，利用相似三角形的性质解得，，，进而观察图形根据点的坐标特征寻找出规律即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点坐标为，即， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，即， 以此类推...，的坐标为， 故答案为：，． 7．(24-25九上·河南南阳方城县·期末)如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接， ∵矩形，， ∴，， ∵、的中点、， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴， 解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 8．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 9．(24-25九上·河南安阳北关区·期末)如图，正方形的边长为，点是边上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，设，则， 证明，得，，同理得，，即得，再证得四边形是矩形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，据此解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则，    由旋转得，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵正方形ABCD的边长为， ∴，，   设，则， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴线段的取值范围为， ∴线段的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 10．(24-25九上·河南郑州中原区·期末)已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作于点，的延长线交于点，则四边形是矩形，进而得，△是等边三角形，则，，在四边形中，，，则进而得，则；②当时，过点作，的延长线交于点，则是正方形的一条对称轴，进而得，则△是等边三角形，然后在中可求出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 根据轴对称的性质得：，，，， 当是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作于点，的延长线交于点，如图1所示： ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在四边形中，，， ， ， 在中，， ； ②当时，过点作，的延长线交于点，如图2所示： ， 是的垂直平分线， 所在直线是正方形的一条对称轴， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 11．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，等边的边长为8，D为上的一点，，P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合）．若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作于点，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出避雷线即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵等边的边长为， ， ， ， ， ， 分两种情况：①如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 12．(24-25九上·河南信阳固始县·期末)如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图， 同理，，， ， ∴； 综上，的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题 13．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 14．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．将两张纸片放置在同一平面内，点F在边上，绕点F旋转纸片，使交边于点交边于点G． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，当的顶点F与的中点O重合时，在旋转过程中，发现下列结论： ①与的数量关系为 ； ② ． 类比探究 （2）如图2，当时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，连接，如图3．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①②（2）①成立，②不成立，见解析（3）或 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键： （1）①等边对等角，结合三角形的内角和定理以及平角的定义，即可得出结论；②证明，得到，即可得出结果； （2）同法①，即可得出结论； （3）分，，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵的顶点F与的中点O重合， ∴， 由①知：，， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，②不成立，证明如下： ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）由（2）可知：，，， ∴， ①当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，此时点不在边上，不符合题意； 综上：或． 15．(24-25九上·河南开封祥符区·期末)【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16．(24-25九上·河南南阳淅川县·期末)问题背景 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理． 芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点． 则点为的三等分点，即． 问题解决 如图1，若正方形的边长是2． (1)的长为______； (2)请通过计算的长度，说明点是的三等分点． (3)类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）设，则，，在中，由勾股定理可得：，进而得出的长； （2）先证，由（1）可知：，再求得，即可得出结论； （3）设，，，则，由勾股定理可得： ，再由∽，得到，即，解得，从而得到解得，即可得出结论． 【详解】（1）设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ∴， 故答案为； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即点P为的三等分点． （3）解：设，，，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ，， ， 又， ∽， ，即， 即， 把代入得，， 解得， 把代入， 解得，（舍去） ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质的综合运用．解题的关键是证明三角形相似． 17．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 18．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)(1)问题提出 如图1，在中，，，D、E分别在边、上，且，点M、N分别是、的中点，猜想： ①与的数量关系是 ②直线与的夹角是 (2)继续探究 如图2，将（1）中的绕点A旋转，（1）中的结论是否仍然成立，请结合图2写出推理过程；若不成立，请说明理由； (3)结论应用 在（2）的情况下，连接、，若，D、E分别是、的中点，当B、D、E三点共线时，请直接写出的面积． 【答案】(1) 45 (2)成立．理由见解析； (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）连接、，利用等腰直角三角形的性质得出，，，，从而推出点A、N、M三点共线，进而即可得出结果； （2）连接AM、AN，利用相似三角形的判定推出，再利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）由题意得，当B、D、E三点共线，分2种情况①点D在线段上；②点E在线段上，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，求出的面积，再利用相似三角形的性质即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，连接、， ，， 是等腰直角三角形， ， 又点M是的中点， ，平分，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 又点N是的中点， ，平分，， ，， ， 点A、N、M三点共线， ， ， 直线与相交于点A， 直线与的夹角为． 故答案为：①；②45． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接AM、AN， ，， 是等腰直角三角形， ， 又点M是的中点， ，平分，， ，， 同理可得，，， ， ， ， 又， ， ，， ； 如图，延长交于点G，交于点F， ，， ， 直线与的夹角是． （1）中的结论仍然成立． （3）解：点D、E分别是、的中点，， ， 由（1）中的结论，，，， ； 由题意得，当B、D、E三点共线，下面分2种情况讨论： ①若点D在线段上， 在中，， ， ， 由（2）中的结论，， ， ； ②若点E在线段上， 同理①可得，， ， ， 由（2）中的结论，， ， ； 综上所述，的面积为或． 19．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)如图，四边形和四边形均为正方形，点分则在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想∶图1中的值为_________； (2)探究：将正方形绕点旋转到图位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． (3)延伸：若将正方形绕点旋转到图位置，其中三点在一条直线上，延长交边于点，若，，请直接写出正方形与正方形的边长． 【答案】(1) (2)的值不变，是定值 (3)正方形的边长为3，正方形的边长为 【分析】（）设，，分别求出即可求解； （）的值保持不变．证明即可求证； （）证明得到，设，根据比例式可得，进而得到，由勾股定理得到，再由比例式可得，即可求出，进而可求出正方形的边长． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， 设，， 则，，， ∴， ∴． （2）解：的值保持不变，理由如下： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：同理（）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为，正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 20．(24-25九上·河南郑州第八中学·期末)如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①当时，连结，矩形和矩形都是正方形，可证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； ②连结，根据勾股定理可求得，，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （2）当，时，根据（1）的方法，同样可求得，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （3）分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结，根据勾股定理，可求得，，即得答案； ②点N在矩形外部时，连结，同理可求得另一个答案． 【详解】解：（1）①当时，如图，，，连结， 则矩形和矩形都是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②连结， 当时， ，， 在中，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； （2）当，时， 由（1）可知，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）当，，，且矩形旋转至三点共线时，分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结， ，，，， ，，， 在中，， 在中，， ； ②点N在矩形外部时，连结， 由①知，，， ； 由①②可知，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据图形运动过程中画出符合题意的图形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $